Eksamen TFY4165 Termisk fysikk kl mandag 7. august 2017 Bokmål

Transkript

1 FY august 2017 Side 1 av 7 Eksamen FY4165 ermisk fsikk kl mandag 7. august 2017 Bokmål Ogave 1. (armeledning. Poeng: =20) Kontinuitetsligningen for energitetthet u og energistrømtetthet j er gitt ved u t + j = 0. Se å et slinderskall med indre radius R 1 og tre radius R 2. Det indre slinderskallet holdes å en konstant temeratur 1 og det tre slinderskallet holdes å en konstant temeratur 2 < 1. Det antas stasjonære forhold. a. is at den totale varmestrømmen Q gjennom en tenkt slinderate med radius R 1 < r < R 2 inne i slinderskallet, er uavhengig av r. b. Bruk dette resultatet til å nne temeraturen (r) inne i slinderskallet som funksjon av r, når vi antar at varmeledningsevnen κ er en temeratur-uavhengig konstant. Svaret skal uttrkkes kun ved (R 1, R 2, r) og ( 1, 2 ). c. i setter nå 2 = 300 K. Slinderskallet er laget av en aluminiumslegering der vi kan ta som reresentativ verdi κ = 200 W/m K, og R 1 = 1 dm og R 2 = 6 dm. Hva blir den høeste temeraturen 1 det indre slinderskallet kan ha når det kreves at eekttaet fra kula ikke skal overstige 1000 W? Ogitt: Gauss' sats: d j = j da A( )

2 FY august 2017 Side 2 av 7 Ogave 2. (Reversibel kretsrosess. Poeng: =40) ermodnamikken til et vilkårlig ferromagnetisk, ferroelektisk, eller multiferroisk sstem kan generelt formuleres ved hjel av et tre felt (en intensiv variabel), og en fsisk størrelse X (en ekstensiv variabel) som måler graden av innretning av et diolmoment av ett eller annet slag langs det tre feltet. Den termodnamiske identitet for et slikt sstem kan skrives å formen ( ) X ds = C d + d, der C = ( H/ ) er varmekaasiteten ved konstant tre felt, hvor H er sstemets entali. a. is at sammenhengen mellom C og X gitt ved ( ) C b. Et sesielt slikt sstem har tilstandsligning = ( 2 ) X 2 X(, ) = χ, der χ er en dimensjonsbeheftet ositiv konstant. is at sammenhengen mellom og temeraturen langs en adiabat gitt ved = konstant (Hint: Finn ekslisitt uttrkk for C fra tilstandsligningen og sammenhengen mellom C og X. Du kan anta at C = 0 når = 0. Bruk deretter termodnamisk identitet langs en adiabat.) c. Sstemet utfører nå en reversibel kretsrosess i 4 steg: 1) Isoterm varmetilførsel ved en temeratur h, 2) adiabatisk rosess til en tilstand med temeratur c < h, 3) isoterm varmeavgang ved c, og 4) adiabatisk rosess til en tilstand med temeratur h. egn o denne kretsrosessen i et (, )-diagram med startunkt og retning å rosessen. d. i tenker oss nå at dette sstemet blir brukt i en varmeume ved at rosessen i ogave c. blir kjørt i revers. Regn ut tilført varme Q t og avgitt varme Q a, og regn ut virkningsgraden η til varmeumen. Svaret for η skal uttrkkes som en funksjon kun av h og c. (Hint: Her må du bruke adiabatligningen fra ogave b.)

3 FY august 2017 Side 3 av 7 Ogave 3. (Gass av to-atomige molekler i to dimensjoner. Poeng: =40) I denne ogaven ser vi å et sstem av N uavhengige to-dimensjonale klassiske harmoniske oscillatorer. Energi-funksjonen ε til en oscillator er gitt ved ε = 1 ( 2 2m x + 2 K ( ) + x 2 + 2) 2 Her er ( x, ) imulsen til artikkelen i (x, )-retning, og (x, ) er osisjonene. For senere bruk innfører vi ω = K/m, slik at K = mω 2. Det to-dimensjonale "volumet"(arealet) artiklene benner seg i, er en sirkel med radius R, slik at = πr 2. i ser først å temeraturer som er slik at βmω 2 R 2 /2 1, da dette forenkler beregningen litt. Koordinatene til alle oscillatorene er målt i forhold til origo i denne sirkelen (alle sammen svinger rundt senteret av sirkelen). a) Beregn tilstandssummen Z = 1 N!h 2N N ˆ i=1 der E = N i=1 ε i er energien til alle N oscillatorene. d 2 i ˆ d 2 r i e βe b) Beregn indre energi U og varmekaasitet C til dette sstemet. eriser at resultatet stemmer med det klassiske ekviartisjonsrinsiet. c) Beregn trkket artiklene i sstemet utøver å veggen i beholderen, og gi en fsisk forklaring å svaret du nner. d) Gå nå bort i fra forutsetningen om at βmω 2 R 2 /2 1, og beregn trkket som artiklene i gassen utøver mot veggen. Finn sesielt dette trkket når βmω 2 R 2 /2 1, og gi en fsisk forklaring å resultatet. Ogitt: ( ) ln Z U = β ( ) U C =

4 FY august 2017 Side 4 av 7 FORMLER OG URYKK. Formlenes gldighetsområde og smbolenes betdning antas å være kjent. Smbolbruk og betegnelser som i forelesningene. ektorer med fete ter. Utvidelseskoesienter, trkk-koesient, isoterm komressibilitet: α L = 1 ( ) L α = 1 ( ) α = 1 ( ) L κ = 1 ( ) Sklisk regel: Første hovedsetning: armekaasitet: ermodnamiske otensialer: ( ) x z ( ) z x dq = du + dw C = dq d ( ) C C = ( ) z = 1 x ( ). H = U + F = U S G = H S G = j µ j N j Den termodnamiske identitet: ds = du + d j µ j dn j Generalisert termodnamisk identitet for et sett med intensive variable { i } og et sett ekstensive variable {X i }: ds = du i dx i i ds = dh + i X i d i Ideell gass tilstandsligning: van der Waals tilstandsligning: Adiabatisk rosess: Joule-homson-koesienten: = Nk = nr = Nk Nb an 2 2 µ J = dq = 0 ( ) H

5 FY august 2017 Side 5 av 7 PCH 4.18: Entali-versjonen av 4.18 PCH ( ) U ( ) H = = ( ) ( ) + Generaliserte varianter av disse, med intensiv variabel og X ekstensiv variabel: ( ) ( ) U = + X X ( ) ( ) H X = X irkningsgrad for varmekraftmaskin: irkningsgrad for Carnot-maskin: Maxwells hastighetsfordeling: ( m ) 1/2 g(v x ) = e mvx 2/2k F (v) = 2πk Gauss-integraler: I 2 (α) = I 0 (α) = η = W Q inn η C = ( m ) 3/2 e mv 2 /2k 2πk I 3 = e αx2 dx = π α x 2 e αx2 dx = d dα I 0(α) 0 dx x e αx2 = 1 2α ( m ) 3/2 f(v) = 4π v 2 e mv2 /2k 2πk Det klassiske ekviartisjonsrinsiet: Hver frihetsgrad som inngår kvadratisk i energifunksjonen E bidrar med k/2 til midlere energi. etc Partisjonsfunksjon: Z = j e E j/k = e βf (β = 1/k ) Kjøleska, virkningsgrad (eektfaktor): armeume, virkningsgrad (eektfaktor): Entroi og Clausius' ulikhet: Boltzmanns rinsi: ds = dq rev ε K = Q ut W ε = Q inn W ds = 0 S = k ln W dq 0

6 FY august 2017 Side 6 av 7 Stirlings formel: Eksergi: Kjemisk otensial: Ideell blanding: N! = 2πNN N e N (N ) W max = G med G = U 0 S + 0 ( ) G µ j = N j,,n i j S mix = k N j ln x j µ j = µ 0 j + k ln x j j (Clausius-)Claerons ligning: Strålingshulrom, frekvensfordeling: d d = S du df = 8πh f 3 c 3 ex(hf/k ) 1 ; u( ) = du 0 df df Stefan-Boltzmanns lov: j s ( ) = c 4 u( ) = σ 4 (σ = 2π 5 k 4 /15h 3 c 2 )

7 FY august 2017 Side 7 av 7 Fouriers lov: armeledningsligningen: Ficks lov: Diusjonsligningen: U-verdi: j = κ ; j = Q/A t = D 2 j = D n n t = D 2 n j = U Midlere fri veilengde, fortnnet gass (n = N/ ; σ = sredningstverrsnitt): λ = 1 2nσ armeledningsevne, fortnnet gass (c = varmekaasitet r molekl; m = moleklmasse): Diusjonskonstant, fortnnet gass: Fsiske konstanter: κ = 2c 3σ k πm D = 2 k 3nσ πm = κ nc k = J/K R = J/molK N A = mol 1 h = h/2π = Js e = C µ 0 = 4π 10 7 N/A 2 m e = kg u = kg c = m/s ε 0 = 1 c 2 µ 0 σ = W/m 2 K 4 Omregningsfaktorer: 1 e = J 1 = m 1 cal = J 1 bar = 10 5 Pa 1 atm = Pa