Løsningsforslag til øving 4

Transkript

1 1 Oppgve 1 FY1005/TFY4165 Termisk fysikk Institutt for fysikk, NTNU åren 2015 Løsningsforslg til øving 4 For entomig gss hr vi c pm = 5R/2 og c m = 3R/2, slik t γ = C p /C = 5/3 Lngs dibten er det (pr definisjon) ingen vrmeutveksling med omgivelsene, Q b = 0 Fr c til er volumet konstnt slik t det ikke utføres noe rbeid, W c = 0 Trykket økes, som betyr t temperturen også øker Altså øker gssens indre energi fr c til, og denne energien må d komme fr tilført vrme, dvs Q c > 0 Fr b til c komprimeres gssen (til hlvt volum) ved konstnt trykk (p c = p b ) Det betyr t gssen hr utført et negtivt rbeid på omgivelsene, W bc < 0 Det er videre klrt t temperturen i c er lvere enn i b, siden produktet p er mindre i c enn i b (hlvprten så stort) Følgelig er indre energi redusert fr b til c, og det er klrt t Q bc = U bc +W bc < 0, dvs vrme vgitt til omgivelsene irkningsgrden er pr definisjon lik forholdet mellom netto utført rbeid W og tilført vrme Q c, η = W Q c = Q c +Q bc Q c, der vi i siste overgng benyttet oss v t indre energi er en tilstndsfunksjon, slik t netto utført rbeid tilsvrer netto tilført vrme Her tilføres og vgis vrme ved hhv konstnt volum og konstnt trykk, så vi hr direkte Q c = C (T T c ) = 3 2 nr(t T c ), Q bc = C p (T c T b ) = 5 2 nr(t b T c ) i hr llerede slått fst t p b b = 2p c c slik t T b = 2T c Lngs dibten hr vi T γ 1 = T b γ 1 b ( ) γ 1 b T = T b = 2 γ 1 T b, dvs T = 2 γ T c irkningsgrden blir følgelig η = 1+ Q bc = 1 5 T b T c = 1 5 T b /T c 1 Q c 3T T c 3T /T c 1 = / En Crnot-mskin som opererer mellom et vrmt reservor med tempertur T og et kldt reservor med tempertur T c ville h virkningsgrden som ltså er mksiml teoretisk virkningsgrd η C = 1 T c /T = 1 2 5/3 069, Som nevnt i oppgveteksten kn rbeidet bestemmes ved å integrere p()d Lngs dibten må en d benytte seg v t p γ er konstnt Fr b til c blir rbeidet gnske enkelt p b ( b ) Dette gir totlt rbeid uttrykt ved p b b, som med ideell gss tilstndsligning kn erstttes med nrt b, og her kn nr uttrykkes ved γ og C Men tilført vrme vil, som ovenfor, i utgngspunktet være uttrykt ved T og T c, så en kommer ikke utenom å uttrykke disse ved T b, slik vi gjorde ovenfor

2 2 Oppgve 2 Krftverkets virkningsgrd er η = W Q 2 = W Q 1 +W, der Q 1 er vgitt vrme som dumpes i elv Oppgven etterspør effekter, dvs energier pr tidsenhet, så l oss si t Q og W ngir hhv vrme og elektrisk energi (rbeid) pr tidsenhet, dvs vrmeeffekt og elektrisk effekt i løser ligningen ovenfor med hensyn på W og finner t krftverket mksimlt kn levere en elektrisk effekt Dette krever tilførsel v en vrmeeffekt nnets spesifikke vrmekpsitet kn skrives som W = η 1 η Q 1 = MW = 1000MW 06 Q 2 = W + Q 1 = 2500MW c = Q 1 T M, og hvis Q 1 her representerer vrme pr tidsenhet, med enheten J/s, må M tilsvre forbipssert msse vnn pr tidsenhet, med enheten kg/s Nødvendig vnnføring for å begrense T til 5 K blir derfor M = Q 1 c T = J/s 4184J/kgK 5K kg/s 72tonn/s Oppgve 3 I forelesninger hr vi vist (se ligning 218 i P C H ) t C p C v = [ p+ ( ) ]( ) U T T p Fr termodynmisk identitet hr vi også vist (se ligning 418 i PCH) p+ ( ) U T = T Dermed finner vi, ved innsetting i uttrykket for C p C v C p C v = T ( ) p T ( ) ( ) p T T p For finne frem til prtiell-deriverte som er reltivt lette bruke på vn der Wls tilstndsligning, bruker vi cyklisk regel for prtiell-deriverte v funksjoner v to uvhengig vrible ( ) ( ) ( ) p T T p p T = 1 Dermed kn vi eliminere fktoren ( / T) p i uttrykket for C p C v, og finner C p C v = T [( ) ] p 2 T ( ) p T

3 3 For en ideell gss er tilstndsligningen gitt ved og for dette tilfellet hr vi funnet i forelesninger t p = nrt, C p C v = nr Nå bruker vi vn der Wls tilstndsligning og finner I den siste linjen hr vi innført [( ) ] p 2 T = T T ( ) p Når vi setter dette inn, finner vi til slutt T ( ) nr 2, b = nrt ( b) nrt ( b) 2 (1 y) y 2 ( b) 2 3 nrt > 0 C p C v = nr 1 y Dermed ser vi, t siden y > 0, vil C p C v > nr, ltså noe større enn for en ideell gss i ser også t y 1/T, slik t forskjellen i C p C v mellom en vn der Wls gss og en ideell gss, minker med økende temperture T i ser også t når b, så hr vi t y 1/, slik t y blir stdig mindre jo mer fortynnet gssen blir Dette stemmer med det en intuitivt ville tenkt seg, nemlig t jo mer fortynnet en gss blir, desto mer må den begynne å oppføre seg som en ideell gss Legg også merke til t y = 0 når = 0, uvhengig v hv b måtte være! Dette stemmer med det vi fnt i forelesninger, t C p C v for en ren hrd-kule gss (b 0, = 0) vr nøyktig den smme som for ideell gss Ytterligere kommentrer: L oss t som et utgngspunkt t 2 ledd på høyre side i vn der Wls tilstndligning er mye mindre enn første ledd, det vil si 2 nrt b Grovt sgt kn vi si t dette betyr t vi er lngt unn eventuelle kondenssjonspunkt i vn der Wls gssen Hv innebærer dette for den numeriske verdien på den dimensjonsløse størrelsen y? i ser litt nærmere på dette y 2 = 2 ( )( ) b b 2 ( b) 2 3 nrt ( nrt b 2 )( b nrt nrt )( ) b = 2 b Altså ser vi t y 2, som også betyr t y 1 Under slik omstendigheter snkker vi derfor om små vvik fr ideell gss-resulttet Oppgve 4 < 2

4 4 ) Et ideelt Crnot-kjøleskp holder konstnt tempertur 4 C ( lvtemperturreservoret ) i et kjellerrom der temperturen er 13 C ( høytemperturreservoret ) Hv er kjøleskpets effektfktor, dvs forholdet mellom vrmen som trekkes ut v kjøleskpet og rbeidet som kjøleskpets motor må utføre? (Tips: For syklisk reversibel prosess er S = 0 og U = 0) ε K = Q 1 /W = Q 1 /(Q 1 + Q 2 ) i bruker t Q 1 /T 1 + Q 2 /T 2 = 0, dvs Q 2 = Q 1 T 2 /T 1, som innstt i uttrykket for ε K gir ε K = T 1 /(T 1 T 2 ) = 277/9 31 D) C 31 p 5p 0 b c b) Figuren viser en kretsprosess for et mol ideell gss, med p 0 = 1 tm og 0 = 5 L Omlg hvor stort rbeid utfører gssen pr syklus? p 0 d W = 4p = = 10 4 = 10kJ C) 10 kj c) Rnger temperturene i de fire hjørnene v kretsprosessen i oppgve b T er minst, T c er størst Siden T er proporsjonl med p, er T b /T d = p b b /p d d = 5/6, dvs T b < T d B) T < T b < T d < T c d) Dersom gssen i oppgve b hdde ekspndert isotermt fr tilstnd b til en tilstnd med trykk p 0, og deretter blitt komprimert ved konstnt trykk tilbke til tilstnd og så vrmet opp ved konstnt volum til tilstnd b osv, omtrent hvor stort rbeid ville gssen d h utført pr syklus? Siden p b b = 5p 0 0, hr vi her en isoterm ekspnsjon fr tilstnd b til en tilstnd med trykk p 0 og volum 5 0 Arbeidet blir dermed C) 20 kj p 0 0 W = pd 4p 0 0 = 0 0 d 4p 0 0 = 5p 0 0 ln5 4p 0 0 = 500 (5ln5 4) = 20kJ

5 5 p 3 dibt e) Figuren viser en Otto syklus, dvs en reversibel idelisering v en 4 tkts bensinmotor Temperturen i hjørnene 1 4 er hhv T 1 T 4 Hv kn du si om virkningsgrden η O til denne prosessen, i forhold til størrelsen 1 T 1 /T 3? (Tips: T 1 og T 3 er hhv prosessens minimle og mksimle tempertur) 2 dibt 4 1 I denne syklusen er T 3 mksiml og T 1 miniml tempertur Hvis dette hdde vært en Crnot-prosess mellom to vrmereservor ved temperturer T 3 og T 1, ville virkningsgrden h vært η C = 1 T 1 /T 3 Otto-syklusen kn ikke h så stor virkningsgrd, slik t η O < η C (η O = 1 T 4 /T 3 ) A) η O < 1 T 1 /T 3 f) Bensin/luft blndingen i oppgve e hr vrmekpsitet C (ved konstnt volum) Hv blir d rbeidet utført v bensin/luft blndingen pr syklus v Otto prosessen? U = 0 for hel syklus, slik t C) C (T 1 T 2 +T 3 T 4 ) W = Q 23 +Q 41 = C (T 3 T 2 )+C (T 1 T 4 ) = C (T 1 T 2 +T 3 T 4 ) g) Gssen utvider seg, så omdnning v vrme til rbeid er ikke det eneste som skjer Derfor er prosessen ikke i strid med 2 lov B)