UNIVERSITETET I OSLO

Transkript

1 UNIVERSITETET I OSLO Det mtemtisk-nturvitenskpelige fkultet Eksmen i INF2080 Logikk og eregninger Eksmensdg: 6. juni 2016 Tid for eksmen: Oppgvesettet er på 5 sider. Vedlegg: Ingen Tilltte hjelpemidler: Ingen Kontroller t oppgvesettet er komplett før du egynner å esvre spørsmålene. Gjør dine egne forutsetninger dersom du er i tvil om hvordn oppgveteksten skl tolkes. DEL I (Automter, språk og eregnrhetsteori) Oppgve 1 1 L L 1 være språket definert v det regulære uttrykket. Hvilke v strengene under er i L 1?.. ε c. d. e. 1 L L 2 være språket definert v det regulære uttrykket ( ). Hvilke v strengene under er i L 2?.. c. d. e. (Fortsettes på side 2.)

2 Eksmen i INF2080, 6. juni 2016 Side 2 Oppgve 2 For hvert v disse regulære uttrykkene, vgjør hvilken v utomtene under som gjenkjenner det smme språket... c. d. e. f. strt 1. strt 2. strt 3. strt 4. strt 5. strt 5. Oppgve 3 Pumpelemm for regulære språk. Hvis A er et regulært språk, så finnes det et tll p (pumpelengden), slik t hvis s A og s p, så kn s deles inn i tre deler s = xyz, slik t 3 1. for lle i 0, xy i z A, 2. y > 0, og 3. xy p. Bruk pumpelemmet til å vise t språket L = { n c n n 0} ikke er regulært. 3 Vis t språket L = { n c n n 0} er kontekstfritt. (Fortsettes på side 3.)

3 Eksmen i INF2080, 6. juni 2016 Side 3 Oppgve 4 4 Hv etyr det t en kontekstfri grmmtikk (CFG) er tvetydig (miguous)? 4 L G være CFG en 4c S BAB A B # ε A A ε Vis t denne grmmtikken er tvetydig. L L () være språket v velformede, lnserte prntesuttryk over lfetet Σ = {(, )}. D er, f.eks., strengene ()() og ()(()) med i språket, mens ()(() og ))( ikke er i L (). Vis t L () er kontekstfritt ved å lge en PDA som gjenkjenner språket. Oppgve 5 5 Forklr forskjellen mellom determinisme og ikke-determinisme i dine egne ord. Hr deterministiske turingmskiner og ikke-deterministiske turingmskiner smme uttrykningskrft? 5 Gitt NFA en under, lg en DFA som gjenkjenner det smme språket. strt ε Oppgve 6 Vi definerer en only-right-turingmskin (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ccept, q reject ) som en vnlig, deterministisk turingmskin hvor hodet re kn eveges til høyre. 6 Gi en formell eskrivelse v komponentene (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q ccept, q reject ) til en only-right turingmskin. (Fortsettes på side 4.)

4 Eksmen i INF2080, 6. juni 2016 Side 4 6 Vis t et språk L er regulært hvis og re hvis L gjenkjennes v en only-right turingmskin. 6c Vi definerer en only-right-sty-put (ORSP)-turingmskin som en determinsitisk turingmskin hvor hodet enten kn eveges til høyre eller forli i den smme cellen. Vis t et språk L er regulært hvis og re hvis L gjenkjennes v en ORSP-turingmskin. DEL II (Kompleksitetsteori) En rikke er et ordnet pr x, y der x og y er nturlige tll. L v() og h() etegne henholdsvis venstre og høyre tll på rikken. Eksempel: v( 7, 3 ) = 7 og h( 7, 3 ) = 3. En dominosirkel er en sekvens v rikker 1, 2,..., n som oppfyller følgende tre krv: n 1 h( i ) = v( i+1 ) for i = 1,..., n 1 h( n ) = v( 1 ). Vi sier t en mengde v rikker B inneholder en sirkel dersom det finnes en dominosirkel 1,..., n der i B for i = 1,..., n. Eksempel: Mengden { 3, 9, 4, 3, 7, 4, 9, 4, 8, 5 } inneholder dominosirkelen 4, 3, 3, 9, 9, 4. Språket DS er mengden { B B inneholder en sirkel }. Oppgve 7 Vis t DS er i NL. Vi sier t en rikke er hvit når v() er et prtll. De rikkene som ikke er hvite, kller vi sorte rikker. Eksempel: rikken 4, 5 er hvit, og rikken 7, 5 er sort. L B være en mengde rikker. L B være med i språket HVIT-DS hvis og re hvis det finnes 1,..., n B slik t - 1,..., n er en dominosirkel, og - lle hvite rikker i B forekommer i sekvensen 1,..., n. Eksempel: Mengden gitt i eksempelet ovenfor er ikke med i HVIT-DS. Den hvite rikken 8, 5 kn ikke forekomme i en dominosirkel som er lgt med rikker fr mengden. (Fortsettes på side 5.)

5 Eksmen i INF2080, 6. juni 2016 Side 5 Oppgve 8 Vis t HAMPATH P HVIT-DS. (Hint: L en hvit rikke på formen, + 1 svre til en node i en grf, og l en sort rikke svre til en knt i grfen.) Oppgve 9 En v impliksjonene nedenfor holder. Den ndre impliksjonen holder ikke. Angi impliksjonen som holder, og forklr kort hvorfor den holder. Forklr kort hvorfor den ndre impliksjonen ikke holder. (1) DS er PSPACE-komplett P = PSPACE. (2) HVIT-DS er PSPACE-komplett P = PSPACE.