( ) ( ) DEL 1 Uten hjelpemidler. x x x x. Oppgave 1. Vi deriverer med produktregel: Vi deriverer kjerneregelen: Vi velger u = x 3 som kjerne.

Transkript

1 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 3 ( ) = f f = ( ) 6 5 b c g ( ) = e Vi deriverer med produktregel: g ( ) = e + e = e + e ( ) ( ) h ( ) = 3 Vi deriverer kjerneregelen: Vi velger u = 3 som kjerne. h ( ) = u 1 u = og u = u 1 h ( ) = ( u) u = = 3 3 Oppgve ( 3) 1( 3) 5( + 3) + + ( + 3)( 3) ( + 3)( 3) ( 3)( + 3) = ( + 3)( 3) ( + 3) = = = ( + 3)( 3) ( + 3)( 3) 3 Aschehoug Side 1 v 15

2 b ( 3 b ) ln 3ln b ln 3 ( b ) b 3ln 3 ( b ) ( b ) = ln + ln 3 ln ln = 3ln + ln b 3ln b+ 3 ln = 6ln + 4ln b 3ln b+ 6ln = ln b Oppgve 3 AB = ( 1), 1 6 = 3, 5 [ ] [ ] AC = [ 4 ( 1),4 6] = [ 5, ] b AB + CD = 0 (, ) Vi setter D = y CD = 4, y 4 Det gir [ ] Vi kn d sette opp 3, 5 + 4, y 4 = 0,0 3+ 4= 0 5+ y 4= 0 = 1 y = 9 D = (1, 9) [ ] [ ] [ ] Oppgve 4 P 3 ( ) = P = () 3 6 P = P ( ) = 1 1 P ( ) = = 0 = 1 ( ) 6 1 P ( ) skifter fortegn for = 1. 3 P (1) = = 6 + 6= 0 D er ( 1,0 ) vendepunkt på grfen til P. b Siden P (1) = 0 vet vi t divisjonen P ( ) : ( 1) går opp. Aschehoug Side v 15

3 ( ) + = :( 1) D hr vi ( ) = 4 6 ( 1) = ± = ( 4) ( 4) 4 ( 6) 4 ± 64 4 ± 8 = = = = 4 4 = 1 = 3 D kn vi sette P ( ) = ( 1)( + 1)( 3) c 3 e 6e e + 6 = 0 Vi smmenlikner denne likningen med P() og ser t hvis vi ersttter med e kn denne likningen omformes til e 1 e + 1 e 3 = 0 Det gir e 1= 0 e = 1 = ln1 = 0 e + 1= 0 = 1 Ingen løsning siden e e e 3= 0 e = 3 = ln 3 L = {0, ln 3} ( )( )( ) > 0 for lle verdier v Aschehoug Side 3 v 15

4 Oppgve = = 4,5 y = = 3,5 D D = = y = =,5 E D = = 3,5 y = = 1 F D b AT = s AD fordi punktet T ligger på AD BT = t BE fordi punktet T ligger på BE Det gir AT = AB + BT = AB + t BE c AB = [ 6 1, 0] = [ 5,] AD = [ 4,5 1,3,5 0] = [ 3,5,3,5] BE = [ 6,,5 ] = [ 4, 0,5] Vi kn d sette opp D = ( 4,5,3,5) E = (,,5) F = ( 3,5, 1) Aschehoug Side 4 v 15

5 s AD = AB + t BE [ 3,5,3,5] [ 5,] t [ 4,0,5] s = + 1: 3,5s = 5 4t :3,5= + 0,5t 5 4t = + 0,5t 4,5t = 3 t = 3 Innstt i 1 gir dette 8 3,5s = ,5s = ,5s = 7 s = 3 Vi setter T = (, y) AT = [ 1, y] 7 7 AT = [ 3,5, 3,5 ] =, [ 1, y] =, = y = = y = Det gir T =, 3 3 Oppgve 6 Vi definerer følgende hendelser og snnsynligheter: F: forkstes PF ( ) = 8 % = 0,08 F : forkstes ikke PF ( ) = 9 % = 0,9 D: defekt PD ( F ) = % = 0, 0 D : ikke defekt PD ( F ) = % = 0, 0 Setningen om totl snnsynlighet gir PD ( ) = PF ( ) PD ( F) + PF ( ) PD ( F) = 0,08 0,9 + 0,9 0,0 = 0,9(0,08 + 0,0) = 0,9 0,10 = 0,09 = 9, % Det er ltså 9, % snnsynlighet for t en tilfeldig lyspære er defekt. Aschehoug Side 5 v 15

6 b Byes setning gir PF ( ) PD ( F) 0,08 0,9 PF ( D) = = = 0,80 = 80, 0 % PD ( ) 0,09 Snnsynligheten for t en defekt lyspære blir forkstet er 80,0 %. Oppgve 7 Vinkelhlveringslinjene er AS, BS og CS. Siden C = 90 er SCF = FSC = 45. D er FC = SF = r. Det gir = BF + FC = BF + r Siden C = 90 er CSD = SCD = 45. D er DC = SD = r. Det gir b = AD + DC = AD + r b c = AE + BE D kn vi sette opp + b c = BF + r + AD + r ( AE + BE) = r + ( BF + AD) ( AE + BE) = r + ( BE + AE) ( AE + BE) = r c d BC AC b 1 T= = = b T = A + A + A ABS BCS ACS T= cr + r + br 1 T = r ( + b+ c) Vi kn sette opp 1 1 b= r ( + b+ c) Fr punkt b r = + b c ( + b c) r = Det gir 1 1 b= r ( + b+ c) Vi multipliserer med på begge sider og får d b= r ( + b+ c) Aschehoug Side 6 v 15

7 + b c b= ( + b+ c) 1 b = + b + c + b + b + bc c bc c 1 b = ( + b + b c ) b = + b + b c b = c + b = c ( ) ABC er rettvinklet og vi hr utledet Pytgors setning. Aschehoug Side 7 v 15

8 DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tilltt, med unntk v Internett og ndre verktøy som tillter kommuniksjon. Oppgve 1 Trekningen skjer uten tilbkelegging, så vi hr en hypergeometrisk snnsynlighetsfordeling: 4 48 ( )( ) P(Du trekker nøyktig tre kort med verdien 10) = 3 ( ) 5 5 Vi bruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGebr eller CAS: b Snnsynligheten er 0, 0017 = 0,17 % for å trekke nøyktig tre kort med verdi 10. Vi kn trekke tre enere, tre toere osv. Hver frge hr 13 kort. Det gir 0, = 0,03 =,3 % Snnsynligheten er 0, 03 =,3 % for å trekke nøyktig tre kort med smme frge. Aschehoug Side 8 v 15

9 c Vi hr en ny hypergeometrisk snnsynlighetsfordeling: ( )( ) P(lle kortene du trekker hr smme frge) = 5 ( ) Vi løser tilsvrende som i oppgve : Snnsynligheten er ltså 0, 00 = 0, 0 % for t lle kortene hr smme frge. Oppgve Vi tegner med grftegner i GeoGebr ved å bruke kommndoen Kurve[ <Uttrykk>, <Uttrykk>, <Prmetervribel>, <Strt>, <Slutt> ]: b vt r t t t t () = v () t =,6t () = () =,3 1 [ ] Aschehoug Side 9 v 15

10 c Den minste bnefrten til prtikkelen er 0,94 for t = 1 og for t = Aschehoug Side 10 v 15

11 Oppgve 3 Pytgors gir: BC + AC = AB y + = 7,0 y =± 49 y = 49 Vi setter BC lik y m. y > 0 Arelet v treknt ABC er: AC BC AB CD = Dette gir: 49 7 d d = = 49 7 b Toppunktet på d gjør t d blir lengst mulig. Vi finner toppunktet med grftegner eller CAS: Med kommndoen Ekstremlpunkt[ <Funksjon>, <Strt>, <Slutt> ] finner vi toppunktet (4,95, 3,5). Aschehoug Side 11 v 15

12 d blir lengst når 7 7 = 4,95. D er d =. Aschehoug Side 1 v 15

13 Oppgve 4 b (4,3) A = Vi tegner grfen til f og tegner en tngent til f gjennom A. Se figuren nedenfor. Aschehoug Side 13 v 15

14 c Stigningstllet til tngenten er gitt ved y 3 f( ) f( ) 3 f ( ) = = = 4 4 Ved å løse denne likningen kn vi finne -koordinten til tngeringspunktene. Likningen for de tre tngentene er d 1 y = + 1 ( ) ( ) y = y = Aschehoug Side 14 v 15

15 eller y = 0,5+ 1 y = 0,91 0, 6 y = 117, ,38 d Vi bytter ut punktet A med P (, b) =. Vi kn d sette opp følgende likning for å finne -koordinten til tngeringspunktene. y 3 f( ) f( ) b f ( ) = = = 4 f( ) b = f ( ) f( ) b f ( ) ( ) = 0 Uttrykket i CAS kn omformes til 3 4 (6 + 6) b = 0 Denne tredjegrdslikningen hr mksimlt tre løsninger. Det mksimle ntll tngenter grfen til f kn h er tre. Aschehoug Side 15 v 15