Fakultet for realfag Ho/gskolen i Agder - Va ren 2007

Transkript

1 Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Fkultet for relfg Ho/gskolen i Agder - V ren 2007 Integrl og integrsjon Roger Mrkussen

2 Roger Mrkussen Integrl og integrsjon Msteroppgve i mtemtikkdidktikk Høgskolen i Agder Fkultet for relfg 2007

3 Smmendrg Integrsjon og derivsjon er to viktige begreper som blir behndlet i den videregående skolen. Nesten uten unntk blir derivsjon introdusert før integrsjon. Snnsynligvis fordi mn tenker seg t derivsjon er lettest. Jeg mener integrsjon hr en enklere geometrisk tolkning enn derivsjon. Det er lettere å se for seg et rel, enn stigningen til en grf i et punkt. I den videregående skolen ligger ikke fokuset på den geometriske tolkningen v integrlet, men heller på den mer tekniske biten som blir klt ntiderivsjon. I Kpittel 1 diskuterer vi fordeler og ulemper med denne fremgngsmåten. Resten v oppgven skl prøve å gi en begrepsmessig innføring i forskjellige integrsjonsteorier. Oppbygningen følger en gnske kronologisk tnkegng. Vi strter med de teoriene mnge kjenner fr før. I Kpittel 2 gjennomgår vi integrsjonsteorier som ikke trenger en etblert målteori. Dette er Newtonsog Riemnns teorier, smt litt om Stieltjes integrl. Vi smmenlikner disse, og ser på oppbygning og bruksområder. Fokuset ligger i å prøve å gi en forståelse v begrepene som nturlig dukker opp. Kpittel 3 tr for seg utviklingen v mål- og integrsjonsteorien fr Riemnn til Lebesgue. Jeg bruker historien ktivt for å motivere begrepene som trengs for å etblere målteorien. I Kpittel 4 ser vi på oppbygningen v Lebesgues teori. Her blir relevnt målteori forklrt, og Lebesgue-integrlet blir definert. Jeg prøver å gi et bilde v den nye teorien ved å smmenlikne den med Riemnns teori. I det siste kpitlet går jeg litt videre mot mer generell målteori. Ser på hvordn et generelt målrom er bygd opp, og hvordn vi kn konstruere slike ved hjelp v Crtheodory-utvidelse. Vi får se et eksempel på hvordn målteorien kn bli brukt for å beskrive snnsynlighetsteori. Til slutt hr jeg med en liten introduksjon til et generlisert Riemnn integrl som første gng ble introdusert i 1912 v Arnud Denjoy. En v fordelene med dette integrlet er t det kn invertere lle deriverte funksjoner. Høgskolen i Agder Institutt for mtemtiske fg, Roger Mrkussen

4 Summry Integrtion nd differentition re two importnt concepts which is treted in upper secondry school. Almost without exeption is the derivtive introduced before the integrl. Probbly becuse textbookuthors think tht differentition is esier thn integrtion. In my opinion integrtion hs n esier geometric interprettion thn the one of differentition. It is esier to hve mentl picture of re thn mentl picture of the rte of chnge of function t point. In upper secondry school the focus is not on the geometric interprettion, but rther on the more technicl prt which is clled ntidifferentition. In Chpter 1 we discuss the dvntges or disdvntges of this procedure. The remining prt of this thesis focuses minly on giving conceptul introduction to different theories of integrtion. The concepts is presented in n llmost chronologicl order. We strt with the theories for which mny of the reders re fmilir. In Chpter 2 we discuss the theories which don t build on mesure theory. This is Newton s nd Riemnn s theories, together with the Stieltjes integrl. We compre these nd look closer t construction nd ppliction of the theories. The min issue is to give n understnding of the concepts s they pper. Chpter 3 focuses on the development of mesure- nd integrtion theory. The relevnt theory is being explined, nd the Lebesgue-integrl is defined. I hve tried to give mentl picture of the new theory by compring it with Riemnn s theory. In the lst chpter we tke step towrds more generl mesure theory. We define generl mesure spce, nd we see how mesures cn be constructed by the Crtheodory-extension theorem. We shll see n exmple where mesure theory is used to describe probbility. I end this thesis with smll introduction to the generlized Riemnn integrl, which ws first introduced in 1912 by Arnud Denjoy. One of the dvntges with this integrl is tht it cn invert ll derivtives. Agder University College Deprtment of Mthemtics, Roger Mrkussen

5 Forord Det å finne relet til figurer og etterhvert relet mellom grfer og kser, hr vært v stor interesse for mnge mtemtikere opp gjennom tiden. Integrsjon ble gjennom tiden det viktigste verktøyet vi hr for å regne ut reler og volumer. Mtemtikken og integrsjonsteorien hr utviklet seg. Den blir nå brukt i mnge flere smmenhenger enn bre klkulering v reler og volumer. Det er helt klrt t integrsjonsteori spiller en uhyre sentrl rolle i moderne nlyse. Det å vgjøre størrelsen til forskjellige mengder er ikke lltid like lett. For eksempel: Hvor stor er mengden v rsjonle tll? Hvor stor er mengden v irrsjonle tll? Kn vi finne en målemetode som virker på slike mengder? Kn vi knskje måle lle tenkelige mengder med en slik metode? Disse spørsmålene blir besvrt innenfor et mtemtisk felt som blir klt målteori. I moderne integrsjonsteori får vi bruk for mye målteori. Fktisk er integrsjonsteorien og målteorien nå blitt så vhengige v hverndre t lt er smeltet smmen til mål- og integrsjonsteori. Fokuset i oppgven er å gi et begrepsmessig overblikk innenfor integrsjonsteori. Jeg prøver å følge begrepsutviklingen kronologisk frem til og med Lebesgues teori. Ved å følge en historisk tidslinje tror jeg det blir lettere å gi fornuftige motivsjonsfktorer for begrepenes betydning. Jeg skl prøve å bygge opp, finne bruksområder og smmenlikne flere forskjellige integrsjonsteorier. Elever i den vidergående skolen trener mye på ntiderivsjon. Jeg tror elever vil h mer igjen for et sterkere fokus på intuitiv forståelse v integrsjon. En mtemtikklærer med dypere forståelse v integrsjon vil h bedre forutsetninger for å velge kjernestoff og undervisningsmetoder som stimulerer til forståelse v begrepet. Jeg hr skrevet denne oppgven for t jeg selv skulle få en dypere innsikt i integrsjonsbegrepet, og for t ndre mtemtikklærere skl kunne få et overblikk over denne teorien på en reltivt tilgjengelig måte. Jeg ønsker å rette en stor tkk til min veileder, førstemnuensis Olv Nygrd, for kjempegode råd og kommentrer som uten tvil forbedret oppgven min krftig. Du hdde lltid tid til en prt/diskusjon når jeg kom innom kontoret ditt. Roger Mrkussen iii

6 Innhold Kpittel 1. Innledning 1 1. Integrlets historie i korte trekk 1 2. Integrsjon i skolen 4 3. Anlysens fundmentlteorem 6 Kpittel 2. God gmmeldgs integrsjon 8 1. Newtons integrl 8 2. Riemnns integrl Smmenlikning v N- & R-integrlet Uekte integrler Riemnn-Stieltjes integrl 20 Kpittel 3. Perioden fr Riemnn til Lebesgue Riemnns «Hbilitsjon» Topologiske små mengder og målteoretiske små mengder Ingensteds tette mengder med positivt mål Ytre innhold Målbre mengder og Fubini s teorem Borel s målteori Klssifisering v mengder og funksjoner Henry Lebesgue 38 Kpittel 4. Lebesgues mål og integrsjonsteori Mål og nullmengder Lebesgue-målbre mengder Målbre funksjoner Definisjonen v L-integrlet Integrerbre funksjoner Det normerte rommet L 1 v L-integrerbre funksjoner Smmenlikning v R- og L-integrlet 52 Kpittel 5. Mer generell mål og integrsjonsteori Generell mål- og integrsjonsteori Hhn-Crtheodory-utvidelse Integrl i snnsynlighetsteori Det generliserte Riemnn integrlet 63 Littertur 67 iv

7 KAPITTEL 1 Innledning 1. Integrlets historie i korte trekk Mtemtikere hr strevd med å bestemme rel og volum v geometriske figurer i mer enn 2000 år. Arkimedes vr knskje den første som brukte integrsjonsliknende metoder for å bestemme relet v blnt nnet en sirkel. Hn gjorde dette ved å beregne relet v innskrevne regulære polygoner. Når hn økte ntll knter i polygonene ble tilnærmingen til sirkelen bedre. Den beste tilnærmingen gjorde Arkimedes med en 96 knt, som medfører t tilnærmingen til π hr en reltiv feil på 0,04 % (godt gjort å klre dette med utregninger skrevet i snd) [12]. Arkimedes klrte også å vise t relet under grfen til f(x) = x 2 fr 0 til x vr gitt ved formelen 1 3 x3 (ltså viste hn x 0 t2 dt = 1 3 x3 ). Hn tenkte seg et rektngel med høyde x 2 og lengde x, og fnt ut t relet under kurven ble nøyktig 1 3 v relet til rektngelet. Se Figur 1. Metoden hn brukte vr å tilnærme relet med mnge rektngler. Hn viste t hvis rektnglene lltid lå under kurven, så ble summen v relene til rektnglene mindre enn 1 3 x3 og hvis rektnglene lltid lå over kurven, ble relet til summen v rektnglene større enn 1 3 x3. Senere skl vi se t dette blir klt nedre- og øvre Drboux-summer. Er det noen forskjell på Arkimedes metode og vår integrsjonsmetode? Selve metoden er helt lik Riemnns integrsjon. Forskjellen ligger i rgumentsjonen for t dette virker. Arkimedes rgumentsjon bygger på et intuitivt bilde; Arkimedes kunne h sgt: «dette må stemme bre vi fortsetter å øke ntllet rektngler i det uendelige». Denne måten å rgumentere på ble klt «Method of exhustion». Vår rgumentsjon bygger på konvergensteorien Figur 1. Arkimedes klrte denne integrsjonen 1

8 Figur 2. Leibniz integrsjon Cuchy gjorde skikkelig rede for på 1820-tllet. Det er verdt å merke t fundmentet for integrlet vr ekvivlent med «Method of exhustion» frem til Cuchy. Strten på den integrsjonsteorien vi kjenner begynte midt på 1600-tllet. Vitenskpsmennene som vr i hovedrollen vr Isc Newton ( ) og Gottfried Leibniz ( ). Teoriene til disse to hr gnske forskjellig oppbygning, men det viser seg t de er ekvivlente. Selv om det er Newton som hr fått mesteprten v æren, så er notsjonen vi bruker i dg den smme som Leibniz brukte. Leibniz tenkte på å finne relet under en grf ved å summere relet v mnge små rektngler som lå tett oppunder grfen (se Figur 2). For å finne det riktige relet tenkte hn seg t bredden til disse rektnglene vr uendelig liten. Denne bredden klte hn dx. Notsjonen hn brukte for å illustrere t disse uendelig små rektnglene skulle summeres vr en lngstrkt S ( ). Fr dette følger notsjonen f(x) dx, som vi kjenner godt [7]. Når det ikke er viktig å presisere hvilken «dummy» vribel som gjelder, tr jeg meg friheten til å bruke notsjonen f. Disse uendelig små størrelsene ble klt for infinitesimler. Det t en regnet med uendelig små størrelser som om de vr endelige gjorde t mnge vr skeptiske til teorien. Mtemtikerne ble ofte stt i en vnskelig situsjon når de skulle redegjøre for dette. De fnt likevel ut t denne måten å regne på vr veldig nyttig. Etter å h feilet i å lge en solid teori rundt infinitesimlene, uttlte Leibniz i 1673 t senere genersjoner fikk rydde opp [7]. Litt senere oppdget Newton, Leibniz og Joh. Bernoulli ( ) uvhengig v hverndre t integrsjon vr motstt opersjon v det å derivere [10]. Som følge v dette kom den første vrinten v fundmentlteoremet. Teorem 1.1 (Fundmentlteoremet i Klkulus). Ant F er en primitiv til f på intervllet [, b]; dvs. F (x) = f(x) for lle x [, b]. D hr vi t b f(x) dx = F (b) F (). I de neste 140 årene, frem til c 1820, tenkte mtemtikere på integrsjon som det motstte v å derivere. Måten det ble gjort på vr å finne (når de klrte 2

9 dette) en ntiderivert (primitiv), og deretter bruke fundmentlteoremet. Denne måten å integrere på klles Newton-integrsjon, og integrlet klles Newton-integrlet (N-integrlet). Når begreper som grense, kontinuitet og konvergens ble skikkelig definert på begynnelsen v 1800-tllet vr tiden moden for å forndre på synet v integrsjon. I 1823 publiserte Augustin-Louis Cuchy ( ) en tekst om det å regne med infinitesimler, her vr integrsjonsteorien bnebrytende. Cuchy gikk bort fr bildet der integrsjon vr definert som det motstte v å derivere. Hn definerte nå integrsjon på en helt nnen måte. Noen v grunnene til dette kn være [12]. Det vr klrt t relet under en kurve kunne være fornuftig å snkke om selv om integrlet ikke kunne evlueres med bruk v ntiderivert og endepunktene til et intervll. Et eksempel er de stykkevise kontinuerlige funksjonene som dukket opp i Fouriers rbeid med rekker med trigonometriske funksjoner (Fourier-rekker). En nnen grunn kn være t hn fnt ut t det ikke nødvendigvis fntes en ntiderivert til lle funksjoner. Cuchys egen forklring på hvorfor hn ville definere integrlet som en sum, vr t det fungerte. Måten Cuchy kom frem til sin definisjon v integrlet vr snnsynligvis ved t hn så på rbeid som vr gjort v Euler og Lcroix i forbindelse med å pproksimere bestemte integrl [12]. Det Cuchy gjorde vr å nt t f(x) er kontinuerlig på [, b], hn prtisjonerte intervllet inn i n deler = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b og lget summen S = (x 1 x 0 )f(x 0 ) + (x 2 x 1 )f(x 1 ) + + (x n x n 1 )f(x n 1 ). Hn vr selvfølgelig veldig klr over t S vhenger v både n og verdiene x i som er vlgt. Hn gjorde et greit resonnement for t bre n ble stor nok, så ville ikke vlget v x i er være viktige. Det vr Cuchys nye definisjoner v kontinuitet og grenser som gjorde t dette nå ble en skikkelig definisjon. Cuchy jobbet ikke så mye med hvilke krv som måtte til for t en funksjon skulle være integrerbr. Hn jobbet hovedskelig med kontinuerlige funksjoner, eller evt. funksjoner med et endelig ntll diskontinuiteter på et intervll. Det vr Georg Friedrich Bernhrd Riemnn ( ) som i vhndlingen til sin hbilitsjon i 1854 tok tk i disse tingene. Hn forndret litt på definisjonen, fnt et kriterium for når en funksjon vr (Riemnn) integrerbr og kom med et flott eksempel på en integrerbr funksjon som hr uendelig mnge diskontinuiteter i hvert intervll. Fktisk vr det slik t mengden v diskontinuiteter til denne funksjonen ligger tett i de reelle tll. Når dette først ble publisert i 1867 (nesten to år etter hns død), ble denne definisjonen sett på som den mest mulig generelle. Det viste seg likevel t Riemnn-integrlet (R-integrlet) hdde noen svkheter. Disse svkhetene kommer vi tilbke til i Kpittel 2. Etter Riemnn vr det mnge som jobbet med integrsjon i årene fremover mot Det vr i løpet v denne tiden t målteorien begynte å t form. 3

10 I 1902 kom Lebesgue med sin doktorvhndling Intègrle, Longueur, Aire (Integrl, Lengde, Arel), denne vhndlingen vr bnebrytende. Lebesgues intensjon vr å hnskes med ulempene ved R-integrlet. Dette klrte hn på fremrgende måte, og teorien viste seg å være mer fruktbr enn Lebesgue selv kunne tenke seg. Mål- og integrsjonsteorien utviklet seg rskt utover på 1900-tllet. Det vr Lebesgues teori som ble grunnlget for mye v mtemtikken som oppsto på denne tiden. Snnsynlighetsteorien vr en v de grenene som virkelig fikk nytte v mål- og integrsjonsteorien til Lebesgue. Den store hjernen bk ksiomtiseringen v snnsynlighetsteorien vr den russiske mtemtikereren Andrey Nikolevich Kolmogorov. Dette ble gjort rundt 1933 og vr et gjennombrudd i måten å se på snnsynlighet (vi kn godt si t fundmentet for moderne snnsynlighetsteori ble lgt her). Lebesgues integrl (L-integrl) hr også noen svkheter, blnt nnet fordi det er et bsolutt integrl. Senere i oppgven skl vi se hv et bsolutt integrl er. Lebesgues teori gjorde ikke så mye for å forenkle fundmentlteoremet. Med motivsjon i å finne et integrl der den deriverte lltid er integrerbr, vr det Arnud Denjoy og Oskr Perron klrte å utvikle slike integrler. Dette ble gjort på to veldig forskjellige måter. Det viste seg overskende nok t integrlene vr ekvivlente [2]. Rundt 1960 lget Jroslv Kurzweil og Rlph Henstock en nnen definisjon som vr ekvivlent med Denjoy-Perron integrlet. Denne definisjonen er bre en modifiksjon v Riemnns definisjon, og ble derfor klt det generliserte Riemnn integrlet. Det viste seg nemlig t lle R-integrerbre funksjoner, lle N-integrerbre funksjoner og lle L- integrerbre funksjoner vr integrerbre med denne metoden, og integrlene vr de smme. Det smme gjldt fktisk også for uekte integrler. Denne teorien er fktisk gnske ukjent, selv for mtemtikere som hr rbeidet sitt bsert på Lebesgue teori. 2. Integrsjon i skolen Allerede tidlig i brneskolen skl elevene prøve å bestemme reler. Ved hjelp v enkle geometriske smmenhenger finner de frem til relet v rektngler, prllellogrmmer, romber, sirkler, osv. Det er først i grunnkurset på videregående skole t de kommer borti integrsjon for å beregne relet under grfer, og d bre som numeriske løsninger ved hjelp v klkultoren. I ndre klsse er det vnlig t elevene blir formelt introdusert for integrsjonsbegrepet. D følger som regel integrsjon som en nturlig fortsettelse på derivsjon. I oppleggene jeg hr sett for denne introduksjonen blir integrsjon sgt å være det motstte v å derivere. Elevene trener i begynnelsen på oppgver v typen: Ant f (x) = x 2, hv er f(x)? Elevene blir nå fortlt t de integrerer x 2. Er dette en fornuftig introduksjon v integrsjonsbegrepet? Etter min mening skper denne fremgngsmåten forvirring, og den bidrr til å demotivere elever for videre rbeid med integrsjon. Elevene hr så godt som ingen idé om hvorfor de trenger dette, og dermed ingen forståelse v integrsjon som et verktøy for å finne et rel. 4

11 Jeg tror det er mnge måter å gjøre en god introduksjon til integrsjon på, men jeg er gnske sikker på t felles for disse er en øyeblikkelig motivsjon for «hvorfor gjør vi dette?». Det å gjøre tidlig klrt t dette brukes i mnge smmenhenger, blnt nnet for å bestemme reler, vil være en nturlig motivsjonsfktor for elever i den videregående skolen. Senere skl en selvfølgelig trekke linjene til derivsjon og fundmentlteoremet. Bressoud [3] mener integrsjon bør h en prktisk tilnærming, der en tr utgngspunkt i å finne reler. Hn tror på det genetiske prinsipp innenfor didktikken, som betyr t progresjonen i undervisningen skl til en hvis grd følge historien. Grunnen til t integrsjon ble «funnet opp» vr for å bestemme reler, deretter ble det utviklet metoder for å tilnærme relet, og på grunnlg v dette kom mn frem til solide teorier. Hn mener denne rekkefølgen også bør brukes i forbindelse med å introdusere integrlbegrepet. Det betyr t ntiderivsjon og fundmentlteoremet skl introduseres før Riemnn integrlet. Stein [21] mener det er veldig viktig å tenke over hvilke begreper og metoder det er fornuftig å undervise. Hn mener det skl være en smmenheng mellom pensum, vektleggingen v begrepene og spørsmålet om hv elevene kommer borti i prktiske smmenhenger senere. Vi må ikke tenke «Jeg må kltre opp fjellet siden det står her». Blnt nnet så mener hn t å bruke msse tid på ntiderivsjon v elementære funksjoner, kn bli litt kunstig ttt i betrktning t svært mnge elementære funksjoner ikke hr en elementær ntiderivert. Noe v dette bør likevel gjøres siden veldig mnge funksjoner i forbindelse med fysikk og ndre nturvitenskper hr elementære ubestemte integrler (ntideriverte). I denne forbindelse bør elevene få tilgng til store integrsjonstbeller delvis istedenfor å lære mnge «lure» triks for å finne ubestemte integrl. Hn ønsker mer vekt på numerisk integrsjon og det konseptuelle bilde v integrl som rel. Thurston [24] mener den vnlige måten å undervise derivsjon og integrsjon på er ulogisk. Hn ønsker en forndring v notsjon for å gjøre klkulus mer intuitivt. Hn mener blnt nnet t den deriverte som skrives både som f (x) og dy dx ikke er smstemte. Mn skriver ofte f (3) (f derivert i punktet 3), men mn skriver ldri dy d3. Hn viser til flere prdokser både innenfor derivsjon og integrsjon på grunn v dette. Hn legger frem et forslg som ifølge hn skl være mye bedre. Hn mener også t bruken v konstnten c i forbindelse med ubestemte integrl blir upresist brukt. Hn mener det bør tenkes over om en ønsker å finne en ntiderivert (det er nok i forbindelse med fundmentlteoremet), eller om en vil h et utrykk med lle ntideriverte. Som regel blir bre c en ubetenksomt hengt på den ntideriverte, noen gnger unødvendig, ndre gnger skulle det h vært flere konstnter. På dette grunnlget mener hn t vi ikke trenger ubestemte integrl i det hele ttt. Jeg hr vlgt å vise til en eldre rtikkel d denne hr noen viktige poeng ngående å få frem meningen med mtemtikken. Drgoo [6] mener det er meningen og den prktiske nytten som er det viktigste å få frem i mtemtikken. Det finnes de som mener t mtemtikk består v å bygge opp kunnskp fr bunnen v. Mn kn derfor ikke få en god forståelse for f.eks. 5

12 funksjoner, hvis mn ikke hr bygget opp de reelle tll fr bunnen. Forftteren her mener dette er «gmmeldgs» og psser bre for de brillinte elevene. Hn viser til følgende utsgn hentet fr S. P. Thomson: Du forbyr ikke en person å bruke klokke hvis hn ikke vet hvordn mn lger den. Hvordn skl mn få elevene til selv å utforske og se smmenhengen mellom integrsjon og derivsjon? Dette synes jeg Strng [22] hr et veldig interessnt synspunkt på. Hn mener vi skl «glemme» det meste vi llerede vet om klkulus. Hn tr utgngspunkt i t det bre finnes to funksjoner i verden, v = frt og f = strekning. Med utgngspunkt i dette lger hn på en flott måte en diskret modell, som oppfyller lt en elev trenger å vite om smmenhengen mellom derivsjon og integrsjon. Etter hvert som elevene blir mer vnserte kn en gå til grenseverdier for å ende opp med fundmentlteoremet under litt sterke forutsetninger. I Norge er det mest vnlig å introdusere derivsjon før integrsjon (Jeg tror dette stemmer for de fleste lnd). Schumn [20] mener integrsjon som en metode for å finne et rel er lettere å skjønne intuitivt enn stigningstllet i et punkt. Dette bygger på de fleste hr et godt etblert bilder v hv rel er, men det er mindre ssosisjoner knyttet til stigning. Forslget til forftteren er ltså å introdusere integrsjon før derivsjon. En bok som følger forslget til Schumn er Tom Apostols Clculus [1]. Apostol skriver følgende i forordet: «The pproch in this book hs been suggested by the historicl nd philosophicl development of clculus nd nlytic geometry. For exmple, integrtion is treted before differentition. Although to some this my seem unusul, it is historiclly correct nd pedgogiclly sound. Moreover, it is the best wy to mke meningful the true connection between the integrl nd the derivtive». Det er gnske tydelig t også Apostol er tilhenger v det genetiske prinsipp, smmen med blnt nnet Bressoud. Integrsjonsdelen i denne boken skiller seg litt fr hvordn ndre clulusbøker introduserer integrsjon. Apostol bygger opp teorien på en måte som etter min mening gjør det mye lettere og vnsere videre til ndre integrler som for eksempel Lebesgues integrl. Det er nok snnsynligvis mnge som mener boken er litt vnskelig som grunnlget for et første klkulus kurs. 3. Anlysens fundmentlteorem Fundmentlteoremet er setningen som knytter integrsjon til derivsjon. Det vr først på Newtons tid t begrepene integrsjon og derivsjon ble etblert. Det vr på denne tiden vi fikk det første fundmentlteoremet. Etter hvert som vi hr fått nye måter å integrere på, hr også fundmentlteoremet blitt noe endret. Vi ønsker ller helst å h et teorem som gjør t vi kn integrere lle deriverte funksjoner. Vi sier t vi ønsker å «tilbkestille» lle deriverte funksjoner. Dessverre er det slik t de fleste metodene må legge tilleggskrv på den deriverte for å oppnå dette. 6

13 Det første fundmentlteoremet vi skl se på er det eldste. Integrsjonsmetoden vi bruker er Newton-integrsjon. Teorem 3.1 (Fundmentlteoremet med N-integrlet). Ant F er en primitiv til f på intervllet [, b]; dvs. F (x) = f(x) for lle x [, b]. D hr vi t b f(x) dx = F (b) F (). Legg merke til t her må den deriverte h en ntiderivert for å kunne «tilbkestilles». I det neste fundmentlteoremet skl vi bruke Riemnnintegrsjon. Selv om dette er et integrl som ble utviklet mye senere enn N-integrlet, kn det likevel ikke krkteriseres som en generlisering siden det finnes N-integrerbre funksjoner som ikke er R-integrerbre. Dette medfører t det finnes funksjoner med begrenset derivert i et intervll, som ikke er integrerbre i intervllet. En konsekvens v dette blir omtlt i Kpittel 3.1. Teorem 3.2 (Fundmentlteoremet med R-integrlet). Ant F er deriverbr på intervllet [, b]. Hvis F = f er R-integrerbr på [, b] så hr vi t b f(x) dx = F (b) F (). I fundmentlteoremet med R-integrlet, ser vi t vi trenger et litt «kjedelig» tilleggskrv t den deriverte må være integrerbr. Ved å bruke Lebesgueintegrsjon får vi en forbedring v fundmentlteoremet. Teorem 3.3 (Fundmentlteoremet med L-integrlet). Ant F er deriverbr på intervllet [, b]. Hvis F = f er begrenset på [, b], så er f L-integrerbr på [, b], og b f(x) dx = F (b) F (). Vi kn merke oss t L-integrlet er en generlisering v R-integrlet men ikke v N-integrlet, og fortstt trenger vi et tilleggskrv om begrensning v den deriverte. Det finnes også et integrl som er en generlisering v både L-integrlet og N-integrlet, og som klrer å tilbkestille lle deriverte. Dette integrlet klles «det generliserte Riemnn-integrlet». Teorem 3.4 (Fundmentlteoremet med det generliserte R-integrlet). Ant F er deriverbr på intervllet [, b]. D er F = f integrerbr på [, b], og b f(x) dx = F (b) F (). Det generliserte Riemnn-integrlet er en gnske ny teori (c 1960). I denne oppgven skl jeg konsentrere meg om N, R og L-integrlet, d det blir for mye teori hvis en skl prøve å gi et godt bilde v det generliserte R- integrlet. Jeg hr likevel vlgt å h med en kort innføring på slutten v Kpittel 5. 7

14 KAPITTEL 2 God gmmeldgs integrsjon I dette kpitlet skl jeg prøve å bygge opp teorien for Newtons- og Riemnns integrler. Dette er to typer integrl som hr veldig forskjellig oppbygging. Det ene kommer fr en tid før begreper som grense, kontinuitet og konvergens vr skikkelig definert, mens det ndre integrlet bserer seg på integrsjon som en grenseprosess. Disse to integrlene, i tillegg til Stieltjes integrl, er de som kn evlueres på en god måte uten bruk v målteori. Jeg skl smmenlikne disse, se på fordeler og ulemper, og prøve å få frem begrensningene til hvert v disse. Jeg strter med å definere N-integrlet, forklre litt om oppbyggingen og få frem noen egenskper. Deretter blir det smme gjort med R-integrlet, for så å smmenlikne. En liten del om Riemnn-Stieltjes integrl (R-S-integrlet) blir vslutningen v dette kpitlet. En del v egenskpene ved R-integrlet blir uteltt i dette kpitlet, fordi disse hr mer relevns når jeg senere skl smmenlikne R-integrlet med L-integrlet. 1. Newtons integrl Som jeg forklrte i innledningen, er oppbyggingen v Newtons integrl bsert på t integrsjon er det motstte v å derivere. Det å derivere vr noe mtemtikere på 1600-tllet visste en del om. I den følgende rgumentsjonen til Newton hr jeg vlgt å bruke moderne (Leibniz) notsjon. Newton brukte en nnen notsjon, men siden denne er mindre kjent, vil det snnsynligvis bre komplisere rgumentsjonen å bruke dette. Newton ønsket, for et gitt funksjonsutrykk y = f(x), å finne relet mellom x-ksen og grfen til denne funksjonen. Fiksér et punkt og l z = F (x) være grfen til f mellom og x. D viste Newton t funksjonen f er den deriverte til F. Vi kller F (x) en ntiderivert eller primitiv til f(x). Dette ble redegjort for på følgende måte: Hvis x øker med x så vil relet øke med z = F (x + x) F (x) = f(x) x. I grensen x 0 får vi dz = f(x) dx og dz dx = f(x). Merknd 1.1. Husk t d dette ble utledet hdde ikke begreper som grense, kontinuitet, konvergens og funksjon blitt skikkelig definert. Nå i moderne tid er det blitt utrbeidet en skikkelig definisjon på N-integrlet, og N-integrerbre funksjoner. Følgende definisjon er hentet fr [13]. 8

15 Definisjon 1.2. L b +. En funksjon f : (, b) R blir sgt å være N-integrerbr på (, b) hvis f hr en ntiderivert F på (, b), og hvis de ensidige grensene F (+) og F (b ) eksisterer og er endelige. Det reelle tllet b f(x) dx = F (b ) F (+) er N-integrlet til f over intervllet (, b). Måten N-integrlet blir brukt på for å finne et rel under en kurve er å finne en ntiderivert og deretter bruke fundmentlteoremet. Eksempel 1.3. L f(x) = 1 x. Finn relet begrenset v x-ksen og f når x [1, 5]. Løsning: Vet t en ntiderivert til f er F (x) = ln x. Arelet blir 5 1 f(x) dx = [ln x]5 1 = ln 5 ln 1 = ln 5. Merknd 1.4. For t vi skl klre å uttrykke en ntiderivert, så må den være en elementær funksjon. Selv om den ntideriverte eksisterer, så er det ltså ikke sikkert t vi klrer å uttrykke den. Svært mnge elementære funksjoner hr fktisk ikke en elementær ntiderivert [21]. Integrsjonsprosessen hr en veldig viktig egenskp den er lineær. Dette betyr t hvis α, β R, f og g er to integrerbre funksjoner så er αf + βg = α f + β g. Dette brukes mye når en regner med integrler, og vi skl bruke dette flere gnger senere i oppgven. Vi sier t N ([, b]) er mengden v Newton integrerbre funksjoner på intervllet [, b]. Vi skriver som regel bre N når det ikke er nødvendig å spesifisere intervllet. Hvilke funksjoner ligger i N? Her ligger lle funksjoner der vi kn finne en ntiderivert på det gitte intervllet. Problemet er t det egentlig er gnske få funksjoner vi kn finne en ntiderivert til. Vi kjenner heller ikke til noen spesiell egenskp som krkteriserer disse funksjonene (f.eks. lle monotone funksjoner eller lle kontinuerlige funksjoner). Eksempler på kontinuerlige funksjoner som ikke ligger i N er f 1 (x) = e x2 og f 2 (x) = sin x x. Nå skl det også nevnes t i forbindelse med enkle mtemtiske modeller, så dukker det som regel opp funksjoner som ligger i N. Dette kommer v t ntgelsene for modellen gjøres på en slik måte t beregningene blir greie å jobbe med. Newton-integrlet gir oss d muligheten for å løse disse (som regel differensillikninger) problemene nlytisk. Det er gnske ofte t en nlytisk løsning gir mer innblikk i løsningen enn f.eks en numerisk løsning. Den viktigste klssen v funksjoner som ligger i N er snnsynligvis polynomene. Disse hr egenskpen t de ligger tett i de kontinuerlige funksjonene [19]. Det betyr t en kontinuerlig funksjon kn tilnærmes vilkårlig br med et polynom, der tilnærmingen kn gjøres uniformt. Dette gir oss en mulighet for 9

16 å jobbe med de «snille» polynomene istedenfor mer kompliserte funksjoner (som knskje ikke hr noen ntiderivert). Nå skl jeg prøve å gi en forklring på hv det vil si t tilnærmingen kn gjøres uniformt. Dette betyr t en kn finne en følge v polynomer som konvergerer uniformt mot en kontinuerlig funksjon. Uniform konvergens er noe vi kommer borti flere gnger senere i oppgven, derfor ønsker jeg å gi en forståelse for dette begrepet. Det finnes flere måter en funksjonsfølge kn konvergere på, de to mest vnlige er punktvis og uniform konvergens. Først kommer den formelle definisjonen på disse to begrepene, deretter prøver jeg å forklre. Definisjon 1.5. Vi sier t en funksjonsfølge (f n ) konvergerer punktvis mot en grensefunksjon f hvis det for lle ɛ > 0 eksisterer N N, slik t bre n > N(ɛ, x), så er f n (x) f(x) < ɛ for lle x. Det kn være greit å tenke på dette som t tllfølgen (f n (x)) konvergerer for hver x. Her kommer den tilsyneltende nesten like definisjonen på uniform konvergens. Definisjon 1.6. Vi sier t en funksjonsfølge (f n ) konvergerer uniformt mot en grensefunksjon f hvis det for lle ɛ > 0 eksisterer en N(ɛ) N, som er uvhengig v x, slik t f n (x) f(x) < ɛ bre n > N(ɛ). Hvis en følge konvergerer punktvis kn vi tenke oss t det er en N som virker for hver x. Hvis konvergensen er uniform finnes det én N som virker for lle x ene på en gng. Nå følger to eksempler som skl prøve å illustrere bedre (se Figur 1). Eksempel 1.7. L f n (x) = x n, x [0, 1). Dette er en funksjon som konvergerer punktvis mot f(x) = 0. Konvergensen er ikke uniform siden vi for ethvert vlg v N lltid kn velge en x-verdi så nær 1 t f N (x) er så nær 1 som vi bre ønsker. Det neste eksemplet bruker den smme funksjonen, bre med et nnet definisjonsområde. Figur 1. Punktvis og uniform konvergens 10

17 Eksempel 1.8. L f n (x) = x n, x [0, 1 2 ]. Dette er en funksjon som konvergerer uniformt mot f(x) = 0. Denne funksjonen konvergerer ldri «tregere» enn f n ( 1 2 ). Det betyr t vi kn velge N slik t f N( 1 2 ) f(1 2 ) < ɛ. Siden funksjonen konvergerer rskere for lle ndre verdier v x, vet vi t denne N en virker for lle x [0, 1 2 ]. Ved første øyekst kn det se ut som det ikke er så stor forskjell mellom punktvis og uniform konvergens, men hvis mn jobber litt innenfor nlyse finner en fort ut hvor mye strengere uniform konvergens er. Her følger en rsk oppsummering v de viktigste ulempene ved N-integrlet. Vi blir nødt til å finne en ntiderivert for å kunne integrere. I forbindelse med funksjonsfølger kn det være vnskelig å vite om lle leddene er integrerbre. En funksjon må være gitt ved et funksjonsuttrykk for å gi mening til dette integrsjonsbegrepet. Nå beveger vi oss videre i integrsjonens verden til Riemnns integrl. 2. Riemnns integrl Det er to hovedmetoder å bygge opp R-integrlet etter, den ene er Riemnns metode, den ndre er Drboux s metode. Jeg velger å bruke Drboux s metode, som jeg mener er noe klrere i forhold til hv integrl egentlig er. Det kn også nevnes t Drboux s metode hr visse svkheter hvis en skl utvide definisjonen til funksjoner med mer generelle verdier enn bre reelle tll f.eks komplekse tll. Dette kommer v vhengigheten v t de reelle tllene er en velordnet kropp. Når vi jobber med komplekse tll finnes det ingen slik velordning. Vi kn ikke si t et komplekst tll er større enn et nnet. Brtle [2] mener t det er gnske tungt å bevise t Drboux s metoder er ekvivlent med Riemnns. Drbuox viste t for lle begrensede funksjoner og lle intervller [, b] så eksisterer tre tll m, M og R definert på følgende måte: m R er største nedre begrensning og M R er den minste øvre begrensningen til f på [, b]. = M m blir klt «vrisjonen» til f på [, b]. Drbuox presiserte t disse verdiene trengte ikke å bli truffet v f på intervllet. Hn vr en v de første som skilte mellom supremum og mksimum, og infimum og minimum [11]. Det er likevel slik t på de lukkede intervllene der f er kontinuerlig, så vil supremum være lik mksimum og infimum være lik minimum. Dette kommer som en følge v kompletthetsksiomet (Det er fktisk en lterntiv måte å definere kompletthet på). L nå f være en vilkårlig begrenset funksjon på [, b] R. For en vilkårlig prtisjon = x o < x 1 < < x n = b kn vi se på følgende uttrykk: M(n) = M 1 δ M n δ n, m(n) = m 1 δ m n δ n, (n) = 1 δ n δ n. 11

18 Figur 2. Nedre og øvre Drboux-sum Her er δ i = x i x i 1 lengden v det i te intervllet, M i = sup{f(t) : t [x i 1, x i ]}, m i = inf{f(t) : t [x i 1, x i ]} og i = M i m i. Drboux viste t grenseverdiene til M(n), m(n) og Δ(n) (når n og δ i 0) er entydige, endelige og vhenger bre v, b og f. Vi kller M(n) for den øvre Drbouxsum, og m(n) for den nedre Drboux-sum (se Figur 2). Grenseverdiene for M(n) og m(n) klles henholdsvis øvre og nedre Drboux-integrl, og skrives henholdsvis f(x) dx og f(x) dx[14]. Vi er nå klre for følgende definisjon: Definisjon 2.1. En funksjon f er R-integrerbr hvis og bre hvis f(x) dx = f(x) dx og vi definerer Riemnn integrlet ved f(x) dx = f(x) dx = f(x) dx. Jeg presiserer t de øvre og nedre Drboux-integrlene lltid eksisterer! Her kommer et eksempel på hvordn vi kn bruke definisjonen på R-integrsjon til å finne et rel. Eksempel 2.2. L f(x) = x 2. Bruk definisjonen v R-integrlet til å vise t 2 0 f(x) dx eksisterer, og finn relet begrenset v grfen til f og x-ksen når x [0, 2] (se Figur 3). Løsning: Vi lger en prtisjon som består v n like store deler, dvs. lengden på delintervllene blir b n = 2 n. Legg merke til t f er monoton på intervllet [0, 2], Figur 3. Hjelpefigur for eksempel

19 som betyr t m i lltid er venstre, og M i lltid er høyre endepunkt i delintervll i. m(n) = n (2(i 1)) 2 i=1 2 n 2 n = n 8(i 1) 2 i=1 og M(n) = n 2 n 3 i=1 n 2 2 n = n i=1 8i2 som viser t M(n) = m(n) + 8n2, og d er det opplgt t n 3 n 3 lim n M(n) = f(x) dx = f(x) dx = lim n m(n) som gir t f(x) = x 2 er integrerbr. Velger nå å regne ut lim n M(n) = lim n n i=1 8i2 = n 3 8 lim n n n 3 i=1 i2 8 = lim n n(n+1)(2n+1) 8n n 3 6 = lim 3 +12n 2 +4n n = 8 3n 3 3. Altså er 2 0 f(x) dx = 8 3. I eksemplet over hr jeg vlgt en måte å prtisjonere intervllet [0, 2] på, nemlig å bre l lle delene være like store. Kunne det tenkes t jeg kunne fått et nnet svr hvis jeg hdde prtisjonert på en nnen måte? Nei, R- integrlet er uvhengig v hvilken måte du prtisjonerer intervllet på, bre lengden v det største intervllet går mot null. Dette kn vi rgumentere for på følgende måte: Unsett hvilken prtisjon vi hr vlgt, kn vi lge en ny prtisjon P der lle intervllene er like lnge og mindre enn det minste v intervllene i den ndre prtisjonen. Det er lltid slik t sup x I f(x) sup f(x) x J og inf f(x) inf f(x) x I x J dersom I J er intervller. Dette medfører t P lltid vil gi en Drboux-sum som er en bedre tilnærming til relet. Vi sier t R er mengden v de Riemnn integrerbre funksjonene. Det er nturlig å spørre seg hvilke funksjoner som ligger i R? Det fullstendige svret får vi i neste Kpittel, men vi skl se på noen funksjoner her også. Riemnn viste t lle monotone funksjoner ligger i R (husk t vi snkker om begrensede funksjoner). Dette betyr t lle funksjoner med begrenset vrisjon ligger i R. Dette stemmer fordi lle funksjoner med begrenset vrisjon er differnsen mellom to monotone funksjoner [5]. Drboux vr den første som viste t lle kontinuerlige funksjoner ligger i R. Er det flere funksjoner i R? J, mnge flere. Riemnn kom med et eksempel på en funksjon i R som hdde uendelig mnge diskontinuiteter på ethvert delintervll. Det er lett å vise t lle funksjoner med et endelig ntll diskontinuiteter ligger i R. Hvilke «rre» begrensede funksjoner ligger ikke i R? Funksjonene trenger egentlig ikke å være så veldig rre, men de må være «veldig diskontinuerlige». Et eksempel, er en funksjon som blir klt Dirichlets monster. Den er definert slik: { 1 x er rsjonl f(x) =. 0 x er irrsjonl Heretter skriver vi denne funksjonen som f = 1 Q, dette kller vi en krkteristisk funksjon over Q 1. Det er ikke vnskelig å vise t denne ikke ligger i R. Vi observerer t unsett hvor lite intervll vi velger så vil mksimumsverdien være 1 og minimumsverdien være 0. Fr definisjonen hr vi t forskjellen mellom supremum og infimum på ethvert delintervll må kunne bli så liten 0 ellers. 1 Generelt hr vi t en krkteristisk funksjon f(x) = 1A hr verdien 1 når x A og 13

20 vi ønsker bre ved å gjøre prtisjonen fin nok. Det t en prtisjon er fin nok, betyr rett og slett t lengden på det største intervllet er lite nok. Mye v rbeidet i forbindelse med mtemtisk nlyse er å lge grense- og konvergensteorier. Derfor blir den følgende ulempen med R-integrlet krkterisert som lvorlig i moderne nlyse. Det er nemlig mulig å finne (punktvis) konvergente funksjonsfølger f n som er R-integrerbre for lle n, men der grensefunksjonen ikke er integrerbr. Nå følger et eksempel som viser dette. Eksempel 2.3. L f n (x) = 1 Qn, der Q n = {q 1, q 2,..., q n }, q i er en opprmsing v n forskjellige rsjonle tll. Det er nå klrt t f n R siden det bre er endelig mnge steder f n 0. Vi ser t lim n f n = 1 Q / R. Det er fktisk også mulig t grensen til en funksjonsfølge kn ligge i R, men t lim f n f. Her kommer et eksempel som viser dette også. Eksempel 2.4. L f n (x) = n1 [0, 1 n ]. D er lim f n = 1 f = 0, fordi lim f n = 0. Problemene kn omgås ved å kreve uniform konvergens, men det er et veldig strengt krv. Det finnes mnge punktvise grenser der lt går greit, derfor hdde det vært ønskelig med et svkere krv enn uniform konvergens. Det finnes et konvergensteorem for R-integrlet som hr litt svkere krv. Dette klles Riemnns begrensede konvergensteorem (noen steder klles det Arzel s begrensede konvergensteorem [17]). Dette teoremet ble vist v den itlienske mtemtikeren Cesre Arzel i 1885 [9]. Teorem 2.5. [Riemnns begrensede konvergensteorem]l (f n ) være en følge v R-integrerbre funksjoner på intervllet [, b]. Ant t f n f punktvis og t f er R-integrerbr på [, b]. Ant videre t f n K, der K er en reell konstnt, d hr vi t lim n b f n = Beviset for dette resulttet er gnske tungt når vi ikke skl involvere målteori [16]. Senere i oppgven skl vi se t resulttet bre er et spesiltilfelle v Lebesgues dominerte konvergensteorem. Vi så i Kpittel 1.3 t vi ikke kunne være sikre på t en begrenset funksjon sin deriverte vr Riemnn integrerbr. Her kommer et eksempel som viser dette. b Eksempel 2.6. En funksjon som er deriverbr på [ 1, 1] er { x f(x) = 2 sin( 1 ) når x 0 x 2 0 når x = 0. Den deriverte til denne funksjonen er ubegrenset på intervllet [ 1, 1], som medfører t den ikke er R-integrerbr her. Det finnes også eksempler på t den deriverte er begrenset, men likevel ikke R-integrerbr. 14 f.

21 2.1. Det normerte vektorrommet R 1. For å kunne lge mye god teori rundt en mengde med visse egenskper, er det ofte veldig nyttig hvis denne mengden er et vektorrom. Det viser seg t R er et vektorrom (vi lr sklrkroppen være R). Teorem 2.7. L f, g R og α, β R. D hr vi t Dette betyr t R er et vektorrom. (αf + βg) R. Det t R er et vektorrom betyr t enhver lineærkombinsjon v R-integrerbre funksjoner igjen er R-integrerbre. Det er også nturlig å gi vektorrommet et vstndsmål slik t vi kn snkke om konvergens v følger v funksjoner i R. For å kunne gjøre dette på en fornuftig måte bør vi se på vektorrommet over et intervll. Vi sier nå t R(I) er mengden v R-integrerbre funksjoner på intervllet I. R(I) er et vektorrom for lle intervller I R. En måte å definere et vstndsmål på R(I) er å si t vstnden mellom to funksjoner f og g er gitt ved: f g = sup x I f(x) g(x). Vi hr nå definert en norm på R(I) 2. Det betyr t hver funksjon i R(I) hr blitt tildelt en lengde som er gitt ved: f = sup x I f(x). Vi sier nå t en funksjonsfølge {f n } konvergerer til en funksjon f hvis sup x I f n (x) f(x) 0 når n. Problemet med dette normerte vektorrommet er t det bre er en nnen måte å si t vi trenger uniform konvergens for å få frem våre ønskede egenskper. Vi husker fr tidligere t dette vr et uønsket strengt krv. D vi definerte normen over tok vi ikke hensyn til t vi jobbet med integrsjon. Kn det hende t vi kn definere en nnen norm, som er reltert til integrsjon, og som gir oss flere konvergente følger v funksjoner? En god kndidt må være: f = I f(x) dx for f R(I)3. Vi kller denne normen for R 1 -norm, og vektorrommet R(I) med denne normen for R 1 (I). Dette er en norm som hr mnge v egenskpene vi ønsker, men dessverre hr R-integrsjon en svkhet som gjør t vi kommer opp i noen problemer med dette normerte vektorrommet. Problemet er mngel på kompletthet. Jeg skl nå prøve å forklre hv det betyr t et normert vektorrom er komplett. Vi husker fr reell nlyse t lle Cuchy-følger v reelle tll er konvergente. Dette er en nnen måte å si t R er komplett på. Det er dessverre ikke lltid slik t Cuchy-følger er konvergente i normerte vektorrom. L oss først få fullstendig klrhet i hv en Cuchy-følge i vektorrommet R 1 (I) er: Definisjon 2.8. En følge (f n ) R 1 (I) er Cuchy hvis det for lle ɛ > 0 finnes en N N slik t I f n f m < ɛ når bre n, m > N. En følge er ltså Cuchy hvis vstnden mellom to funksjoner i følg kn gjøres så liten vi bre ønsker, når den minste v indeksene til funksjonene er lngt nok ute i følg. Vi kn finne følger som er Cuchy, men som likevel hopper ut v R 1 (I) når vi går til grensen. For å finne eksempel på dette 2 Senere i oppgven skl vi se på den presise definisjonen v norm-begrepet. 3 Legg merke til t f er et endelig tll, siden f er en begrenset funksjon på I. 15

22 trenger vi bre å se på Eksempel 2.3. Denne følg er opplgt Cuchy siden vstnden mellom to punkter lltid er 0. Altså er ikke R 1 (I) komplett. Hvorfor er det så viktig t et vektorrom skl være komplett? Fr reell nlyse husker vi t det ksiomet som skiller de rsjonle tllene fr de reelle vr kompletthetsksiomet. Altså kn vi si t å jobbe med et vektorrom som ikke er komplett, blir som å jobbe med rsjonle tll istedenfor reelle tll. Det er ltså mulig å konstruere mye mer mtemtisk struktur hvis vi jobber under kompletthet. I Kpittel 4 skl vi se t geniet Henry Lebesgue løser dette problemet ved å definere en generlisering v R-integrlet (L-integrlet). Her følger en rsk oppsummering v de viktigste ulempene ved R-integrlet. Det oppstår problemer når vi skl integrere over mer kompliserte mengder enn intervller. Et enkelt eksempel på dette er funksjonen f = 1 Q. Vi kn risikere t grensefunksjonen f til en Cuchy følge v R- integrerbre funksjoner (f n ) ikke er R-integrerbr. Det kn også hende t lim f n f når f er R-integrerbr. Vi kn finne funksjoner f som er deriverbre på et begrenset intervll [, b], men integrlet til den deriverte eksisterer ikke. Fktisk kn også den deriverte være begrenset, og integrlet eksisterer fortstt ikke. Igjen hr vi t når integrlet eksisterer, kn det likevel hende t f f. Vektorrommet R 1 (I) er ikke komplett. 3. Smmenlikning v N- & R-integrlet Newton og Riemnns integrsjonsteori er veldig forskjellig. N-integrlet bygger på en observsjon om t derivsjon og integrsjon er motstte opersjoner. Fundmentet til dette integrlet bygger på litt vge teorier om bruken v uendelig små størrelser (infinitesimler). R-integrlet bygger på et ønske om å lge en geometrisk metode for å vgjøre relet under en grf. Denne teorien er solid begrunnet ved hjelp v grense og konvergensteorien til Cuchy og komplettheten til de reelle tll 4. Hvordn skl vi gå frem for å smmenlikne en ren nlytisk teori som N- integrlet er, og R-integrlets geometriske teori? Jeg tror vi må finne ut hv hver v dem kn brukes til. Jeg begynner med å diskutere litt rundt de sterke sidene til N-integrlet. Det første som må nevnes er brukervennligheten. Hvis du først hr plukket frem en N-integrerbr funksjon og funnet en ntiderivert, så er det bre å sette inn grensene og fundmentlteoremet produserer integrlet. Hvis du husker tilbke til Eksempel 2.2, minnes du sikkert t ting vr litt mer tungvinte med R-integrlet. I forbindelse med å lge mtemtiske modeller v virkeligheten, dukker det ofte opp reltivt enkle differensillikninger. Disse kn gjerne løses ved å bruke N-integrlet som verktøy. Den store fordelen med denne fremgngsmåten er t løsningen(e) produseres nlytisk. Anlytiske løsninger gir ofte større 4 Denne teorien hr selvfølgelig utviklet seg siden Cuchy, men jeg velger likevel å klle teorien hns. 16

23 innblikk i modellens struktur og dynmikk. Dette fører igjen til t modellen kn utvikles lengre og dypere enn hvis løsningene blir produsert numerisk. Av denne grunn blir N-integrlet veldig mye brukt i forbindelse med å søke grunnleggende forklringer på nturfenomener. Riemnn-integrlet hr en stor fordel fremfor Newton-integrlet, det er t vi ikke trenger noe funksjonsutrykk. Hvis vi f.eks bre hr grfen til en funksjon, gir R-integrlets geometriske oppbygning oss en fremgngsmåte for å bestemme relet. Dette gjør t fundmentet til R-integrlet brukes for å definere numeriske integrsjonsmetoder. Spesielt kn vi trekke frem t R-integrlets oppbygning gjør det mulig å bestemme reler under funksjonsgrfer der funksjonen er gitt som en rekke. N-integrlet kn også klre dette, men bre hvis mn kn finne en ntiderivert til hvert ledd, og ledd for ledd integrsjon er mulig. Vi hr kontinuerlige funksjoner som ikke er N-integrerbre, f.eks f(x) = e x2 som blir brukt mye i snnsynlighetsteori. Her fungerer R-integrlet ypperlig selv om utregningen som regel må gjøres numerisk. Det er fktisk verdt å nevne t de R-integrerbre funksjonene som vi fktisk regner ut for hånd, nesten lltid er N-integrerbre og derfor blir behndlet som sådn. 4. Uekte integrler Vi skl nå se integrler på formen: ( ) f, f og f, eller 1 dx 0 x. Alterntivet f hr jeg stt i prntes siden rgumentsjonen er helt nlog med f. Vi snkker ltså om bestemte integrler der enten integrsjonsintervllet eller funksjonen er ubegrenset. Disse klles uekte integrler. Det er verdt å påpeke t uekte integrler ikke regnes som en del v de R-integrerbre funksjonene. L oss først gå gjennom hvordn uekte integrler er definert. Vi lr først intervllet være ubegrenset. Det finnes to muligheter: enten ( f ) f eller f. Vi ser på disse mulighetene hver for seg. Definisjon 4.1. L f : [, ) R være en funksjon som er integrerbr på lle intervller [, b], der b >. Dersom integrlet b f L < når b, sier vi t integrlet f konvergerer og vi skriver f = L. Dersom integrlet ikke konvergerer, sier vi t det divergerer. En metode for å regne ut verdien til et uekte integrl på denne formen er å først finne en ntiderivert og deretter t grenseverdien. Her kommer et eksempel som viser dette (eksemplet er hentet fr [18]). Eksempel 4.2. Avgjør om 0 e x dx konvergerer, og finn eventuelt verdien. Vi ser t b 0 e x dx = [ e x] b 0 = e b

24 Figur 4. f(x) = e x som går mot 1 når b. Altså konvergerer integrlet, og 0 e x dx = 1. Den geometriske tolkningen er t det skrverte område i Figur 4 hr rel 1 selv om vi hdde sett uendelig lngt ut på x-ksen. Det kn sikkert være greit med et eksempel der integrlet er divergent også. Eksempel lim b ln b =. dx x divergerer fordi lim b b 1 dx x = lim b [ln x] b 1 = Dersom vi skl integrere over en mengde som er ubegrenset i begge retninger, må vi trø litt vrsomt. Vi begynner med definisjonen. Definisjon 4.4. Dersom f : R R er integrerbr på lle intervller [, b], sier vi t integrlet f konvergerer hvis begge de to integrlene 0 f og f konvergerer. D definerer vi 0 f = 0 f + Noen synes knskje denne definisjonen virket unødvendig komplisert. Hvorfor kn vi ikke bre si t hvis integrlet b b f L < når b, så er f = L? Grunnen til dette er t det finnes funksjoner f slik t 0 f. f med denne definisjonen er et endelig tll, men 0 f og 0 f divergerer. Et eksempel på dette er funksjonen f(x) = x. Det som gjør t dette kn skje er t uendelighetene oppveier hverndre, vi får ltså. Dette gjør t de vnlige regnereglene for integrler ikke lenger gjelder. Hr vi noen gng bruk for integrler over ubegrensede mengder? J, dette blir brukt mye innenfor både mtemtikk og fysikk. Det mest kjente eksempelet er knskje i forbindelse med stndrd normlfordeling i sttistikken. Her integrerer mn funksjonen f(x) = 1 2π e x2 2 fr til (integrlet blir 1, se Figur 5). Vi vet jo lle hvor mye denne teorien blir brukt innenfor utllige områder. 18

25 Figur 5. Stndrd normlfordeling Nå går vi videre og ser på integrsjon over intervller der funksjonen hr en eller flere vertikle symptoter. Igjen finnes det flere måter dette kn skje på. Vi ser først på når et v endepunktene til integrsjonsintervllet er en vertikl symptote. I definisjonen ntr vi dette skjer i høyre endepunkt (b), men det er klrt t det blir tilsvrende for venstre endepunkt. Definisjon 4.5. Dersom f : [, b) R er integrerbr på lle intervller [, y], der y < b sier vi t integrlet b f konvergerer hvis grenseverdien f eksisterer. I så fll skriver vi y lim y b b f = lim y b Vi ser t det er smme fremgngsmåte som blir brukt her, først finner vi uttrykket for et begrenset intervll, for så å t grenseverdien. Vi skl se t den smme metoden også blir brukt hvis vi hr vertikl symptote i begge endepunktene. Definisjon 4.6. L f : (, b) R være integrerbr på lle intervller [c, d], der < c < d < b og l y (, b). Vi sier t integrlet b f konvergerer dersom begge integrlene y f og b y f konvergerer for lle y [, b]. I så fll er b f = y Hvis det nå er flere vertikle symptoter inne i integrsjonsintervllet kn vi bre dele inn intervllet i flere delintervller med uendelighetene i hvert v endepunktene, for deretter å summere integrlene. Jeg ønsker å vise et eksempel på hvor glt ting kn gå hvis mn ikke er forsiktig. Eksempel 4.7. Det finnes et teorem som sier t integrlet 1 dx 0 x konvergerer p for p < 1 og divergerer ellers. Det betyr t 1 dx 1 divergerer. Men l oss nå x 2 lte som vi «glemte» t funksjonen vår hr noen uendelighet. Vi regner ut på vnlig måte; 1 [ dx 1 x 2 = 1 ] 1 = 1 x 1 1 ( 1 1 ) = f + y b y f. f.