Figur 1: Isoterm ekspansjon. For en gitt temperatur T endrer trykket seg langs den viste kurven.

Transkript

1 Fysikk / ermodynamikk åren Gassers termodynamikk 6.. Ekspansjon av ideelle gasser vslutningsvis skal vi se på noen viktige prosesser som involverer ideelle gasser. isse prosessene danner i sin tur grunnlaget for diskusjonen av varmekraftmaskiner. isse prosessene vil bli gjennomgått:. Reversibel isoterm ekspansjon. Reversibel adiabatisk ekspansjon MERK! Selv om vi er bare betrakter ekspansjonsprosesser, vil de samme utledninger gjelde for kompresjonsprosesser. Prosess : Reversibel isoterm ekspansjon I denne prosessen ekspanderer gassen reversibelt mens temperaturen oldes konstant. Endringer i trykket vil da skje langs en isoterm vor P /. For at temperaturen i gassen skal oldes konstant under ekspansjonen, er vi avengig av at varme tilføres til systemet. Prosessen som utføres er illustrert i figuren under. P P P -isoterm (konstant temperatur) Figur : Isoterm ekspansjon. For en gitt temperatur endrer trykket seg langs den viste kurven. rbeidet som utføres i den isoterme ekspansjonen er (usk at er konstant): w Pd nr d rev = = = nrln = nrln rbeidet som utføres på systemet er er en negativ størrelse, altså er det systemet som utfører et positivt arbeid på sine omgivelser under en ekspansjon. For en isoterm prosess er U = H = 0: U = q + w rev = 0 q = -w rev = nrln Siden er større enn, så er q positiv. ette betyr at systemet mottar varme fra omgivelsene under ekspansjonen for å opprettolde en konstant temperatur. 33

2 Fysikk / ermodynamikk åren 00 Prosess : Reversibel adiabatisk ekspansjon I denne prosessen skjer ekspansjonen uten varmeutveksling med omgivelsene, dvs. q = 0. ette innebærer at både trykk og temperatur i systemet vil synke under ekspansjonen. Som utgangspunkt for ekspansjonen starter vi i et punkt på -isotermen. eretter utfører vi ekspansjonen og ender opp i et punkt på -isotermen (legg merke til at >, P > P ). Fra figuren ser vi at den adiabatiske trykk-volum-kurven er brattere enn tilfellet er for de isoterme trykk-volum-kurvene. P P diabat: P / γ P -isoterm (starttemperatur) -isoterm (sluttemperatur) Figur : diabatisk ekspansjon. åde trykk og temperatur vil endre seg under ekspansjonen. Endringen følger den adiabatiske kurven slik som vist. Sammenengen mellom endring i indre energi, arbeid og varme for en adiabatisk prosess er gitt som: du = dq + dw = dw eller du - dw = 0 Følgende liketer er også kjent fra før: du = d dw = -Pd = -nr d Innsatt i likningen du-dw = 0 får vi nå følgende uttrykk etter å a delt med temperturen: d + nrd = 0 et siste uttrykket integreres (antar at v ikke avenger av temperaturen): d nr d + = 0 ln + nr ln = 0 enne siste likningen skal brukes til å utlede den adiabatiske tilstandslikningen. 34

3 Fysikk / ermodynamikk åren 00 en adiabatiske tilstandslikningen en adiabatiske tilstandslikningen beskriver sammenengen mellom trykk og volum i en adiabatisk prosess. For ett mol ideell gass er sammenengen mellom varmekapasitetene ved enoldsvis konstant trykk og konstant volum gitt som: p,m v,m = R. ette gir: ln+ Rln=,m ln+ ( P,m,m ) ln= 0 Litt omforming gir: ( γ ) P,m,m ln + ln ln ln 0 = + =,m Her er γ Pm, m,, denne brøken er nødvendigvis større enn ( P,m >,m ). ed å ta den inverse logaritmen til det siste uttrykket over kommer vi fram til denne sammenengen mellom temperatur og volum: = emperaturen for mol ideell gass kan uttrykkes ved jelp av trykk og volum: = P/R. ette gir: γ P P = = P = P En alternativ formulering av den siste likningen er: P γ = P γ = konstant Uttrykket kalles den adiabatiske tilstandslikningen for en ideell gass. γ γ eregning av arbeid i adiabatiske prosesser rbeidet som utføres i den adiabatiske prosessen kan lett beregnes, da arbeidet er lik endringen i den indre energien (usk ingen varmeveksling finner sted med omgivelsene): U = w U = v ( - ) 6.. armekraftmaskiner - arnotsyklusen En arnot-maskin produserer arbeid ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( ) til et sted med en lavere temperatur ( ). arnot-maskinen er en ideell type maskin, der en idealgass ekspanderes og komprimeres under reversible forold. Maskinens virkemåte beskrives ved jelp av arnot-syklusen. 35

4 Fysikk / ermodynamikk åren 00 Utgangspunkt for arnot-syklusen: i betrakter mol ideell gass i en sylinder utstyrt med et stempel som glir friksjonsløst. ette systemet gjennomgår fire reversible prosesser som til sammen bringer systemet tilbake til sin utgangstilstand. e fire prosessene er:. Reversibel isoterm ekspansjon: I denne prosessen skjer en volumøkning ved konstant temperatur. olumøkningen resulterer i et trykkfall i systemet. For å olde temperaturen konstant under volumøkningen må varme tilføres systemet reversibelt under ekspansjonen (usk at systemet utfører et positivt arbeid på omgivelsene under ekspansjonen. For å kompensere for den energien systemet avgir ved å utføre dette arbeidet, må ekstra energi tilføres systemet i form av varme for å olde konstant temperatur.). Reversibel adiabatisk ekspansjon: I denne prosessen økes volumet under adiabatiske forold. Siden varme ikke kan tilføres systemet under ekspansjonen, så vil temperaturen i systemet falle. 3. Reversibel isoterm kompresjon: I denne prosessen komprimeres gassvolumet mens temperaturen oldes konstant. For å olde konstant temperatur under kompresjonen må varme fjernes fra systemet (usk at vi tilfører gassen energi ved at vi utfører et arbeid på den under kompresjonen. enne energien må fjernes i form av varme for at temperaturen skal være konstant). 4. Reversibel adiabatisk kompresjon: I denne prosessen komprimeres gassvolumet under adiabatiske forold. ette resulterer i en temperaturøkning i systemet. isse fire prosessene kan illustreres grafisk i et trykk-volum diagram (se figur 3). i ser at prosessene fører oss tilbake til utgangspunktet, dvs. at systemet gjennomgår en komplett syklus. diabat P -isoterm diabat -isoterm Figur 3: arnot-syklus. I syklusen inngår isoterme og adiabatiske ekspansjoner og kompresjoner. 36

5 Fysikk / ermodynamikk åren 00 rinn reversibel eksoterm ekspansjon: i beveger oss langs -isotermen fra punkt til punkt. rykket i systemet faller idet volumet øker. Siden prosessen er isoterm: U = q + w rev = 0 q = -w rev = nr ln i ser er at q vil være positiv ( > ),, m.a.o. tilføres varme til systemet! rbeidet utført på systemet, w rev, beregnes slik: ln = nr ln w Pd nr d rev = = = nr rinn reversibel adiabatisk ekspansjon: i beveger oss fra punkt til punkt langs adiabaten. I prosessen ser vi at trykket faller idet volumet øker. Samtidig faller temperaturen fra til (vi ender m.a.o. opp på -isotermen). Siden prosessen er adiabatisk er q = 0, dvs. U = w rev rbeidet som utføres på systemet er da: w rev = U = v = v ( - ) I tillegg gir den adiabatiske tilstandslikningen: = γ rinn 3 reversibel isoterm kompresjon: i beveger oss langs -isotermen fra punkt til punkt. rykket i systemet øker idet volumet reduseres. Siden prosessen er isoterm: U = q + w rev = 0 q = -w rev = nr ln i ser er at q vil være negativ ( < ), m.a.o. avgis varme fra systemet! rbeidet utført på systemet, w rev, beregnes slik: ln = nr ln w Pd nr d rev = = = nr rinn 4 reversibel adiabatisk kompresjon: i beveger oss fra punkt tilbake til punkt langs adiabaten. I prosessen ser vi at trykket øker idet volumet reduseres ytterligere. Samtidig øker temperaturen fra til (vi ender opp på -isotermen). Siden prosessen er adiabatisk, er q = 0, dvs. U = w rev rbeidet som utføres på systemet er da: w rev = U = v = v ( - ) I tillegg gir den adiabatiske tilstandslikningen: = γ 37

6 Fysikk / ermodynamikk åren 00 Komplett syklus i setter sammen de enkelte delprosessene til en komplett syklus. Siden vi ar beveget oss tilbake til startilstanden betyr det at den totale endringen i den indre energien, U, må nødvendigvis være lik null (U er en tilstandsfunksjon som bare avenger av start- og sluttilstanden!) U = q tot + w tot = 0 q tot = - w tot en totale (netto) varmemengden, q tot, finner vi ved å summere den varmeøverføringen som skjer i trinn og trinn 3 (i de adiabatiske trinnene og 4 skjer jo pr. def. ingen varmeoverføring): qtot = q + q = nr ln + nr ln i vet også fra den adiabatiske tilstandslikningen: = γ γ = = Innsatt gir dette for den totale (netto) varmeoverføringen: q tot = nr ln + nr ln = nr ln - nr ln = nr( - )ln et totale (netto) arbeidet som utføres på systemet er w tot = - q tot. Imidlertid er det er mer ensiktsmessig å snakke om arbeidet som utføres av systemet, w : Siden w = -w w = q tot = nr( - )ln For arnot-maskinen definerer vi nå en effektivitetsfaktor virkningsgraden som er definert som foroldet mellom arbeidet utført av systemet og den varmemengde som systemet tar opp ved den øyeste temperaturen : nr( ) ln w' q + q η = = = = q q nr n i ser at 00% effektivitet (η = ) oppnås kun når den laveste temperaturen (vor varme avgis) er lik 0 K. et betyr at i praksis er det umulig å konvertere all absorbert varmeenergi (q ) til arbeid. Prinsippet for enver arnotmaskin er altså av maskinen tar opp varme ved en øy temperatur og avgir noe varme ved en lavere temperatur. Energidifferansen mellom opptatt og avgitt varme kan vi ente ut i form av utført arbeid. i ser at jo større forskjell det er på temperaturene for opptatt og avgitt varme, jo mer effektiv er maskinen. ampmaskiner er et klassisk eksempel på varmekraftmaskiner ev arnot-typen. 38