Eneboerspillet. Håvard Johnsbråten

Transkript

1 Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte teorier i mtemtikken kn også h konkrete nvendelser. I denne rtikkelen vil jeg gi et eksempel på hvordn mtemtiske strukturer kn kste lys over konkrete prolemer. Jeg vil t for meg det kjente eneoerspillet («peg solitire») i forskjellige utgver og med forskjellige strtoppstillinger og vise t det er umulig å få igjen re én pinne med flere v disse oppstillingene som utgngspunkt. Den mest rukte vrinten v eneoerspillet er den vi ser i figur 1. Spillet strter med pinner i lle hull ortsett fr i midten. Vi hopper over en pinne til et ledig hull og fjerner pinnen som le hoppet over. Hoppene kn forets «vnnrett» eller «loddrett», men ikke digonlt. Vi gjentr prosessen til vi ikke kn hoppe mer. Målet er å ende med re én pinne i midten. Dette kn gjøres på mnge måter, og flere v leserne hr nok en eller nnen gng klrt å få igjen re én pinne. Vi kn også strte spillet med færre pinner. Håvrd Johnsråten Høgskolen i Telemrk Hvrd.Johnsrten@hit.no johnsr@hotmil.om Figur 1 D er det ikke sikkert t vi klrer å ende opp med re én pinne. I figur 2 strter vi med noen gnske få pinner rundt midten. Prøv å få én pinne igjen fr dette utgngspunktet. Det er gnske fortærende, men det er fktisk ikke mulig å få re én pinne igjen! Vi må ende med minst to pinner. Hvorfor er det slik, tro? Anlyse v forskjellige strtoppstillinger For å finne svr på spørsmål omkring eneoerspillet, vil jeg legge en struktur på spillet. Det gjør jeg ved å mrkere lle felt med okstvene, og, slik t tre påfølgende felt lltid vil li mrkert med en okstv v hvert slg, åde tngenten 1/

2 Figur 2 kn være som i figur 3. Hvis ikke lle hull er fylt med pinner, vil jeg ruke mrkeringene i de fylte hullene til å telle opp ntll -er, -er og -er. Eksemplet i figur 2 vil li mrkert som i figur 4. Feltene i figuren lir mrkert med 1, 3 -er og 3 -er. Det er tre oddetll. Hv kn så dette rukes til? L oss se på hv som skjer under spillets gng. Et hopp omftter lltid tre felt etter hverndre, lngs en «vnnrett» eller «loddrett» linje. Så, og er involvert i hvert hopp. Nå ser vi på en detlj der feltene merket og er fylt (noe vi hr flere eksempler på i figur 4): Figur 3 «vnnrett» og «loddrett». Hvert trekk i eneoerspillet omftter tre felt etter hverndre, og derfor vil hvert trekk omftte én, én og én. Dette vil li rukt i nlysen som følger. Strukturen Figur 4 22 Vi tr tk i pinnen i feltet merket, hopper over og fjerner pinnen i feltet merket og setter den i feltet merket. D får vi denne situsjonen: I forhold til strten i figur 4 vil ntll -er øke med én, mens ntll -er og -er minker med én. Vi får to v hvert slg, ltså tre prtll. Vi får også tre prtll unsett hv første trekk er. Neste gng får vi igjen tre oddetll, og dette vil lternere gjennom hele spillet. Derfor må vi ved spillets slutt stå igjen med tre oddetll eller tre prtll. Vi kn ltså ikke ende med én pinne (oddetll) i et felt merket f.eks. og 0 pinner (prtll) i de to ndre feltene!1 Det er derfor umulig å få igjen re én pinne i dette spillet! Det este vi kn oppnå, er å få to pinner igjen. Og d må de egge stå i felt merket med smme okstv, f.eks. og. For d får vi tre prtll: = 2, = 0 og = 0. Finn selv ut hv slgs felt pinnene kn ende på dersom vi får igjen tre pinner. Test det gjerne ut ved å prøve dette spillet noen gnger! Vi ser på et eksempel til (figur 5). Mrkert med okstver får vi mønsteret i figur 6. 1/2014 tngenten

3 Figur 5 Figur 6 Hvis vi teller opp mrkeringene for denne figuren, får vi 11 -er, 7 -er og 7 -er. Dette er også tre oddetll. Derfor kn vi resonnere på kkurt smme måte som i eksemplet forn og konkludere med t vi heller ikke i dette spillet kn ende opp med re én pinne! Nå går vi tilke til det vnlige eneoerspillet, der lle hull er fylt ut, ortsett fr hullet i midten. I dette spillet kn vi få én pinne igjen, og d må denne pinnen stå i et felt merket. Dette kn vi også egrunne ved hjelp v prtll og oddetll! For med et hull i midten strter spillet med ti pinner (prtll) i felt merket, elleve pinner (oddetll) i felt merket og elleve pinner (oddetll) i felt merket. Vi får ltså prtll oddetll oddetll for hhv., og. Etter ett trekk øker eller minker lle tllene med én, og vi får oddetll prtll prtll. Og slik fortsetter det; «priteten» på -ene er i utkt med -ene og -ene. Så hvis vi får én pinne igjen, må den ende i, for d er eneste mulighet én pinne (oddetll) i et felt merket og null pinner (prtll) i felt merket og. Og hvis vi ender med to pinner igjen, må de stå i felt merket og, for den eneste muligheten er null pinner (prtll) i et felt merket og én pinne (oddetll) i felt merket og. Finn gjerne selv ut hv slgs felt pinnene kn ende på dersom vi får igjen tre pinner eller fire pinner! Jeg hr vist t hvis vi får én pinne igjen, må den ende i et felt merket. Men dette er ikke hele historien, for vi kn ikke ende i lle felt merket. Med et lite knep kn vi egrense mulige sluttposisjoner ytterligere. I figur 3 forskjøv vi okstvene mot venstre for hver rd. Men vi kn også forskyve dem mot høyre for hver rd. Vi setter dette smmen til et mer fullstendig digrm (figur 7). Figur 7 Hvis vi strter spillet med hull i midten, må spillet ende i et felt merket åde i den «venstrevridde» og i den «høyrevridde» vrinten. Så om vi strter med hull i midten, mrkert, må vi ende med en pinne i et felt mrkert. Det kn ltså ikke være mer enn fem måter å ende spillet på med én pinne igjen dersom vi strter i midten. Dersom vi strter spillet med et hull et nnet sted, f.eks. i, må spillet ende i et felt med smme mrkering. I MKerrell (1972) er tngenten 1/

4 disse mulighetene gjennomgått i detlj. Der er det også nevnt t det er mulig å få igjen én pinne i eneoerspillet unsett hvor strthullet velges.2 På Internett finnes det løsninger for lle disse versjonene v eneoerspillet søk på «peg solitire». I Grdner (1969) er det gitt mnge eksempler på strtoppstillinger som skl kunne ende opp med én pinne, og flere v dem er gnske krevende. En v dem er som i figur 5, men pinnen i midten er fjernet. Lg gjerne selv noen pene figurer, og test (åde med teori og i prksis) om det er mulig å få én pinne igjen med disse som strtoppstillinger.3 Men selv om en strtoppstilling ikke inneholder tre prtll eller tre oddetll mht., og, er det ikke sikkert t vi kn få én pinne igjen. Figur 8 er et eksempel på det. Her er det to -er, tre -er og tre -er, men det er likevel ikke mulig å få re én pinne igjen. Prøv, og se t det ikke er mulig! Figur 8 For fullstendighets skyld vil jeg også t med følgende: Den skjeve lille strtoppstillingen i figur 2 hr et odde ntll -er, -er og -er i den «venstrevridde» vrinten, men i den «høyrevridde» vrinten er det tre -er, to -er og to -er! Det er likevel fortstt umulig å få igjen én pinne, så usymmetriske figurer ør sjekkes i egge vrinter. 24 Andre versjoner v eneoerspillet For mnge år siden kjøpte jeg en trekntet versjon v eneoerspillet som le klt IQ-testen (figur 9). Spillet strter med et hull i det øverste hjørnet eller et nnet sted på spillerettet. Trekkene er som i det vnlige eneoerspillet, men nå kn vi flytte i tre retninger. Figur 9 Dette spillet kn nlyseres på smme måte som forn ved t vi mrkerer hvert felt med, og, og slik t hvert trekk vil omftte én okstv v hvert slg. (Nå trenger vi ingen doeltmrkering.) Hvis vi etegner det øverste feltet med og strter med et hull der, vil vi finne t spillet inneholder fire -er, fem -er og fem -er. Derfor kn det være mulig å ende opp med re én pinne (og i et felt merket ). Av smme grunn kn det også være mulig å få igjen re én pinne unsett hvor det første hullet velges. Jeg hr prøvd meg på dette spillet og funnet ut t det er mulig å ende opp med re én pinne igjen, unsett hvor vi velger hullet i strten. Derimot er det ikke mulig å ende opp med re én pinne igjen hvis spillet f.eks. strter med et hull i hvert hjørne, for d strter vi med fire -er, fire -er og fire -er, ltså tre prtll. Den siste versjonen v eneoerspillet som jeg vil nevne, kommer fr Frnkrike og er gnske utredt også her hos oss (figur 10). Spillerettet er gjerne rundt og med fordypninger som det legges klinkekuler i. Det er nturlig å strte spillet med et hull i midten. Men ingen v dem som hr strtet slik, hr fått re én pinne (eller klinkekule) igjen! 1/2014 tngenten

5 Figur 10 For det er rett og slett umulig å få én pinne igjen når vi strter med et hull i midten! Dette kn egrunnes på smme måte som tidligere. Vi utvider mrkeringen med, og for det vnlige eneoerspillet ved å t med de fire ekstr feltene lngs de skrå sidekntene, og i rgumentet nedenfor trenger vi re den «venstrevridde» vrinten (figur 11). Figur 11 Vi får to -er, én og én ekstr. Hvis vi teller okstvene for lle fylte hull, får vi tolv -er, tolv -er og tolv -er, ltså tre prtll. Under spillets gng vil vi veksle mellom å få tre oddetll eller tre prtll, og derfor kn vi ikke ende med re én pinne igjen, for det gir fordelingen én (odde), null (pr) og null (pr) for de tre okstvene. Jeg kn derfor trøste dere som hr strevet for å få igjen én pinne i dette spillet, med t dere ikke hr spilt dårlig. Det er rett og slett ikke mulig å ende opp med re én pinne igjen! Spillet kn re løses dersom hullet velges i ett v feltene som ikke inneholder noen, verken med den «venstrevridde» eller den «høyrevridde» mrkeringen. Hullet må derfor velges ett eller to felt fr midten eller i ett v hjørnene. På Internett finnes løsninger for lle disse vlgene v strthull. Det er heller ikke mulig å ende i smme felt som strthullet. For hvis hullet f.eks. er i et felt mrkert, strter vi med 13 -er, 11 -er og 12 -er, og smme rgument som tidligere gir t vi må ende i et felt mrkert. Hvis du vil prøve deg på dette spillet, kn du gjerne strte med hull én plss over midten. D er det f.eks. mulig å ende med én pinne igjen to plsser over midten. Men dette vr jo ikke så estetisk som det «vnlige» eneoerspillet, d Avslutning I denne rtikkelen hr jeg ttt for meg noen prolemer ved eneoerspillet, og jeg hr rukt mtemtikken til å kste lys over disse prolemene. Jeg hr lgt på en struktur på eneoerspillet med forskjellige strtoppstillinger og rukt et rgument med prtll og oddetll til å vise t det er umulig å få igjen re én pinne med flere v disse oppstillingene som utgngspunkt. Det smme kn også vises ved hjelp v mer strkt gruppeteori, slik det gjøres i MKerrell (1972), og slik jeg hr gjort i en prllellversjon v denne rtikkelen (som er lgt ut på Tngentens nettsider 4 ). Artikkelen hr derfor ført oss inn mot noe v det som er «mtemtikkens innerste vesen»: studiet v strukturer og evis for hypoteser. Og ikke minst: Jeg hr knskje kunnet trøste dem v dere som forgjeves hr prøvd å løse en versjon v eneoerspillet som er uløselig! tngenten 1/

6 Noter 1 Argumentet med prtll og oddetll fnt jeg nylig på en nettside om «peg solitire». For mnge år siden holdt jeg et foredrg om eneoerspillet. D egrunnet jeg resulttene ved hjelp v såklt gruppeteori, slik det gjøres i MKerrell (1972). Denne tilnærmingsmåten er mer strkt, men svært elegnt. På Tngentens nettsider hr jeg lgt ut en prllellversjon til denne rtikkelen som ruker gruppeteori i rgumentsjonen i stedet for prtll/oddetll. 2 MKerrell nevner også t det er mulig å ende i lle de feltene som hr smme mrkering som strthullet. 3 Grdner nevner t lle spill også kn spilles «klengs» ved t vi hopper over et hull og setter en pinne der. Den kjente mtemtiker Leiniz foretrkk denne måten å spille på, for d ygde hn opp en figur i stedet for å ryte den ned. Når vi spiller slik, kn vi også tenke oss t vi spiller «forlengs», men t vi etrkter hull som pinner og omvendt! 4 Refernser Grdner, M. (1969). Further Mthemtil Diversions. Penguin Books. MKerrell, A. (1972). Solitire. An Applition of the Four-Group. Mthemtis Tehing, 60, /2014 tngenten