Løsninger til oppgaver i boka
|
|
- Karin Dahlen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Løsninger til oppgver i ok Kpittel 1 Alger Løsninger til oppgver i ok 1.9 d På ildet ser vi t den lengste siden i tkåpningen er omtrent så lng som den korteste. Om vi kller den korteste siden for x, hr vi dermed t den lengste siden kn uttrykkes som 4 3 x. Arelet kn d uttrykkes ved formelen 4 4 A x x x = = g På ildet ser vi t steinflisene er kvdrtiske. Formelen for rel v et kvdrt er A = s2. Sidene v flisene kn dermed uttrykkes som s= A = 0,25 = 0, Formelen for relet v et rektngel er A = g h. På figuren kn vi tenke oss to måter å regne ut relet: 1 Ved å multiplisere høyden med hele grunnlinj. Dette svrer til uttrykket ( + ). 2 Ved å uttrykke relet v de to rektnglene skilt v den stiplede linjen hver for seg, og å legge dem smmen. Dette svrer til uttrykket ( ) + ( ). Begge de to metodene gir smme rel v figuren. Vi kn dermed si t ( + ) = ( ) + ( ). Denne figuren illustrerer t 2 (3 + 5) = (2 3) + (2 5) Forslg: Syv venner hr 90 kr hver. Så kjøper de seg en is til 27 kr hver. Hvor mye penger hr de igjen til smmen? Løsning Svret kn uttrykkes som 7 (90 27) = 7 63 = 441, vi regner først ut hvor mye én person hr igjen og deretter multipliserer vi med 7. (7 90) (7 27) = = 441, vi regner først ut hvor mye de hr til smmen, deretter hvor mye de etler til smmen, og til slutt trekker vi fr. Vi får smme svr, 441. Forslg: H. Ashehoug & Co. Side 1
2 Løsninger til oppgver i ok Eksempel 3 viser t vi får smme svr enten stykket uttrykkes som 4 (50 35) eller (4 50) (4 35). Vi kn derfor si t 4 (50 35) = (4 50) (4 35). De to regnemåtene må gi smme svr unsett hvilke tll vi velger. Det er dette lov 3 uttrykker g 1.19 Forslg: Når vi skl multiplisere et tll med en differnse kn vi enten først regne ut differnsen og så multiplisere, eller vi kn multiplisere tllet med hver v fktorene og sutrhere til slutt. Forslg: Rekkefølgen fktorene multipliseres i, spiller ingen rolle for svret. Eksempel: En klsse med 29 elever skl på tur. Hver v elevene hr fått med seg tre små rosinesker som tursnks. Hver eske koster 7 kr. Hvor mye koster lle rosineskene til smmen? Løsning Svret kn uttrykkes som (29 3) 7 = 87 3 = 609. Vi finner d først ut hvor mnge rosinesker de hr, deretter regner vi ut hv de koster til smmen. Alterntivt kn vi regne slik: 29 (3 7) = = 609. Vi regner d først ut hv en elevs rosiner koster, deretter hv lle rosinene koster til smmen. De to måtene å regne på må gi smme svr. Dermed er (19 2) 10 det smmen som 19 (2 10). Dette må gjelde unsett hvilke tll vi velger for ntll rosiner, rosinesker og elever. d 1.22 g 1.23 Forslg: Rekkefølgen fktorene multipliseres i, spiller ingen rolle for svret. Forslg: Når vi skl sutrhere summen v to tll fr noe, kn vi enten først finne summen og så sutrhere, eller vi kn sutrhere ett og ett ledd. Forslg: Du går i utikken med en 500-lpp. Du kjøper et rød til 28 kr og 1 liter melk til 11 kr. Hvor mye penger hr du igjen? Løsning Svret kn uttrykkes som 500 ( ) = = 461. D finner vi først summen v vrene vi kjøper, og deretter sutrherer vi = = 461. Her sutrherer vi først den første vren, deretter den ndre. H. Ashehoug & Co. Side 2
3 Løsninger til oppgver i ok d 1.25 g 1.26 Eksempel 5 viser t mn får smme svr enten vi legger smmen prisen på vrene før vi sutrherer, eller om vi sutrherer prisene en etter en. Unsett hvilke eløp vi ruker, vil dette gjelde. Forslg: Når en sum skl sutrheres, kn vi enten først summere, og deretter sutrhere summen, eller vi kn sutrhere leddene hver for seg. Forslg: Når vi skl sutrhere en differnse fr et tll kn vi enten først regne ut differnsen og deretter sutrhere den fr tllet, eller vi kn trekke fr første ledd i differnsen og deretter legge til det leddet som trekkes fr. Forslg: Du går i utikken med en 50-lpp. Du kjøper en is som opprinnelig kostet 31 kr, men som lir nedstt med 5 kr fordi du kjenner hn i kss. Hvor mye penger hr du igjen etter t du hr kjøpt isen? Løsning Svret kn uttrykkes som 50 (31 5) = = 24. Vi regner først ut utslgsprisen for isen, og trekker det fr eløpet vi hr = = 24. Vi trekker først fr den opprinnelige prisen på isen, og deretter legger vi til rtten din, som om du får tilke de pengene. d 1.28 g 1.29 Eksempel 6 viser t mn får smme svr enten vi først regner ut den nedstte prisen, og deretter sutrherer, eller om vi regner ut hv vi hr igjen ved å etle ordinær pris og deretter legger til det som er rtten. Slik vil det være unsett hvilke tll vi velger. Forslg: Når vi skl sutrhere en differnse fr et tll kn vi enten først regne ut differnsen og deretter sutrhere den fr tllet, eller vi kn trekke fr første ledd i differnsen og deretter legge til det leddet som trekkes fr. Forslg: Summen v to røker med smme nevner er det smme som en røk der nevneren er den smme som i de to røkene vi summerer og der telleren er summen v de to tellerne. Forslg: Du hr 180 kr, og venninnen din hr 70 kr. Siden du er så snill, går du med på t dere skl dele pengene likt. Hvor mye får hver? Løsning H. Ashehoug & Co. Side 3
4 Løsninger til oppgver i ok Svret kn uttrykkes som = = 125. D deler vi hver sum på to først, deretter 2 2 summerer vi = = 125. Her legger vi smmen eløpene først og deler på to etterpå. 2 2 d 1.31 g 1.32 Vi ser t vi får smme svr enten vi først regner ut hlvprten v eløpene eller om vi legger smmen eløpene først og deretter deler på to. De to måtene å regne på må gi smme svr unsett hvilke tll vi ruker. Forslg: Summen v to røker med smme nevner er det smme som en røk der nevneren er den smme som i de to røkene vi summerer og der telleren er summen v de to tellerne. Forslg: Når to røker med smme nevner sutrheres er dette det smme som en røk der telleren er differnsen mellom de to tellerne og med en uendret nevner. Forslg: Du og venninnen din hr plukket 5,3 kg låær. Dere skl gi ort 2,3 kg til moren din. Blåærene dere hr igjen, deler dere likt. Hvor mye låær får du? Løsning Svret kn uttrykkes som 5,3 2,3 = 2,65 1,15 = 1,5. Dette tilsvrer t vi først regner ut 2 2 hvor mye låær hver v dere hr i utgngspunktet, og hvor mye hver v dere gir til moren din. Til slutt sutrherer vi for å finne ut hv hver v dere sitter igjen med. 5,3 2,3 3 = = 1,5. Her finner vi først ut hvor mye ær dere til smmen hr igjen når dere 2 2 hr gitt ort de mor skl få, deretter deler dere denne resten på to. d 1.34 g 1.35 De to måtene å regne på gir smme svr unsett hvilke tll vi velger. Forslg: Når to røker med smme nevner sutrheres er dette det smme som en røk der telleren er differnsen mellom de to tellerne og med en uendret nevner. Verdien v en røk endres ikke om vi multipliserer teller og nevner med smme tll. Forslg: Klsse 9A skl på tur, og elevene i klssen er delt inn i ni grupper på tre elever. Hver gruppe får med seg en pkke med 15 kjeks på deling. Hvor mnge kjeks får hver elev? H. Ashehoug & Co. Side 4
5 Løsninger til oppgver i ok Løsning Svret kn uttrykkes som 15 = 5. Her ser vi på en gruppe, de hr 15 kjeks som skl deles på 3 3 elever = = 5. Her regner vi først ut totlt ntll kjeks og totlt ntll elever, og deretter deler vi ntll kjeks på ntll elever. d 1.37 g 1.38 De to måtene å regne ut svret på må gi smme svr unsett hvilke tll vi ruker. Verdien v en røk endres ikke om vi multipliserer teller og nevner med smme tll. Å multiplisere to røker er det smme som å multiplisere telleren med telleren og nevneren med nevneren. Forslg: Du hr kveldsjo i et pinoflyttefirm der de nstte er delt inn i åtte flyttegjenger på tre personer hver. Firmet tr 1200 kr per pinoflytting, og oppdrgene fordeles likt på flyttegjengene. De 1200 kr som hvert oppdrg gir, deles likt mellom de tre i gjengen som tildeles oppdrget. En måned får firmet 48 oppdrg. Hvor mye tjener du denne måneden? Løsning Svret kn uttrykkes som = = Her fordeler vi først eløpet de får for 3 8 ett oppdrg på de tre personene i flyttegjengen. Deretter regner vi ut hvor mnge oppdrg det lir på hver gjeng. Til slutt multipliserer vi etlingen for ett oppdrg med ntll oppdrg = = Her finner vi først hvor mye lle tjener til smmen, og hvor mnge de er til smmen. Deretter finner vi hv hver person tjener ved å dividere. Unsett hvilke tll vi ruker vil de to måtene å regne på gi oss smme svr = = = De ti lgeriske lovene er her skrevet med lle mulige prenteser og multipliksjonstegn gjort usynlige. Lov 1 = Lov 2 ( + ) = + H. Ashehoug & Co. Side 5
6 Løsninger til oppgver i ok Lov 3 ( ) = Lov 4 () = () Lov 5 ( + ) = Lov 6 ( ) = + + Lov 7 + = = Lov 8 Lov 9 = Lov 10 = d d 1.42 Lov 1 ( ) = ( ) Lov 2 ( + ) = ( ) + ( ) Lov 3 ( ) = ( ) ( ) Lov 4 ( ) = ( ) Lov 5 ( + ) = Lov 6 ( ) = + ( + ) Lov 7 + = ( ) Lov 8 = Lov 9 = ( ) = Lov 10 d ( d ) 1.43 Regnestykket 3,7 5 2 = 20 kn for eksempel eskrive volumet v prismet under. Regnestykket 2 5 3,7 = 20 kn for eksempel ety prisen fem venner må etle når hver v dem kjøper to sukkertøy til 3,70 kr per stykk. Regnestykkene 3,7 5 2 og 2 5 3,7 inneholder de smme fktorene og hr derfor smme svr. Som lov 1, eller den kommuttive lov, slår fst, spiller ikke fktorenes rekkefølge noen rolle. H. Ashehoug & Co. Side 6
7 Løsninger til oppgver i ok 1.52 Om vi kller fktoren (x + y) for, kn vi skrive (x + y) (z + w) som (z + w). Ifølge lov 2 kn dette uttrykkes som z + w. Setter vi inn igjen for, (x + y) z + (x + y) w, og ruker lov 2. Vi får d xz + yz + xw + yw Om vi kller fktoren (x + y) for, kn vi skrive (x + y) (z w) som (z w). Ifølge lov 3 kn dette uttrykkes som z w. Setter vi inn igjen for, (x + y) z (x + y) w, gir lov 2 oss videre uttrykket (xz + yz) (xw + yw). Vi ruker nå lov 5 og får xz + yz xw yw. Om vi kller fktoren (x y) for, kn vi skrive (x y) (z w) som (z w). Ifølge lov 3 kn dette uttrykkes som z w. Vi setter inn for og får: (x - y) z (x - y) w. Nå ruker vi lov 3 en gng til: xz yz (xw yw). Vi ruker lov 6 og får: xz yz xw + yw 1.54 Kller (z + w) for, og kn d uttrykke x (y + z + w) som x (y + ). Lov 2 gir d uttrykket xy + x. Setter vi inn igjen for, hr vi d xy + x (z + w), som igjen gir xy + xz + xw Oppgvene 1.52, 1.53 og 1.54 ntyder for eksempel disse to prinsippene for multipliksjon v prenteser: Når et tll multipliseres med en prentes, må det multipliseres med hvert enkelt ledd inne i prentesen Når to prenteser multipliseres smmen, må hvert ledd i den ene prentesen multipliseres smmen med hvert ledd i den ndre prentesen Uttrykket n kn leses som «gnget med seg selv n gnger». Å gnge smmen n og m svrer dermed til å gnge smmen flere gnger, tilsvrende tllet n + m. Siden dette svret kn skrives som opphøyet i ntllet gnger er gnget med seg selv, må svret li n + m. Uttrykket n m kn tolkes som gnget med seg selv n gnger over røkstreken, og gnget med seg selv m gnger under røkstreken. Uttrykket er 1, og dermed kn m -er i teller og nevner erstttes med 1. Vi står d igjen med n m -er. Dermed er svret n m Alle tll, med null som eneste unntk, gir tllet 1 når det deles på seg selv. Uttrykket derfor li 1, så lenge ikke er null. n n m Hvis det er slik t loven = stemmer for lle n og m, så må 0 = 1, siden f.eks. m situsjonen 3 3 må H. Ashehoug & Co. Side 7
8 Løsninger til oppgver i ok n = m = 3 gir = =. 3 deles her på seg selv, og må dermed gi 1 til svr, så lenge er 3 ulik null Vi kn regne slik: = = 111 = n 3 n m = = = m 5 d Resulttet fr oppgve 1.56,, gir 1 2 Det vi hr funnet i og d må ety t -2 etyr Når vi skl finne kvdrtroten v et produkt kn vi enten multiplisere først og deretter t kvdrtroten v produktet, eller vi kn t kvdrtroten v hver v fktorene først og multiplisere til slutt. Svret lir det smme unsett hvilken rekkefølge vi velger. Når vi skl finne kvdrtroten v en røk kn vi enten dividere først og deretter t kvdrtroten v svret, eller vi kn t kvdrtroten v teller og nevner først og dividere til slutt. Svret lir det smme unsett hvilken rekkefølge vi velger 1.64 Skisse v edet med tre runder heller rundt, ltså n = Trfikkvdelingen kn her h tenkt t de ville uttrykke «høyden» og «grunnlinj» til rektngelet med én helle som måleenhet. Dette hr de uttrykt som henholdsvis (2n + 1) og (2n + 3). Ved å multiplisere smmen disse fås ntllet kvdrtenheter, ltså heller, som hele plssen tilsvrer. Til slutt trekkes det fr tre, som er det ntll heller som ikke trengs for å gjøre plss til edet. Formelen oppgitt i oppgve kn gjøres om slik: (2n + 1) (2n + 3) 3 = (2n + 1) 2n + (2n + 1) 3) 3 = 4n 2 + 6n + 2n = 4n 2 + 8n. Figuren viser hvordn tllfølgen kn illustreres v et rektngel som får én rd ekstr i redden og én ekstr i høyden for hver n-verdi. H. Ashehoug & Co. Side 8
9 Løsninger til oppgver i ok 1.68 Figuren under representerer det femte og sjette treknttllet. d Første tll er 1, ltså T n = 1. For å få ndre tll, T 2, legger vi til 2 prikker i kolonnen til høyre for den vi hdde. For å få T 3 legger vi til en ny kolonne med 3 prikker. Vi får ltså neste tll ved å legge til n til det vi llerede hr I denne oppgven skl du se på eksempel 19, ikke oppgve Regnerk som viser kvdrttllene. H. Ashehoug & Co. Side 9
10 Løsninger til oppgver i ok d Regnerk som viser kvdrttllene, treknttllene og rektngeltllene vh. formelen som le funnet i oppgve 1.67, n(n + 1). H. Ashehoug & Co. Side 10
11 Løsninger til oppgver i ok 1.70 Figur nummer 4 og 5. H. Ashehoug & Co. Side 11
12 Løsninger til oppgver i ok 1.77 Kller mn tllet mn tenker på for x, kn prosedyren uttrykkes som 2 x + 8 x. Dette kn skrives 2 om til 2( x + 4) x= ( x+ 4) x= x x+ 4 = 4. De lgeriske lovene viser ltså t vi vil sitte igjen med 2 tllet 4 unsett, helt uvhengig v hvilken x som velges Eksempel: Tenk på et hvilket som helst tll. Multipliser tllet med seg selv, og gng det deretter med 2. Adder deretter 6 gnger tllet, og divider hele uttrykket på tllet. Sutrher deretter to gnger tllet. Uttrykk tlltrikset mtemtisk og finn ut hvilket tll du vil sitte igjen med. Løsning Om en uttrykker det ukjente tllet som, fås uttrykket 2. Dette kn forenkles til 2 ( + 3) 2= 2( + 3) 2= = 6. Dette tlltrikset gir ltså tllet 6 til svr, uvhengig v hvilket tll du velger som x 2 x Kller vi tllet du tenker på for x, kn tlltrikset uttrykkes som x + 7. Dette uttrykket kn x xx ( 1) forenkles slik: x + 7 = x 1 x + 7 = 7 1 = 6. Dette tlltrikset gir ltså tllet 6 til svr, x uvhengig v hvilket tll du velger som x Likning 2 må være den riktige. Det første leddet viser hvor mye to håndller til 750 kr per stykk koster til smmen. 250 må dermed være prisen for en pkke med kneeskyttere, mens x uttrykker hvor mnge pkker med kneeskyttere lget kn kjøpe. Prisen skl totlt li 6000 kr, som dermed er tllet på høyre side v likhetstegnet x = 34 2x = x = 32 x = 16 H. Ashehoug & Co. Side 12
13 Løsninger til oppgver i ok 1.85 g h 1.86 Likningen i oppgve kn løses ved hjelp v lgerisk metode. En kn d egynne med å sutrhere 1 på egge sider. På smme måte kn vi trekke fr x på egge sider. Når høyreog venstresiden så er lgt smmen, hr mn t 5x = 10. Om egge sider deles på 5, får mn t x = 2. Likningen i oppgve kn løses ved hjelp v «hold over»-metoden. Holder en over 5x, virker det innlysende t nevneren må h verdien 10, slik t venstresiden får verdien =. Uttrykket 5x må dermed h verdien 10, ltså 5x = 10. Holder en over x-en i denne likningen, ser en t x må h verdien 2. Setter inn løsningen x = 2 på høyre og venstre side v likhetstegnet i likningen fr eksempel 23, og sjekker svret. Venstre side: = = = = = Høyre side: Innsetting v x = 2 gir t venstre side er lik som høyre side, som etyr t løsningen er riktig. Setter inn løsningen x = 1 på høyre og venstre side v likhetstegnet i likningen fr eksempel 23, og sjekker svret. 1 1 = 0 Venstre side: Høyre side: = = = Innsetting v x = 1 gir t venstre side ikke er lik som høyre side, som etyr t løsningen ikke er riktig Går her gjennom omformingene v likningen som gjøres i eksempel 23 og krkteriserer dem etter kriteriene fr viktigoksen «Algerisk løsning v likninger»: Å multiplisere egge sidene v likningen med minste felles multiplum, som er 20, er en omforming v type A. Å dividere 10 på 20, slik som gjøres på venstre side er en omforming v type B. Å multiplisere 2-tllet på venstre side inn i prentesen er en omforming v type B. Å multiplisere 20 med hver v røkene på høyre side er en omforming v type B. Å dividere 20 på 4 og 5 i de to røkene på høyre side er en omforming v type B. Å sutrhere 4x fr 5x på høyre side er en omforming v type B. Å ddere 2 på egge sider v likhetstegnet er en omforming v type A. Å sutrhere x på egge sider v likhetstegnet er en omforming v type A. H. Ashehoug & Co. Side 13
14 Løsninger til oppgver i ok d Setter inn løsningen x = 3 i likningen x 2 + x = 6, og sjekker svret: Venstre side: = = 12 Høyre side: 6 Innsetting v x = 3 gir t venstre side ikke er lik som høyre side, som etyr t løsningen ikke er riktig. e f Setter inn løsningen x = 2 i likningen x 2 + x = 6, og sjekker svret: Venstre side: = = 6 Høyre side: 6 Innsetting v x = 2 gir t venstre side er lik som høyre side, som etyr t løsningen er riktig. Setter inn løsningen x = 3 i likningen x 2 + x = 6, og sjekker svret: Venstre side: ( 3) 2 + ( 3) = 9 3 = 6 Høyre side: 6 Innsetting v x = 3 gir t venstre side er lik som høyre side, som etyr t løsningen er riktig g Likningen x = 0 hr ingen løsning. Omformes den, gir den t x 2 = 4, som ikke gir mening i og med t kvdrttll lltid er positive. Oppgvesmling 1 Alger 105 Prøver ulike fktoriseringsrekkefølger: 420 = = = = = = = = = 5 84 = = = Som vi ser, sitter vi lltid igjen med 2, 2, 3, 5 og 7 når vi fktoriserer, uvhengig v rekkefølgen. I oppgve stt vi igjen med fktorene i forskjellig rekkefølge, men i lle tilfellene gir de 420 til svr om de gnges smmen. Vi kn dermed si t rekkefølgen tllene gnges smmen i, er likegyldig. Det smme gjeler når en dividerer: om et tll skl deles på flere ndre, slik som under fktoriseringen, er divisorenes rekkefølge likegyldig. Dette kn forklres med t multipliksjon og divisjon i prinsippet er det smme; 20 : 10 kn like gjerne skrives som Se godt over denne: den er ikke spesielt godt forklrt fr min side. Tllet som fås når,,, d og e gnges smmen, er delrt på lle de fem tllene (eller rettere sgt: hr dem som fktorer). Når tllet 1 legges til, og vi får tllet som i oppgven klles t, kn t nturlig nok ikke leger deles på noen v tllene,,, d eller e. H. Ashehoug & Co. Side 14
15 Løsninger til oppgver i ok Tllet t kn ikke være delelig på noe nnet enn 1 og seg selv; dette strider mot oppftningen v t lle ikke-primtll estår v fktorer som er primtll, og ntgelsen om t det kun finnes fem primtll. t må være et primtll, ettersom det ikke er delelig med noe nnet enn seg selv og 1 (og ikke inneholder noen v fktorene,,, d eller e). Dette flsifiserer påstnden (viser t den er feil) t det kun finnes fem primtll. På smme måte viser den t det finnes uendelig mnge primtll; for å finne et nytt primtll trenger en kun å multiplisere dem en llerede kjenner til (som etter hvert er enormt mnge), og deretter legge til Formelutskrift for regnerket som tester ut lov 2 Setter inn ulike tll i rutene i regnerket i oppgve Høyre og venstre side (rute B6 og B7) viser lltid smme tll, uvhengig v hv som settes inn for, og. Dette viser t lov 2 stemmer. 108 H. Ashehoug & Co. Side 15
16 Løsninger til oppgver i ok Setter inn nye tll og kontrollerer t de to metodene fortstt gir smme svr (formlene i rute C5 og C6 er uendret fr oppgve Metode 1 (2 (C2 + C3)) og metode 2 (2 C2 + 2 C3) gir smme svr. Dette viser t lov 2 stemmer. 109 Formelutskrift for regnerket som tester ut lov 3 Setter inn ulike tll i rutene i regnerket H. Ashehoug & Co. Side 16
17 Løsninger til oppgver i ok Høyre og venstre side (rute B6 og B7) viser lltid smme tll, uvhengig v hv som settes inn for, og. Dette viser t lov 3 stemmer. Setter opp et regnerk som vist på figuren, som ruker to ulike metoder for å regne ut hvor mye vennene hr igjen til smmen. Her er regnerket og formelutskriften. Setter inn nye verdier, men lr formlene forli uendret Metode 1 og metode 2 (rute C7 og C11) får lltid smme tll til svr, uvhengig v hv som settes inn i rutene C2, C3 og C4. Dette viser t lov 3 stemmer. 110 De to måtene å komme frm til svret (metode 1 og metode 2) er egge riktige, uvhengig inn-dtene i regnerket. Endres ntllet elever til 10 gir metode 1 d (2 40) 10 = 800, H. Ashehoug & Co. Side 17
18 Løsninger til oppgver i ok mens metode 2 kn skrives som (10 2) 40 = 800. Begge kommer ltså frm til t det er 800 rosiner totlt. Endrer inn-dtene i regnerket til vilkårlige nye verdier. Metode 1 og metode 2 gir lltid smme svr, uvhengig v inn-dtene. d De to regnemåtene, metode 1 og metode 2, representerer de to sidene i lov 4. Det t smme svr oppnås hver gng, uvhengig v vrilene, viser t lov 4 stemmer. 111 Regnerk for å teste t lov 5, ( + ) =, stemmer. Celle B7 representerer venstre side v likhetstegnet, mens elle B8 representerer høyre side. Setter inn tilfeldige tll for, og. H. Ashehoug & Co. Side 18
19 Løsninger til oppgver i ok Som vi ser gir elle B7 og B8 lltid smme svr. Dette viser t lov 5 stemmer. 112 Metode 1 og metode to gir fortstt smme svr, og stemmer med en kn regne ut i hodet. Metode 1 og metode 2 gir smme svr, uvhengig v inn-dtene. d Metode 1 og metode 2 tilsvrer venstre og høyre side i lov 7: + + =. Det t metode 1 og metode 2 lltid gir smme svr, viser t lov 7 stemmer. 113 Lov 7 H. Ashehoug & Co. Side 19
20 Løsninger til oppgver i ok I denne og de to neste oppgvene ønsker vi knskje ikke t svrene vises som desimltll. D kn vi formtere med røkformt de ellene der det kn dukke opp røker. Lov 8 H. Ashehoug & Co. Side 20
21 Løsninger til oppgver i ok Lov Regnerk som svrer til eksempel 10 Pris per pinoflytting er her endret til 3000, i regnerket fr forrige oppgve. H. Ashehoug & Co. Side 21
22 Løsninger til oppgver i ok Som vi ser, gir metode 1 og metode 2 fortstt smme svr, og stemmer med det vi kn regne ut i hodet eller for hånd. Endrer inn-dtene til tilfeldige verdier d Metode 1 og metode 2 svrer til venstre og høyre side v lov 10, =. Metode 1 d d serer seg på først å regne ut lønnen per oppdrg, og deretter multiplisere denne med ntll oppdrg, mens metode 2 slår hele stykket smmen over smme røkstrek. Det t metodene lltid kommer frm til smme svr, viser t lov 10 stemmer. 118 Skriver full utregning for 1. kvdrtsetning: ( + ) 2 = ( + )( + ) = = Skriver full utregning for 2. kvdrtsetning: ( ) 2 = ( )( ) = + 2 = Skriver full utregning for 3. kvdrtsetning: ( + )( ) = = Alle slike stykker, sert på kvdrtiske felt med fire tll fr tellen, gir 8 til svr når de regnes ut. 125 Vi kn evise t resulttet fr forrige oppgve lltid vil gjelde, på følgende måte: et generelt kvdrt fr tellen kn noteres som x x + 1 x + 8 x + 9 Skriver vi d opp stykket, får vi (x + 1)(x + 8) x(x + 9) = x 2 + x + 8x + 8 x 2 9x = 8. H. Ashehoug & Co. Side 22
23 Løsninger til oppgver i ok Hdde tellen vært skrevet med sju tll per linje, kunne et generelt kvdrt h litt notert som x x + 1 x + 7 x + 8 Skriver vi d opp stykket, får vi (x + 1)(x + 7) x(x + 8) = x 2 + x + 7x + 7 x 2 8x = 7. Svret vil ltså lltid li Forslg til mønster med egendefinerte mønsterrpporter Hver mønsterrpport estår v 4 prikker. Et mønster som estår v n mønsterrpporter hr dermed 4n prikker. Mønsteret på figuren hr mønsterrpporter som estår v 6 kryss. Fire v kryssene ligger på en vertikl rekke, og to v dem ligger på skrå nedover mot høyre. Rekke 1 får to nye ruter per enhet η stiger, og dnner en rett vinkel med stdig lengre vinkelein. Rekke 2 er oppygd v to kvdrter med sideflter på η ruter. De to kvdrtene lir ltså større ettersom η-verdien stiger. Rekke 3 er oppygd v rektngler som lir én rute redere og én rute høyere per enhet η stiger. Til å egynne med er rektngelet én gnger tre ruter stort. Forslg til de tre neste figurene (η = 4) i rekkene 1, 2 og 3 Rekke 1 lir to ruter større per figurnummer. På figur nummer 7 lir det dermed 15 ruter, og på figur nummer 10 lir det 21 ruter. H. Ashehoug & Co. Side 23
24 Løsninger til oppgver i ok Rekke 2 estår v to kvdrter med sideflter som hr en lengde på «figurnummerets ntll ruter». Figur nummer 7 vil dermed estå v ruter, ltså = 98 ruter. Figur nummer 10 vil estå v ruter, ltså = 200 ruter. Rekke tre er et rektngel med en høyde på «figurnummerets ntll ruter», mens redden tilsvrer «figurnummerets ntll pluss to ruter». Figur nummer 7 vil dermed estå v 7 (7 + 2) ruter, ltså 7 9 = 63 ruter. Figur nummer 10 vil estå v 10 (10 + 2) ruter, ltså 120 ruter. 138 Vi gjør her formelen mer generell ved å ruke en refernse til det første tllet i tllfølgen. Her må vi ruke en solutt ellerefernse eller gi B2 nvn for t den ikke skl endres når vi kopierer formelen. H. Ashehoug & Co. Side 24
25 Løsninger til oppgver i ok Likning 1: x + 2 = 4 Likning 2: x 2x + = 3 4 Likning 3: 4x 7 = 3 Likning 4: x = Likning 5: x x + = x Forslg: Likning 1 gir t x = 6. H. Ashehoug & Co. Side 25
26 Løsninger til oppgver i ok Likning 2 gir t 8 x x 12 x + =, som igjen kn omformes til x = Likning 3 gir t 4x = 4, og vi hr dermed t x = 1. x Likning 4 gir t = 4, som kn omformes til x = 8. 2 Likning 5 gir t 2 x 3 x 6 x x + = 2, som kn omformes til = 2, og vi hr t x = Følgende tre likninger hr x = 7 som svr: Likning 1: 2x 3 = 18 x x 3 Likning 2: + = Likning 3: x = 57 (denne likningen hr også x = 7 som svr) H. Ashehoug & Co. Side 26
Faktorisering. 1 Hva er faktorisering? 2 Hvorfor skal vi faktorisere? Per G. Østerlie Senter for IKT i utdanningen 11.
Fktorisering Per G. Østerlie Senter for IKT i utdnningen per@osterlie.no 11. mi 013 1 Hv er fktorisering? Vi må se på veret å fktorisere. Hv er det vi skl gjøre når vi fktoriserer? Svret er: å lge fktorer.
DetaljerKapittel 4 Tall og algebra Mer øving
Kpittel 4 Tll og lger Mer øving Oppgve 1 d Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller de ulike okstvene? Se på uttrykket A = 2π. Hv står de ulike symolene for? Forklr hv vi mener med en vriel og en
Detaljer1 Tallregning og algebra
Tllregning og lger ØV MER. REGNEREKKEFØLGE Oppgve.0 6 d) ( : 6) Oppgve. ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ( ) () (6 ) () d) ( ) 7() ( ) Oppgve. 6 ( ) d) Oppgve. Med ett ddisjonstegn, ett sutrksjonstegn, ett multipliksjonstegn
DetaljerKapittel 3. Potensregning
Kpittel. Potensregning I potensregning skriver vi tll som potenser og forenkler uttrykk som inneholder potenser. Dette kpitlet hndler blnt nnet om: Betydningen v potenser som hr negtiv eksponent eller
DetaljerTemahefte nr. 1. Hvordan du regner med hele tall
1 ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK SNART MATTE EKSAMEN Hvordn du effektivt kn forberede deg til eksmen Temhefte nr. 1 Hvordn du regner med hele tll Av Mtthis Lorentzen mttegrisenforlg.com Opplysning: De nturlige
Detaljer5: Algebra. Oppgaver Innhold Dato
5: Alger Pln resten v året: - Kpittel 6: Ferur - Kpittel 7: Ferur/mrs - Kpittel 8: Mrs - Repetisjon: April/mi - Eventuell offentlig eksmen: Mi - Økter, prøver, prosjekter: Mi - juni For mnge er egrepet
Detaljer1T kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve. 0 8 ( 0) + 0 + ( 0) 0 8 Oppgve. 7 ( ) + + ( ) 7 Oppgve. ( ) + Oppgve. 0 ( ) 0 ( 0) ( ) 0 ( 0) : ( ) 0 : ( ) Oppgve. ( ) ( ) ( ) (,) ( ) (,) 9 Oppgve.
Detaljera 5 (2 + 8) d 5 (2 + 8) 4 g b 3 5 (2 + 8) e h 3 ( ) j Begrunn hvorfor du ikke får samme svar på oppgave b og g.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 4 TALL OG ALGEBRA MER ØVING Oppgve 1 Oppgve 2 Se på uttrykket A = g h. Hv forteller e ulike okstvene? Se på uttrykket O = 2π. Hv står e ulike symolene for? Forklr hv
Detaljer... JULEPRØVE 9. trinn...
.... JULEPRØVE 9. trinn.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver
Detaljer2 Tallregning og algebra
Tllregning og lger KATEGORI. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten digitlt hjelpemiddel. + ( + ) ( ) Oppgve. Regn uten digitlt hjelpemiddel. Oppgve. Regn ut med og uten digitlt hjelpemiddel. + (7 + ) ( 9)
Detaljer2 Symboler i matematikken
2 Symoler i mtemtikken 2.1 Symoler som står for tll og størrelser Nvn i geometri Nvn i mtemtikken enyttes på lignende måte som nvn på yer og personer, de refererer eller representerer et tll eller en størrelse,
Detaljer... JULEPRØVE
Ashehoug JULEPRØVE 2014 9. trinn.... JULEPRØVE 2014.... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemidler ( 37 poeng) På denne delprøven kn du re ruke skrivesker, psser og linjl. Alle oppgvene i del 1 skl føres
DetaljerBrøkregning og likninger med teskje
Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere
DetaljerOppgave 2 Betydningen til hvert enkelt siffer er bestemt av sifferets plassering eller posisjon. Tallet 4321 betyr
KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING FLERE UTFORDRINGER Oppgve 1 Du hr sifrene A 1 3 5 7 9 og B 2 4 6 8 Ve å ruke tre v sifrene i enten A eller B skl u lge ett tll så nærme 500 som mulig. Du kn re ruke ett siffer
DetaljerIntegrasjon Skoleprosjekt MAT4010
Integrsjon Skoleprosjekt MAT4010 Tiin K. Kristinslund, Julin F. Rossnes og Torstein Hermnsen 19. mrs 2014 1 Innhold 1 Innledning 3 2 Integrsjon 3 3 Anlysens fundmentlteorem 7 4 Refernser 10 2 1 Innledning
DetaljerR1 kapittel 1 Algebra
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 1 Alger Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 1.1 1 8 4 ( ) 15 5 (4 ) 7 1 7 ( ) d ( )( ) ( 4)( ) ( ) ( 4) ( )( 1) Oppgve 1. 49 7 ( 7)( 7) 5 5 5 5 1y 75 (4y 5) ( y) 5
DetaljerMer øving til kapittel 1
Mer øving til kpittel 1 KAPITTEL 1 TALL OG TALLREGNING Oppgve 1 Finn svret ve hoeregning. Velg to v oppgvene og forklr hvilken strtegi u hr rukt. 27 + 38 e 160 70 i 130 4 35 + 75 f 19 5 j 6 7,5 58 + 42
DetaljerFasit. Oppgavebok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Oppgvebok 8 Kpittel 5 Bokmål KAPITTEL 5 5.1 8, 10, 1 b Antll pinner i en figur er figurnummeret gnget med. 5. 14, 17, 0 b gnger figurnummeret pluss. c 14, 17, 0, 5. Figur 1 4 5 Antll pinner 5 8 11
Detaljer... ÅRSPRØVE 2014...
Delprøve 1 Ashehoug ÅRSPRØVE 014 9. trinn.... ÅRSPRØVE 014... Nvn: Gruppe: DELPRØVE 1 uten hjelpemiler (39 poeng) Alle oppgvene i el 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er et en regnerute. Her skl
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for elever og privatister. Antall sider i oppgaven: 8 inklusiv forside og opplysningsside
Loklt gitt eksmen 2012 Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for elever og privtister Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 25. mi Antll sider i oppgven: 8 inklusiv forside og opplysningsside Eksmenstid: Hjelpemidler under eksmen:
DetaljerMer øving til kapittel 3
Mer øving til kpittel 3 KAPITTEL 3 FUNKSJONER Oppgve 1 Tegn et koordintsystem og merk v punktene (1, 5) d (3, 2) ( 2, 3) e ( 3, 5) (4, 0) f (0, 4) Oppgve 2 Hvilke koordintpr hr de ulike punktene i koordintsystemet?
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 10 % v 60 er 0,1 60 = 6. Prisen øker d med 6 kr. Vren vil derfor koste 60 kr + 6 kr = 70
DetaljerYF kapittel 10 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 10 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok Uten hjelpemidler Oppgve E1 5 + 5 + 6 11 5 + 4 (5 + ) 5 + 4 7 10 6 + 8 d + ( + 1) 5 + 4 5 + 16 5 + 10 5 4 + 4 4 + 8 1 + + + + + + + + 49 49
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
DetaljerMatematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 8 Numerisk integrsjon Som kjent kn vi regne ut (bestemte) integrler ved nti-derivsjon. Dette resulttet er et v de viktikgste innen klkulus; det heter tross
DetaljerÅrsprøve 2014 10. trinn Del 2
2 Årsprøve 2014 10. trinn Del 2 Informsjon for del 2 Prøvetid: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: Veiledning om vurderingen: 5 timer totlt Del 2 skl du levere
DetaljerS1 kapittel 1 Algebra Løsninger til oppgavene i læreboka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel Alger Løsninger til oppgvene i læreok. 8 ( ) 5 9. e = = 9 = = 8 5 = = 0 = 0 0 0 = 000 =. e Ashehoug www.lokus.no Sie v Løsninger til oppgvene i ok..5..7 = = + 5 =
DetaljerS1 kapittel 6 Derivasjon Løsninger til oppgavene i boka
S kpittel 6 Derivsjon Løsninger til oppgvene i ok 6. c y x y x = = = = y x 4 5 9 4 y 5 6 x 4 = = = = y x y x = = = = 7 ( 5) 6 ( ) 8 6. f( x ) f( x ) 5 7 x x ( ) 4 = = = = 6. T( x) = 0,x +,0 T T = + = (0)
Detaljer1 Geometri KATEGORI 1. 1.1 Vinkelsummen i mangekanter. 1.2 Vinkler i formlike figurer
Oppgver 1 Geometri KTGORI 1 1.1 Vinkelsummen i mngeknter Oppgve 1.110 ) I en treknt er to v vinklene 65 og 5. Finn den tredje vinkelen. b) I en firknt er tre v vinklene 0, 50 og 150. Finn den fjerde vinkelen.
DetaljerMer øving til kapittel 2
Mer øving til kpittel 2 KAPITTEL 2 GEOMETRI OG MÅLING Oppgve 1 Oppgve 2 Oppgve 3 Anne hr vært på ferie til sine esteforeldre fr 28. juni til 9. ugust. Hvor mnge dger hr hun vært på ferie? Fr hun kom hjem
Detaljer3.7 Pythagoras på mange måter
Oppgve 3.18 Vis t det er mulig å multiplisere og dividere linjestykker som vist i figur 3.. Bruk formlikhet. 3.7 Pythgors på mnge måter Grekeren Pythgors le født på Smos 569 og døde. år 500 f. Kr. Setningen
DetaljerMATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR.
MATEMATIKKPRØVE 11. FEBRUAR. Nvn: Klsse: DELPRØVE 1 uten lommeregner og p (41 poeng) Alle oppgvene i del 1 skl føres rett på rket. I noen oppgver er det en regnerute. Her skl du føre oppgven oversiktlig
DetaljerDel 2. Alle oppgaver føres inn på eget ark. Vis tydelig hvordan du har kommet frem til svaret. Oppgave 2
Del 2 Alle oppgver føres inn på eget rk. Vis tydelig hvordn du hr kommet frem til svret. Oppgve 1 Figuren viser sidefltene til et prisme. Grunnflten og toppflten mngler. ) Hvilken form må grunn- og toppflten
DetaljerALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL
Anne Rsch-Hlvorsen Oddvr Asen Illustrtør: Bjørn Eidsvik 7B NY UTGAVE ALTERNATIV GRUNNBOK BOKMÅL CAPPELEN DAMM AS, 2011 Mterilet i denne publiksjonen er omfttet v åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 30 Vekstfktoren er 1 1 0,30 0, 70. 100 N GV N V G 80 800 V 400 0,70 7 Vren kostet 400 kr
DetaljerÅrsprøve trinn Del 1. Navn: Informasjon for del 1
Årsprøve 2015 9. trinn Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid: Hjelpemidler på del 1: Andre opplysninger: Fremgngsmåte og forklring: 5 timer totlt. Del 1 og Del 2 skl deles ut smtidig Del 1 skl du levere
DetaljerTerminprøve Matematikk for 1P 1NA høsten 2014
Terminprøve Mtemtikk for 1P 1NA høsten 2014 DEL 1 Vrer 1,5 time Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler. Forsøk på lle oppgvene selv om du er usikker
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Vrisjonsredden er differnsen mellom største og minste verdi. Største verdi vr 20 poeng. Minste
Detaljer6 Brøk. Matematisk innhold Brøk i praktiske situasjoner Brøk som del av en mengde. Utstyr Eventuelt ulike konkreter, som brikker og knapper
Brøk I dette kpitlet lærer elevene om røk som del v en helhet, der helheten kn være en mengde, en lengde eller en figur, og de skl lære om røk som del v en mengde. De skl lære å finne delen når det hele
DetaljerS1 kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
S1 kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i læreok E1 995 995 5 + 5 (995 5) (995 + 5) + 5 990 1000 + 5 990 000 + 5 990 05 E E (61+ 9) 51 49) (51+ 49) 61 9 (61 9) 51 49 ( 100 100 11 1997 00 199
DetaljerDELPRØVE 2 (35 poeng)
DELPRØVE 2 (35 poeng) På denne delprøven er lle hjelpemidler tilltt. Alle oppgvene i del 2 skl føres på eget rk. Før svrene oversiktlig, slik t det går tydelig frm hvordn du hr løst oppgvene. Bruk penn.
DetaljerIntegrasjon av trigonometriske funksjoner
Integrsjon v trigonometriske funksjoner øistein Søvik 3. november 15 I dette dokumentet skl jeg vise litt ulike integrsjonsteknikker og metoder for å utforske integrlene v (cos x) og (sin x). De bestemte
DetaljerTerminprøve Matematikk Påbygging høsten 2014
Terminprøve høsten 2014 Terminprøve Mtemtikk Påygging høsten 2014 DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Regn ut 3 3 3 4 1 3 3 2
DetaljerYF kapittel 8 Rom Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 8 Rom Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 809 Vi skl gå ett hkk mot venstre, og deler derfor med 10. 40 dl = (40 :10) L = 4 L Vi skl gå to hkk mot venstre, og deler derfor med 10 10 = 100.
DetaljerOppgave 1 Diagrammet nedenfor viser hvordan karakteren var fordelt på en norskprøve.
Mtemtikk for ungomstrinnet KAPITTEL 5 STATISTIKK OG SANNSYNLIGHET MER ØVING Oppgve 1 Digrmmet neenfor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4?
DetaljerKapittel 4 Kombinatorikk og sannsynlighet. Løsninger til oppgaver i boka. Løsninger til oppgaver i boka
Kpittel 4 Kombintorikk og snnsynlighet Løsninger til oppgver i bok 4.4 Oppgve 4.2 løst ved multipliksjonsprinsippet: multipliksjon v de ulike vlgmulighetene v forretter, hovedretter og desserter gir uttrykket
DetaljerSTATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET
Mer øving til kpittel 4 STATISTIKK, KOMBINATORIKK OG SANNSYNLIGHET Oppgve 1 Under ser du resulttet v ntll kinoesøk for en klsse de siste to måneder: 1, 3, 5, 4, 2, 7, 1, 1, 4, 5, 3, 3, 4, 0, 1, 3, 6, 5,
DetaljerTillegg til kapittel 2 Grunntall 10
8.09.0 Kvrtsetningene Tillegg til kpittel Grunntll 0 Ne læringsmål i reviert lærepln 0 Mål for et u skl lære: kunne ruke kvrtsetningene til å multiplisere to prentesuttrkk kunne fktorisere ve å ruke kvrtsetningene
DetaljerR2 - Heldagsprøve våren 2013
Løsningsskisser HD R R - Heldgsprøve våren 0 Løsningsskisser Viktigste oppsummeringer: Må skrive med penn på eksmen! Slurv og regnefeil, både med tll og bokstver, er hovedproblemet. Beste måten å fikse
DetaljerEksempeloppgaver 2014 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 19 millirder 9 10 = 19 10 = 1,9 10 0,089 10 = 8,9 10 10 = 8,9 10 Oppgve 6 6 8 Prosentvis
Detaljerx 1, x 2,..., x n. En lineær funksjon i n variable er en funksjon f(x 1, x 2,..., x n ) = a 1 x 1 + a 2 x a n x n,
Introduksjon Velkommen til emnet TMA45 Mtemtikk 3, våren 9 Disse nottene inneholder det vi gjennomgår i forelesningene, og utgjør, smmen med lle øvingene, pensum for emnet Læreoken nefles som støttelittertur
DetaljerYF kapittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 6 Lengder og vinkler Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 601 Vi skl gå ett hkk mot høyre, og gnger derfor med 10. 14 cm 14 10 mm 140 mm c Vi skl gå to hkk mot høyre, og gnger derfor med 10
DetaljerYF kapittel 7 Flate Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 7 Flte Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 701 Vinkel C er en rett vinkel. Altså er C = 90. c AB er motstående side til den rette vinkelen i treknten. Derfor er AB ypotenus. AC er osliggende
DetaljerIntegralregning. Mål. for opplæringen er at eleven skal kunne
8 Integrlregning Mål for opplæringen er t eleven skl kunne gjøre rede for definisjonen v estemt integrl som grense for en sum og uestemt integrl som ntiderivert eregne integrler v de sentrle funksjonene
DetaljerJuleprøve trinn Del 1. Navn: Del 1 Aschehoug JULEPRØVE trinn. Informasjon for del 1
Juleprøve 2015 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 Prøvetid Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Frmgngsmåte og forklring 5 timer totlt Del 1 og del 2 lir delt ut smtidig. Del 1 skl leveres inn seinest
DetaljerLøsningsforslag til Obligatorisk oppgave 2
Løsningsforslg til Oligtorisk oppgve INF1800 Logikk og eregnrhet Høsten 008 Alfred Brtterud Oppgve 1 Vi hr lfetet A = {} og språkene L 1 = {s s } L = {s s inneholder minst tre forekomster v } L 3 = {s
DetaljerEneboerspillet. Håvard Johnsbråten
Håvrd Johnsråten Eneoerspillet Når vi tenker på nvendelser i mtemtikken, ser vi gjerne for oss Pytgors læresetning eller ndre formler som vi kn ruke til å eregne lengder, reler, kostnder osv. Men mer strkte
DetaljerNøtterøy videregående skole
Til elever og forestte Borgheim, 1. ugust 2018 Viktig info om vlg v mtemtikkfg for elever på vg1 studiespesilisering I vg1 får elevene vlget mellom to ulike mtemtikkfg. Mtemtikk 1T (teoretisk) og Mtemtikk
DetaljerVekst av planteplankton - Skeletonema Costatum
Vekst av planteplankton - Skeletonema Costatum Nivå: 9. klasse Formål: Arbeid med store tall. Bruke matematikk til å beskrive naturfenomen. Program: Regneark Referanse til plan: Tall og algebra Arbeide
Detaljer1 Algebra. 1 Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig: a) 2(a + 3) (3 + 3a) b) 2(1 a) + a(2 + a) c) 1 + 2(1 3a) + 5a d) 4a 3ab 2(a 5b) + 3(ab 2b)
Alger Skriv disse uttrykkene så enkelt som mulig c 5 d 5 Multipliser ut og gjør svrene så enkle som mulige c c c c d e f g h 5 i Regn ut 5 Regn ut og vis frmgngsmåten 5 c Regn ut og vis frmgngsmåten 5
Detaljer1T kapittel 8 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 8 Eksmenstrening Løsninger til oppgvene i lærebok Uten hjelpemidler E b c E b c Vi gnger vnlige tll med vnlige tll og tierpotenser med tierpotenser. Til slutt omformer vi svret så vi får et tll
DetaljerKapittel 5 Statistikk og sannsynlighet Mer øving
Kpittel 5 Sttistikk og snnsynlighet Mer øving Oppgve 1 Digrmmet nefor viser hvorn krkteren vr forelt på en norskprøve. 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 Hvor mnge fikk krkteren 4? Hvor mnge elever er et i klssen?
Detaljer1T kapittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgavene i læreboka
1T kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 3.1 Origo er skjæringspunktet mellom førsteksen og ndreksen. Koordintene til origo er ltså (0, 0). Førstekoordinten til punktet A er 15, og
DetaljerNavn: Klasse: Ekstrahefte 2. Brøk
Nvn: Klsse: Ekstrhefte Brøk Brøk Oppg. ) Finn største felles fktor (sff) for teller og nevner ved å fktorisere. Bruk dette til å forkorte røken. 0 6 ) Finn minste felles multiplum (mfm) for nevnerne ved
DetaljerKapittel 2 Mer om tall og tallregning Mer øving
Kpittel Mer om tll og tllregning Mer øving Oppgve Plsser isse tllene på ei tllinje:,, 9,, Skriv røkene i stigene rekkefølge. Skriv lle tllene som esimltll Oppgve Skriv en røk og fortell hv som er teller,
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2013
Tll i rei Påygging terminprøve våren 2013 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Skriv tllene på stnrform. 1 0,000 00015 2 19,6 millirer
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 Melk: 2 14,95 2 15 30 Potet: 2,5 8,95 2,5 9 22,5 Ost: 0,5 89,95 0,5 90 45 Skinke: 0, 2 199
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logritmer Foret utregingene nedenfor: 5 5 c 6 7 d e 5 f g h i Regn ut og gjør svrene så enkle som mulige: c y y d e f g h i j y y + y + y + + y Prisen på en motorsg vr kr 56 i 99. Vi regner
DetaljerFag: Matematikk 1T-Y for yrkesfag for elever og privatisterr. Eksamensdato: 16. januar 2012
Loklt gittt eksmen Eksmen Fg: Mtemtikk 1T-Y for yrkesfg for elever og privtisterr Fgkode: MAT1006 Eksmensdto: 16. jnur 2012 Antll sider i oppgven: 7 inklusiv forside og opplysningsside Del 1: oppgve 1-5
DetaljerOppgave N2.1. Kontantstrømmer
1 Orientering: Oppgvenummereringen leses slik: N står for nettsiden, første siffer står for kpittelnummer og ndre for oppgvenummer. Oppgve N2.1. Kontntstrømmer En edrift vurderer å investere 38 millioner
DetaljerJuleprøve trinn Del 1 Navn:
Juleprøve 2014 10. Del 1 Nvn: Informsjon for del 1 1 Prøvetid 5 timer totlt. Del1 og Del 2 skl deles ut smtidig. Del 1 skl du levere innen 2 timer. Hjelpemidler i del 1 Andre opplysninger Del 2 skl du
DetaljerYF kapittel 1 Tall Løsninger til oppgavene i læreboka
YF kpittel 1 Tll Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 10,, 0, 1,, 5,,, 0 Oppgve 10 Tllet 5 står til høyre for tllet på tllinj. Altså er 5>. Tllet 5 står til venstre for tllet 1 på tllinj. Altså er 5
DetaljerSem 1 ECON 1410 Halvor Teslo
Løsningsforslg til seminr i ECON : Internsjonl økonomi.seminruke V ) Den økonomien vi her står ovenfor produserer re to goder, tø og vin. Altså vil lterntivkostnden for den ene vren nødvendigvis måles
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 4. Bokmål
Fsit Grunnok Kpittel 4 Bokmål Kpittel 4 Kvdrtiske funksjoner ndregrdsfunksjoner 4.1 Stigningstll Skjæring -kse Skjæring y-kse 4 ( 2, 0) (0, 8) 1 (1, 0) (0, 1) 1 (9, 0) (0, 3) 3 4.5 y = + = 0, y =, y =
DetaljerLøsningsforslag til avsluttende eksamen i HUMIT1750 høsten 2003.
Løsningsforslg til vsluttende eksmen i HUMIT1750 høsten 2003. Teksten under hr litt litt prtsom fordi jeg hr villet forklre hvordn jeg gikk frm. Fr en studentesvrelse le det ikke forventet nnet enn sluttresulttene.
DetaljerEksamen våren 2016 Løsninger
DEL Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve,8,8 (,8 ) 3,6 3, 6 3, 6,5 5, (5, ) Oppgve 3, 5 Vi ser på tllinj t,5 tilsvrer punkt F. Vi ser
DetaljerS1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok S kpittel 4 Logritmer Løsninger til oppgvene i ok 4. Vi leser v fr tllet 4 på y-ksen og ser t vi får den tilhørende verdien,6 på -ksen. lg 4,6 Vi leser v fr tllet,5 på y-ksen
DetaljerFasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål
Fsit Grunnok 8 Kpittel 5 Bokmål Kpittel 5 5.1 Figurtll: 8, 13, 18, 23, 28 19 etsjer 5.2 Figurtll: 1, 7, 10, 13, 16, 19 3 c Figurtllet er 3 gnger figurnummeret pluss 1. d Figurtllet er 5 gnger figurnummeret
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrasjon
Mtemtikk 1000 Øvingsoppgver i numerikk leksjon 9 Numerisk integrsjon Forståelsen v integrlet som et rel ligger til grunn når vi skl beregne integrler numerisk. Litt mer presist: Når f(x) 0 for lle x i
DetaljerM2, vår 2008 Funksjonslære Integrasjon
M, vår 008 Funksjonslære Integrsjon Avdeling for lærerutdnning, Høgskolen i Vestfold. pril 009 1 Arelet under en grf Vi begynner vår diskusjon v integrsjon, på smme måte som vi begynte med derivsjon, ved
DetaljerS2 kapittel 1 Rekker Utvalgte løsninger oppgavesamlingen
Utvlgte løsiger oppgvesmlige S kpittel Rekker Utvlgte løsiger oppgvesmlige 0 Vi k prøve med differsemetode Differsee mellom leddee utover er 4,6,8, så det er rimelig t differse mellom femte og fjerde ledd
DetaljerEksamen høsten 2015 Løsninger
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1, 4 4 = = 6 0, 4 4 Du kn innt mksimlt 6 g slt per dg. 00 0,8 0,8, 4 100 = = Én porsjon pizz
Detaljer1P kapittel 3 Funksjoner
Løsninger til oppgvene i ok 1P kpittel 3 Funksjoner Løsninger til oppgvene i ok 3.1 Origo hr koordintene (0, 0). Vi finner koordintene til punktene ved å lese v punktets verdi på x-ksen og y-ksen. A =
DetaljerSammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra
Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:
DetaljerInnledning. Kategori Regnerekkefølge. 1.2 Bokstavregning og parenteser
Innledning Ktegori. Regnerekkefølge Oppgve.0 Regn uten lommeregner. b) ( ) d) ( ) Oppgve. Regn uten lommeregner. b) d) Oppgve. Regn ut med og uten lommeregner. b) ( ) d) ( 9) Oppgve. Regn ut med lommeregner.
DetaljerE K S A M E N. Matematikk 3MX. Elevar/Elever Privatistar/Privatister. AA6524/AA6526 8. desember 2004 UTDANNINGSDIREKTORATET
E K S A M E N UTDANNINGSDIREKTORATET Mtemtikk 3MX Elevr/Elever Privtistr/Privtister AA654/AA656 8. desember 004 Vidregånde kurs II / Videregående kurs II Studieretning for llmenne, økonomiske og dministrtive
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
Eksmen høsten 013 Løsninger Eksmen høsten 013 Løsninger DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 150 sider Vi finner først hvor mnge
DetaljerDEL 1 Uten hjelpemidler
DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vnlige skrivesker, psser, linjl med centimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 4,5 % 3,6 % 0,9 % Økningen hr vært på 0,9 prosentpoeng. 0,9 % 100 % 5 % 3, 6 % Økningen hr
DetaljerTall i arbeid Påbygging terminprøve våren 2014
Terminprøve våren 014 Tll i rei Påygging terminprøve våren 014 DEL 1 Uten hjelpemiler Hjelpemiler: vnlige skrivesker, psser, linjl me entimetermål og vinkelmåler Oppgve 1 1 Skriv tllet Skriv tllet 6 3,15
DetaljerBasisoppgaver til 2P kap. 1 Tall og algebra
Bsisoppgver til P kp. Tll og lger. Potenser. Nye potenser. Store og små tll. Stnrform. Tllsystemer. Femtllsystemet. Totllsystemet.7 Prosentregning me vekstfktor.8 Renteregning Ashehoug www.lokus.no Ashehoug
DetaljerOppgave 5 Et rektangel har en omkrets på 24 cm 2. Hva blir arealet? Dersom lengdene på sidene skal ha heltallige svar, hvor mange løsninger får du?
KAPITTEL 3 GEOMETRI Mer øving kpittel 3 I e første oppgvene skl u gjøre om enheter på en lgeriske måten. Det vil si t når u skl gjøre om mellom relenheter skl u gå veien om å gjøre om mellom lengeenheter.
DetaljerMAT 100a - LAB 4. Før vi gjør dette, skal vi for ordens skyld gjennomgå Maple-kommandoene for integrasjon (cf. GswM kap. 12).
MAT 00 - LAB 4 Denne øvelsen er i hovedsk viet til integrsjon. For mnge er integrsjon i prksis det smme som ntiderivsjon, og noe som kn rukes til å eregne relet v enkelte områder i plnet som lr seg egrense
DetaljerMer om likninger og ulikheter
Mer om likninger og ulikheter Studentene skal kunne utføre polynomdivisjon anvende nullpunktsetningen og polynomdivisjon til faktorisering av polynomer benytte polynomdivisjon til å løse likninger av høyere
DetaljerRegn i hodet. a) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = Regn i hodet. a) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 =
10 Divisjon 2 1 Regn i hodet. ) 15 : 3 = b) 24 : 6 = c) 36 : 4 = d) 48 : 8 = 2 Regn i hodet. ) 21 : 3 = b) 28 : 7 = c) 49 : 7 = d) 64 : 8 = 3 ) 39 : 3 = b) 56 : 4 = c) 96 : 8 = d) 98 : 7 = 4 Gi svret med
DetaljerS1 Eksamen våren 2009 Løsning
S1 Eksamen, våren 009 Løsning S1 Eksamen våren 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig 1) x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 ) a b 3 a b 3 a 4a b 1 3 4a b 3 b 1 b) Løs likningene
DetaljerFASIT, tips og kommentarer
FASIT, tips og kommentrer JULEKALENDER 8.- 10- trinn Nivå 1 og Nivå 2. Tips til orgnisering: Kn jobbes med i gruppe, to og to eller individuelt. Spre rbeidet med klenderen i mttetimene i desember, eller
Detaljer1T kapittel 6 Geometri Løsninger til oppgavene i læreboka
T kpittel 6 Geometri Løsninger til oppgvene i læreok Oppgve 6. Vi ruker pytgorssetningen. h 5 + 6 h 5 + 36 h 6 h ± 6 Hypotenusen er 6. Vi ruker pytgorssetningen. h, 4 + 6,7 h h 5, 076 + 45, 04 50, 047
DetaljerR1 kapittel 7 Sannsynlighet. Kapitteltest. Oppgave 1. Oppgave 2. Oppgave 3. Del 1 Uten hjelpemidler. Løsninger til oppgavene i boka
Løsninger til oppgvene i ok R1 kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Kpitteltest Del 1 Uten hjelpemidler Oppgve 1 De fem lppene kn ordnes i rekkefølge på 5! = 15 = forskjellige måter. Vi kn
Detaljer