3.7 Pythagoras på mange måter
|
|
- Atle Bø
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen som hr fått hns nvn ser ut til å h vært kjent lenge før hns fødsel. Setningen gjelder for en rettvinklet treknt og er følgende: = + Kvdrtet v lengden v den lengste siden (hypotenusen) er lik summen v kvdrtet v de to korteste sidene (ktetene). A B Figur 3.6 Det kn være vnskelig å oppftte innholdet i setningen. Vnskeligheten ser ut til å ligge i hv kvdrtene står for; nemlig som relet v kvdrter med, og som sideknter eller som kvdrttll. Det er også slik t svært få hele tll gjør t setningen er riktig. Det er mnge forskjellige evis for setningen. Her er noen: 1. Ved å sette relet v hele kvdrtet lik summen v de 4 like store trekntene og det lille kvdrtet får vi: ( + ) = 4 + som gir og + + = + Figur =. 64 Utgitt v spr forlg s
2 . Den tidligere meriknske presidenten Grfield g også et evis for setningen: Figuren kn etrktes som tre treknter eller et trpes. Ved å sette relet v trpeset lik summen v relene v de tre trekntene får vi: Figur 3.8 ( + )( + ) = + som også gir + =. 3. Puslespill Klipp ut de 5 nummererte itene. Legg disse itene som et puslespill slik t de kkurt dekker det store kvdrtet. Til diskusjon: Det er vnlig å innføre Pythgors setning på ungdomstrinnet. På hvilke lderstrinn kn puslespillet rukes? Figur Euklids figur som evis for setningen Trekntene HSE og HLE er formlike. Derfor (etter mellomproporsjonlsetningen, side 69) er: HL HE = HE HS som gir: HE = HL HS. Dette etyr t HIKL og HEFG hr smme rel. På tilsvrende måte kn det vises t KPSL og ESTU hr smme rel. Dette viser setningen. F G H I Figur 3.30 E K L U S P T KAPITTEL 3 65 Utgitt v spr forlg s
3 5. Pulus Gerdes, Mozmique. Pulus Gerdes viser hvordn mn kn se gyldigheten v Pythgors setning ved å t utgngspunkt i knpper som er vevet v ønder i Mozmique. Det er en tegning v knppen til venstre under. Ved å rette ut noen linjer, får vi tegningen til høyre. Figur 3.31 Arelet v hele knppen kn settes lik relet v en omformet «knpp». A = = = B A B Figur 3.3 Ved å se på relene v kvdrtene, lir kvdrtet A = kvdrtet B + kvdrtet. 66 Utgitt v spr forlg s
4 Et Pythgoreisk tlltrippel, er tre (hele) tll, og som psser inn i likningen + =. Et eksempel på et slikt tlltrippel er: =3, =4 og =5. Et nnet tlltrippel som psser er 6, 8 og 10. Disse tllene klles snekkertriplet fordi de kn rukes for å sjekke om en vinkel er rett, f. eks. i et hjørne eller liknende. Oppgve 3.19 Finn flere Pythgoreiske tlltripler. Oppgve 3.0 Et erømt prolem fr mtemtikkens historie er «det rukkete musprolemet», som stmmer fr eldre kinesisk mtemtikk: En musstokk er 10 hih høy. Stokken rekker, og toppen v stokken rører kken 3 hih fr foten v stmmen. Hvor høyt oppe på stmmen er ruddet? Figur 3.33 Oppgve 3.1 Under er det et mønster. Det finnes ofte som mønster på gensere, tepper osv. Hvor hr dere sett det? Hvor mnge sorte ruter er det? De sorte rutene kn settes smmen til et kvdrt. Hvor lng er en side i kvdrtet? Hvor mnge hvite ruter er det? De hvite rutene kn også settes smmen til et kvdrt. Hv er sidelengden i dette kvdrtet? Bruk linjl og trekk opp linjer mellom hjørnene som er ringet inn. Du får et kvdrt. Diskuter hvorfor flteinnholdet v dette kvdrtet er likt flteinnholdet v hele mønsteret. Figur 3.34 KAPITTEL 3 67 Utgitt v spr forlg s
5 Bruk rutene i mønsteret til å tegne en treknt som hr rett vinkel og sider lik 3, 4 og 5 ruter. Prøv å tegne opp et liknende mønster som hr 5 sorte ruter og 16 hvite ruter. Still liknende spørsmål som det vi gjorde over. Hv lir svrene nå? Utforsk videre; lg nye mønstre og still nye spørsmål! Oppgve 3. (fr eksmen i grunnskolen 1986) ) Konstruer en treknt ABD der AB=6,0 m, AD er 9,5 m og ABD=90º. ) Hvor stor er BD? ) Treknt ABD er en del v en firknt ABD der D=B og AB=135º. Konstruer firknten. d) Hvor stort er relet v firknten? e) Konstruer en sirkel med sentrum O på BD og slik t den erører (tngerer) AD i E. Rdien er 3,0 m. f) Bevis t ABD og OED er likeformede (formlike). g) Beregn OD. h) Hvor stor er digonlen A? Oppgve 3.3 (fr eksmen i grunnskolen 1987) ) Konstruer treknten ABD der AB=1 m, AD=6 m og DAB=60º. ) Hvor store er vinklene i treknten ABD? ) Regn ut lengden BD. d) Normlen fr D på AB skjærer AB i E. Konstruer normlen. e) Forklr t AED er likeformet (ensformet, formlik) med ADB. f) Treknten ABD er en del v firknten ABD. ligger like lngt fr B som fr D, og på prllellen til AB gjennom D. Konstruer firknten. g) Regn ut vinklene i treknten BD. h) Regn ut omkretsen v firknten ABD. i) Konstruer en sirkel som omskriver firknten ABD. j) En del v sirkelen ligger utenfor firknten. Regn ut relet v denne delen. 68 Utgitt v spr forlg s
6 Mellomproporsjonlen Gitt en rettvinklet treknt AB, med som den rette vinkelen. Høyden fr treffer AB i D. Figur 3.35 A D B Hvorfor er trekntene AB, DB og AD formlike? På grunn v formlikhet hr vi AD D = eller D = AD DB. D DB D klles mellomproporsjonlen mellom AD og DB. I vsnittet om konstruksjoner (3.) står det nevnt t mellomproporsjonlen kn rukes til å konstruere kvdrtroten v et linjestykke. Hvis AD= og DB=1, vil D = AD DB = 1 =. Dette etyr t D =. Figuren over kn også enyttes til å vise Pythgors læresetning. Pg. formlikhet er AB B B = og AB BD A A =. Siden AB=AD+DB, gir AD ( ) =. Settes AB AD = A dette: B = AB AB AD AB AB AD inn i uttrykket over, gir dette: B = AB A eller: AB = B + A. Oppgve 3.4 Mellomproporsjonlen kn også rukes til å konstruere lengden v kvdrtrøtter på en nnen måte. Hvis f. eks. D = 6, d er D = 6 = 3. Du kn nå konstruere treknt AB når AD= og DB=3. Konstruer på tilsvrende måte: 3, 7, 10, 1 osv. Oppgve 3.5 En eske er 5,0 m lng, 3,0 m red og 1,0 m høy. En nål skl legges i esken. ) Hvor lng kn nålen være hvis den skl legges i unnen v esken? ) Hvor lng kn nålen være hvis den kn legges digonlt i esken KAPITTEL 3 69 Utgitt v spr forlg s
7 fr nederst i det ene hjørnet til øverst i motstt hjørne? Oppgve 3.6 (fr eksmen i grunnskolen 1995) ) Konstruer en treknt AB der AB=5,0 m, A=90º og B = 8,0 m. ) Regn ut A. Treknt AB er en del v en firknt ABD der AB= AD og D=90º. ) Konstruer ferdig firknt ABD. d) Skriv forklring til konstruksjonen v firknt ABD. e) Vis t treknt AB er formlik med treknt DA. f) Regn ut AD. g) Forklr hvorfor firknt ABD er et trpes. Punktet E ligger på forlengelsen v A slik t relet v treknt DE er lik relet v treknt AD. h) Finn punktet E og forklr hvordn du tenkte for å finne punktet. Mrker punkt E på konstruksjonen. Oppgve 3. 7 Diskuter hvilke kunnskper i geometri det lir spurt etter i oppgven forn. oooooo I kpittel 5 er det flere oppgver der mye v dette stoffet kommer til nvendelse. 3.8 Arelegrepet mngeknter og sirkler Mngeknter Arel er et mål for en todimensjonl utstrekning; en fltestørrelse. Måleenhet for rel er m, slik t et kvdrt med sideknter 1,0 m hr et rel på 1,0 m. Andre rukte enheter for rel er mm, m, km, mål, r og dekr. 1 mål = 1 dekr = 1000 m, og 1 r = 100 m. Eks: Et rektngel er 4,0 m lngt og 3,0 m redt. Arelet er 1,0 m. Dette kommer v t det er mulig å plssere 1 stk v en relenhet på 1,0 m inne i rektnglet. Hvis sidene i rektngelet hdde vært 4,1 m og 3, m, ville relet v rektngelet vært 13,1 m. Dette kn illustreres ved t 70 Utgitt v spr forlg s
1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
DetaljerDel 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
Detaljer2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
Detaljer... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
DetaljerMer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
DetaljerYF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
DetaljerOppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?
KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.
Detaljer1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
DetaljerYF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 2. Bokmål
Fsit Oppgveok Kpittel 2 Bokmål Kpittel 2 Treknteregning 2.1 75 c 50 e 50 70 d 80 f 53 2.2 B og D er rettvinklet A og C er likeeint 2.3 8,9 m 2.4 J Nei c J 2.5 10,4 cm 6,4 cm c 8,9 cm 2.6 ---- 2.7 115 m
Detaljer1 Tallregning og algebra
Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012
Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5
DetaljerFaktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
DetaljerOPPLÆRINGSREGION NORD. Skriftlig eksamen. MAT1001 Matematikk 1P-Y HØSTEN 2011. Privatister. Yrkesfag. Alle yrkesfaglige utdanningsprogrammer
OPPLÆRINGSREGION NORD LK06 Finnmrk fylkeskommune Troms fylkeskommune Nordlnd fylkeskommune Nord-Trøndelg fylkeskommune Sør-Trøndelg fylkeskommune Møre og Romsdl fylke Skriftlig eksmen MAT1001 Mtemtikk
DetaljerÅrsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1
Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
DetaljerÅrsprøve 2014 10. trinn Del 2
2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside
Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge
DetaljerMATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.
MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig
Detaljer... ÅRSPRØVE 2014...
Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
DetaljerYF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit 9 Oppgvebok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Geometri og beregninger Arel og omkrets 4.1 54 m b 106 m 4.2 162 m2 b 484 m2 4.3 26,0 cm2 b 22,5 cm2 c 20,0 cm2 d De tre rektnglene hr lik omkrets, 21 cm 4.4
DetaljerKompetansemål: Sti 1 Sti 2 Sti 3 2.1 Enheter for lengde og areal 2.2 Målenøyaktighet 200, 201, 202, 206, 208 209, 211, 212, 213, 215
2 Geometri Kompetnsemål: Mål for opplæringen er t eleven skl kunne ruke formlikhet og Pytgors setning til eregninger og i prktisk reid løse prktiske prolemer knyttet til lengde, vinkel, rel og volum ruke
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
DetaljerEksamen våren 2018 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 5x+ y = 4 x+ 4y = 6 Vi multipliserer likningen 5x+ y = 4 med på egge sider og får 10x+ 4y
DetaljerFASIT, tips og kommentarer
FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller
DetaljerEneboerspillet. Håvard Johnsbråten
Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
DetaljerJuleprøve trinn Del 1 Navn:
Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 45,1 0, 451 45,1 % 100 5 4 5 0 0 % 5 4 5 100 Oppgve Vinkelsummen i en treknt er 180. Vi regner
DetaljerOppgaver i matematikk, 9-åringer
Oppgver i mtemtikk, 9-åringer Her er gjengitt e frigitte oppgvene fr TIMSS 2003. For 4. klsse enyttes nå etegnelsen mønstre for et som i 1995 le omtlt som lger. Oppgvene er innelt i isse emnene: Tll Geometri
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerYF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerLøsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.
Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.
DetaljerS1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =
Detaljer1 Mandag 1. mars 2010
Mndg. mrs Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte
Detaljer1P kapittel 4 Lengder og vinkler
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 4 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 4.1 6 MW 6 1 000 000 W 6 000 000 W 7,5 MW 7,5 1 000 000 W 7 500 000 W c 8 000 000 W 8 1 000 000 W 8 MW d 14
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerEksamen høsten 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve f x x x f ( x) = 4x 5 ( ) = 5 6 gx ( ) = xln x Vi deriverer med produktregel: g ( x) = ln x+
Detaljer2 Tallregning og algebra
Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)
DetaljerPraktiske opplysninger til rektor. Fag: MATEMATIKK 1TY for yrkesfag Fagkode: MAT1006 Eksamensdato: Antall forberedelsesdager: Ingen
Loklt gitt eksmen 2013 Prktiske opplysninger til rektor Fg: MATEMATIKK 1TY for yrkesfg Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 30.5.2013 Antll foreredelsesdger: Ingen Forhold som skolen må være oppmerksom på: Eksmenen
DetaljerTemahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
DetaljerLøsningsforslag til del 2 av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6
Geometri Del Løsningsforslag til del av oppgavesettet Geometri i Sirkel oppgavebok 10B, kapittel 6 Oppgave.1 a Lengden til golvet på tegningen blir: 400 cm 8cm Bredden til golvet på tegningen blir: 300
Detaljera 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv
DetaljerForkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Trigonometri. Omregning mellom grader og radianer skjer etter formelen nedenfor:
Forkunnskper i mtemtikk for fysikkstudenter.. Vinkelmål. Vinkler måles trdisjonelt i grder. Utgngspunktet er d t en hel sirkel deles i 6 like store deler, der her del klles en grd. En grd kn deles inn
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerMicrosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER
Mirosoft PowerPoint MER ENN KULEPUNKTER INNHOLDSFORTEGNELSE: Opprette en ny presentsjon: «Ml» vs. «tomt skll» Bilder: Sette inn ilder fr Google ildesøk. Bilder: Sette inn llerede lgrede ilder. Bilder:
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 4,5 % 3,6 % 0,9 % Økningen hr vært på 0,9 prosentpoeng. 0,9 % 100 % 5 % 3, 6 % Økningen hr
DetaljerTom Lindstrøm. Tilleggskapitler til. Kalkulus. 3. utgave. Universitetsforlaget,
Tom Lindstrøm Tilleggskpitler til Klkulus 3. utgve Universitetsforlget, Oslo 3. utgve Universitetsforlget AS 2006 1. utgve 1995 2. utgve 1996 ISBN-13: 978-82-15-00977-3 ISBN-10: 82-15-00977-8 Mterilet
DetaljerR1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerJuleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1
Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk 2007
Oppfriskningskurs i mtemtikk 2007 Mrte Pernille Htlo Institutt for mtemtiske fg, NTNU 6.-11. ugust 2007 Velkommen! 2 Temer Algebr Trigonometri Funksjoner og derivsjon Integrsjon Eksponensil- og logritmefunksjoner
DetaljerÅrsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1. Del 1 skal du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer. Del 2 leverer du innen 5 timer.
Årsprøve 2015 10. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 skl du levere innen 2 timer.ere innen 2 timer.
DetaljerDELPRØVE 2 (35 poeng)
DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.
DetaljerEksamen R2, Va ren 2014, løsning
Eksmen R, V ren 04, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler er tilltt. Oppgve ( poeng) Deriver funksjonene ) f sin Vi bruker kjerneregelen på sin,
DetaljerTerminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
DetaljerLæringsmål for 9. trinn: Oppgave: Prosent. 1a, 2a, 7, 15a b, 17b, 18. Regne med prosent og promille, med og uten digitale hjelpemidler.
Læringsmål for 9. trinn: : rosent Regne med prosent og promille, med og uten digitle hjelpemidler Tolke og regne med prosentpoeng 1, 2, 7, 15 b, 17b, 18 17 otenser og kvdrtrot Regne med potenser 1b, 1d,
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 f( ) + f + ( ) 4 g ( ) ln( ) 1 g ( ) h ( ) ( 1) h ( ) ( 1) 4 1 ( 1) Oppgve er en fktor i P
DetaljerTerminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014
Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2
DetaljerGeometri R1. Test, 1 Geometri
Test, 1 Geometri Innhold 1.1 Formlikhet... 1 1.2 Pytagoras setning... 8 1.3 Setningen om periferivinkler og Thales setning... 15 1.4 Geometriske steder... 21 1.5 Skjæringssetninger i trekanter... 25 1.6
DetaljerR1 kapittel 8 Eksamenstrening
Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i ok Uten hjelpemidler Oppgve E Hvis er et nullpunkt for De mulige nullpunktene for P, er konstntleddet 8 delelig med. P er
DetaljerR1 kapittel 6 Vektorer. Løsninger til oppgavene i boka Løsninger til oppgavene i boka
R1 kpittel 6 Vektorer Løsninger til oppgvene i ok Løsninger til oppgvene i ok 6.1 Tilfellene, e og f er vektorstørrelser fordi de hr retning. Tilfellene, og d er sklrer fordi de ikke hr retning. 6. d e
DetaljerOppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr
KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer
DetaljerS1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199
DetaljerEksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =
DetaljerLøsningsskisser til oppgaver i Kapittel 2: Trigonometri
Løsningsskisser til oppgver i Kpittel : Trigonometri.07 Treknten i figuren hr: (Alle mål i cm.) grunnlinje: g 5 1 høyde: h Tilhørende sirkelsektor spenner over vinkelen v, der cosv 5 v 1.159 Arel Treknt
Detaljer1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
DetaljerR2 kapittel 4 Tredimensjonale vektorer
Løsninger v oppgvene i ok R kpittel 4 Tredimensjonle vektorer Løsninger v oppgvene i ok 4. Vi tegner punket A i xy-plnet. Vi mrkerer plsseringen v A med linjestykker ut fr punktene (4,0,0) på x-ksen og
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11
DetaljerKapittel 3 Geometri Mer øving
Kapittel 3 Geometri Mer øving Oppgave 1 Utfør disse konstruksjonene. a Konstruer en normal fra en linje til et punkt. Konstruer en normal fra en linje i et punkt på linja. c Konstruer en midtnormal. d
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL
Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt
DetaljerLokalt gitt eksamen 2010
Loklt gitt eksmen 2010 Eksmen Fg: Mtemtikk 1P for yrkesfg Fgkode: MAT1001 Eksmensdto: 28. mi Del 1: oppgve 1 6 Del 2: oppgve 7 11 Antll sider til smmen i del 1 og 2 inkl. forside: 9 Del 3: oppgve 12 13
Detaljer1P kapittel 3 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene
1P kapittel Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a 10 mm = 10 1 mm = 10 0,1 cm = 1 cm Bredden av A4-arket er 1 cm. 9800 m = 9800 1 m = 9800 0,001 km = 9,8 km Anne løp 9,8 km. c 60 km = 60 1 km
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerGeoGebraøvelser i geometri
GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...
DetaljerNytt skoleår, nye bøker, nye muligheter!
Nytt skoleår, nye øker, nye muligheter! Utstyret dere trenger, er som i fjor: Læreok lånes v skolen vinkelmåler, --9 og - -9-treknter, psser, lynt, viskelær, penn, A-rk til innføring og A klddeok. Og en
Detaljer6. Beregning av treghetsmoment.
Forelesningsnotter i mtemtikk Bruk v integrsjon Beregning v treghetsmoment Side 1 6 Beregning v treghetsmoment 61 Definisjoner Først de grunnleggende definisjonene: Momentkse r m en liten punktformet prtikkel
DetaljerKapittel 15 ANDREGRADSLIGNINGER. Arealet av det ytre kvadratet skal være dobbelt så stort som arealet av bassenget. x =?
Arelet v det ytre vdrtet sl være doelt så stort som relet v ssenget.? ( 4) ( 4) > 0 Hvis > 4, så ( 4) 4 4 4,44,44 4 9,66 Løsningen n rues dersom > 0. 9,66 n rues. 9,66 93,3 m 86,60 m ( 4) ( ) 8 6 8 6 8
Detaljer6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper
Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
Detaljer3Geometri. Mål. Grunnkurset K 3
Geometri Mål Når du er ferdig med grunnkurset, skal du kunne finne speilingssymmetri og rotasjonssymmetri i figurer i planet kjenne til vinkelsummen i en trekant, komplementærvinkler, supplementvinkler,
DetaljerLærerveiledning. Oppgave 1. Hva er arealet av det grå området i figuren? Tips til veiledning:
Oppgave 1 Hva er arealet av det grå området i figuren? A 3 B 5 C 6 D 9 E 1 Hva slags geometriske figurer er det grå området er sammensatt av? Finn grå områder som er like store. Tenke dere de mørke bitene
DetaljerR2 2010/11 - Kapittel 4: 30. november 2011 16. januar 2012
R 00/ - Kpittel 4: 0. noemer 0 6. jnr 0 Pln for skoleåret 0/0: Kpittel 5: 6/ 6/. Kpittel 6: 6/ /. Kpittel 7: / /4. Prøer på eller skoletime etter hert kpittel. Én heildgsprøe i her termin. En del prøer
Detaljer1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
DetaljerKengurukonkurransen 2018
2018 «Et sprang inn i matematikken» Cadet (9. 10. trinn) Løsninger og registreringsskjema Dette heftet inneholder: Fasit og korte løsningsforslag Registreringsskjema Fasit med korte kommentarer Mange matematiske
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
Detaljer