Øvingsforelesning 9: Minimale spenntrær. Daniel Solberg

Transkript

1 Øvingsforelesning 9: Minimle spenntrær Dniel Solerg

2 Pln for gen Gjennomgng v øving 8 Minimle spenntrær Kruskl Disjoint Set Forest Prim Noen utvlgte eksmensoppgver

3 3 Minimle spenntrær

4 Hv er et minimlt spenntre? Ant en grf G som er Vektet Urettet Smmenhengene Spenntre: En elmenge v kntene til G som utgjør et tre og knytter lle noene smmen Minimlt spenntre: Spenntre me miniml totl vekt 4

5 Hv er et minimlt spenntre? Grf G: 3 7 5

6 Hv er et minimlt spenntre? Grf G: Spenntre T: 3 7 6

7 Hv er et minimlt spenntre? Grf G: Spenntre T: 3 7 w(t) = 5 7

8 Hv er et minimlt spenntre? Inneholer lle noene fr grfen G Inneholer V - v kntene fr G 8

9 Hvorn finner vi minimle spenntrær? Kruskls lgoritme Prims lgoritme Egentlig like goe, men litt forskjellig fremgngsmåte 9

10 0 Litt teori-grunnlg først!

11 Litt teori-grunnlg først! Et snitt, (S, V-S): En toeling v noene i V Lett knt: Knten me lvest vekt som går fr en ene prtisjonen til en nre

12 Litt teori-grunnlg først! 3 7

13 Litt teori-grunnlg først! 3 S = {,, } V - S = {} 7 Lett knt: (, ) 3

14 Litt teori-grunnlg først! 3 7 4

15 Litt teori-grunnlg først! 3 S = {, } V - S = {, } 7 Lett knt: (, ) 5

16 Litt teori-grunnlg først! Hvorfor er ette hjelpsomt? Angir hvilken knter vi kn velge når vi ygger et MST En lett knt er en trygg knt! 6

17 Litt teori-grunnlg først! L oss finne et spenntre for enne grfen 3 7 7

18 Litt teori-grunnlg først! 3 7 8

19 Litt teori-grunnlg først! Vi velger et helt vilkårlig snitt 3 7 9

20 Litt teori-grunnlg først! Vi velger et helt vilkårlig snitt 3 Og finner en lett knt 7 0

21 Litt teori-grunnlg først! Vi velger et helt vilkårlig snitt 3 Og finner en lett knt 7

22 Litt teori-grunnlg først! 3 Kn fortstt velge et vilkårlig snitt, men nå må et respektere e kntene vi lleree hr vlgt 7

23 Litt teori-grunnlg først! 3 7 Kn fortstt velge et vilkårlig snitt, men nå må et respektere e kntene vi lleree hr vlgt Knskje ette snittet? 3

24 Litt teori-grunnlg først! 3 7 Kn fortstt velge et vilkårlig snitt, men nå må et respektere e kntene vi lleree hr vlgt Eller ette? 4

25 Litt teori-grunnlg først! 3 7 Kn fortstt velge et vilkårlig snitt, men nå må et respektere e kntene vi lleree hr vlgt Velger en lett knt (her er et to mulige) 5

26 Litt teori-grunnlg først! 3 7 Kn fortstt velge et vilkårlig snitt, men nå må et respektere e kntene vi lleree hr vlgt Velger en lett knt 6

27 Litt teori-grunnlg først! Bre ett mulig snitt igjen: 3 7 7

28 Litt teori-grunnlg først! Bre ett mulig snitt igjen: 3 7 8

29 Litt teori-grunnlg først! Bre ett mulig snitt igjen: 3 7 9

30 Litt teori-grunnlg først!

31 Litt teori-grunnlg først! Hv fnt vi ut? Hv kn vi gjøre me ette? Lge MST-lgoritmer! 3 7 Også Skjønne hvorfor Prim og Kruskl fungerer Resonnere runt egenskpene til et minimlt spenntre 3

32 3 Kruskl

33 Kruskls lgoritme ) Sorter kntene, E ) Iterer over kntene (u, v) E 3) T me (u, v) ersom ette ikke lger en sykel 33

34 Kruskls lgoritme

35 Kruskls lgoritme 3 4 (,): 4 (,): 3 (,): (,): (,): 35

36 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 36

37 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 37

38 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 38

39 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 39

40 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 40

41 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 4

42 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 4

43 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 43

44 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 44

45 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 45

46 Kruskls lgoritme 3 4 (,): (,): (,): (,): 3 (,): 4 46

47 Kruskls lgoritme Tvleeksempel: Eksmensoppgve Desemer 06 Hvis u utfører MST-Kruskl på grfen i figur, hvilken knt vil velges som en femte i rekken? 47

48 48 Kruskls lgoritme

49 49 Kruskls lgoritme - Kjøreti

50 Kruskls lgoritme - Kjøreti Kjører V gnger 50

51 Kruskls lgoritme - Kjøreti Kjører V gnger Tr α(v) ti hver gng 5

52 Kruskls lgoritme - Kjøreti Kjører V gnger Tr α(v) ti hver gng Totlt Θ(V α(v)) 5

53 Kruskls lgoritme - Kjøreti Kjører V gnger Tr α(v) ti hver gng Totlt Θ(V α(v)) Θ(E lg E) 53

54 Kruskls lgoritme - Kjøreti Kjører V gnger Tr α(v) ti hver gng Totlt Θ(V α(v)) Θ(E lg E) Θ(E α(v)) 54

55 Kruskls lgoritme - Kjøreti Kjører V gnger Tr α(v) ti hver gng Totlt Θ(V α(v)) Θ(E lg E) Θ(E α(v)) 55

56 Kruskls lgoritme - Kjøreti Kjører V gnger Tr α(v) ti hver gng Totlt Θ(V α(v)) Θ(E lg V) Θ(E α(v)) 56

57 Disjoint Set Forest Trenger en tstruktur som støtter Kruskl sine Fin-Setog Union-opersjoner Vi hr ltså isjunkte menger me elementer... Og ønsker å: Kunne finne ut om to elementer er i smme menge Kunne slå smmen to menger på en effektiv måte 57

58 Disjoint Set Forest Løsning: Representer hver menge som et rotfestet tre Sjekke om to elementer tilhører smme menge? Smmenlikne om e hr smme rotnoe Slå smmen to menger? Kole smmen rotnoene 58

59 Disjoint Set Forest Tre menger Rotnoer:, og g g e h i f j 59

60 Disjoint Set Forest Er og i smme menge? Fin-Set() == Fin-Set() g e h i f j 60

61 Disjoint Set Forest Er og i smme menge? Fin-Set() == Fin-Set() g // == // true e h i f j 6

62 Disjoint Set Forest Er e og i i smme menge? Fin-Set(e) == Fin-Set(i) g e h i f j 6

63 Disjoint Set Forest Er e og i i smme menge? Fin-Set(e) == Fin-Set(i) g // == g // flse e h i f j 63

64 Disjoint Set Forest Slå smmen mengene til og? Union(, ) g e h i f j 64

65 Disjoint Set Forest Slå smmen mengene til og? Union(, ) g e h i f j 65

66 Disjoint Set Forest Slå smmen mengene til e og i? Union(e, i) g e h i f j 66

67 Disjoint Set Forest Slå smmen mengene til e og i? Union(e, i) e g f h i j 67

68 Disjoint Set Forest Bruker to heuristikker for å forere kjøretien Rng-heuristikk Union ør hekte et kort tre på et stort tre Sti-kompresjon Brukes v Fin-Set for å reusere vstnen til rotnoen 68

69 Disjoint Set Forest Stikompresjon: 69

70 Disjoint Set Forest Stikompresjon: 70

71 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 7

72 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 7

73 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 73

74 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 74

75 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 75

76 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 76

77 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 77

78 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 78

79 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 79

80 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 80

81 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() Returnerer 8

82 Disjoint Set Forest Stikompresjon: Fin-Set() 8

83 Disjoint Set Forest Tvleeksempel: Gitt t elementene,,,, e, f utgjør hver sin isjunkte menge til å egynne me, hvorn ser skoggrfen ut etter følgene opersjoner?. Union(, ). Union(, ) 3. Union(e, ) 4. Union(e, ) 5. fin-set() 83

84 84 Prim

85 Prims lgoritme Begynner i en estemt strtnoe og utvier treet inkrementelt erfr Hvert steg: Legg til knten ut fr treet vårt me lvest vekt Følger irekte fr metoen me snitt og lette knter fr tiligere 85

86 Prims lgoritme f 4 e 86

87 Prims lgoritme f 4 e 87

88 Prims lgoritme f 4 e 88

89 Prims lgoritme f 4 e 89

90 Prims lgoritme f 4 e 90

91 Prims lgoritme f 4 e 9

92 Prims lgoritme f 4 e 9

93 Prims lgoritme f 4 e 93

94 Prims lgoritme f 4 e 94

95 Prims lgoritme f 4 e 95

96 Prims lgoritme f 4 e 96

97 Prims lgoritme f 4 e 97

98 Prims lgoritme f 4 e 98

99 99 Prims lgoritme

100 Prims lgoritme Q inneholer noene vi en ikke hr ttt me i treet 0

101 Prims lgoritme Q inneholer noene vi en ikke hr ttt me i treet Extrt-Min gir oss noen som en illigste knten går til 0

102 Prims lgoritme Tvleeksempel: Vi utfører Prim me key- og π-tell. Begynner i noe f 4 e 0

103 0 Prims lgoritme - Kjøreti

104 Prims lgoritme - Kjøreti } Θ(V) 0

105 Prims lgoritme - Kjøreti } Θ(V) Kjører V gnger 0

106 Prims lgoritme - Kjøreti } Θ(V) Kjører V gnger Tr Θ(lg V) ti 0

107 Prims lgoritme - Kjøreti } Θ(V) Kjører V gnger Tr Θ(lg V) ti Totlt Θ(V lg V) 0

108 Prims lgoritme - Kjøreti } Θ(V) Kjører V gnger Tr Θ(lg V) ti Totlt Θ(V lg V) Her skjer et en Key-Derese, Θ(lg V) ti 0

109 Prims lgoritme - Kjøreti } Θ(V) Kjører V gnger Tr Θ(lg V) ti Totlt Θ(V lg V) Her skjer et en Key-Derese, Θ(lg V) ti Totlt: Θ(E lg V) 0

110 Prims lgoritme - Kjøreti } Θ(V) Kjører V gnger Tr Θ(lg V) ti Totlt Θ(V lg V) Her skjer et en Key-Derese, Θ(lg V) ti Totlt: Θ(E lg V)

111 Eksmensoppgver

112 Eksmensoppgve ug 08

113 Eksmensoppgve ug 06

114 Eksmensoppgve ug 04