1 Tallregning og algebra

Transkript

1 Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn og én prentes skl du sette smmen tllene,, og 6 slik t verdien v tlluttrykket lir 9. BRØKREGNING Oppgve.0 Forkort røkene åde uten og med digitlt d) 8 77 Oppgve. Forkort røkene åde uten og med digitlt Oppgve. Regn ut uten digitlt : d) 6 Oppgve. Regn ut åde uten og med digitlt 6 9 : 6 7 d) ( ) 7 Sinus T ook.ind ::0

2 Oppgve. Regn ut uten digitlt 6 d) 0 Oppgve. Skolen skulle h ktivitetsdg. Elevene kunne velge mellom sllåm, skitur og king. v elevene vlgte sllåm, 0 vlgte skitur, og vlgte king. Hvor stor del v elevene vr ikke med på ktivitetsdgen? Oppgve.6 Ved et terminoppgjør fikk v lle elevene i en førsteklsse eller edre i mtemtikk, mens v klssen fikk eller edre i nturfg. v elevene fikk eller edre i egge fgene. Hvor stor del v elevene fikk eller edre i minst ett v fgene? Oppgve. Trekk smmen uten å ruke ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) d) ( ( Oppgve. Trekk smmen uten å ruke ( ( ( ) ( ( ( ( Oppgve. Multipliser ut og trekk smmen uten å ruke ( ( ) ( ( 0 Oppgve. I denne oppgven er re tllene, og rukt. Finn, y og z når ( y) z( z) =. BOKSTAVREGNING OG PARENTESER Oppgve.0 Trekk smmen uten å ruke y y ( y ( y) d) 6 (. RASJONALE UTTRYKK Oppgve.0 Trekk smmen uten å ruke 6 d) Sinus T > Tllregning og lger Sinus T ook.ind ::06

3 Oppgve. Trekk smmen åde uten og med y y y 6 d) z z z 7 z 7z Oppgve. Regn ut uten å ruke y 6y : 6 6 d) 6 Oppgve. Regn ut åde uten og med : 9 y d) y 0 y y y 8y 0 Oppgve. Regn ut åde uten og med 0 9. KVADRATSETNINGENE Oppgve.0 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ( 0) ( 7)( 7) ( 8) d) ( )( ) Oppgve. Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ( ) ( )( ) ( ) ( ) (t ) (t ) (t )(t ) d) (t )(t ) (t ) Oppgve. Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ( ) (y ) ( )( d) (t )( t) Oppgve. Regn ut uten å ruke ( )( ) ( )( ) ( 7)( 7) d) ( 6 )( ) Oppgve. Bruk konjugtsetningen og regn ut. 9 8 Oppgve. Regn ut ved hjelp v kvdrtsetningene d).6 FAKTORISERING Oppgve.60 Fktoriser uttrykkene. y y t 6t d) 8 0 e) 7 8 Sinus T ook.ind ::09

4 Oppgve.6 Fktoriser uttrykkene hvis det er mulig. 8 yz z 6 d) z z Oppgve.6 Fktoriser uttrykkene ved hjelp v konjugtsetningen hvis det lr seg gjøre. y 6 6 d) 00 8 Oppgve.6 Fktoriser uttrykkene digitlt. y y 0 d) 8 Oppgve.6 Fktoriser uttrykkene åde med og uten ( ) (y ) 9 ( ) ( ) d) ( y) ( y).7 FORKORTING AV RASJONALE UTTRYKK Oppgve.70 9 d) ( ) Oppgve.7 Fktoriser og forkort. 0y y Oppgve.7 Forkort om mulig røkene. Kontroller svrene ved å løse oppgven digitlt. d) ( ) Oppgve.7 Finn fellesnevneren og trekk smmen. d) Oppgve.7 Regn ut åde uten og med ( ) 9 d) Oppgve.7 Løs oppgven digitlt..8 FULLSTENDIGE KVADRATER Oppgve.80 Finn tllet c slik t uttrykket lir et fullstendig kvdrt. c 6 c 9y 0y c d) 8 c 6 Sinus T > Tllregning og lger Sinus T ook.ind ::

5 Oppgve.8 Finn tllet slik t uttrykket lir et fullstendig kvdrt. y y 9 Oppgve.8 Fktoriser uttrykkene. 6 y y d) 9 0 Oppgve.8 Vis t 6 er et fullstendig kvdrt. Forkort røken. ) 6 ) 6 6 Oppgve.9 Bruk metoden med fullstendige kvdrter til å fktorisere Finn fellesnevneren og trekk smmen. 6 Oppgve.9 Fktoriser uttrykket åde uten og med 8 Trekk smmen METODEN MED FULLSTENDIGE KVADRATER Oppgve.90 Fktoriser uttrykkene. Kontroller utregningene ved multipliksjon. 6 d) y 7y 0 Oppgve.9 Fktoriser uttrykkene mest mulig. 6 6 t 0 d) Oppgve.9 Fktoriser uttrykkene hvis det er mulig d) 8 UTEN HJELPEMIDLER Oppgve.00 ( ) ()( ) ( ) ( )() ( )( )( ) d) ( )( ). Oppgve.0 Tre elever hr gjort et reid smmen. De skl dele inntekten v reidet etter hvor mye hver enkelt hr gjort. Den ene eleven hr gjort v reidet, mens elev nr. hr gjort v joen. Hvor stor del v inntekten skl den tredje eleven h? 7 Sinus T ook.ind ::

6 Oppgve.0 I en undersøkelse svrte v elevene på en skole t de røykte, mens svrte t de ikke røykte. Hvor stor del v elevene svrte ikke på spørsmålet om de røykte?. Oppgve.0 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Oppgve.0 Multipliser ut og trekk smmen. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) d) ( )( )( ) Oppgve.0 ( 8) ( 6) ( ) ( ). Oppgve.06 Regn ut de rudne røkene.. 7 Oppgve.07 Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ( 9) ( y)( y) d) ( ( Oppgve.08 Trekk smmen. ( ) ( ) ( )( ) ( y) ( y) ( y ) Oppgve.09 Bruk kvdrtet nedenfor til å utlede den ndre kvdrtsetningen.. Oppgve.0 ) ( 6 ) ( ( )) ) ( y ) ( y ) Bruk kvdrtsetningene og regn ut. ) ( ) ) ( ) ) ( ( ) ) 98 0 Oppgve. Regn ut og forkort mest mulig d) 9 9 Oppgve. Skriv så enkelt som mulig..7 ( ) 8 8 Sinus T > Tllregning og lger Sinus T ook.ind ::8

7 Oppgve. Fktoriser uttrykkene. 6 y y Oppgve. ) Vis t 0 er et fullstendig kvdrt. ) Fktoriser og forkort røken 0 ) Bruk metoden med fullstendige kvdrter til å fktorisere 9 9 ) Fktoriser og forkort røken Oppgve. ) Bruk metoden med fullstendige kvdrter til å fktorisere ) Fktoriser og forkort røken Fktoriser og forkort røken 6 7 Oppgve.6 Bestem slik t røken kn forkortes..9 8 Oppgve.7 (Eksempel 009) Skriv så enkelt som mulig ( y) y y Oppgve.8 (Eksmen V-00) Fktoriser teller og nevner og forkort røken Oppgve.9 (Eksmen H-00) Trekk smmen og skriv så enkelt som mulig 6 Oppgve.0 (Eksempel 0) Bestem c og d slik t uttrykkene lir fullstendige kvdrter. c y y d Oppgve. (Eksempel 0) Skriv så enkelt som mulig ( ) ( ) Oppgve. (Eksempel 0) Bruk konjugtsetningen (tredje kvdrtsetning) til å estemme Oppgve. (Eksempel 0) Bruk kvdrtet nedenfor til å utlede den første kvdrtsetningen. Oppgve. (Eksmen V-0) Skriv så enkelt som mulig Sinus T ook.ind ::

8 MED HJELPEMIDLER Oppgve.00 Tenk på et tll. Legg til. Gng svret med. Trekk fr. Del på. Trekk fr tllet du tenkte på. Hvilket tll får du? Begynn med et negtivt tll. Hvilket svr får du nå? Begynn med en røk. Hvilket svr får du nå? d) Kll det tllet du tenker på, for og evis t du lltid vil få det smme svret til slutt. Oppgve.0 Tenk på et tosifret tll. Finn tverrsummen v tllet. (Tverrsummen v 7 er 7 = 8.) Trekk tverrsummen fr det tllet du tenkte på. Gå til nettsiden Finn symolet k det tllet du hr regnet deg frm til. Trykk på «krystllkul». Gjent forsøket noen gnger. Vis ved hjelp v mtemtikk hvordn denne «tnkelesingen» fungerer. Oppgve.0 Nettsiden viser folketllet i forskjellige lnd. Hvis folketllet egynte like ofte på hvert v de ni sifrene 9, hvor mnge v de 00 mest folkerike lndene skulle vi d vente hdde et folketll som egynte med sifferet? Gå til nettsiden og tell hvor mnge v disse 00 lndene som hr et folketll som egynner med sifferet. I 98 oppdget fysikeren Frnk Benford t mnge forskjellige lister med tllstørrelser egynte med sifferet lngt oftere enn med de ndre sifrene. Blnt nnet gjldt dette lister med lengder på elver, fysiske konstnter m.m. Ifølge «Benfords lov» vil c. 0 % v tllene i slike lister egynne med sifferet, mens mindre enn % v tllene egynner med sifferet 9. De første fionccitllene er,,, og. Det neste fionccitllet finner vi ved å ddere de to siste tllene vi er kommet frm til. Bruk et regnerk og lg en liste over de 0 første fionccitllene. Hvor stor ndel v disse tllene egynner med sifferet? d) Lg en liste over de 0 tllene vi får ved å regne ut n når n er,,,, 0. Hvor stor ndel v disse tllene egynner med sifferet? Oppgve.0 Bruk gngetegn smmen med plusstegn eller minustegn og sett smmen tllet 7 ved å ruke tllene, og. Det er to måter å gjøre det på. Oppgve.0 Bruk tllene, 6 og 7 smmen med eventuelle plusstegn, minustegn, multipliksjonstegn og prenteser på en slik måte t svret lir Oppgve : 6 7 d) Sinus T > Tllregning og lger Sinus T ook.ind ::

9 Oppgve.06 Regn ut de rudne røkene. Oppgve.07 9 : d) : Oppgve.08 Vi setter =. D kn vi for eksempel skrive tllet 0 som ( ) 6( ) ( ) Trekk smmen uttrykket ovenfor. Sett = inn i det forenklede uttrykket og regn ut svret. Sett = inn i det opprinnelige uttrykket og regn ut svret. d) Lg tilsvrende uttrykk som i eksempelet ovenfor for tllene,,, og når =. Lg egne uttrykk som er psse utfordrende å regne ut. Hvert uttrykk skl inneholde minst to prenteser og minst én potens. Kontroller utregningene med et digitlt Oppgve.09 t og er ensifrede tll. Bestem t og slik t likheten nedenfor stemmer. ( ( 7 t)) = Tips: Bruk et CAS-verktøy og prøv med ulike tllverdier for t. Oppgve.0 ( ) ( 8 6) 6 Oppgve. Bruk et digitlt hjelpemiddel og gjør de rsjonle uttrykkene enklere. 7 7 Forklr hvorfor vi ikke kn forenkle uttrykkene ved å multiplisere med 6 i lle ledd i oppgve og med i lle ledd i oppgve dersom vi skulle forenkle disse uttrykkene uten digitle hjelpemidler.. Oppgve. Her skl vi ikke fktorisere lgeriske uttrykk, men hele tll. En vennegjeng hr et tippelg som tipper Lotto hver uke. Vennegjengen estår v mer enn 0 og mindre enn 0 personer. En gng vnt de 98 0 kr. Når de deler gevinsten, går divisjonen kkurt opp, slik t de får et helt ntll kroner hver. Hvor mnge personer er med i tippelget? Hvor mnge kroner får hver v dem i gevinst?. Sinus T ook.ind ::

10 Oppgve. Regn ut, og. Hege så på svrene på sine egne utregninger og fnt frm til denne oppskriften for å regne ut slike oppgver i hodet: ) Multipliser tllet på tierplssen med et tll som er én større enn tllet på tierplssen. (Eksempel: For egynner du med =.) ) Multipliser svret med 00. (Eksempel: 00 = 00) ) Adder. (Eksempel: 00 = ) Tllet på tierplssen kller vi t. Bruk første kvdrtsetning til å regne ut (0t ). Fktoriser de to første leddene i svret og ruk dette til å vise t regelen til Hege er riktig. Hvorfor fungerer ikke regelen til Hege på tosifrede tll som ikke slutter på?.6 Oppgve. (Kn regnes uten hjelpemidler.) Vi lr og være to positive hele tll der >. Hvilket v disse rsjonle uttrykkene er d størst?.7 eller Sinus T > Tllregning og lger Sinus T ook.ind ::

11 FASIT OPPGAVEDEL d). 0 6 d) d). F.eks. ( ) 6 F.eks. ( ) 6 F.eks. ( ) d) y 6 6y d) d) d) d). 8 d) =, y =, z = y 8. 6y d) d) z z d) 9 6 y d) y y d). 0 0 t d) t 8t. 9y y 9 d) t. 6 d) d) 9.60 ( ) y( y ) t ( t) d) ( ) e) 7(.6 ( ) z( y ) Kn ikke fktoriseres d) z ( z).6 ( y)( y) ( )( ) Kn ikke fktoriseres d) ( 0 9 )( 09 ).6 y ( y) ( ( ) d) (.6 ( ) ( y )( y ) ( ) d) ( y) y( ) d) d) Kn ikke forkortes.7 d) d) Sinus T ook.ind ::

12 d) 9.8 = 0 eller = 0 = 6 eller = 6.8 ( 6) ( y 7) ( ) d) (.8 ( 6) ) 6.90 ( )( ) ( )( ) ( )( ) d) ( y )( y ).9 ( )( ) ( ) ( t )( t ) d) ( )( ) ) ( )( ) Kn ikke fktoriseres ( )( 6) d) Kn ikke fktoriseres.9 ( )( ).9 ( )( ).00 7 d) d) y d) ) ) ) 0 ) ) 9 ) ( )( 9) ( y 7)( y 6). ) ( ) d) ( ) ) ( )( ) ) ). ) ( 6)( ) ) = eller = = eller =.7 y c = d = c. 8 v 00 (9 %) 6 v 0 ( %) d) v 0 (0 %).0 eller og 6 7 7( 6) 6(7 ) t = og = d) d) 6. 9 personer 0 9 kr. 6, og 0 00 t ( t ) 80 Sinus T ook.ind ::9

13 . er størst..0 E =, A = 8, B = og C = 98. D =, E = 8. C = BAD = CAD = d) ABC og DBA og DAC er formlike.. AEB = 70 Toppvinkler er like store. Begge vinklene er 0.. B = 0 ADB= BDC = 0.0 ABC er formlik med DBE. BC = 6,0 cm og DE =, cm. 0,9 m. 6,0 m.,8 m. D = 0 7, cm. AB = 7,6, DF =, AG =,.6 CD =, AD = 9,6, DB =,.7 ABC og DEC =, =,.0 cm 9 cm. AC = 0 AD = CD = 7,. =, =, c =, d =, e = 6. d = h h 000. AB = 6,9 cm BC =,6 cm, CD = 9, cm. AE = 8, cm BC = 6, cm, DB = 6, cm.6 Hjørnet er rett..7 J J Nei.8 cm,, cm.0 86 cm. cm 9 cm m. 8,8 cm. π π. m 76 m.6 0, cm (0,7) ,9, 6,6 og 7, 0,. 0, A = 6,, B = 6,6 og C = 69, e), f) CBD =,, BCD =, og BDC =,., og,6 BAC = 60,7, ABC = 8,, C =,, BAD = 6,, ADB = 6,, ABD = 7, d),.60,9 AC = 6,7, A = 7,, C =,8.6 ABC =,9, BCD = 6, Like store. Begge hr rel,6..6 EC = EF =,07 EFB = d), e) 0,6.6, d) BE = DE =, e) CBE = 0,9 f).6 A =, og B = 6,9 d) BCD = 7,7, BDC = 6, e) BC =,, CD =, f),.6, eller,8 AC =,, ABC = 0,9 og ACB = 09, eller AC =,8, ABC = 9, og ACB = 70,9 d) c., 8 Sinus T ook.ind :6:0