R1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka

Transkript

1 Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn ltså lge forskjellige femsifrede tll med de fem nummererte lppene. Oppgve Dette er et inomisk forsøk der de fire skålene utgjør fire uvhengige delforsøk. I hvert delforsøk er snnsynligheten for å velge en rød Non Stop 6, og snnsynligheten for å velge en lå Non Stop er 6. Snnsynligheten for å velge én rød Non Stop er derfor PX ( = 1) = 1 = = = Snnsynligheten for å velge to røde Non Stop er 1 1 : 8 PX ( = ) = 6 = = = = = : 7 Oppgve Det er to terninger, den vnlige (V) og den med feil (F). Det er like snnsynlig å velge hver v terningene, P(V) = P(F) = P(V) = 1. For den vnlige terningen er P (6 V) = 1 6. For terningen med feil er P (6 V) = 1. Fr setningen om totl snnsynlighet får vi dermed P(6) = P(V) P(6 V) + P(V) P(6 V) = + = + = = Snnsynligheten for å få en sekser er 1. Vi ruker Byes' setning: P(V) P(6 V) P(V 6) = = = = = = P(6) Snnsynligheten for t vi kstet med den vnlige terningen, gitt t vi fikk en sekser, er 1. Aschehoug Side 1 v 6

2 Oppgve Antll måter vi kn velge to FOX fr en mengde på fire: Løsninger til oppgvene i ok = = = Antll måter vi kn velge én NOX fr en mengde på to: Antll måter vi kn velge tre krmeller fr en mengde på 6: 6 6 Formelen for hypergeometrisk snnsynlighet gir dermed ( 1) : PX ( = ) = = = = = : 5 Snnsynligheten for å velge nøyktig to FOX er 5. Antll måter vi kn velge tre FOX fr en mengde på fire er ( 0) 1 1 PX ( = ) = = = = ( ) Snnsynligheten for å velge nøyktig tre FOX er 1 5. P 65 = = = = 0! 1 6 =. c 1 PX ( ) = PX ( = ) + PX ( = ) = + = Snnsynligheten for å velge minst to FOX er 5. Oppgve 5 Vi ruker ddisjonssetningen: PA ( B) = PA + PB PA ( B) PA ( B) = PA + PB PA ( B) = 0, 0 + 0,60 0,76 = 0, Så ruker vi formelen for etinget snnsynlighet: PA ( B) 0, :1 PAB ( ) = = = = = = 0, 0 PB 0, :1 5 Vi ser t PAB ( ) = PA. Hendelsene A og B er derfor uvhengige. Aschehoug Side v 6

3 Løsninger til oppgvene i ok Del Med hjelpemidler Oppgve 6 Vi skiller mellom to hendelser, nemlig t kvinnen er grvid (G), og t testen viser t hun er grvid (T). I oppgven er det opplyst t PT ( G ) = 99 %, PT ( G ) = % og PG = 0 %. Altså er PG = 80 %. Vi ruker setningen om totl snnsynlighet. PT = PG PT ( G) + PG PT ( G) = 0,0 0,99 + 0,80 0,0 = 0,1 = 1, % Snnsynligheten for t testen indikerer t kvinnen er grvid, er 1, %. Vi vil finne den etingede snnsynligheten PG ( T ), og ruker d Byes' setning. PG PT ( G) 0, 0 0,99 PG ( T) = = = 0,95 = 9,5 % PT 0,1 Snnsynligheten for t kvinnen er grvid, når grviditetstesten er positiv, er 9,5 %. Oppgve 7 Vi skl velge 15 rom fr de 19 tilgjengelige rommene. Rekkefølgen hr etydning, ltså hvilken gruppe som hvner i hvilket rom. Antll mulige ordnede utvlg er d 19 P 15 = = Avdelingslederen kn fordele gruppene på forskjellige måter. De 15 gruppene kn ordnes i rekkefølge på 15! forskjellige måter. 15! = = Avdelingslederen kn fordele gruppene på forskjellige måter. Oppgve 8 For hver fødsel er snnsynligheten 99 % for t det ikke er tvillinger. 00 PX= ( 0) = 0,99 = 0,10 1, % Snnsynligheten for t det ikke lir født noen tvillingpr er 1, %. Vi ruker formelen for inomisk snnsynlighet PX= ( ) = 00 0, 01 0,99 = , 01 0,99 = 0, 70 7, % Snnsynligheten for t det lir født nøyktig to tvillingpr er 7, %. 1 c PX 00 ( 1 ) 199 ( 1) 0, 01 0,99 0, 707 = = = PX ( 1) = PX ( = 0) + PX ( = 1) = 0,10 + 0, 707 = 0, 07 0,5 % Snnsynligheten for t det lir født høyst ett tvillingpr er 0,5 %. d PX 00 ( ) 197 ( ) 0, 01 0,99 0,181 = = = PX ( ) = PX ( = 0) + PX ( = 1) + PX ( = ) + PX ( = ) = 0,10 + 0, , ,181 = 0,8581 Hendelsene «minst fire tvillingpr» og «høyst tre tvillingpr» er komplementære. Dermed er PX ( ) = PX ( ) = 1 PX ( ) = 1 0,8581 = 0,119 1, % Snnsynligheten for t det lir født minst fire tvillingpr er 1, %. Aschehoug Side v 6

4 Oppgve 9 1 Antll måter vi kn velge to defekte komponenter fr mulige: ( ) Antll måter vi kn velge 18 fungerende komponenter fr 90 mulige: Antll måter vi kn velge 0 komponenter fr 0 mulige: 0 0 Formelen for hypergeometrisk snnsynlighet gir dermed 90 ( 18) PX ( = ) = = 0,18 = 1,8 % 0 ( 0 ) Snnsynligheten for t to v komponentene er defekte, er 1,8 %. PX ( ) = PX ( = 0) + PX ( = 1) + PX ( = ) = + + = 0,681 = 68,1 % Snnsynligheten for t høyst to v komponentene er defekte, er 68,1 %. PX ( ) = PX ( = 0) + PX ( = 1) + PX ( = ) + PX ( = ) = = 0, PX ( ) = PX ( ) = 1 PX ( ) = 1 0,890 = 0,1 = 11, 0 % Snnsynligheten for t minst fire v komponentene er defekte, er 11,0 %. Løsninger til oppgvene i ok Tenk t det er x defekte komponenter i pkningen. Snnsynligheten for t minst fire v de kontrollerte komponentene er defekte, er d gitt ved funksjonen x 0 x x 0 x x 0 x x ( 18 ) ( ) x ( 17 ) f( x) = 1 ( x 80) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) Vi velger noen verdier v x, og regner ut f( x ) med GeoGer. x f( x ) 0,1 0,19 0,19 0, 0,9 0,7 0,0 0,56 0,508 Vi ser t f (1) = 0, 9 = 9, %. Det er ltså 1 defekte komponenter i pkningen. Aschehoug Side v 6

5 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1 For hvert v de ti spørsmålene er snnsynligheten 1 = 0, 5 for t de svrer riktig. Formelen for inomisk snnsynlighet gir 7 7 PX= ( ) = 0,5 0,75 = 0,5 0,75 = 0,50 = 5,0 % Snnsynligheten for å få nøyktig tre riktige svr er 5,0 %. PX ( ) = PX ( = 0) + PX ( = 1) + PX ( = ) + PX ( = ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) ( ) = 0, 5 0,75 + 0, 5 0,75 + 0, 5 0,75 + 0, 5 0,75 = 0, PX ( ) = PX ( ) = 1 PX ( ) = 1 0, 776 = 0, =, % Snnsynligheten for å få minst fire riktige svr er, %. Hendelsen «minst sju gle svr» er det smme som «høyst tre riktige svr». I oppgve. fnt vi t PX ( ) = 0,776 = 77,6 %. Snnsynligheten for å få minst sju gle svr er ltså 77,6 %. Tenk t klsse B vet svret på x spørsmål. D må de gjette svret på x spørsmål. Vi vil vite snnsynligheten for t de får minst ni riktige svr, ltså t de svrer feil på 0 eller 1 spørsmål. Snnsynligheten for å tippe feil på 0 eller 1 v ( x) spørsmål er gitt ved x x 0,75 0, 5 x x f x = + 0,75 0, = 0,5 + ( x) 0,750,5 Vi regner ut f( x ) for noen verdier v x. x 9 x x f( x ) 0,005 0,016 0,051 0,156 0,8 1 Vi ser t f (7) = 0,156 = 15,6 %. Lget vet ltså svret på 7 v spørsmålene. Oppgve 11 Brnet får sykdommen hvis det får genutgven fr egge foreldrene. For hver v foreldrene er snnsynligheten 50 % for t rnet rver genutgven. Snnsynligheten for t rnet får sykdommen er derfor 0,50 = 0, 5 = 5 %. Snnsynligheten for t hvert enkelt rn ikke får sykdommen, er 75 %. 0,75 = 0,565 56, % Snnsynligheten for t ingen v de to rn får sykdommen, er 56, %. c Vi ser på hendelsene B = «kvinnen er ærer» og S = «rnet får sigdcellenemi». D vet vi t PB = 8 % og PB = 9 %. Hvis moren ikke er ærer v sykdommen, så kn heller ikke rnet få sykdommen (men rnet kn li ærer hvis det rver -genet fr fren). Altså er PS ( B ) = 0. Hvis moren er ærer v sykdommen, så er ltså egge foreldrene ærere. D fnt vi i oppgve t PS ( B ) = 5 %. Setningen om totl snnsynlighet gir dermed PS = PB PS ( B) + PB PS ( B) = 0,08 0, 5 + 0,9 0 = 0,0 = % Snnsynligheten er % for t et rn pret får, vil lide v sigdcellenemi. Aschehoug Side 5 v 6

6 Løsninger til oppgvene i ok d Spørsmålet om hvert v de to rn får sykdommen eller ikke, er ikke uvhengige hendelser, siden det vhenger v om moren er ærer v sykdommen eller ikke. Vi må i stedet dele opp spørsmålet på smme måte som i oppgve c, og ruke resulttet fr oppgve. Vi ser på hendelsen I = «ingen v de to rn får sykdommen». Fr oppgve vet vi t PI ( B ) = 56,5 %. Hvis moren ikke er ærer, så vet vi t ingen v rn får sykdommen, PI ( B ) = 1. PI = PB PI ( B) + PB PI ( B) = 0,08 0, ,9 1 = 0,965 = 96,5 % Snnsynligheten for t ingen v rn vil lide v sykdommen, er 96,5 %. e Vi vil finne den etingede snnsynligheten PB ( I ), og ruker d Byes' setning. PB PI ( B) 0,080,565 PB ( I) = = = 0,07 =,7 % PI 0,965 Snnsynligheten for t moren er ærer v sykdommen, når pret hr to friske rn, er,7 %. Aschehoug Side 6 v 6