MAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).

Transkript

1 MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense mellom grfer v funksjoner. Vi skl utnytte Mple til å prøve å oppnå en edre forståelse v egrepet ved å illustrere relsjonen mellom estemte integrler og Riemnn summer, nvende nlysens fundmentle sts på et pr eksempler og se litt på hvordn mnge estemte integrler kn pproksimeres numerisk med reltivt god presisjon. Før vi gjør dette, skl vi for ordens skyld gjennomgå Mple-kommndoene for integrsjon (cf. GswM kp. ). Mple er rimelig god til å finne uestemte integrler (mo til å ntiderivere) dersom disse lr seg uttrykke ved hjelp v elementære funksjoner. På den ndre siden er den veldig god til å eregne estemte integrler numerisk.. For å eregne det uestemte integrlet f( x) dx rukes kommndoen [> int ( f(x), x ) ; Når Mple ikke klrer å finne en ntiderivert v f(x) returneres re f( x) dx. Ellers oppgir Mple re en ntiderivert for f(x) : den tr ikke med en integrsjonskonstnt i svret. L oss f. eks eregne x ( x ) x 4 + dx (som er gnske tidkrevende å eregne for hånd): > f:=x->x^*(-x)/(x^4+); > int(f(x),x); 4 ln x x + x + x + f := x x ( x) x rctn ( x + ) rctn ( x ) 4 ln ( x 4 + ) Vi ør jo stole på t Mple regner riktig, men l oss sjekke t dette svret virkelig er en ntiderivert v f(x) = x ( x ) x 4 : + Pge

2 > diff(%,x); 4 x x + x + x + + ( x ) x 4 + ( x x + ) ( x + ) ( x + x + ) ( x + x + ) x x ( x + ) Dette svret likner ikke helt på f(x), så vi omformer det: > fctor(%); ( + x) x ( x + x + ) ( x x + ) At uttrykket ovenfor er det smme som f(x) følger v t dets nevner er det smme som x 4 +. Dette kn vi sjekke ved > expnd(denom(%)); # OBS: denom(%) ngir nevneren i %! x 4 + I dette eksemplet hdde vi ikke trengt å definere funksjonen f(x) først : det hdde vært nok å ruke uttrykket som eskriver f(x). L oss nå e Mple om å prøve å eregne sin( x ( x) ) dx : > int(sin(x^*(-x)),x); sin( x ) d ( x) x Legg merke til hvor (reltivt) lng tid Mple ruker før den svrer ved å returnere integrlet tilke: den prøver gjennom hele sitt repertor før den gir opp!. Til å eregne det estemte integrlet f( x) dx rukes kommndoen [> int( f(x), x =.. ); F. eks. kn vi eregne x ( x ) dx ved x Pge

3 > int(x^*(-x)/(x^4+), x = 0..); 4 ( ) 4 ( ) ( rctn ( ln( 7 ) 4 og vi kn d få svret ut på desimlform ved > evlf(%); Vi kunne også h skrevet direkte > evlf(int(x^*(-x)/(x^4+), x = 0..)); eller vi kunne h oppgitt en v integrsjonsgrensene på desimlform: > int(x^*(-x)/(x^4+), x = 0...0); L oss prøve å eregne sin( x ( x) ) dx ved disse tre lterntive måter: 0 > int(sin(x^*(-x)),x =0..); sin( x ) d ( x) x > evlf(int(sin(x^*(-x)),x =0..)); > int(sin(x^*(-x)),x =0...0); sin( x ( x) ) dx I første og tredje lterntiv forsøker Mple å finne en ntiderivert, gir opp, og returner re det estemte integrlet tilke. I det ndre lterntivet returnerer Mple et desimltll som svr. Dette er fordi Mple d velgerå finne et pproksimtivt svr ved å nvende en vnsert metode for såklt numerisk integrsjon. Vi skl se litt på en enkel metode for numerisk integrsjon litt senere i øvelsen. Vi oppsummerer dette slik: Til å eregne f( x) dx ved numerisk integrsjon rukes kommndoen [> evlf( int( f(x), x =.. )); Pge 3

4 L oss eregne A = > A =int(ln(x), x=..4.0); > A = evlf(int(ln(x), x=..4)); 4 ln( x) dx på desimlform ved å ruke egge måtene: A = I = Som vi ser er det en miniml forskjell mellom disse to svrene. Det ndre svret eregnes direkte ved numerisk integrsjon. Under utførelsen v den første kommndoen eregner Mple først en ntiderivert F(x) v f(x) = ln(x) (som du lett kn eregne selv ved delvis integrsjon). Deretter ruker Mple nlysens 4.0 fundmentlsts, som her sier t ln( x) dx = F( 4.0 ) F( ), og den regner til slutt dette svret om til desimlform. Vi kunne h utført trinnene i denne prossessen slik: > F:=int(ln(x),x); F := x ln( x) x > sus(x=4.0,f)-sus(x=,f); > A = evlf(%); 4.0 ln( 4.0 ) 3.0 ln( ) A = Vi kn forøvrig lett sjekke her t det oppgitte uttrykket F er en ntideriverte v ln(x) ved > diff(f,x); ln( x) I Mples studentpkke "student", som du kn lste ned ved å utføre kommndoen [> with( student): finnes det l.. egne kommndoer for å utføre sustitusjon eller delvis integrsjon i integrler. Disse kommndoene skl vi ikke ruke tid på her (du kn lese om dem i GswM hvis du vil): poenget er t mn ør først li fortrolig med hvordn disse metodene utføres for hånd, ikke re med tnke på eksmen, men også med tnke på senere nvendelser v disse viktige metodene i ndre kurs. Ofte vil de gjøre det mulig å omformulere et prolem til et nnet som kn løses, for hånd eller ved hjelp v Mple. Oppgve Pge 4

5 ) Finn x + dx og A = x tn( v) ) Finn dv og B = + cos( v) 4 9 x + x 0 π 3 dx ved hjelp v Mple. tn( v ) + cos( v ) dv ved hjelp v Mple. c) Angi A og B på desimlform ved å ruke tre forskjellige måter. Merknd: Integrlene i ) og ) lr seg regne ut for hånd uten lt for store prolemer, men det tr litt tid. Prøv gjerne det en gng du hr tid! 3. Vi skl nå se på relsjonen mellom det estemte integrlet v en (integrerr) funksjon f(x) på et intervll [,] og noen v Riemnnsummene som kn tilordnes f(x) og en prtisjon v [,]. For enkelhets skyld skl vi re etrkte regulære prtisjoner, dvs t vi deler opp intervllet [,] i et visst ntll n like lnge delintervller [ x i, x i ]. Lengden på hvert delintervll klles "skritt-lengden" og er lik = n. Hvert delepunkt x i er d gitt ved x i = + i, for i = 0,,..., n. Til ethvert vlg v tll c i i intervllet [ x i, x i ] for i =,..., n, kn vi nå definerere følgende Riemnnsum n i = R = f( c i ) = n n i = f( c i ) Dersom funksjonen f(x) er integrerr på [,] (f. eks. dersom f er kontinuerlig på [,]) og tllet n er stort nok, så vil R være en tilnærmelse v integrlet A = f( x) dx, unsett vlg v tllene c i. Dette er noe løst formulert, men holder til vårt formål i denne øvelsen. I smme løse stil kn mn si t f(x) er integrerr på [,] dersom dette lltid er tilfellet, unsett vlg v prtisjon og v tllene c i. Den geometriske tolkningen v R når repeterer det llikevel. 0 f( x ) på [,] er viktig og velkjent, men vi L oss dnne et rektngel over hvert delintervll [ x i, x i ] med høyde f(c i ). Dette rektnglet hr rel lik f( c i ). Summen v relene v lle n rektnglene vi kn dnne på denne måten vil gi oss nettopp R. Skisserer mn dette ser mn t R vil være Pge 5

6 en tilnærmelse for relet v området som egrenses v grfen til f(x) rett over intervllet [,]. Det er derfor nturlig å tolke A = f( x) dx som verdien v dette relet. Et eksempel på hvordn tllene c i kn velges er når hver c i velges som venstre-endepunkt i intervllet [ x i, x i ], m..o. t vi velger c i = x i = + ( i ), for i =,..., n. Den tilhørende Riemnnsummen L(n) vi d får vhenger v n og er gitt ved L(n) = n i = f( c i ) = n i = f ( + ( i ) ) der = n er skrittlengden. Vi skl nå illustrere dette, og vi trenger d først å lste ned Mple's "student"- pkke : > with(student): Der finnes tilgjengelig kommndoen [> leftox( f(x), x=.., n ); Denne kommndoen tegner opp grfen til f(x) over [,] smt lle rektnglene som kommer frem når vi deler opp [,] i n like delintervller og velger nettopp c i -ene som venstre-endepunkt i hvert delintervll. L oss prøve denne kommndoen på f( x ) = x ( x ) x 4 + og [,] = [0,]. Funksjonen f(x) hr vi definert tidligere i øvelsen, så vi kn utføre "leftox"- kommndoen med f.eks. n = 0 slik: > leftox(f(x),x=0..,0); Pge 6

7 Figuren tler i grunnen for seg selv. Riemnnsummen L(0) er summen v relet v rektnglene vi nå ser. 0 Med = 0 og = er = =, så med n =0 lir = n n 0 = = 0., noe vi 5 ser stemmer overens med skrittlengden i delintervllene som kommer frem ovenfor. Riemnnsummen L(0) kn vi få frem ved å ruke formelen for L(n) med n = 0 i følgende kommndo: > L0 := (/5) * Sum( f( (/5)*(i-) ),i=..0); L0 := 5 0 i = 5 i i + 5 i 4 5 og vi kn så få den eregnet på desimlform ved > evlf(%); Dette er fktisk gnske nær verdien v A = 0 f( x) dx ( som vi hr eregnet før): > A:= int(f(x),x=0...0); A := I student-pkken finnes ferdig lget kommndoen [> leftsum(f(x),x=..,n); for å få frem L(n). Pge 7

8 Så for å frem L(0) i vårt eksempel hdde vi re trengt å utføre > leftsum(f(x),x=0..,0); 5 9 i = 0 5 i 5 i + 65 i4 Denne summen ser litt nnerledes ut enn den vi fikk frem på egen hånd, men det eror i t Mple hr forskjøvet summsjonsindeksen i med og gjort litt om på uttrykkene. Summen lir det smme som vår: > evlf(%); Vi kn forøvrig også få frem den ekskte verdien v summen ved > vlue(leftsum(f(x),x=0..,0)); Oppgve Vi etrker fremdeles smme f(x) på [0,]. Illustrer Riemnnsummen som kommer frem når vi nå velger n=50 (og c i -ene til å være venstre-endepunktene). Beregn L(50) og smmenlikn det med A. 4. Det er klrt t vi også kn velge c i -ene til å være lle høyre-endepunktene i hvert delintervll, eller til å være lle midtpunktene i hvert delintervll. Mple viser disse lterntivene frem ved h.h.v kommndoene [> rightox( f(x), x=.., n ); og [> middleox( f(x), x=.., n); De tilhørende Riemnnsummene, som vi kn etegne med h.h.v. R(n) og M(n), fåes frem ved kommndoene [> rightsum( f(x), x=.., n ); og [> middlesum( f(x), x=.., n ); L oss ruke "midtpunkt"-vrinten på vårt eksempel, igjen med n=0: > middleox( f(x), x = 0.., 0 ); Pge 8

9 Vi kn eregne Riemnnsummen M(0) på desimlform ved > M0 := evlf( middlesum(f(x), x = 0.., 0) ); M0 := Denne summen er nærmere verdien v A enn L0 vr, noe som er et vnlig fenomen for en "norml" funksjon og lett å tippe utifr figuren(e), Dette kn vi jo sjekke ved > A; s(a-m0); Oppgve 3 Beregn "midtpunkt"-riemnnsummen M(50) og "høyre-endepunkt"-riemnnsummen R(50) (fremdeles for smme f(x) på [0,]) og smmenlikn disse verdiene med A. 5. Den enkleste måten å foret såklt "numerisk integrsjon" for å pproksimere A = f( x) dx er å eregne en v Riemnnsummene L(n), M(n) eller R(n) for en pssende stor n. Begrunnelsen for dette er jo t når f(x) er integrerr på [,], så vet vi t Pge 9

10 lim n L( n ) = lim n M( n ) = lim n R( n ) = A. Vi hr f.eks. nettopp sett i vårt eksempel t M(0) er gnske nær A: de tre første sifferne i desimlutviklingene er like. Du kn jo også sjekke hvor mnge v siffrene i desimlutviklingene for M(50) og A som er like. Oppgve 4 Prøv deg frem med forskjellige verdier v n helt til du finner et tll n slik t de syv første siffrene i desimlutviklingen for M(n) og A er like. Et prolem med disse pproksimsjonsmåtene er t vi generelt ikke vet hvor nær L(n), M(n) eller R(n) vil være A. Her hr vi dessuten tilgjengelig en verdi for A som Mple oppgir. Det ville vi knskje ikke htt dersom vi re hdde regnet for hånd. Skl en slik pproksimsjonsmetode være rukr, må vi også kunne fortelle hvor stor feil den vil kunne gi. Det finnes flere måter å foret numerisk integrsjon på der mn hr gode feilestimter tilgjengelige. Interesserte kn lese en introduksjon til dette emnet i Lindstrøms ok, vsnitt 8.6. Vi skl her ikke ekymre oss over dette med feilestimter. Ideen k flere v disse metodene er å prøve seg med en veiet kominsjon v L(n), M(n) og R(n). * Trpes metoden ruker f.eks. følgende kominsjon v L(n) og R(n): T(n) = L(n) + R(n). * Simpsons metode, som vi skl konsentrere oss om, ruker: S(n) = 6 L(n) + 3 M(n) + 6 R(n). Ideen k Simpsons metode skl vi egrunnes helt til slutt i et onus-vsnitt. Det mn ør vite er t den er veldig effektiv for en stor klsse v funksjoner. L oss først påpeke t S(n) vil være en pproksimsjon v A = f( x) dx når n er stor nok siden lim n S( n ) = 6 lim n L( n ) + 3 lim n M( n ) + 6 lim n R( n ) Pge 0

11 = 6 A + 3 A + 6 A = A. Deretter går vi tilke til vårt eksempel og sjekker f.eks. t S(0) virkelig gir en god pproksimsjon v A. Vi lger likegodt først et generell oppsett for å eregne S(n). Siden vi gjerne vil ruke oppsettet på flere eksempler senere, ruker vi nvnet g(x) for den generelle funksjonen som inngår i kommndoene under. > L:= leftsum(g(x),x=..,n): M:= middlesum(g(x),x=..,n): R:= rightsum(g(x),x=..,n): S:= (/6)*L + (/3)*M + (/6)*R: Vi kn nå eregne S(0) i vårt eksempel slik: > g:=f: :=0: :=: n:=0: S0:=evlf(S); S0 := Vi kn se t S(0) er en god pproksimsjon v A siden > A; For moro skyld eregner vi også S(50): > n:=50: S50:= evlf(s); S50 := Denne stemmer overens med A med 8 desimler. For ordens skyld klrgjør vi g, og : > unssign('g','',''); 6. Simpsons metode kn f. eks. rukes til å pproksimere tllet π. Utgngspunktet er følgende formel 0 dx = rctn() - rctn(0) = π + x 4 som er en enkel konsekvens v nlysens fundmentle teorem. Pge

12 . Ved å etrkte funksjonen g(x) = på [0,] og de tilhørende summene S(n) vil + x vi få frem pproksimsjoner v π. Vi kn derfor pproksimere tllet π ved å eregne 4 4 S(n) for en pssende stor n. Vi setter først > g:=x->/(+x^): :=0: :=: og pproksimerer π ved å eregne f.eks. 4 S(0) : > n:=0: P0:=evlf(4*S); P0 := Vi kn sjekke t dette er det smme som det Mple ngir for π : > evlf(pi); For å få en følelse v hvor rskt 4 S(n) nærmer seg tllet π når n vokser kn vi lge en liste estående v tllene 4 S(),..., 4 S(0): > n:='n': seq( evlf(4*s), n=..0 ); , , , , , , , , , Der ser vi t tllet 4 S(), som vi lett kunne h regnet ut for hånd, llerede ngir π med fire riktige desimler. Vi skl ikke si noe om hv som er kjent v feilestimter for Simpsons metode og hvilken klsse v funksjoner disse gjelder for: interesserte kn lese litt om det i Lindstrøms ok. Oppgve 5 Bruk t x dx = ln( ) i kominsjon med Simpsons metode til å pproksimere tllet ln(). Ikke gi deg før du klrer å få smme svr som Mple selv ngir for ln(). Pge

13 Oppgve 6 Lg et oppsett til å pproksimere estemte integrler sert på formelen T(n) = / L(n) + R(n). (Dette klles som sgt trpes-metoden). Bruk dette oppsettet til å pproksimere π og ln() (ruk f.eks. n=0 og n= 50), og smmenlikn svrene med det du fikk ved Simpsons metode. 7. Bonus-vsnitt for spesielt interesserte! Frivillig lesning! Formålet med dette vsnittet er å motivere hvorfor S(n) som rukes i Simpsons metode er definert slik det er. Dette er ikke pensum i MAT 00, og er re ttt med for de som gjerne vil h en forklring på det. Vi egynner med å se på det generelle uttrykket for S() : > unssign('g','',''); > n:=: S:=vlue(S); S := ( ) g( ) 3 ( ) g + 6 ( ) g( ) > fctor(%); 6 ( + ) g( ) g + g( ) I uttrykket for S() ovenfor inngår ikke uventet verdiene v g i, i og i midtpunktet mellom og. Det er nok ukjent for de fleste t dette utrykket ngir integrlet v g(x) fr til når g er et polynom i x v grd opptil. Dette kn vi lett sjekke med Mple: > p:=x->r*x^+s*x+t; > int(p(x),x=..); > fctor(%); p := x rx + sx+ t r ( 3 3 ) s ( ) t ( ) 6 ( + ) ( r + 3 s + r + 6 t + 3 s + r ) Uttrykket ovenfor er ltså en formel for rx + + d sx t x. At den fktisk er lik formelen for S() når g(x) = p(x) følger v følgende utregning: > g:=p: vlue(s); Pge 3

14 6 ( ) ( r + s + t ) + 3 ( ) r s + t + 6 ( ) ( r + s + t ) > fctor(%); 6 ( + ) ( r + 3 s + r + 6 t + 3 s + r ) Dette resulttet kn tolkes på følgende måte: Når en eregner S() for en generell funksjon g(x) på [,], svrer det til t en eregner integrlet fr til v polynomet p(x) v grd opptil som er estemt ved t grfen til p(x) går gjennom de tre punktene (, g() ), ( c, g( c ) ) og (, g() ), der c = + er midtpunktet mellom og. Vi hr ltså t S() = p( x) dx ( mens det vi er ute etter å eregne er A = g( x) dx ). L oss illustrere denne tolkningen på vårt eksempel f(x) = x ( x ) x 4 + over [0,]. Det er lett å innse t polynomet p(x) som går gjennom de tre punktene ( 0, f(0) ) = ( 0, 0 ), (, f() ) = (, / ) og (, f() ) = (, 0 ) er gitt ved p(x) = x x. Dette kn vi sjekke grfisk: > p:=x->x-x^/; p := x x x > plot({f(x),p(x)}, x=0..); Pge 4

15 Vi sjekker t 0 p( x) dx gir smme svr som S(): > int(p(x),x=0..); 3 > g:=f: :=0: :=: n:=: S:=vlue(S); S := 3 Ved hjelp v tolkningen v S() vi g ovenfor i det generelle tilfellet kn mn utlede følgende tolkning v S(n) ( som er den vnlige måten å innføre S(n) på ): På hvert v delintervllene [ x i, x i ] i prtisjonen v [,] i n like lnge intervller, ersttter mn g(x) med polynomet p i (x) v grd opptil som går gjennom de tre punktene (x i, g(x i ) ), ( c i, g(c i ) ) og (x i, g(x i ) ), der c i er midtpunktet mellom x i og x i. Integrerer mn fr til funksjonen som fremkommer på denne måten, gir dette nettopp uttrykket for S(n). Med litt reid kn mn innse t dette er i overenstemmelse med måten som de fleste økene ruker til å innføre Simpsons metode. Som regel "inkluderes" midtpunktene c i i prtisjonen og det er derfor vnlig å si t en strter med en prtisjon v [,] i n like lnge intervller. Pge 5

16 Oppgve 7 p( ) Sjekk t dersom p(x) er et polynom v grd opptil, så er p( x) dx = + Bruk dette til å gi geometrisk tolkning v T() for en funksjon f(x) på [,]. Gi deretter en tolkning v T(n) for en generell n. p( ). Pge 6