UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 NIVERSIEE I OSO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Fys60 Eksamensdag: Fredag 6. desember 03 id for eksamen: Oppgavesettet er på: 4 sider Vedlegg: ingen ilatte hjelpemidler Godkjente kalkulatorer Rottman: Matematisk formelsamling Ett A4 ark med håndskrevne notater Kontroller at oppgavesettet er komplett før du begynner å besvare oppgavene. Oppgave a Vis at dersom Z A og Z B er partisjonsfunksjonene for to systemer i termodynamisk likevekt, vil partisjonsfunksjonen Z for det totale systemet som består av begge systemene være gitt som Z = Z A Z B. Angi under hvilke forutsetninger denne likningen gjelder. Gi et eksempel der likning ikke er gyldig. Dersom tilstandene i de to systemene er uavhengige, og partiklene ikke er identiske, kan vi liste opp alle tilstandene for det samlede systemet ved å liste opp alle tilstander for sytem A og B hver for seg. Den samlede energien for tilstandene er da ɛ ij = ɛ i + ɛ j, hvor i angir tilstandene i system A og j angir tilstandene i system B. Partisjonsfunksjonen er da: Z = e ɛi+ɛj/k = e ɛi/k e ɛj/k = Z A Z B. 3 i j i j Vi skal i denne oppgaven studere en forenklet modell som kan brukes til å beskrive strekking av muskler. Modellsystemet består av en rettlinjet kjede med N enheter/ledd. Enhetene kan enten være i en α-fase og ha lengden a eller være en i β-fase og ha lengden b. Vi regner her a og b som konstanter med enhet lengde. Hver enhet kan gå fra en α-fase til en β-fase og tilbake igjen via en kjemisk reaksjon. angir antall enheter i kjeden som er i α-fasen. Vi antar at mulige kvantetilstander for ledd i α-fasen er ulik mulige kvantetilstander for ledd i β- fasen. Partisjonsfunksjonen for ett enkelt ledd i α-fasen betegnes z α, og for ett enkelt ledd i β-fasen betegnes z β. Anta at z α og z β er kjent. b Vis at partisjonsfunksjonen Z for systemet er N Z = zα z N β. 4

2 For en gitt finnes det mange måter å arrangere posisjonen til de ulike leddene. For hvert arrangement av α og β faser vil det være et bidrag z α z α... z }{{ α } = z α z β z β... z β }{{} = zn β, 5 til partisjonsfunksjonen. otalt er det N, 6 måter å plasser ledd i α-fasen blant N ledd, slik at den totale partisjonsfunksjonen blir N Z = z α z N β. 7 a K være den ytre kraften som skal til for å strekke kjeden til en viss total lengde. c a utgangspunkt i termodynamikkens første lov og at Q = ds for en reversibel prosess og vis at den termodynamiske identitet for systemet kan skrives som ds = d Kd, 8 når dn = 0. ermodynamikkens første lov gir at d = Q + W. Hvis vi ser på en reversibel prosess hvor Q = ds blir da d = ds + W, 9 hvor arbeidet som utføres på kjeden er W = Kd ved en forlengelse d, slik at d = ds + Kd ds = d Kd. 0 d Benytt uttrykket i likning 8 til å uttrykke ds med og som tilstandsvariable. Vi vet at = a + N b, slik at Vi kan derfor finne = = a b = l, = l Men fra ds = d Kd ser vi også at K = = l og dermed ser vi at ds =., 3 d l K d. 4

3 e Vis at differensialet til Helmholtz fri energi er hvor l = a b. df = Sd + K l d, 5 Vi vet at F = S slik at df = d ds Sd, hvor vi nå setter inn det vi fant for ds: df = d Sd l K d d = Sd + K l d. 6 f Vis Maxwell-relasjonen K = l. 7 Fra differensialet til F ser vi at F K = og S =,N og dermed finner vi Maxwell-relasjonen lk = = l F,N, 8 F F =, 9,N F = F S =. 0 g tled uttrykket = K K, som kan brukes til å måle forandring i indre energi ved å måle K,, og for systemet. Vi starter med den termodynamiske identiten d = ds + Kd som ved konstant gir at = K + hvor vi nå kan sette inn fra forrige oppgave: og vi får: K = l S = K = K,,

4 h Vis at tilstandslikningen for systemet kan skrives som K l z β = ln. 5 k N z α Du kan bruke Stirlings tilnærming, ln N! = N ln N N. Vi kan finne K fra Helmholtz fri energi: K = F = k ln Z l l N, 6 α hvor vi nå setter inn uttrykket for partisjonsfunksjonen og deriverer: N! ln! N β! zα z N β β =, 7 hvor vi nå setter inn Stirlings tilnærmelse og finner = N ln N N ln + N β ln N β + N β + ln z α + N β ln z β, 8 vi kan så eliminere ledd hvor vi spesielt benytter at + N β = N. Da finner vi z β z β = ln = ln 9 N β z α N β z α og dermed finner vi som var det vi skulle vise. K l k = ln z β ; 30 N z α i Skriv et script eller et program som plotter tilstandslikningen for systemet for forskjellige temperaturer. Anta at z β /z α, b = l 0, a = l 0, og N = 000. % plot K, % Hvilestilling, Na = Nb = N/ -> avg = N* la + lb/ kdlvalues = [ ]; for i = : length kdlvalues kdl = - kdlvalues i; la =.0; lb =.0; N = 000; Na = 0: N; = Na*la +N-Na*lb; K = kdl * log Na./N-Na; plot,k hold all end xlabel $/ l_0$ ylabel $K/ K_0$ mysavefig tmp. pdf 4

5 j Figur viser plot av tilstandslikningen for forskjellige verdier av. Kommenter figuren. Hvordan utvikler tilstandslikningen seg for stigende? K/K /l 0 Figur : Plot av K. Dersom ingen kraft virker på kjeden sier vi at den er i hvilestillingen. k Finn et uttrykk for,0, antall ledd i α-fasen i hvilestillingen. Hvor er hvilestillingen i figur? Hva er 0 lengden til systemet i hvilestillingen for systemet i figuren? For små avvik fra hvilestillingen kan kraften skrives tilnærmet som K = + z α k = A, 3 z β N l hvor er forlengelsen. l Er denne tilnærmelsen rimelig ut fra figur? Anslå hvilket intervall tilnærmelsen er gyldig for. ilnærmelsen er rimelig så lenge avviket fra hviletilstanden ikke er for stort. Plottet viser at det lineære området er overraskende stort og det først er når begynner å nærme seg N at avviket blir betydelig. Dersom A er konstant, blir systemets energi kun en funksjon av temperaturen. Vi antar videre at kjedens lengde i hvilestillingen er temperaturuavhengig. Dersom vi ser bort fra entropiens temperatur-avhengighet i hvilestillingen kan den skrives som S = S 0 B, 3 hvor S 0 er en konstant. m ttrykk B ved A. Vi vet at K = a, og vi har fra før funnet at S K = = a = a 0, 33 5

6 hvor 0 er hvilestillingen. Vi har da at ds = a d, 34 og at d = d. Vi kan derfor integrere opp S for en isoterm prosess med konstant, og finner at S, S, = a, 35 hvor vi altså ser at b = a/ som var det vi skulle vise. Vi tenker oss i det følgende at vi har en syklisk reversibel maskin som benytter modellsystemet som medium. ilstandslikningen for systemet antas å være gitt på den lineariserte formen i likning 3. Syklysen består av: en isoterm strekking av kjeden ved lav temperatur, = = 3 en adiabat 3 4 en isoterm slakking av kjeden ved høy temperatur, H = 3 = 4 4 en adiabat n egn skjematisk opp maskinens syklus i et K--diagram. Angi den funksjonelle sammenhengen mellom K og for hver prosess. Skissen av syklusen er gitt i figur. K 3 H ΔS=0 ΔS=0 4 Figur : Maskinens syklus i et K- diagram. Merk at det er noe galt med denne oppgaven: Prosessen fra til 3 og fra 4 til skjer ved konstant entropi, men ikke ved konstant temperatur. Men siden de skjer ved konstant utføres det ikke noe arbeid og siden de er adiabatiske tilføres det ikke noe termisk energi da kan ikke den indre energien endre seg. MEN hvis du ignorerer dette problemet, kan du likevel regne på prosessen. Merk at du ikke vil møte slike problemer i eksamensoppgavene. o Beregn arbeidet utført av muskelen i del-prosessene og 3 4. Angi størrelsene med symbolene W og W 34 og benytt endepunktene som indeks for tilstandsvariablene K,, osv. 6

7 Vi finner arbeidet i prosessen til. Der er temperaturen konstant, og vi finner W = Kd = a d = Vi finner tilsvarende for prosessen fra 3 til 4: W 34 = a H Vi ser fra figuren at = 3 og = 4 som gir at a d = a , 37 W 34 = a H. 38 p Beregn arbeidet W 3 og W 4. Arbeidet er null siden er konstant. q Beregn varmen tilført systemet i alle delprosessene. Siden til 3 og 4 til er adiabatiske er Q 3 = Q 4 = 0. For de to andre prosessene kan vi benytte d = Q + W, men siden kun er en funksjon av, vil d = 0 = Q + W for en isentrop prosess. Dermed er Q = W og Q 34 = W 34 som vi regnet ut ovenfor. r Beregn maskinens effektivitet enklest mulig. Effektiviteten til maskinen er e = W Q in = W + W 34 W 34 = + W W 34 = H, 39 ved innsetting av W og W 34 fra ovenfor. Oppgave Delspørsmålene har ikke nødvendigvis noen innbyrdes sammenheng. s tled Clausius-Clapeyrons likning. t Vis at prinsippet om entropiens økning fører til at Gibbs fri energi er minimal for et system det, p, og N er konstant. u Gi en mikroskopisk begrunnelse for termodynamikkens andre hovedsetning, S 0. 7