MAT 1110: Løsningsforslag til obligatorisk oppgave 2, V-06

Transkript

1 MAT : Løsningsforslg til obligtorisk oppgve, V-6 Oppgve : ) Hvis = (,,...) og = (,,...) er to vektorer, vil kommndoen >> plot(,) tegne rette forbindelseslinjer mellom punktene (, ), (, ) osv. For å plotte en prmetrisert kurve må vi derfor lge vektorer, som består v hhv. - og -koordintene til punkter på kurven. For kurven i oppgven kn vi gjøre dette ved å skrive >> t=:.:*pi; >> =t.*cos(t); >> =t.*sin(t); >> plot(,) Plottet viser én omdreining v en spirl. b) Siden >> plot virker på smme måte som >> plot, bre i tre dimensjoner, kn vi bruke den smme fremgngsmåten som ovenfor: >> t=:.:*pi; >> =t.*cos(t); >> =t.*sin(t); >> z=t.^; >> plot(,,z) Figuren viser spirlen i ) løftet opp i rommet. c) For å vise t kurven ligger på flten observerer vi bre t (t) + (t) = (t cos t) + (t sin t) = t (sin t + cos t) = t = z(t) Før vi tegner kurven og flten i smme koordintssstem, kn det være greit å gjøre et overslg over hvor stort vinduet skl være. Når t = π, er (t) lik π, ltså litt mindre enn 7. Det virker derfor rimelig å l og løpe fr 7 til 7: >>,=meshgrid(-7:.:7); % se MATLAB-heftet, seksjon 4 >> z=.^+.^; >> mesh(,,z) % se MATLAB-heftet >> hold on >> t=:.:*pi; >> =t.*cos(t); % velger ne vribelnvn for >> =t.*sin(t); % ikke å overskrive de innlgte >> z=t.^; % verdiene i, og z >> plot(,,z, LineWidth,) Det kn være nødvendig å snu litt på figuren for å se kurven godt. Oppgve : På grunn v integrnden + er det fristende å btte til polrkoordinter, men før vi gjør det, trenger vi bedre oversikt over området R. Fullfører vi kvdrtet, ser vi t 4 + = = ( ) + 4

2 som gir R = {(, ) R ( ) + 4} Dette betr t R er sirkelskiven med rdius om punktet (, ) (se figuren). O A B θ (,) Fr figuren ser vi t OB er cos θ, så OA = OB = 4 cos θ. Dette betr t for gitt θ, skl r løpe fr til 4 cos θ. For å fnge opp lle punkter i området må θ løpe fr π/ til π/, så integrlet blir I = π 4 cos θ r r dr dθ der den første r en i integrnden skldes t + = r mens den ndre er Jcobi-determinnten. Vi får π 4 cos θ π I = r r r=4 cos θ dr dθ = dθ = 64 π cos θ dθ For å regne ut det siste integrlet bruker vi t r= cos θ = cos θ cos θ = ( sin θ) cos θ Innfører vi nå u = sin θ som n vribel, får vi du = cos θ dθ og I = 64 ( u ) du der de ne grensene skldes t sin( ) = nd sin( π ) =. Resten er lett: I = 64 ( u ) du = 64 u u = 56 9 Oppgve : ) Ellipsen med brennpunkter i A og B og med store hlvkse består v lle punkter C slik t AC + CB =. I vårt tilfelle er = 7 = 4. Siden dette et tuets lengde, ligger C på ellipsen. Den hlve brennpunktvstnden er c = =, så den lille hlvksen blir b = c = 7 = 89 = 89 =.75. b) Hvis D hr koordinter (, ), sier vstndsformelen t 4 = BD = (6 ) + ( ). Løser vi denne ligningen, og tr hensn til t D skl ligge på den negtive -ksen, får vi = 8. D hr ltså koordinter (, 8). c) Siden L ligger hlvveis mellom D og A, er P A = DP (se figur på oppgverket). Dermed er P A + P B = DP + P B = DB = 4, som viser t

3 P ligger på ellipsen. d) Hvis Q er et nnet punkt på L, så er fortstt QA = DQ (se figuren nedenfor). Dermed er QA + QB = DQ + QB > DB = 4, så Q ligger ikke på ellipsen (her hr vi brukt t siden Q ikke ligger på linjen fr D til B, er DQ + QB > DB ). B A Q D L Figur Det er flere metoder for å vise t P er det lveste punktet på ellipsen. Det enkleste er knskje å si t dersom det fntes et lvere punktet R, måtte ellipsen h krsset L to steder en gng på vei ned til R og en gng på vei opp igjen (dette rgumentet gjør skjult bruk v skjæringssetningen). Det er også mulig å bruke en vrint v rgumentet i c) og d) til å vise t hvis R ligger lvere enn P, så er RA + RB > 4. e) Siden linjen L ligger hlvveis mellom A(, ) og D(, 8), må den h ligning = 9, og -koordinten til P er derfor 9. Linjen fr D til B hr stigningstll 6 = 5 8. Når vi går fr D til P øker -koordinten med 9, så -koordinten må 8 øke med 9 5 = 4 5 (husk t vi må snu stigningstllet på hodet når vi regner fr -tillegg til -tillegg). Altså hr P koordinter ( 4 5, 9). Oppgve 4: ) Siden T er lineær, er + tr) = ) + tr) Når r), er dette ligningen til en linje gjennom med retningsvektor r); når r) =, får vi bre punktet ) unsett hvilken t mn velger. b) L = ), v = ) og v = ). D er bildet v de fire punktene (her bruker vi t T er lineær!): ) = ) = ) = v

4 ) = = ) = v ) = v v Normlt dnner disse punktene de fire hjørnene i et prllellogrm P (se figuren). Unntket er hvis vektorene v eller v er lineært vhengig (dvs. t de enten er prllelle eller minst én v dem er null) d klpper prllellogrmmet smmen til et linjestkke eller et punkt. v v v v Vi konsentrerer oss om tilfellet der v og v er lineært uvhengige. Ifølge punkt ) vbilder T rette linjer på rette linjer, og dette medfører t sidekntene i kvdrtet K vbildes på sidekntene i prllellogrmmet P. Det gjenstår å vise t punktene i det indre v K vbildes på punkter i det indre v P (og omvendt: t lle punkter i det indre v P er bilder v punkter i det indre v K). Dette virker geometrisk gnske opplgt, men er ikke helt lett å vise. Det enkleste er + s knskje å observere t punktene i K er på formen der s og t ligger + t mellom og h, mens punktene i P er på formen + sv + tv der s og t ligger mellom og h (se figuren nedenfor). Siden + s + t ) = ser vi t T vbilder K på P. + s + t ) = + sv + tv v v v + sv + tv v c) Prllellogrmmet P hr hv og hv som knter. Dersom v = b og 4

5 c v = d, blir relet dermed h hc hb hd = h (d bc) Dersom A er mtrisen til T, vet vi t A = ), c ) = b d (se Ls bok, seksjon.9). Siden det(a) = b c d = d bc følger resulttet. Legg merke til t resulttet også stemmer når v og v er lineært vhengige. D hr prllellogrmmet rel null (siden det hr klppet smmen til et linjestkke eller et punkt), og det(a) =. 5