1P kapittel 4 Lengder og vinkler

Transkript

1 Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve MW W W 7,5 MW 7, W W c W W 8 MW d W 14, W 14,5 MW Oppgve 4. kg 1000 g 000 g,5 kg, g 500 g c 0,05 kg 0, g 50 g d 000 mg 000 0,001 g g Oppgve 4.3 kj 1000 J 000 J 3 GJ J J c 10,8 kj 10, J J d 0,06 MJ 0, J J Oppgve J J 9 MJ g g 4 kg c 0,005 s 5 0,001 s 5 ms d W, W,5 GW Oppgve GB yte yte yte MB Moiltelefonen hr et minne på MB. Oppgve V V 1 kv 1500 V 1, V 1,5 kv Høyspenning etyr vekselspenning over 1 kv og likespenning over 1,5 kv. Aschehoug Side 1 v 38

2 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve MHz Hz Hz 5 mhz 5 0,001 Hz 0,05 Hz c Hz Hz 8 MHz d 850 Hz 0, Hz 0,85 khz Oppgve 4.8 1,67 MJ 1, J J Brusen inneholder J per liter. I løpet v to år drikker Peter 365 L 730 L rus. Hekto etyr L 7,3 100 L 7,3 hl I løpet v to år drikker Peter 7,3 hl rus. c 365 1,67 MJ 609,55 MJ 610 MJ J 0, J 0,61 GJ Peter får i seg c. 0,61 GJ energi fr rusen hn drikker hvert år. Oppgve 4.9 Mildrid skl h 3 g smertestillende per døgn, fordelt på to doser. Mengde per dose: 3 g 1,5 g ,001 g 1500 mg Antll tletter per dose: 1500 mg mg Mildrid må t 3 tletter per dose. Oppgve 4.10 En hlvlitersflske inneholder c. 500 g. 167 kj Energiinnhold per grm: 1,67 kj 100 g Energiinnhold i 500 grm: 500 1,67 kj 835 kj Én hlvlitersflske rus gir 835 kj energi. Nin får i seg 835 kj hver dg. 1 GJ J J kj kj dger år 3,3 år 835 kj/dg 365 Nin hr fått i seg 1 GJ energi fr rusen etter 3,3 år. Oppgve km/s m/s m/s Lysfrten er c m/s Hz Hz 476 THz Frekvensen til lserpennen er 476 THz. Aschehoug Side v 38

3 Løsninger til oppgvene i ok c c f λ c λ f λ m 0, m ,630 0, m 0,630 µ m 630 0, m 630 nm Bølgelengden til lyset fr lserpennen er 0,630 µ m 630 nm. Oppgve 4.1 Medisinen lir gitt med 15 dråper per minutt. Tid per dråpe: 1 minutt 1 min/dråpe 15 dråper Tid for 0 dråper 1 ml : 0 min min min Totl væskemengde: 1,5 dl 1,5 0,1 L 0,15 L 150 0, 001 L 150 ml Tid for 150 ml medisin: 150 min min 00 min ( ) min 3 h 0 min 3 3 Tre timer og 0 minutter etter kl lir kl Medisineringen skl vsluttes kl Oppgve 4.13 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med cm mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med dm mm 500 mm Vi skl gå tre hkk mot høyre, og gnger derfor med ,049 m 0, mm 49 mm d Vi skl gå tre hkk mot høyre, og gnger derfor med ,0075 m 0, mm 7,5 mm Aschehoug Side 3 v 38

4 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.14 Vi skl gå tre hkk mot høyre, og gnger derfor med km m m Vi skl gå tre hkk mot høyre, og gnger derfor med ,05 km 4, m 4050 m c Vi skl gå fire hkk mot høyre, og gnger derfor med mil m m d Vi skl gå fire hkk mot høyre, og gnger derfor med ,5 mil 0, m 500 m Oppgve 4.15 Håvrd kjører til smmen 46 mil 9 mil. Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med mil 9 10 km 90 km Håvrd kjører til smmen 90 km. Oppgve 4.16 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med dm (58 :10) m 5,8 m c Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med cm (5 :100) m 0,05 m Vi skl gå tre hkk mot venstre, og deler derfor med mm (300 :1000) m 0,3 m d Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med ,5 cm (6,5 :100) m 0,65 m Aschehoug Side 4 v 38

5 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.17 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med km (83:10) mil 8,3 mil Vi skl gå fire hkk mot venstre, og deler derfor med m ( :10 000) mil 5 mil c Vi skl gå fire hkk mot venstre, og deler derfor med m (840 :10 000) mil 0,084 mil d Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 3,5 km (3,5 :10) mil 0,35 mil Oppgve 4.18 Når vi gjør om fr km til m, går vi tre hkk mot høyre, og gnger derfor med Når vi gjør om fr m til cm, går vi to hkk mot høyre, og gnger derfor med For eksempel er 5 km m 5000 m, og 45 m cm 4500 cm. Når vi gjør om fr m til km, går vi tre hkk mot venstre, og deler derfor med Når vi gjør om fr cm til m, går vi to hkk mot venstre, og deler derfor med For eksempel er 45 m (45 :1000) km 0, 045 km, og 00 cm (00 :100) m m. km m cm 0, , , , ,00 00 Oppgve ,54 cm 58,4 cm Digonlen på skjermen er c. 58,4 cm lng. 58,4 cm (58,4 :100) m 0,584 m Digonlen er 0,584 m lng. Aschehoug Side 5 v 38

6 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve fot 30 30,48 cm 914,4 cm 914,4 cm (914,4 :100) m 9,144 m Båten er c. 9,1 m lng. 00 nutiske mil m m m ( :1000) km 370,4 km Kjell kjørte c. 370 km med åten. Oppgve µ m 60 0,001 mm 0,06 mm Mlingstykkelsen er 0,06 mm. Oppgve 4. 0,3 mil 0, m 3000 m 500 cm (500 :100) m 5 m 46 46,54 cm 116,84 cm (116,84 :100) m 1,1684 m 8 dm (8 :10) m 0,8 m 6 km m 6000 m I sortert rekkefølge får vi dermed 8 dm 1 m cm 0,3 mil 6 km Oppgve 4.3 c Høyden v et kjøleskp er vnligvis over 1 meter. D er måleånd eller meterstokk est egnet til å måle høyden. Avløpsrør er noen cm tykke, og de er dessuten runde. D er det lettest å måle tykkelsen med et skyvelære. Tykkelsen v et ppirrk er under 1 mm, og måles derfor est med en mikrometerskrue. Oppgve 4.4 c Vi ser t den solutte usikkerheten i lengdemålingen er 0,05 cm, og den solutte usikkerheten i reddemålingen er 0,01 cm. Det kn derfor tenkes t Mrius rukte en linjl for å måle lengden og et skyvelære for å måle redden. Den solutte usikkerheten i lengdemålingen er 0,05 cm. Den solutte usikkerheten i reddemålingen er 0,01 cm. 0, % 0, % 5,33 Den reltive usikkerheten i reddemålingen er 0, %. Aschehoug Side 6 v 38

7 Oppgve 4.6 Løsninger til oppgvene i ok Vi kn nslå den solutte måleusikkerheten til å være c. hlvprten v måleenheten på linjlen, ltså 0,5 cm. 0,5 100 % 0,7 % 7,5 Den reltive usikkerheten er 0,7 %. Oppgve mil m 1 nm 0, m 1 mm 0, 001 m 1 cm 0, 01 m 1 µ m 0, m Sortert etter størrelse får vi dermed nm µm mm cm m mil Oppgve 4.8 Vi skl gå tre hkk mot høyre, og gnger derfor med km m 8000 m Vi skl gå tre hkk mot høyre, og gnger derfor med km m m c Vi skl gå tre hkk mot høyre, og gnger derfor med ,8 km 0, m 800 m d e Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med dm (30 :10) m 3 m Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med cm (43 :100) m 4,3 m Aschehoug Side 7 v 38

8 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.9 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med mil 3 10 km 30 km Vi skl gå tre hkk mot venstre, og deler derfor med m (5000 :1000) km 5 km c Vi skl gå tre hkk mot venstre, og deler derfor med m (180 :1000) km 0,18 km d Vi skl gå tre hkk mot venstre, og deler derfor med m (30 :1000) km 0,03 km e Vi skl gå fem hkk mot venstre, og deler derfor med cm (4000 : ) km 0,04 km Oppgve 4.30 Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med m cm 600 cm Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med ,3 m 1,3 100 cm 130 cm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med ,75 m 0, cm 75 cm d e Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med mm (40 :10) cm 4 cm Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 6,9 dm 6,9 10 cm 69 cm Aschehoug Side 8 v 38

9 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.31 Sigurd kjører til smmen 55 km 1104 km. Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med km (1104 :10) mil 110, 4 mil Sigurd kjører 110,4 mil. Oppgve 4.3 Vi regner om distnsene til km og gjør overslg: 100 m +,9 km m m + 0,9 km m + 0,5 mil 1, km +,9 km + 0,85 km + 1,89 km + 0,9 km + 3,3 km + 5 km 1 km + 3 km + 1 km + km + 1 km + 3 km + 5 km 16 km Mtilde jogget til smmen c. 16 km. Oppgve 4.33 fot 1 len 6,75 cm 6,75 cm 1 fot 31,375 cm 1 fvn 3 len 3 6,75 cm 188,5 cm Oppgve 4.34 Den solutte usikkerheten er 0,05 cm. 0, % 0, % 9,7 Den reltive usikkerheten er 0, %. Oppgve 4.36 Vi gjør om lengdene til meter. 83 cm 83 0, 01 m 0,83 m 0,04 km 0, m 40 m 5 mm 5 0,001 m 0,05 m 400 nm 400 0, m 0, m 15 µ m 15 0, m 0, m 4 4,54 cm 4,54 0, 01 m 0,1016 m I stigende rekkefølge får vi dermed 400 nm 15 µm 5 mm 4 83 cm 5 m 0,04 km Aschehoug Side 9 v 38

10 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve ,5 m 0,5 100 cm 50 cm 60 mm (60 :10) cm 6 cm 84 cm + 0,5 m + 60 mm 84 cm + 50 cm + 6 cm 140 cm 0, km 0, cm 14,8 cm 6 mm (6 :10) cm 6, cm 0, km + 6 mm 14,8 cm + 6, cm 1 cm c 3 3,54 cm 81, 8 cm 9 fot 9 30,48 cm 74,3 cm fot 81,8 cm + 74,3 cm 355,6 cm Oppgve ,5 µ m 0,5 0,001 mm 0,0005 mm Dimeteren v klmydikterien er 0,0005 mm. 5 mm ,0005 mm Det er plss til kterier etter hverndre lngs linjestykket. Oppgve fvn 3 len 3 fot 6 fot 1 fvn 3 len 3 6,75 cm 188,5 cm 1,885 m 4 fvner 4 1,885 m 7,53 m Innsjøen er 7,53 m dyp. c 1 len 6,75 cm 0,675 m 1 len 1 meter 1,5936 len 0, 675 Oppgve 4.40 Den solutte usikkerheten for en mikrometerskrue er 0,01 mm 0,001 cm. 0, % 0,07 % 1, 5 Den reltive usikkerheten er 0,07 %. Aschehoug Side 10 v 38

11 Oppgve 4.41 Den reltive usikkerheten er 1 % 0, 01 Løsninger til oppgvene i ok. Tenk t den solutte usikkerheten er x m. solutt usikkerhet Reltiv usikkerhet måleresultt x 0,01 60,0 x 60,0 0,01 60,0 60,0 0,6 x Den solutte måleusikkerheten er 0,6 m. Oppgve 4.4 Tenk t lsermålingen til Steffen hr en solutt usikkerhet på x cm. Den reltive usikkerheten er 0,5 % 0,005, og målingen er 8, 5 m 85 cm. solutt usikkerhet Reltiv usikkerhet måleresultt x 0, x 85 0, ,15 x Målingen til Steffen hr en solutt usikkerhet på 4 cm. Det er ltså Hlvor som hr målt lengden v rommet mest nøyktig. Oppgve 4.43 De to ndre vinklene, ltså A og B, er mindre enn 90. Vinklene er derfor spisse. c Vinkelsummen i en treknt er 180. Altså er A+ B+ C 180. A+ B+ C 180 A+ B 180 C A+ B A+ B 90 De to vinklene er til smmen 90. Oppgve 4.44 Vinkelsummen i treknten skl være 180. Den tredje vinkelen er derfor Aschehoug Side 11 v 38

12 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.45 Summen v de fire vinklene skl være 360. B Av figuren ser vi t CDA D 140. c Vi ser t B og D er større enn 90. Altså er B og D stumpe. Oppgve 4.46 Treknt ABC: C Treknt EFG: E Treknt DEF: EFD D 180 E EFD Treknt DFG: FGD 180 GFD D Oppgve 4.47 Toppvinkler er like store. Altså er y 59. Novinkler er til smmen 180. Altså er z Vinkelsummen i treknten er 180. x+ y+ z 180 x 180 y z x Oppgve 4.48 Alle sidene i treknten er like lnge. Det etyr t treknten er likesidet. Alle vinklene i treknten er derfor 60. Oppgve 4.49 Den rette vinkelen er 90. Dermed er den tredje vinkelen Oppgve 4.50 Vinkelsummen skl være 180. Derfor må de to ukjente vinklene til smmen være Treknten er likeeint. Derfor er de to ukjente vinklene like store. 80 Altså er A C 40. Aschehoug Side 1 v 38

13 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.51 I et rektngel er lle vinklene 90. Altså er Q 90. I et rektngel er to og to sider like lnge. Altså er PQ RS 1 cm. Oppgve 4.5 Vinkelsummen i treknten skl være 180. Det gir A Oppgve 4.53 Vinkelsummen i treknten skl være 180. Det gir E Oppgve 4.54 Vinkelsummen i firknten skl være 360. Det gir J Oppgve 4.55 Vinkelsummen i treknten skl være 180. Det gir x To v sidene i treknten er like lnge. Treknten er derfor likeeint. Det etyr t de to vinklene til venstre er like store. Altså er x 70. Dermed er y c Vinkelsummen i firknten skl være 360. Det gir x Alle vinklene i firknten er 90, og to nærliggende sider er like lnge. Firknten er derfor et kvdrt. Det etyr t lle sidene er like lnge. Altså er d Vinkelsummen i treknten skl være 180. Det gir x To v vinklene er like store. Treknten er derfor likeeint. Det etyr t de to sidene til venstre er like lnge. Altså er y 6 cm. y 4 cm. Aschehoug Side 13 v 38

14 Oppgve 4.56 I en likeeint treknt er to sider like lnge og to vinkler like store. Siden D > 90, kn ikke D være én v de to like vinklene i treknten. Det må derfor være E og F som er like store. Til smmen må de to vinklene være Dermed er F 40. Vinkelen som er oppgitt er mindre enn 90. D hr vi to muligheter, som vi ser v figuren. x y 65 De ndre vinklene er enten 50 og 80, eller egge vinklene er 65. Oppgve 4.57 I en likeeint treknt er to sider like lnge og to vinkler like store. Den rette vinkelen er 90. De to ndre vinklene er like store, og til smmen De to ndre vinklene er derfor Oppgve 4.58 Vinkelsummen i treknten skl være 180. Det gir likningen 90 + x+ x x+ x x 180 3x x 90 3x x 30 Vi ser først på firknten ABCE og ruker t vinkelsummen er 360. Det gir x x og w er novinkler. Altså er w 180 x Treknten CDE er likeeint, ettersom CE DE. Det etyr t vinklene y og w er like store. Altså er y 75. Til slutt ruker vi t vinkelsummen i treknten CDE skl være 180. Det gir z Løsninger til oppgvene i ok c Ettersom CD står vinkelrett på AB, er ADC BDC 90. Vinkelsummen i treknten ADC skl være 180. Det gir ACD Ettersom ACB 90, er ACD + BCD 90. Det gir BCD Aschehoug Side 14 v 38

15 Oppgve 4.59 Siden linjene l og m er prllelle, er e, f, c g og d h. og c er toppvinkler, som etyr t c. Dermed er c e g. og d er toppvinkler, som etyr t d. Dermed er d f h. Oppgve 4.60 Vi ruker pytgorssetningen. h h h 5 h 5 h 5 Hypotenusen er 5 m. Løsninger til oppgvene i ok Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,71 h h 5, , , 0417 h 50, 0417 h 7,07 Hypotenusen er 7,07 m. Oppgve 4.61 Pytgorssetningen gjelder for rettvinklede treknter. Treknt A er rettvinklet. Vi regner ut de ukjente vinklene i de ndre trekntene. Treknt B: Treknten er ikke rettvinklet. Treknt C: Treknten er rettvinklet. I treknt D må hver v de to ukjente vinklene være mindre enn Treknten kn derfor ikke være rettvinklet. Pytgorssetningen gjelder ltså for trekntene A og C. Oppgve 4.6 Vi ser t vinkel C er den rette vinkelen i treknten ABC. Altså er C 90. c d AB er den motstående siden til den rette vinkelen i treknten. AB er derfor hypotenus i treknten. AC er én v de to ktetene i treknten. (Den ndre kteten er BC.) Vi ruker pytgorssetningen. AB AB AB 85 AB må være mindre enn 10 cm, siden 85 < Sine hr derfor ikke rett. Aschehoug Side 15 v 38

16 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.63 Digonlen er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. h 8,5 + 5, 4 h h 7, 5 + 9,16 101, 41 h 101, 41 h 10,1 Digonlene på kredittkortet er 10,1 cm lnge. Oppgve 4.64 Vi setter den ukjente siden lik x meter og ruker pytgorssetningen. 5 x x x 9 x 9 x 3 x Den ukjente siden er 3 m. Vi setter den ukjente siden lik x cm og ruker pytgorssetningen. 9 x + 4,1 x ,81 x 81 16,81 64,19 x 64,19 x 8 x Den ukjente siden er 8 cm. Oppgve 4.65 Vi setter den ukjente vstnden lik x meter og ruker pytgorssetningen. 4 x + 3,5 16 x + 1, , 5 x 3, 75 x 3, 75 x 1, 9 x Den nederste delen v stigen står 1,9 m unn veggen. For å kunne ruke pytgorssetningen må vi gå ut fr t veggen, kken og stigen dnner en rettvinklet treknt med stigen som hypotenus. Aschehoug Side 16 v 38

17 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.66 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 8,9 79, 1 k + K 3,9 + 8, 0 15, , 1 Tllene psser i pytgorssetningen. Treknten er derfor rettvinklet. Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h k + K Tllene psser ikke i pytgorssetningen ( ). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 4.67 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. h k + K Tllene psser i pytgorssetningen. Hjørnevinkelen er derfor 90. Oppgve 4.68 Vi ruker pytgorssetningen. h 5,0 + 10,0 h h h 15 h 11, Hypotenusen er 11, cm. Oppgve 4.69 Vi ruker pytgorssetningen. h 0, 6 + 1,5 h 0,36 +, 5 h,61 h,61 h 1, 6 Den ukjente siden er 1,6 m. Aschehoug Side 17 v 38

18 Løsninger til oppgvene i ok c d h h h 4,5 + 3, 0,5 + 10,4 30,49 h 30,49 h 5,5 Den ukjente siden er 5,5 cm. Vi setter den ukjente siden lik x meter og ruker pytgorssetningen. 8, 0 x + 3,5 64 1, 5 x 64 x + 1, 5 51,75 x 51,75 x 7, x Den ukjente siden er 7, m. 3, 0 x + 1,5 9, 5 x x + 9, 5 6,75 x 6,75 x,6 x Den ukjente siden er,6 m. Oppgve 4.70 Digonlen er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. h h h h 369 h 19, Størrelsen på skjermen er 19. Oppgve 4.71 Den lengste siden i en rettvinklet treknt er lltid hypotenusen. Ktetene er de to korteste sidene. Aschehoug Side 18 v 38

19 Løsninger til oppgvene i ok Vi setter den ukjente siden lik x cm og ruker pytgorssetningen. 10,0 6,0 + x x x 64 x 64 x 8,0 x Den ukjente siden er 8,0 cm. Oppgve 4.7 Vi undersøker om tllene psser i pytgorssetningen. Hvis treknten er rettvinklet, er det den lengste siden som må være hypotenus, og de korteste sidene må være kteter. h 3 9 k + K Tllene psser ikke i pytgorssetningen (9 5). Treknten er derfor ikke rettvinklet. Oppgve 4.73 BD er hypotenus i den rettvinklede treknten ABD. h 4,5 + 3, 0 h 0, h 9,5 h 9,5 h 5, 41 Lengden v BD er 5,4 cm. BC er korteste ktet i den rettvinklede treknten BCD. Vi setter 6,8 x + 5,41 x + 39, , , , 681 x 10,1703 x 10,1703 x 3, x Lengden v BC er 3, cm. BC x cm. Aschehoug Side 19 v 38

20 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.74 For å kunne ruke pytgorssetningen må vi gå ut fr t veggen, kken og stigen dnner en rettvinklet treknt med stigen som hypotenus. Vi setter den ukjente høyden lik x meter og ruker pytgorssetningen. 8,1 x +,5 65,61 x + 6,5 65,61 6,5 x 59,36 x 59,36 x 7,7 x Stigen når 7,7 m opp på veggen. Oppgve 4.75 Bkken, stuen og treet dnner en rettvinklet treknt med treet som hypotenus. Vi ruker derfor pytgorssetningen til å finne høyden v den øverste delen v treet. h 15, +,6 h 31,04 + 6,76 h 37,8 h 37,8 h 15, 4 Den øverste delen v treet er 15,4 m høyt. Høyden v hele treet vr dermed 15,4 m +,6 m 18,0 m. Oppgve 4.76 Treknten ABC er likeeint. Normlen fr A på BC deler derfor BC i to like store deler. Vi ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten ABD. h 9,5 + 3,00 h 85, h 94,565 h 94,565 h 9,7 Lengden v AB er 9,7 cm. Aschehoug Side 0 v 38

21 Løsninger til oppgvene i ok Vi setter BC x m og ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten BCD. 4,85,55 + x 3,55 6,505 + x 3,55 6,505 x 17,0 x 17,0 x 4,13 x Lengden v BC er 4,13 m. Dermed er AB 7,0 m 4,13 m,9 m. Oppgve 4.77 Tenk t den ukjente kteten hr lengden x. Hypotenusen hr d lengden x. Vi ruker pytgorssetningen. ( x) x + 10,39 x x x ,951 x 4 107,951 x 3 107,951 x 3 3 x 35, ,951 x 35,9840 x 6,00 Den ukjente kteten er 6,00 cm. Oppgve 4.78 Meterstven hr lengden 1 m 100 cm. Vi setter den ukjente vstnden lik x cm og ruker pytgorssetningen x x x 6400 x 6400 x 80 x Mrit må måle ut 80 cm lngs den ndre veggen. Aschehoug Side 1 v 38

22 Løsninger til oppgvene i ok Vi setter den ukjente vstnden lik x cm og ruker pytgorssetningen. 100 x + x x x 5000 x 5000 x 71 x Hun må måle ut 71 cm lngs egge veggene. Oppgve 4.79 Digonlen i kjellerdør er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. h 1, 05 +,1 h 5,515 h 5,515 h,35 Digonlen i kjellerdør er,35 m, som er større enn den korteste siden i sponplt. Tove kn derfor få sponplt inn gjennom kjellerdør. Oppgve 4.80 Tenk t Nin svømte x meter ut fr strnden. D svømte hun 3 x meter prllelt med strnden. Svømmeturen dnner en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. 316 x + (3 x) x + 9x x x , 6 x 9985, 6 x 100 x Nin svømte 100 m utover før hun svingte. Aschehoug Side v 38

23 Oppgve 4.81 c Vi legger smmen lengdene v de fire sidene i firknten: 10 m + 4 m + 5 m + 3 m m Omkretsen v figuren er m. Vi legger smmen lengdene v de tre sidene i treknten: 7 m + 5 m + 3 m 15 m Omkretsen v treknten er 15 m. I et rektngel er to og to sider like lnge. 5 cm + 6 cm + 5 cm + 6 cm 5 cm + 6 cm 10 cm + 1 cm cm Omkretsen v rektnglet er cm. Oppgve 4.8 Bredden v et A4-rk er 1,0 cm, og høyden er 9,7 cm. Omkretsen er dermed 1, 0 cm + 9, 7 cm 101, 4 cm. Oppgve 4.83 Et kvdrt hr fire like lnge sider. 1 m + 1 m + 1 m + 1 m 4 1 m 48 m Viggo trenger 48 m med gjerde. Oppgve 4.84 Vi finner først lengden v de to ukjente sidene. x 6 cm cm 4 cm y 4 cm 3 cm 1 cm Omkretsen v figuren er dermed 6 cm + 3 cm + 4 cm + 1 cm + cm + 4 cm 0 cm Oppgve 4.85 Omkretsen v en sirkel er O π d. O π 3,1 m 9, 7 m Omkretsen v en sirkel er O π r. O π 6,75 dm 4,4 dm 4,4 m Oppgve 4.86 Dimeteren i priserhjulet er 135 m. Oπ d π 135 m 44 m Én runde i priserhjulet er 44 m. Oppgve 4.87 Løsninger til oppgvene i ok Lekeplssen er stt smmen v et kvdrt med side 40 m og en hlvsirkel med dimeter 40 m. Omkretsen v hlvsirkelen er 1 π 40 m 6,8 m. Omkretsen v lekeplssen er dermed 3 40 m + 6,8 m 18,8 m. Sunniv løper to gnger rundt lekeplssen. Til smmen løper hun derfor 18,8 m 365, 6 m 366 m. Aschehoug Side 3 v 38

24 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.88 Figuren er stt smmen v en likesidet treknt med side 1 m og en sirkel med dimeter 1 m. Omkretsen v treknten: 3 1 m 3 m Omkretsen v sirkelen: π 1 m 3,14 m Omkretsen v hele figuren: 3 m + 3,14 m 6,14 m Oppgve m + 5 m + 3 m 15 m Omkretsen v treknten er 15 m. O π r π 1 m 13 m Omkretsen v sirkelen er 13 m. c I et rektngel er to og to sider like lnge. Høyden i rektnglet er dm 0 cm. O 40 cm + 0 cm 80 cm + 40 cm 10 cm Omkretsen v rektnglet er 10 cm. d Figuren er en kvrtsirkel med rdius 4 cm. Lengden v sirkeluen: π r 4 π 4 cm 6,3 cm Omkretsen v figuren: 4 cm + 4 cm + 6,3 cm 14,3 cm e Vi ruker pytgorssetningen for å finne hypotenusen i den rettvinklede treknten. h h 10 h 10 h 3, Omkretsen v treknten er 1 m + 3 m + 3, m 7, m. f x 6,0 m 4,0 m,0 m y 7,0 m 4,0 m 3,0 m 6,0 m + 4,0 m +,0 m + 3,0 m + 4,0 m + 7,0 m 6 m Omkretsen v figuren er 6 m. Oppgve 4.90 En likesidet treknt hr tre like lnge sider. 1 m + 1 m + 1 m 3 1 m 3 m Omkretsen v treknten er 3 m. Et kvdrt hr fire like lnge sider. 1 m + 1 m + 1 m + 1 m 4 1 m 4 m Omkretsen v kvdrtet er 4 m. c Et rektngel hr to og to sider som er like lnge. 1 m + m m + 4 m 6 m Omkretsen v rektnglet er 6 m. d O π r π 1 m 6, 8 m Omkretsen v sirkelen er 6,8 m. Aschehoug Side 4 v 38

25 Oppgve 4.91 Treknten til venstre er likesidet. Omkretsen er derfor 3 4 m 1 m. For treknten til høyre finner vi lengden v hypotenusen fr pytgorssetningen: h 5 + h 9 h 9 h 5, 4 Treknten til høyre hr omkrets 5 m + m + 5,4 m 1,4 m. Det er ltså figuren til høyre som hr størst omkrets. Oppgve 4.9 Et rektngel hr to og to sider som er like lnge. Omkretsen v rektnglet er ltså O 3 x+ x 6x+ x 8x. Rdien i sirkelen er r 3x. Omkretsen er O π r π 3x 6π x. Oppgve 4.93 Vi setter redden v rektnglet lik x meter og ruker pytgorssetningen. 5,1,1 + x 6,01 4,41+ x 6,01 4,41 x 1, 6 x 1, 6 x 4,65 x Bredden v rektnglet er 4,65 m, og høyden er,1 m. Omkretsen v rektnglet er dermed 4, 65 m +,1 m 13,5 m. Løsninger til oppgvene i ok Figuren estår v to hlvsirkler med dimeter 1 m og to hlvsirkler med dimeter m. I midten er det et rektngel med sider 1 m og m, men dette rektnglet idrr ikke til omkretsen v figuren. Omkretsen v figuren er derfor 1 1 π 1 m + π m π 1 m +π m 9,4 m c Figuren er en kvrtsirkel der lengden v sirkeluen er 4 cm. Vi finner rdien i sirkelen. 1 1 Omkretsen v en kvrtsirkel er O 4 π r π r. Det gir likningen 1 π r 4 cm. 1 π r 4 1 πr 4 π π 8 r π r,55 Rdien i sirkelen er,55 cm. Omkretsen v figuren er dermed,55 cm + 4 cm 9,1 cm. Aschehoug Side 5 v 38

26 Løsninger til oppgvene i ok d Vi finner lengden v den skrå siden med pytgorssetningen. h 1,0 +,0 h 5 h 5 h, Omkretsen v figuren er 5,5 m +, m +,0 m +,0 m +,5 m + 4,0 m 18, m Oppgve 4.94 En likesidet treknt hr tre like lnge sider. Vi setter den ukjente siden lik x meter. Normlen fr C på siden AB deler AB i to like lnge deler. Vi ruker pytgorssetningen på den rettvinklede treknten DBC. 1 x 1 + x 1 x 1+ x 4 1 x x x x x 3 4 x 3 x 1,155 Sidene i treknten er 1,155 m. Omkretsen v treknten er dermed 3 1,155 m 3,5 m. Et kvdrt hr fire like lnge sider. Vi setter den ukjente siden lik x meter. Digonlen er hypotenus i en rettvinklet treknt. Vi ruker derfor pytgorssetningen. 1 x + x 1 x 1 x 0,5 x 0,5 x 0,707 x Sidene i kvdrtet er 0,707 m. Omkretsen v kvdrtet er dermed 4 0,707 m,8 m. Aschehoug Side 6 v 38

27 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.95 Omkretsen v sgldet er O 0,63 m 63 cm. Fr formelen O π d gir det likningen π d 63 cm. π d 63 π d 63 π π d 0 Dimeteren v sgldet er 0 cm. Oppgve 4.96 Omkretsen v den sirkelformede søylen er π 3 dm 9,4 dm. Omkretsen v den kvdrtiske søylen er 4 3 dm 1 dm. Tråden når derfor ikke rundt den kvdrtiske søylen. Oppgve 4.97 Figuren estår v et rektngel med sider 4x og x, og en hlvsirkel med dimeter 4x. Omkretsen v hlvsirkelen: 1 1 π d π 4x π x Omkretsen v hele figuren: 4x+ x+ π x 6x+ π x Figuren estår v en likesidet treknt med side x, og et kvdrt med side x (ettersom kvdrtet deler en side med den likesidede treknten). Omkretsen v figuren er dermed x+ x+ x+ x+ x 5x. Oppgve 4.98 Vinkel D tilsvrer vinklene A og G. Derfor er D 80. Vinkel E tilsvrer vinklene B og I. Derfor er B I 40. Vinkelsummen i trekntene er 180. Det gir C F H Oppgve 4.99 Vinkel A tilsvrer vinkel H. Derfor er A 60. Vinkel C tilsvrer vinkel F. Derfor er C 100. Vinkel E tilsvrer vinkel B. Derfor er E 90. Vinkel G tilsvrer vinkel D. Derfor er G 110. Vinkelsummen er Oppgve To v vinklene i trekntene er prvis like store. D må den tredje vinkelen også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. (Den tredje vinkelen er C F ) De tilsvrende sidene ligger mellom tilsvrende vinkler. De tilsvrende sidene er derfor AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Aschehoug Side 7 v 38

28 Løsninger til oppgvene i ok c Vi kjenner lengden v BC, som er tilsvrende side med EF. Vi kn derfor finne lengden v EF ved å ruke formlikhet. EF og BC er tilsvrende sider, og DE og AB er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. EF DE BC AB x 4,0 4,5 5, 0 x 4,5 4, 0 4,5 4,5 5, 0 x 3, 6 Lengden v EF er 3,6. Oppgve Vi velger to pr v tilsvrende sider, AC og DF, og AB og DE. Så setter vi forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. AC AB DF DE 8 10 x 14 x x x 11, Lengden v DF er 11, m. Oppgve 4.10 De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi finner først BC, og setter d BC x. BC AB EF DE x 4,60 4,90 6,90 x 4,90 4, 60 4,90 4,90 6,90 x 3, 7 Lengden v BC er 3,7 cm. Aschehoug Side 8 v 38

29 Løsninger til oppgvene i ok Så finner vi DF, og setter d DF x. DF DE AC AB x 6,90,10 4, 60 x,10 6,90,10,10 4, 60 x 3,15 Lengden v DF er 3,15 cm. Oppgve Huset og grsjen hr form som to formlike rektngler. På figuren er AB og EF tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Forholdet mellom tilsvrende sider skl være lik hverndre. Lengden v grsjen er EH x. EH EF AD AB x 6,30 13,30 10, 00 x 13,30 6,30 13,30 13,30 10, 00 x 8,38 Lengden v grsjen må være 8,38 m. Oppgve Vinkel B tilsvrer vinkel F. Derfor er B 80. Vinkel D tilsvrer vinkel H. Derfor er D 100. Vinkel A tilsvrer vinkel E. Derfor er E 60. Til slutt ruker vi t vinkelsummen i firkntene er 360. Det gir C G Oppgve De to ildene er formlike rektngler. Sidene AB og EF er tilsvrende sider, og AD og EH er tilsvrende sider. Vi setter forholdet mellom de tilsvrende sidene lik hverndre. EH EF AD AB x 1 8,0 1 x 8,0 1 8,0 8,0 1 x 14 Høyden i det forstørrede ildet lir 14 cm. Aschehoug Side 9 v 38

30 Oppgve De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi setter forholdet mellom de tilsvrende sidene lik hverndre. EF DE BC AB x 3 4 x x 6 Riktig svr er EF 6. Lrs hr derfor regnet feil. Løsninger til oppgvene i ok En mulighet er t Lrs hr tenkt t lengden v BC er større enn lengden v AB, og t lengden v EF derfor også skl være større enn lengden v DE. D ville nemlig lengden v EF h litt Oppgve De tilsvrende sidene er AB og DE, BC og EF, og AC og DF. Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE EF AB BC x x x 4,5 Lengden v DE er 4,5 m. DF EF AC BC x x x 6 Lengden v DF er 6 m. Aschehoug Side 30 v 38

31 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve Trekntene ABC og DEF er rettvinklede, og vinkelen til skyggen ( B og E ) er den smme i de to trekntene. Trekntene er derfor formlike. Forholdet mellom de tilsvrende sidene AC og DF er dermed lik forholdet mellom de tilsvrende sidene AB og DE. AC AB DF DE x 8,1,0,7 x,0 8,1,0,0,7 x 6,0 Høyden på huset er 6,0 m. Oppgve Trekntene ABC og EBD er rettvinklede, og de hr vinkel B felles. Trekntene hr ltså to vinkler felles. Den tredje vinkelen må derfor også være lik. Siden vinklene er prvis like store, er trekntene formlike. AC og DE er tilsvrende sider, og AB og BE er tilsvrende sider. BE AB AE 9 cm 4 cm 5 cm Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. DE BE AC AB x x x 3,3 Lengden v DE er 3,3 cm. Aschehoug Side 31 v 38

32 Oppgve Trekntene ABC og ADC er egge rettvinklet, og de hr vinkel A felles. Den tredje vinkelen må derfor også være lik. Altså er x ACD B 37. Trekntene er formlike. De tilsvrende sidene er AB og AC, BC og DC, og AC og AD. Vi setter forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. AC DC AB BC y 4,8 10 z y 10 z 4,8 10 z 10 z yz 48 Så ruker vi pytgorssetningen på treknt ABC. Det gir likningen y + z 100 Vi løser likningssettet yz 48 og y + z 100 med digitlt verktøy. Løsninger til oppgvene i ok y og z må være positive, og vi ser v figuren t z skl være størst. Den riktige løsningen er ltså y 6 m og z 8 m. Oppgve 4.11 Høyden v flsken er oppgitt til å være 7 mm i virkeligheten. Målestokken er 1 :. 1 mm i virkeligheten tilsvrer derfor 1 mm på tegningen ,5 Høyden v flsken skl være 113,5 mm på tegningen. Vi ser t dette stemmer når vi kontrollmåler. På reidstegningen er høyden v isfjellet 8 mm. 1 mm på tegningen tilsvrer mm i virkeligheten. 8 mm 16 mm Høyden v isfjellet er 16 mm i virkeligheten. Oppgve mm på tegningen tilsvrer 500 mm i virkeligheten mm mm 0 m I virkeligheten er grens 0 m lng. Oppgve Målestokken er 5 : 1. 1 mm i virkeligheten tilsvrer derfor 5 mm på tegningen. 5 0 mm 100 mm 10 cm Dimeteren på reidstegningen er 10 cm. Aschehoug Side 3 v 38

33 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve Vi gjør om den virkelige lengden til centimeter. 73,5 km 73, cm cm lengden på tegningen Målestokken lengden i virkeligheten 4,5 4,5 : 4,5 1 M : 4, Krtet er tegnet i målestokken 1 : Oppgve Bredden v huset er 46 mm på tegningen og 6900 mm i virkeligheten. lengden på tegningen Målestokken lengden i virkeligheten : 46 1 M : Areidstegningen er lget i målestokken 1 : 150. Oppgve Lengden v frimerket er c. 7 cm på ildet. lengden på tegningen Målestokken lengden i virkeligheten 7 7 : 3,5 M 3,5 3,5 : 3,5 1 Frimerket er vildet i målestokken : 1. Oppgve Målestokken 1 : etyr t 1 cm på krtet tilsvrer cm i virkeligheten. Krtet er ltså en forminskning v virkeligheten. 1 cm på krtet tilsvrer cm i virkeligheten cm (5 000 :100) m 50 m 1 cm på krtet tilsvrer 50 m i virkeligheten. c 1 km er det smme som cm cm. 1 cm i virkeligheten tilsvrer cm på krtet km i virkeligheten tilsvrer 4 cm på krtet. Oppgve 4.10 Målestokken er 1 : Det etyr t 1 cm på krtet tilsvrer cm i virkeligheten ,1 cm cm ( :100) m 765 m Avstnden mellom postene er 765 m i virkeligheten. Aschehoug Side 33 v 38

34 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 Avstnden (i luftlinje) mellom A og B er,8 cm på krtet og 6,4 km i virkeligheten. Vi gjør om den virkelige lengden til centimeter. 6,4 km 6, cm cm lengden på tegningen Målestokken lengden i virkeligheten,8,8 :,8 1 M :, Målestokken er 1 : Vi forenkler veien fr A til C som vist på figuren. Avstnden på krtet er 0,8 cm + 1, cm, 0 cm. 1 cm på krtet tilsvrer cm i virkeligheten ,0 cm cm ( : ) km 4,58 km Avstnden lngs veien fr A til C er c. 4,58 km. Ingun jogger med gjennomsnittsfrten 10 km/h. 4,58 km 0,458 timer 10 km/h 0, 458 timer 0, minutter 7, 48 minutter Ingun vil ruke c. 7 minutter fr A til C. Oppgve 4.13 Lengden på tegningen er 0 % v lengden i virkeligheten. lengden på tegningen Dette kn vi skrive som 0 %. Målestokken er ltså 0 %. lengden i virkeligheten 0 0 : 0 1 M 0 % : 0 5 Målestokken er 1 : 5. Oppgve cm på det første krtet tilsvrer cm i virkeligheten ,0 cm cm Avstnden mellom turistttrksjonene er cm 1, km i virkeligheten. På det ndre krtet er vstnden 4,0 cm. lengden på tegningen Målestokken lengden i virkeligheten 4,0 4,0 : 4,0 1 M : 4, Målestokken på det ndre krtet er 1 : Aschehoug Side 34 v 38

35 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.15 Høyden v et A4-rk er 97 mm, og høyden v et A3-rk er 40 mm. I forstørrelsen til Signe svrer ltså 40 mm i «tegningen» til 97 mm i «virkeligheten». lengden på tegningen Målestokken lengden i virkeligheten : 97 1,414 M : 97 1 Forstørrelsen på A3-rket er tegnet i målestokken 1,414 : 1. Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med dm 3 10 cm 30 cm Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med ,6 m 8,6 100 cm 860 cm c Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med mm (385 :10) cm 38,5 cm Oppgve Tykkelsen v smykket er (1, 0 ± 0,1) mm. Den solutte usikkerheten er d 0,1 mm. 0,1 100 % 0,1 100 % 10 % 1, 0 Den reltive usikkerheten er 10 %. Aschehoug Side 35 v 38

36 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 3 Vi velger to pr v tilsvrende sider. AB og EF BC og DE Så setter vi forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. AB BC EF DE Vi setter AB x cm. x x x 1 x 1 Lengden v AB er 1 cm. Oppgve 4 Vi ruker overslgsregning. Dimeteren på sykkelhjulet er 70 cm 0,7 m. Omkretsen v sykkelhjulet er omtrent Oπd 3 0,7 m,1 m Avstnden fr Trondheim til Oslo er 54 mil m m Vi ytter ut med , og,1 med ,1 Sykkelhjulene kommer til å rotere c gnger. Oppgve 5 Vi setter redden v kkeftet lik x dm og ruker pytgorssetningen x x 5 9 x 16 x 16 x 4 x Omkretsen v kkeftet er dermed 4 dm + 3 dm + 5 dm 1 dm 10 cm. Hver Non Stop hr en dimeter på c. 1 cm. Mri trenger derfor c. 10 Non Stop. Aschehoug Side 36 v 38

37 Løsninger til oppgvene i ok Del Med hjelpemidler Oppgve 6 Vi setter lengden v AC lik x cm og ruker pytgorssetningen. 5, x + 3, 7 7,04 x + 13,69 7,04 13,69 x 13,35 x 13,35 x 3, 65 x Lengden v AC er 3,7 cm. Trekntene ABC og CDE er rettvinklede, og de hr vinkel C felles. D er også B CDE. Trekntene er derfor formlike. Vi velger to pr v tilsvrende sider. CD og BC DE og AB Så setter vi forholdet mellom tilsvrende sider lik hverndre. CD DE BC AB Vi setter lengden v CD lik y cm. y,0 5, 3, 7 y 5,,0 5, 5, 3, 7,0 5, y 3, 7 y,81 Lengden v CD er,8 cm. Dermed er AD AC CD 3, 65 cm,81 cm 0,84 cm 0,8 cm. Oppgve 7 1 mile 1609 m 1 D er 1 m miles Når vi gjør om 1 norsk mil til meter, går vi fire hkk mot høyre. Altså er 1 mil m m mil miles miles 6, 15 miles Én norsk mil tilsvrer 6,15 miles. Aschehoug Side 37 v 38

38 Oppgve 8 Figuren er stt smmen v en rettvinklet treknt og en kvrtsirkel. Treknten hr høyde 0,5 m og grunnlinje 0,75 m 0,5 m 0, 5 m. Kvrtsirkelen hr rdius 0,5 m. Vi finner hypotenusen h i treknten. h 0, 5 + 0,5 h 0,315 h 0,315 h 0,559 Hypotenusen i treknten er 0,559 m. Lengden v uen i kvrtsirkelen er 1 4 π 0,5 m 0,785 m. Dermed lir omkretsen v figuren 0, 75 m + 0, 785 m + 0,559 m,1 m. Oppgve 9 Løsninger til oppgvene i ok På krtet er det 3, cm fr Flostd til Solfjellsjøen. 1 cm på krtet tilsvrer cm i virkeligheten , cm cm Vi gjør om til kilometer. D går vi fem hkk mot venstre, og vi deler derfor med cm ( : ) km 18,4 km Det er c. 18 km i luftlinje fr Flostd til Solfjellsjøen. Vi tenker oss t veien estår v noen få rette veistykker. Så måler vi på figuren, og tr hele tiden med litt «ekstr» siden veien i virkeligheten er svingete. 0,6 + 0,7 + 1,1 + 0,6 +,0 + 1,0 + 0,9 + 0,3 7, Veilengden på krtet er c. 7, cm , cm cm Vi gjør om til mil. D går vi seks hkk mot venstre, og vi deler derfor med cm ( : ) mil 4,14 mil Odd og John må sykle c. 4 mil. c I virkeligheten er det 18,4 km cm i luftlinje fr Flostd til Solfjellsjøen. lengden på krtet Målestokken lengden i virkeligheten 4,5 4,5 : 4,5 1 M : 4, Krtet er tegnet i målestokken 1 : Aschehoug Side 38 v 38