1 Geometri KATEGORI Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer

Transkript

1 Oppgver

2 1 Geometri KTGORI Vinkelsummen i mngeknter Oppgve ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen. Oppgve ) Tegn en seksknt og del seksknten i fire treknter. b) Finn vinkelsummen i en seksknt. c) n regulær seksknt hr like store vinkler mellom de to sidekntene i hvert hjørne. Hv er vinkelen mellom to sideknter i en regulær seksknt? Oppgve Tegn en likebeint treknt der = og vinkelen er 72. Hvor store er vinklene og? 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgve F er formlik med. 8 F 98 8 Finn de ukjente vinklene i de to trekntene. 277

3 Oppgve I treknten er linj prllell med. Videre er = 52 og =. ) Hvilke to treknter er formlike? b) Finn de ukjente vinklene i treknten. Oppgve I prllellogrmmet er = 5 og = ) Forklr t er formlik med. b) Finn. 1.3 Lengder i formlike figurer Oppgve På figuren er prllell med. Videre er = 9,0 cm, = 7,0 cm, = 3,0 cm og = 2,0 cm. ) Hvilke treknter er formlike på figuren? b) Finn og. Oppgve Figuren nedenfor viser en metode vi kn bruke når vi skl finne høyden v et hus. F er en rett stokk som står nær huset. Huset og stokken kster skyggene og. er 1,5 m, og er 2,8 m. Stokken F er 2,1 m lng. ) Forklr t trekntene og F er formlike. b) Finn høyden v huset. Oppgve i flggstng kster en skygge på 8,1 m smtidig som et tørkesttiv kster en skygge på 2,7 m. Tørkesttivet er 2,0 m høyt. ) Tegn figur med flggstng og tørkesttivet og sett på målene. b) Hvor høy er flggstng? Oppgve Trekntene på figuren nedenfor er formlike. Finn i hvert v de to tilfellene. ) b) 6 5 F Sinus 1T > Geometri

4 Oppgve 1.13 Figuren viser to formlike firknter og FGH, der er smsvrende med F. Videre er = 50, = 110 og = 70. Omkretsen v den store firknten er 2 cm. Oppgve 1.11 I den rettvinklede er = 13 cm, = 12 cm og = 5 cm. Vi feller en norml fr ned på hypotenusen. 12 cm 5 cm H 12 cm 5 cm ) Finn. b) Finn omkretsen v den lille firknten. 1. Rettvinklede treknter Oppgve 1.10 I den rettvinklede er = 10 cm, = 8 cm og = 6 cm. Vi feller en norml ned fr til hypotenusen. 8 cm 6 cm F G 13 cm ) Finn og. b) Forklr t er formlik med. c) Forklr med støtte i formlikheten i oppgve b t = d) Vis t vi kn skrive likningen i oppgve c slik: () 2 =. e) Finn. 1.5 Pytgorssetningen Oppgve Finn den ukjente siden i den rettvinklede treknten. ) 10 cm ) ruk formlikhet til å forklre t = Finn. b) ruk formlikhet til å forklre t = Finn. 7 cm 2 cm b) 12 cm 5 cm c) 12 cm 15 cm 279

5 Oppgve ) Finn hypotenusen i en rettvinklet treknt når ktetene er 1) 5 cm og 12 cm 2) 10 cm og 2 cm b) Finn den ndre kteten i en rettvinklet treknt når 1) den ene kteten er 7 cm og hypotenusen er 25 cm 2) den ene kteten er 32 cm og hypotenusen er 0 cm Oppgve Gunnr setter opp en grunnmur. Hn vil kontrollere om et v hjørnene er rett. Hn legger ei rett fjøl over hjørnet slik figuren viser, og måler disse vstndene: = 52 cm, = 39 cm og = 65 cm. Oppgve Finn relet v disse figurene. ) 5 7 b) 3 Oppgve er et prllellogrm. Finn relet v det mørkegule området på figuren Oppgve Finn relet v det gule området cm 65 cm ) b) cm Finn ut om hjørnet er rett. 1.6 rel Oppgve Finn relet v disse figurene. ) b) Oppgve 1.16 ruk de oppgitte verdiene på figuren til å finne ) relet v prllellogrmmet b) relet v det gule trpeset F 21 cm 7 17 cm 17 cm cm F 280 Sinus 1T > Geometri

6 KTGORI Vinkelsummen i mngeknter Oppgve ) Tegn en vilkårlig seksknt og finn vinkelsummen i seksknten. b) Vi sier t seksknten er regulær hvis lle vinklene er like store og lle sidene er like lnge. Hv blir vinkelen mellom to sideknter i en regulær seksknt? c) Hvis vi legger regulære mngeknter inntil hverndre, kn vi i noen tilfeller få flislgt en flte med bre én type mngeknt. Hvilket krv må vi stille til summen v de sidekntvinklene som møter hverndre i et hjørne i en slik flislegging? d) Vinkelen v mellom to sideknter i en regulær n-knt er v = n, n 3 Finn ut hvilke regulære mngeknter som kn brukes til en slik flislegging. Oppgve Femknten f på figuren er regulær. (Vinklene i femknten er like store og sidene like lnge.) Linjene gjennom sidekntene treffer hverndre i fem punkter og dnner en femtkket stjerne. f Oppgve Vi hr tegnet en femknt som består v et kvdrt med en rettvinklet treknt som tk. enne spesielle femknten kn vi bruke til å dekke hele plnet. Tegn v denne femknten fire gnger og klipp femkntene ut. et fins tre ulike måter å legge hjørnene mot hverndre på slik t femkntene dekker plnet. Finn disse tre måtene. 1.2 Vinkler i formlike figurer Oppgve I er = 35. Videre er og begge rette. 35 ) Finn. b) Finn. c) Finn. d) Hvilke treknter er formlike på figuren? ) Finn vinkelsummen i en vilkårlig femknt. b) Finn vinkelen mellom to sideknter i f. c) Hvor stor er? 281

7 Oppgve I firknten er, og like store. Oppgve På figuren nedenfor er og prllelle linjer ) Finn. b) Finn og. Oppgve I firknten er prllell med ) Hvilke to treknter er formlike på figuren? b) Forklr hvorfor de to trekntene er formlike. c) Finn og b. Oppgve I er = 15,, = 2,0 og = 18,. b Trekk digonlene i firknten. Kll skjæringspunktet for. Finn to formlike treknter. 2,0 18, 1.3 Lengder i formlike treknter Oppgve Trekntene og F nedenfor er formlike. Her er sidene og smsvrende. Finn de ukjente sidene. 15, ) Forklr t er formlik med. b) Finn vstnden F 282 Sinus 1T > Geometri

8 1. Rettvinklede treknter Oppgve 1.20 I den rettvinklede treknten er = 65, = 25 og = 60. er normlen fr ned på. Oppgve 1.22 I treknten er = 90, og er normlen fr ned på. Vi setter =, = y, = b, = og = c b 65 ) Finn. b) Finn og. Oppgve 1.21 ) I treknten er = 90, og er normlen fr ned på. Vi setter =, = y og = h. h y c ) ruk formlikhet og vis t 2 = yc. b) ruk formlikhet og vis t b 2 = c. c) I en rettvinklet treknt er = 90. Normlen fr til treffer denne linj i slik t = 3 cm og = 6 cm. 1) Finn. 2) Finn. Oppgve 1.23 ) Tegn en sirkel. Merk v sentrum S og trekk en dimeter (ei linje gjennom S) i sirkelen. Kll endepunktene til dimeteren for og. Merk v tre ndre punkter P, Q og R på sirkelen. Mål vinklene P, Q og R. Hv ser du? y ruk formlikhet og vis t R Q h 2 = y b) I en rettvinklet treknt er = 90. Normlen fr til treffer denne linj i slik t = 6 cm og = cm. Finn. S P b) Vinklene P, Q og R kller vi periferivinkler fordi de hr toppunkt på sirkelperiferien. Vi sier t de spenner over dimeteren. Oppgve tyder på t det gjelder en generell regel om periferivinkler som spenner over en dimeter i en sirkel. Formuler regelen og bevis den. 283

9 1.5 Pytgorssetningen Oppgve Undersøk om treknten er rettvinklet når sidene hr disse målene (i centimeter). ) 27, 36 og 5 b) 2,0,,8 og 5,2 c) 2, 70 og 78 Oppgve Finn høyden i en likesidet treknt med sider. Oppgve Jord er tilnærmet kuleformet med rdius r = 600 km. Tenk deg t du befinner deg i et fly i et punkt P over tlnterhvet. h P r d Oppgve Finn vstnden på figuren Oppgve Finn, b, c, d og e på figuren nedenfor. 1 e 1 1 d c b 1 1 ) Finn vstnden d (i kilometer) til horisonten når høyden over hvet er m. b) Finn vstnden d (i kilometer) til horisonten når høyden over hvet er h meter. Oppgve Pytgorssetningen sier t relet v kvdrtet på hypotenusen i en rettvinklet treknt er lik summen v relene v kvdrtene på de to ktetene (se figuren til venstre). 1 Oppgve 1.25 Finn på figuren nedenfor r setningen fortstt riktig hvis vi bytter ut ordet «kvdrt» med «likesidet treknt»? Sgt på en nnen måte: r relet v en likesidet treknt på hypotenusen i en rettvinklet treknt lik summen v relene v de likesidete trekntene på ktetene (se figuren til høyre ovenfor)? 28 Sinus 1T > Geometri

10 Oppgve ) et fins mnge bevis for pytgorssetningen. tt v dem bygger på figuren til venstre nedenfor. Fire rettvinklede treknter med kteter og b og hypotenus c er stt smmen til et kvdrt med sider + b. Vis først t firknten med sider c er et kvdrt. Sett så opp to forskjellige uttrykk for relet v kvdrtet med sider + b, og bruk disse uttrykkene til å bevise pytgorssetningen 2 + b 2 = c 2. b b c c c c b b b b b) Tenk deg t de fire trekntene på figuren i oppgve er plssert innenfor en rmme. Flytt trekntene slik t du får figuren til høyre ovenfor. Forklr t pytgorssetningen følger v de to figurene. Oppgve n åker hr form og mål som på figuren. Finn relet v åkeren. 120 m 100 m 160 m Oppgve Figuren viser et prllellogrm rel Oppgve Finn relet v trpeset. 30 cm 36 cm Finn relet v prllellogrmmet uttrykt ved. Oppgve Sidene og i trpeset er prllelle. = 8,0 cm og =,0 cm. Videre er = = 5,2 cm. ) Tegn figur og finn relet v trpeset. b) Konstruer trpeset. 2 cm 285

11 Oppgve 1.26 Figuren viser en sirkel med et innskrevet og et omskrevet kvdrt. Rdien i sirkelen er 1. ) Finn relet v det gule området. b) Finn relet v det indre kvdrtet. Oppgve To nbobønder hr kornåkre som grenser til hverndre slik figuren viser. e ønsker å skifte ut grens som består v linjestykkene og, med ei rett grenselinje som er slik t de nye kornåkrene får smme rel som nå. Tegn inn ei ny grenselinje mellom åkrene og forklr hvordn du fststte denne linj. Oppgve L P være et vilkårlig punkt inne i en likesidet treknt med side s og høyde h. s z P Hv blir summen + y + z s h v de tre vstndene fr P til sidene i treknten? Vink: relene v P, P og P blir til smmen lik relet v. y s LN OPPGVR Oppgve Sissel vil finne ut hvor høyt et tre er, og holder en linjl mot treet slik figuren viser. Linjlen er 30 cm lng. Fr Sissels øyne til linjlen er vstnden 8 cm. Hun måler vstnden til treet til 31,0 m. Hvor høyt er treet? 8 cm 30 cm 31,0 m Oppgve I en rettvinklet treknt er de to ktetene 16 cm og 30 cm. Finn lengden v hypotenusen og høyden på hypotenusen. 286 Sinus 1T > Geometri

12 Oppgve Mrit vil finne vstnden mellom to punkter og som ligger på hver sin side v ei elv. Området som de to punktene og elv ligger i, er fltt. Mrit går frm på denne måten: Først setter hun v = 200 m vinkelrett på, og så setter hun v = 50 m vinkelrett på slik figuren viser. eretter finner hun punktet på linj slik t også ligger på linj. Til slutt måler hun vstnden og finner ut t den er 160 m. Hjelp Mrit med å regne ut vstnden. Oppgve n trekntet tomt hr som rett vinkel. Videre er = 90 m og = 120 m. ) Finn lengden v. b) Tomt skl deles med et gjerde lngs slik t blir rett, og = 60 m. Forklr t treknten blir formlik med treknten. c) Finn lengden v gjerdet. d) Finn relet v området. Oppgve Trekntene og F er formlike. lv Oppgve I et trpes er de prllelle sidene lik 50 og 30. e ndre sidene er begge lik 26. Finn relet v trpeset. Oppgve 1.30 I en rettvinklet treknt er sidene 3, og 5 cm lnge. Hvor lng er linj som går fr den rette vinkelen og ned til midten v hypotenusen? 3 5 5,0 6,5,7 F,0 ) Finn de ukjente sidene i trekntene. b) i linje skl trekkes fr ned på. Kll skjæringspunktet mellom denne linj og for G. Finn G slik t blir formlik med G. Oppgve Hvis vi trekker rette linjer fr hvert hjørne v en treknt til midtpunktet på den motstående siden, får vi delt treknten i seks små treknter. evis t lle de seks trekntene hr det smme relet. Vink: Se etter treknter med lik grunnlinje og høyde. 287

13 Oppgve et er gitt to punkter og på smme side v ei rett elv. et skl nlegges en vei fr det ene punktet bort til elvebredden og videre bort til det ndre punktet. ) Tegn inn noen slike veier og mål lengden v dem. Forsøk å finne den korteste veien. b) Kn du finne en enkel måte å tegne inn den korteste veien på? Forklr i så fll hvorfor tegningen din blir riktig. enne oppgven kn du også løse elektronisk. Se nettsidene. Oppgve Figuren viser en firknt. I firknten er =, dessuten er = = 90. Videre er = 20 og = ) Forklr t er formlik med. b) Finn og. c) Finn relet v firknten. Oppgve Finn relet v denne figuren der målenheten er meter. Oppgve Finn relet v denne figuren der målenheten er meter. b) Oppgve Finn relet v disse figurene der målenheten er meter. ) b) Oppgve et er gitt to punkter og på hver sin side v ei elv som vist på figuren. et skl nlegges en vei fr det ene punktet til det ndre med bruforbindelse over elv. ru skl plsseres normlt på elvebreddene. ) Tegn inn noen slike veier og mål lengden v dem (inkl. lengden v bru). Prøv å finne den korteste veien. b) Kn du finne en enkel måte å tegne inn den korteste veien på? Forklr i så fll hvorfor tegningen din blir riktig enne oppgven kn du også løse elektronisk. Se nettsidene. 288 Sinus 1T > Geometri

14 Oppgve 1.31 ) Tegn en sirkel. Merk v sentrum S og trekk en dimeter (linje gjennom S) i sirkelen. Kll endepunktene til dimeteren for og. Merk v et punkt mellom og på sirkelen. Mål vinklene og S. Ser det ut til å være noen smmenheng mellom dem? S Oppgve ) Tegn en sirkel. Merk v sentrum S og velg to punkter og på sirkelen. Velg et tredje punkt P på sirkelen slik t P ikke fller smmen med eller og heller ikke ligger i det indre v S. Vinkelen P kller vi en periferivinkel og S en sentrlvinkel. Vi sier t vinklene S og P spenner over den smme sirkelbuen. Mål vinklene S og P. Hv ser du? b) Gjør oppgve om igjen når punktet ligger et nnet sted på sirkelen. Hv ser du? c) Vi kller en periferivinkel fordi toppunktet ligger på sirkelperiferien, og vi kller S en sentrlvinkel. Vi sier t de to vinklene spenner over den smme sirkelbuen. Formuler en regel om smmenhengen mellom de to vinklene. evis regelen. P S b) Gjør oppgve på nytt med litt ndre plsseringer v punktene, og P på sirkelen. Hv ser du nå? Formuler en regel som ser ut til å gjelde for smmenhengen mellom en sentrlvinkel og en periferivinkel som spenner over den smme sirkelbuen. c) evis den regelen du formulerte i oppgve b. Vink: Trekk opp dimeteren gjennom P og S og bruk resulttet i oppgve