2 Symboler i matematikken

Transkript

1 2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse, slik Oslo refererer til en kjent y i Norge. Nvn i mtemtikken dukket først opp i geometrien og finnes f.eks. hos Euklid, c. 300 f.kr. En okstv representerer et hjørne i en figur. A B Linjestykket mellom A og B kn d etegnes AB og vi kn snkke om dette selv om vi ikke hr målt hvor lng vstnden mellom A og B fktisk er. Dette gjør det lettere å snkke om et geometrisk prolem enn hvis vi måtte holde oss til uttrykk som «linjestykket som forinder hjørnet nederst til venstre med hjørnet nederst til høyre». En viktig del v mtemtikkens utvikling gjennom tidene hr gått ut på t mn hr fått et språk som det er lettere å regne med. Noen prolemer som i sin tid le sett på som meget vnserte, kn nå løses v grunnskoleelever. De tnkeredskpene som mtemtikerne i løpet v flere tusen år hr utviklet er imidlertid strkte og ofte vnskelige å tillegne seg. Moderne lger er sterkt knyttet til mtemtisk språk og strkte tnkeredskper. Resulttene fr den tredje internsjonle mtemtikk og nturvitenskps undersøkelsen, TIMSS, tyder på t lger er den v mtemtikken som norske elever hr størst prolemer med. Det er en stor utfordring for oss som lærere å gjøre de gode tnkeredskpene i lgeren tilgjengelige for elevene. KAPITTEL 2 17

2 C A B Vi kn nå snkke om linjestykkene AB, BC og CA, og vi kn snkke om hjørnet A, vinkel ABC osv. Dette gjør det lettere for oss å formulere påstnder og ikke minst å egrunne t påstnder er riktige. En vinkel kn noen gnger ngis med en okstv, f.eks. vinkel B. Som oftest ruker vi imidlertid tre okstver hvor den midterste er vinkelens toppunkt. I figuren nedenfor er det tvil om hv vi skulle mene med vinkel C. Det kunne vært vinkel DCA, vinkel ACB, vinkel BCE eller fktisk også vinkel ECD! D C E A B Tnken om t mtemtiske påstnder må egrunnes skikkelig, eller evises, kom med grekerne fr c. år 600 f.kr. Den personen som etydde mest for vektleggingen v evis i mtemtikken vr Euklid (c. 300 f. Kr.) som utg et erømt læreverk i mtemtikk klt «Elementene». Verket estår v 13 øker og omftter åde geometri, tllære og lger. Påstndene i økene klles proposisjoner. Hver proposisjon evises ved hjelp v tidligere eviste proposisjoner og en del «opplgte» påstnder som klles postulter og ksiomer. Proposisjon 32 i ok I sier t summen v de indre vinkelene til en treknt er lik to rette vinkler, eller som vi sier, 180º. Vi gjengir et evis for dette i Euklids stil. 1. L ABC være en treknt. 2. Jeg sier t summen v vinkel ABC, BCA og CAB er lik to rette vinkler. 3. L DE være en prllell til AB som går gjennom C. (Euklid rukte ikke denne konstruksjonen.) 4. Fordi AC fller mellom (krysser) de prllelle linjene AB og DE, så er vinklene BAC og ACD like store (smsvrende vinkler ved prllelle linjer). 5. Fordi BC fller mellom de prllelle linjene AB og DE, så er vinklene ABC og BCE like store (smsvrende vinkler ved prllelle linjer). 18 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

3 6. Summen v vinklene ABC, BCA og CAB er lik summen v vinklene BCE, BCA og ACD. 7. Summen v vinklene BCE, BCA og ACD er lik to rette vinkler. 8. Derfor i enhver treknt, så er summen v de indre vinklene i treknten lik to rette vinkler. QED. (Qud ert demonstrndum Hvilket skulle evises.) Legg merke til hvor nyttige okstvene er til å formulere dette eviset. Likevel kn det hende t du synes det er tungt å forstå eviset. En årsk til det er t du er vnt til en mer effektiv notsjon for vinkler enn det Euklid rukte. u Vi setter nvn på vinklene, f.eks. u eller v. Ofte enyttes også greske okstver α, β og γ for vinkler. Vi utfører også regneopersjoner på vinkler. F.eks. kn vi skrive t u + v + w = 180 dersom u, v og w er nvnene på de indre vinklene i en treknt. For Euklid vr symolene kun nvn, hn regnet ikke med dem. Oppgve 2.1 ) Sett nvnene u, v og w på vinklene i treknten ABC og gjennomfør Euklids evis på moderne måte. ) Formuler eviset v t vinkelsummen i en treknt er to rette vinkler uten å l okstver være nvn på hjørnene og uten å ruke nvn på vinklene. Du må d nøye deg med uttrykk som hjørnet nederst til venstre osv. Nvn i lger Enkelte tll eller størrelser i mtemtikken hr egne nvn. Det mest kjente er knskje tllet π, pi, som etegner 3,14159 Flere ndre slike eksempler finnes selv om de ikke dukker opp i skolemtemtikken. Ofte kn også en fysisk målt størrelse li gitt et symol eller et nvn. Fysikerne ruker f.eks. symolet c for lyshstigheten km/s. KAPITTEL 2 19

4 Selv om okstver tidlig le ttt i ruk som nvn på f.eks. hjørner i geometrien, tok det svært lng tid før nvn le ttt i ruk i lgeren. Et uttrykk som vi skriver som ( ) = (2.1) le uttrykt noe i retning v: For å finne kvdrtet på summen v to linjestykker, t først summen v kvdrtet på det ene og kvdrtet på det ndre linjestykket og dder så to rektngler som hr de to linjestykkene som sider. Vi kller en slik uttrykksmåte for retorisk lger. Legg merke til det geometriske språket. Grekerne tenkte på lle størrelser som lengder, reler og volumer. Grekeren Diofntos (c. 250 e.kr.) enyttet seg v en del symoler, men hn vr forut for sin tid. Ingen fulgte opp dette og det gikk i glemmeok. På 1500-tllet egynte mn å ytte ut en del v ordene med symoler, men det vr først på 1600-tllet t et mtemtisk språk omtrent slik vi hr det i dg overtok for den retoriske lgeren. Nvn rukes ofte i formler. Et eksempel er t relet v et rektngel er lik grunnlinjen multiplisert med høyden: A = gh h g 20 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

5 Selv om okstver tidlig le ttt i ruk som nvn på f.eks. hjørner i geometrien, tok det svært lng tid før nvn le ttt i ruk i lgeren. Et uttrykk som vi skriver som ( ) = (2.1) le uttrykt noe i retning v: For å finne kvdrtet på summen v to linjestykker, t først summen v kvdrtet på det ene og kvdrtet på det ndre linjestykket og dder så to rektngler som hr de to linjestykkene som sider. Vi kller en slik uttrykksmåte for retorisk lger. Legg merke til det geometriske språket. Grekerne tenkte på lle størrelser som lengder, reler og volumer. Grekeren Diofntos (c. 250 e.kr.) enyttet seg v en del symoler, men hn vr forut for sin tid. Ingen fulgte opp dette og det gikk i glemmeok. På 1500-tllet egynte mn å ytte ut en del v ordene med symoler, men det vr først på 1600-tllet t et mtemtisk språk omtrent slik vi hr det i dg overtok for den retoriske lgeren. Nvn rukes ofte i formler. Et eksempel er t relet v et rektngel er lik grunnlinjen multiplisert med høyden: A = gh h g 20 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

6 Det er simpelthen en kompkt måte å skrive ned en regnemetode, en lgoritme, for å eregne relet v et rektngel. Du får relet ved å multiplisere måltllet til grunnlinjen, g, med måltllet til høyden, h. Så lenge en slik formel er knyttet til en konkret smmenheng, skper den få vnsker for elevene. Ideen om t en okstv symoliserer eller står for en størrelse, er så enkel t den kn enyttes helt ned i småskolen. Noe helt nnet og vnskeligere er det å regne med symolene 2.2 Symoler vi kn regne og tenke med En sentrl idrgsyter til innføringen v symolsk lger vr frnskmnnen Frnçois Viète ( ). Et v hns viktige idrg vr t hn innførte okstver som nvn på størrelser vi ønsker å estemme, men som foreløpig er ukjente for oss. Den ukjente størrelsen eller tllet må nødvendigvis følge vnlige regneregler for tll, selv om vi ikke vet kkurt hvilket tll det er snkk om. Vi tenker oss prolemet løst, gir et nvn på løsningen og tenker oss klengs frm til hv svret må være. Viète klte dette for den nlytiske kunst. Tnkegngen om t mn kn finne et ukjent tll eller en størrelse ved å utføre regneopersjonene klengs, er gmmel. Det vr imidlertid Viète og noen v hns smtidige som først representerte den ukjente med et symol som mn kn regne med. For elever som skl lære lger, er det nå prolemene vnligvis oppstår. Det store sprnget mellom ritmetikk og lger estår i t elevene må egynne å tenke på symolene som størrelser som de kn utføre regneopersjoner på. Elevene synes ofte det er rrt å regne med et tll de ikke vet hv er. Det hr vist seg t elever i en del tilfeller løser prolemer edre ved å ruke dgligspråk enn ved hjelp v lger. En undersøkelse v E. Hrper fr 1987 påviste t elevene ofte spontnt vlgte intuitive metoder til tross for t de hdde lært lger. Dette kn vise t det lgeriske språket ikke hr litt en del v elevenes nturlige måte å tenke på. Ting tyder på t et prolem må h en viss vnskelighetsgrd før elevene synes det er hensiktsmessig å ruke lger. Også historisk fikk symolene innpss først d mtemtikerne innså t den retoriske lgeren remset videre utvikling. Utregninger v ukjente tll Et eksempel på ruk v ukjente i mtemtikken er følgende geometriske prolem hvor vi skl eregne lengden v den ene kteten når lengden v hypotenusen og den ndre kteten er kjent: KAPITTEL 2 21