Eksamen i: Fys-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: Tirsdag 26. februar 2013 Tid: Kl 09:00 13:00

Transkript

1 EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2001 Statistisk fysikk og termodynamikk Dato: irsdag 26. februar 2013 id: Kl 09:00 13:00 Sted: B154 illatte jelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling, O. Øgrim: Størrelser, eneter og symboler i fysikken, S. Barnett and.m. Cronin: Matematical Formulae, C. Nordling and J. Österman: Pysics Handbook for Science and Engineering, S. E. Pedersen, J. Gustavsen, S. Kaasa og O. Olsen: eknisk formelsamling Fysiske og matematiske tabeller, lommekalkulator, abeller og formler i fysikk for 2FY og 3FY. Oppgavesettet er på 6 sider inkl. forside og formelark Kontaktperson under eksamen: Åsild Fredriksen elefon: Kontor 45133, mobil asild.fredriksen@uit.no Side 1 av 6

2 Oppgave 1. Figur 1: En Carnot syklus i PV diagram. Figur 1 viser en Carnot-syklus i et PV diagram. Prosessen går i retning med klokka og består av fire delprosesser. a) Beskriv de fire delprosessene og oppgi vilken termodynamiske størrelse som er konstant i ver delprosess. Effektiviteten e for en Carnot-syklus er gitt som Wtot Qc e 1 Q Q (1) der W tot er den totale arbeidet ut av motoren, og der Q og Q c er enoldsvis varme inn i og varme ut av systemet. b) a utgangspunkt i ligning (1) og beregn varmen inn i (Q ) og varme avgitt (Q c ) fra Carnot-syklusen i figur 1. Bruk en ideell gass som arbeidssubstans, og vis at Carnoteffektiviteten er gitt ved: e c C 1 (2) Side 2 av 6

3 der og c er temperaturene enoldsvis inn i og ut av motoren. For vilke betingelser vil effektiviten være maksimal og va er den maksimale effektiviteten til en Carnot syklus? Anta en Carnot-syklus der arbeidssubstansen ar temperaturen w når varme absorberes fra varmereservoaret, og ar temperaturen cw når varme overføres til kuldereservoaret. I de fleste tilfellene vil varmeoverførings-raten være direkte proporsjonal med temperaturforskjellene, slik at Q t Qc t K( ) w K( ) cw c, (3) og der vi antar at proporsjonalitetskonstanten K er den samme for begge prosessene. Vi antar også at begge prosessene tar like lang tid, slik at t er den samme i begge tilfellene. c) Anta at det ikke dannes ny entropi i syklusen utenom de to varmeoverføringsprosessene, og vis at foroldet mellom de fire temperaturene kan uttrykkes ved relasjonen: w cw c (4) w d) Anta at tiden som går med i de to adiabatiske trinnene er neglisjerbar, og finn et uttrykk for effekten (arbeid per tidsenet) ut av motoren. Bruk termodynamikkens første og andre lov sammen med resultatet fra b) til å vise at effekten kan uttrykkes som: cw K c Effekt = 1 2 2w w (5) Når kostnadene med å bygge en motor er mye større enn drivstoff-kostnadene, er det vanligvis ønskelig å optimalisere motoren for maksimal effekt ut i stedet for maksimal effektivitet. e) Finn et uttrykk for temperaturen w vor effekten gitt ved ligning (5) ar en maksimumsverdi for gitt verdi og c, og finn det tilsvarende uttrykket for cw. Side 3 av 6

4 Oppgave 2. En magnetisk dipol ar et sett med to diskrete en-partikkel-tilstander: E B; E B (6) 0 0 Størrelsene 0 og B er konstanter. Vi betrakter et system med N slike dipoler, som sitter i faste posisjoner i et krystall-gitter. Systemet er i termisk kontakt med et stort reservoar med konstant temperatur. Følgende relasjoner er oppgitt: 1 x x 1 x x sin x cos x ( e e ); sin x ( e e ); tan x (7) 2 2 cos x a) Vis at en magnetisk dipol ar partisjonsfunksjonen: 0B Z1 2cos k (8) Skriv ned partisjonsfunksjonen Z N for det store systemet som består av N dipoler. Bestem midlere energy U for systemet. b) Vis at entropien S for systemet er gitt som: 0B S Nk ln 2cos x x tan x, x (9) k der k er Boltzmanns konstant. Undersøk vordan entropien oppfører seg i grensene 0 og. Bestem også det kjemiske potensialet for systemet. Vi antar nå at magnetiske dipol-par (partikkeltype A) kan kombinere til partikkeltype C med null egenspinn og null magnetisk dipol-moment. Den kjemiske reaksjonsligningen er gitt som: 2A C (10) Partikkeltypen C kan kalles en unik kvantetilstand, med bindingsenergi E c relativt til et par med frie magnetiske dipoler A (den elektriske grunntilstanden til C ar energi E c ). Alle partiklene av type C sitter også fast i et krystall-gitter. c) Skriv ned partisjonsfunksjonen for et system med N partikler av partikkelslag C, og finn det tilørende kjemiske potensialet. Diskuter den relative stabiliteten til partikkelslag A og C i grensene lav og øy temperatur. Side 4 av 6

5 Oppgave 3. Et system med N bosoner ar temperaturen og kjemisk potensial. Bose-Einstein fordelingen er gitt ved: 1 n BE ( ) ( )/ e k 1 (11) a) Forklar va størrelsen n ( ) betyr. egn et enkelt diagram som viser denne BE fordelingen for to ulike temperaturer 1 og 2 ( 1 < 2 ). Vi antar at energien () kan anta diskrete verdier j, der j= 0, 1, 2,..., slik at j < j+1. b) Sett opp et uttrykk for det totale antall partikler N i systemet. Hvilken størrelse kan vi (i prinsippet) bestemme av dette uttrykket? c) Angi et uttrykk for antall partikler N j i nivået j. Hva skjer med N j når 0? Hva er grensen for det kjemiske potensialet når 0? d) Hva er betingelsen for at Bose-Einstein fordelingen skal gå over til en klassisk Boltzmann-fordeling? Anta at vi ar diskrete energier j også for den klassiske fordelingen. Vis at det kjemiske potensialet nå er k ln Z 1 (12) N der Z 1 er partisjonsfunksjonen for en partikkel. Kommenter resultatet. Side 5 av 6

6 Relevante uttrykk: For adiabatisk prosess: V f /2 konstant Endring i indre energi: U Q W Midlere energi i et system kan uttrykkes som: U 1 Z 1 der = Z k Entropi: S Q S k ln, der er multiplisiteten til systemet S F N W Effekt: P, der t er tid t Helmolz frie energi: F U S k ln Z N Kjemisk potensial: F N Side 6 av 6