Projeksjon. Kapittel 11. Ortogonal projeksjon i R 2. Skalarproduktet i R n. w på v. Fra figuren ovenfor ser vi at komponenten til w ortogonalt på v er

Transkript

1 Kpittel Projeksjon En projeksjon er en lineærtrnsformsjon P som tilfredsstiller P x P x. for lle x. Denne ligningen sier t intet nytt skjer om du benytter lineærtrnsformsjonen for ndre gng, og mn kn tenke t P x er skyggen x kster dersom mn lyser på x med en lommelykt. Vi skl begrense oss til å studere ortogonle projeksjoner. Dette betyr t lommelykten står slik t x og P x dnner en rettvinklet treknt. Ortogonl projeksjon i R Vi husker sklrproduktet, eller prikkproduktet, fr gymnset. Du hr lært to måter å beregne indreproduktet, også kjent som prikkproduktet, nemlig v w v w cos θ, der v v + v er lengden til v og w er lengden til w og θ er vinkelen mellom v og w, eller v w v w + v w. Vi kn bruke sklrproduktet til å projisere vektorer ortogonlt på hverndre. Det sentrle spørsmålet er: hvordn kn vi skrive vektoren P v (w) i figuren under? w w på v. Fr figuren ovenfor ser vi t komponenten til w ortogonlt på v er w P v (w). Eksempel.. Vektoren [ w ] sin komponent i retningen gitt v [ v ] er: P v (w) v w v v v 4 [ 5 ] Vi kn også beregne lengden w P v (w): w P v (w) 4 [ 5 ] [ 5 ] Sklrproduktet i R n Sklrproduktet i R kn med ord beskrives ved t vi gnger legger smmen produktet v komponentene til to vektorer. Dette er en sterk indiksjon på t den nturige generliseringen til R n er v w v w + v w + + v n w n, som også kn uttrykkes ved mtriseproduktet P v(w) w P v(w) Hv er projeksjon? Vi kn utlede en formel for lengden: P v (w) w cos θ v v w w cos θ v v, slik t P v (w) P v (w) v v v w v v v w v v v. Denne vektoren klles gjerne w sin komponent i retningen gitt v v, eller den ortogonle projeksjonen v v v w v w. Hvordn skl mn tenke på dette produktet? Svret er t intuisjonen din fr R fungerer helt fint. Husk t lengden til en vektor er gitt som v v + v + + v n, eller ekvivlent Formelen v v v. v w v w cos θ er fortstt gyldig. Formelen for vinkelen mellom to vektorer gir spesielt t to vektorer ortogonle hvis v w,

2 og prllelle hvis v w ± v w fordi dette betyr t vinkelen mellom dem er eller 8 grder; de ligger på smme linje. Og kkurt som i R blir den ortogonle projeksjonen v w på v P v (w) v w v v v. Intuisjonen vår som illustrert i figuren fr forrige seksjon forteller oss t en vektor w som er prllell med v burde være lik sin egen projeksjon på v. Vi kn sjekke t lgebren stemmer overens med intuisjonen: prllellitet betyr t w er et sklrmultiplum v v; w tv. Sett inn i formelen for å se t P v (w) v w v v v v tv v v v t v v v v v tv w. På smme måte virker det rimelig t projeksjonen v en vektor w, som er otrogonl med v, er nullvektoren. Igjen, lgebren er enig: vi ntr t v w slik t P v (w) v w v v v v v v v. Eksempel.. Vektorene v og w er ikke ortogonle fordi + ( ) Den ortogonle projeksjonen v w på v er 6 P v (w) Vi ser t P v (w) og w er prllelle siden P v (w) w, og t P v (w) og w P v (w) er ortogonle: ( ) 6 4 ( ) + ( ) + 4 Det er også verdt å merke seg t vi kn skrive w som en sum v komponenten P v (w) prllell med v og komponenten w P v (w) ortogonl på w: w P v (w) + (w P v (w)) Fikser en vektor v i R n. Du kn tenkte på P v som en funksjon fr R n til R n som tr inn en vektor, w, for å produsere den ortogonle projeksjonen P v (w) v w v v v. Men den er mer enn en vnlig funksjon. Den er v typen vi liker ller best; den er en lineærtrnsformsjon. Teorem.. Den ortogonle projeksjonen på en vektor v, P v : R n R n P v (w) v w v v v, er en lineærtrnsformsjon. Bevis. Resulttet følger essensielt v t sklrproduktet er lineært i ndre fktor. For å se t sklrproduktet er lineært i ndre fktor, må vi vise t v (w + bu) v w + bv u. Husk t v w er mtriseproduktet v w. Det er med ndre ord lineærtrnsformsjonen som er gitt v n-mtrisen v. Dette gir utomtisk t sklrproduktet er lineært (fordi mtriseproduktet er distributivt). Du kn lterntivt bevise påstnden direkte ved å bruke formelen v w v w +v w + +v n w n. Nå er det rett frem å vise t projeksjonen på v er en lineærtrnsformsjon: v (w + bu) P v (w + bu) v v v v w + bv u v v v v w v v v + bv u v v v P v w + bp v u (lineritet) (v v er et tll) Eksempel.4. L v være vektoren fr forrige eksempel. Vi så nettopp t projeksjonen P v er en lineærtrnsormsjon fr R til R. Fr teorien om

3 lineærtrnsformsjoner vet vi t det er mulig å finne en -mtrise [P v ] som klles stndrdmtrisen til P v slik t P v (x) [P v ]x. Denne mtrisen er lltid gitt som [P v ] [ P v (e ) P v (e ) P v (e ) ] hvor e i -ene er stndrdbsisen til R. Regn ut: Tilsvrende blir også P v (e ) P v (e ) og P v (e ) Stndrdmtrisen er derfor [P v ]. Hvis w også er som i forrige eksempel, sjekker vi t 6 [P v ]w stemmer overens med P v (w). Er P v injektiv? Hv med surjektiv? Vi kn selvfølgelig svre på disse spørsmålene ved å rdredusere [P v ], men dette kn også forstås geometrisk. Tenk litt på hvorfor et pln som står normlt på linjen utspent v v, Sp{vv}, er lle vektorene som projiseres ned på skjæringspunktet. Nå skjønner du knskje t det er mnge vektorer et helt pln som treffer en gitt vektor på Sp{v}. Men dette betyr jo t ulike vektorer sendes til like vektorer; trnsformsjonen er ikke injektiv. Spesielt er kjernen til P v, eller nullrommet til [P v ], er plnet som står normlt på Sp{v} med origo som skjæringspunkt. Bildet til P v, eller kolonnerommet til [P v ], er Sp v fordi vektorer projiseres ned på denne linjen. Hvis du tenker deg om vil du etterhvert innse eller knskje bli lurt til å innse t geometrien til vektorer i R n kommer fr sklrproduktet. Vi hr sett t vinkel, projeksjon og lengde kn uttrykkes ved sklrproduktet. Til og med selve koordintsystemet vi ser for oss er beskrevet v sklrproduktet: Stndrdbsisen i R n er vektorene e i som hr komponent i lik., og null ellers. Merk t hvis du sklrmultipliserer v v en vilkårlig vektor v. med e i, så får du enkelt v n og greit v i, den i-te komponenten til v. Et eksempel fr R er + +. Derfor kn vi skrive v som en lineærkombinsjon v v v e + v v e + + v n v en. Koordinter er ltså bre summen v projeksjoner ned på vektorer i stndrdbsisen. Grunnen til dette er t stndrdbsisen er et eksempel på en ortogonl bsis, noe vi skl komme tilbke til senere i kpittelet. Alt v geometri ser ut til å komme fr t R n hr sklrmultipliksjon. Målet med neste seksjon er å generlisere sklrproduktet som vi kommer til å klle et indreprodukt for å finne lignende geometri i mer bstrkte vektorrom. Indreproduktrom Før mtemtikk tenkte de fleste v oss på vektorer som piler i R, eller R. Disse pilene kn legges smmen og skleres på en nturlig måte. I Kpittel 8 så vi hvordn disse ideene kn bstrheres til mer generelle vektorrom; mengder hvor mn kn legge smmen og sklere elementer som klles vektorer på en slik måte t regnereglene vi er vnt med fr R, og R, fortstt er gyldige. Mtemtikere liker å generlisere. Hvorfor? Et svr er t det ofte er nyttig å skjønne hvordn ting, som knskje ser helt forskjellig ut, hr like egenskper. Til nå hr vi blnt nnet sett t polynom, og mer generelt funksjoner, hr visse egenskper til felles med piler i R lle er vektorrom. Vi skl bstrhere ideen om sklrproduktet. For å bedre skjønne hvorfor dette er v interesse, kn det være lurt å undre litt over: Hv tilfører sklrproduktet? Et upresist svr er t det ser ut til å måle hvordn vektorer i R n orienterer seg i forhold til hverndre. Knskje vi til og med kn komme med følgende vågle utsgn. Sklrproduktet er geometrien til R n. Hvis du tenker tilbke på forrige seksjon synes du knskje ikke dette virker urimelig: Det vi ser for oss kn jo beskrives med sklrproduktet. Alt dette er vel og br. Men hvordn i lle dger kn mn generlisere noe slikt? Det er knskje litt enklere å tenke på: Hvilke egenskper til sklrproduktet er v geometrisk betydning?

4 Sklrproduktet i R n er en opersjon som tr inn to vektorer, v og w, for å produsere en sklr v w. Denne opersjonen er symmetrisk: cu v w w v Husk t to vektorer i R n er ortogonle hvis v w. Det er nettopp symmetrien til sklrproduktet som gjør definisjonen veldefinert. For uten symmetrien kunne det tenkes t v w og w v, eller v w og w v. I så fll måtte vi skilt mellom: u P e u cp e u Vektoren v er ortogonl med w. Vektoren w er ortogonl med v. Noe som virker helt bsurd. Hvordn kn v være ortogonl med w, mens w ikke er ortogonl med v? Videre tilfredstiller sklrproduktet en egenskp vi kller positivitet: v v, og v v kun hvis v Krvet v v er rett og slett det som lr oss definere lengden v v v siden kvdrtroten bre er definert for positive tll. Og det ndre krvet betyr t det kun er nullvektoren som hr lengde lik null. Positivitet er med ndre ord essensielt for t lengde-begrepet skl gi mening. Den siste egenskpen vi skl tenke på er lineritet: v (w + bu) v w + bv u Sklrproduktet også er lineært i første fktor fordi det er symmetrisk. I beviset til Teorem. kommer det frem t nettopp denne egenskpen gjør projeksjon lineær. Rent geometrisk får vi nturlige bilder à l: u v u + v P e u P e v P e (u) + P e (v) Å projisere for så å ddere, eller å ddere for så å projisere, er det smme Å projisere for så å sklere, eller å sklere for så å projisere, er det smme En liten oppsummering på diskusjonen ovenfor: Vi ønsker å definere et produkt som tr inn to vektorer for å produsere en sklr. Dette produktet skl gi en geometri som minner om R n. Symmetri, lineritet og positivitet er tre meget viktige egenskper til sklrproduktet i R n. Disse sørger for t ortogonlitet, projeksjon og lengde oppfører seg i henhold til intuisjonen vår. Derfor burde vi i lle fll kreve t generliseringen skl tilfredstille disse tre. Dette er fktisk mtemtikerenes beste forslg på hv den riktige generliseringen v sklrproduktet er. Konvensjonen er å klle generliseringen for et indreprodukt med notsjon indreproduktet mellom v og w. Definisjon. L V være et reelt vektorrom. Et indreprodukt i V er en opersjon som tr inn to vektorer, v og w, for å gi ut et reelt tll. Opersjonen tilfredstiller w, v v, (w + bu) + b v, u, og kun hvis v (symmetri) (lineritet) (positivitet) Vi sier t V, smmen med ett vlgt indreprodukt, er et indreproduktrom. Merk. Hvis du kombinerer lineritet og symmetri, så får du også t indreproduktet er lineært i første fktor: (w + bu), v w, v + b u, v. Eksempel.5. Sklrproduktet i R n, v w, er et indreprodukt i R n. Til smmen utgjør de et indreproduktrom. Dette eksempelet vr tross lt hele motivsjonen for definisjonen ovenfor. En viktig lærdom fr seksjonen om sklrproduktet i R n, er t intuisjonen fr R fungerer helt ypperlig. Tror du dette også er snt for ndre indreproduktrom? Intuisjonen din fr R fungerer fortstt helt ypperlig. Det være lurt å tenke på v w i stedet for fremover. 4

5 Eksempel.6. I R er sklrproduktet med nullvektoren lltid null. Dette er også tilfellet i et generelt indreproduktrom. Et triks er å observere t v, v,, lineritet v,, Men d tilfredstiller tllet v, likheten Flytte-bytte gir v, v,. v,. Lengden er definert til å være v. Eksempel.7. Hvis du deler en ikke-null vektor v med lengden sin, så får du en vektor v lengde ; v hr lengde lik. Algebrisk verifiksjon: v v v v v v, v v v To vektorer er ortogonle hvis. Merk. Positivitet viser t den eneste vektoren som er ortogonl med lle vektorer i V er nullvektoren. Bsert på disse definisjonene kn vi llerede bevise Pytgors teorem. Teorem.8 (Pytgors). L V være et indreproduktrom. Dersom vektorene v og w er ortogonle, er v + w v + w. Bevis. Vi regner litt på venstre side v ligningen. v + w v + w, v + w + + w, v + w, w, lineritet +, ortogonlitet v + w. Det neste teoremet er en ulikhet som lr oss definere vinkelen mellom vektorer. Teorem.9 (Cuchy Schwrz). L V være et indreproduktrom. Alle vektorer v og w tilfredstiller v w. Fr ulikheten følger det t v w. Cosinus ligger også mellom og. Derfor kn vi definere vinkelen mellom v og w til å være løsningen v cos θ v w. Vi hr med ndre ord fortstt formelen cos θ v w. Spesielt er to vektorer prllelle hvis ± v w, eller ekvivlent, w tv for et reelt tll t; de ligger på smme linje. På dette tidspunktet blir du knskje ikke overrsket over t den ortogonle projeksjonen v w på v er P v (w) v. Bildet er fortstt det smme som i R : P v(w) w w P v(w) Den ortogonle projeksjonen i et indreproduktrom Teorem. sier t den ortogonle projeksjonen i R n er en lineærtrnsformsjon. Hvis du leste beviset, så er du enig i t lt koker ned til t sklrproduktet er lineært. Smme bevis fungerer for generelle indreproduktrom (bre bytt v w med ). Teorem.. L V være et indreproduktrom. Den ortogonle projeksjonen på en vektor v, v v + w w P v : V V P v (w) v, er en lineærtrnsformsjon. v Pytgors teorem Teorem.. L v og w være to vektorer i et indreproduktrom V. D er P v (w) og w P v (w) ortogonle. 5

6 Bevis. Bruk lineritet (og symmetri, for å få lineritet i første fktor): P v (w), w P v (w) v, w v w v, w v, v, v Bevis. Symmetri: f, g b f(x)g(x)dx b g(x)f(x)dx, g, f. b b for tll Lineritet: I mtemtikk lærte du t integrlet er lineært, det vil si (cg(x) + dh(x))dx c g(x)dx + d h(x)dx, som gir Indreprodukt mellom funksjoner Denne seksjonen inneholder et eksempel på et nytt indreprodukt. Vi skl definere et indreprodukt mellom stykkevis kontinuerlige funksjoner. Dette indreproduktet hr mnge nvendelser, spesielt innen signlbehndling. Du skl lære mer om dette i mtemtikk 4, stikkordet er fouriernlyse: Ideen er å projisere signler les stykkevis kontinuerlige πperiodiske funksjoner ned på de elementære signlene cos(nx) og sin(mx) for å plukke ut hvor mye v hver frekvens signlet består v. Det viser seg t fine nok signler kn rekonstrueres på denne måten. Sklrproduktet i R n er en sum. Det er nærmere bestemt en sum v produktet mellom komponentene til to vektorer. En funksjon fr et intervll [, b] til R en vektor i C([, b]) kn tenkes på som en klssisk vektor, eller pil, med utellbrt mnge komponenter: En funksjon f, fr [, b] til R, er en regel som gir ut ett tll f(x) for hver x i [, b], og det er utellbrt mnge tll i dette intervllet. Vi kunne godt h skrevet dette som en smling v komponenter (f(x) hvor x ligger i [, b]). Det er umulig å summere utellbrt mnge tll; umulig å summere over lle komponentene funksjonsverdiene til en funksjon. Men i mtemtikk så vi t det finnes noe som minner om en slik sum, nemlig integrlet over [, b]: Integrlet er relet under grfen, summen v uendelig tynne stolper med tilhørende funksjonsverdi som høyde. Bsert på motivsjonen ovenfor forsøker vi å definere indreproduktet mellom f og g som f, g b f(x)g(x)dx. Fktoren b er ikke nødvendig, men den gir finere formler i prksis. Vi må sjekke t ksiomene for et indreprodukt holder. Teorem.. Opersjonen f, g b f(x)g(x)dx. er et indreprodukt på C([, b]). f, cg + dh b f(x)(cg(x) + dh(x))dx Positivitet: c b b (cf(x)g(x) + df(x)h(x))dx f(x)g(x)dx + d b f(x)h(x)dx c f, g + d f, h. f, f b f(x) dx Funksjonen f(x) er lltid større eller lik null. Derfor blir relet under grfen større eller lik null. Vi kn konkludere med t f, f. Når er f, f? Siden f(x) lltid er positiv, må vi h t f(x) for lle x, ellers får vi et ikke-null rel. Det er, med ndre ord, kun null-funksjonen som tilfredstiller f, f. Merk. I prksis vil vi også tillte stykkevis kontinuerlige funksjoner kontinuerlig overlt, bortsett fr et endelig ntll punkter for vårt indreprodukt. Et teknisk problem gjør det litt vnskelig å formulere dette presist men du trenger ikke å bekymre deg for denne typen detljer. Fr nå v lr vi C s ([, b]) betegne rommet v lle stykkevis kontinuerlige funksjoner. Den spesielt interresserte studenten kn merke seg t integrlet v en funksjon som er null overlt, bortsett fr i ett punkt, er null. Det tekniske problemet er ltså t ikke bre null-funksjonen gir f, f. Løsningen er å modifisere likhet i C s ([, b]): to funksjoner f og g er like hvis f(x) g(x) for lle x, bortsett fr et endelig ntll punkter; de er så å si like. Fktisk er det mulig med et bedre integrlbegrep enn det du lærte i mtemtikk (Lebesgue integrl) som tillter t to funksjoner f og g er like i C s ([, b]) hvis f(x) g(x) for lle x, bortsett fr et tellbrt ntll punkter. Men det er en historie for en nnen dg. 6

7 Det er på tide med et eksempel. y Eksempel.. Vi ser på indreproduktet når og b. Er x og x ortogonle? x, x [ 4 x4 ] 4 x x dx x dx Nei, de er ikke ortogonle. Hv er lengden til x og x? x, x [ x ] x xdx x dx Mer presist: Arelet mellom x (blå) og x (rød) er lite x Lengdene er x, x [ 5 x5 ] 5 x x dx x og x 5. Hv er vinkelen mellom dem? cos θ x, x x x x 4 dx Merk t som stemmer overens med Cuchy Schwrz. En klkultor gir θ 4.48 grder. Vi kn ikke se denne vinkelen i figuren nedenfor, men vi kn forstå t de er nærmere å være prllelle, enn de er å være ortogonle. Hvis de hdde vært prllelle, ville θ vært eller 8 grder, og hvis de hdde vært ortogonle ville θ vært 9 grder. Dette gir også et bevis på t x og x er lineært uvhengige; de er ikke på smme linje/prllelle. L oss tenke litt mer på denne vinkelen. Siden lengden v x og x er henholdsvis og, og vinkelen mellom dem er 4.48 grder, ser de ut til å være nærme hverndre. Avstnden mellom dem er som i R lengden til differnsen; x x (x x ) dx Fr figuren ser dette målet på vstnd ut til å være lite: x x (x x ) dx (x x + x 4 )dx Avstnden mellom x og x er.8, et lite tll. For å oppsummere, grfene i figuren over ser ut til å være nærme hverndre, derfor er vinkelen mellom dem reltivt liten. Hv er den ortogonle projeksjonen v x på x? P x (x ) x, x x, x x 4 x 4 x. Vi sjekker t P x (x ) og x P x (x ) fktisk er ortogonle: P x (x ), x P x (x ) 4 x(x 4 x)dx 4 x x dx Eksempel.4. Hv er vinkelen mellom x og x i C s ([, ])? Mn skulle knskje tro t vinkelen er 9 grder: 7

8 .5.5 y.5.5 Vinkelen mellom grfene til x (blå) og x (rød) er 9 grder x cos x π () π π cos xdx cos x cos xdx + cos(x) dx π [ x + 4 sin(x)]π, sin(±π) π ( π ()) På lignende vis regner vi ut Men husk t vinkelen ikke er en vinkel mellom grfene. Den riktige inuisjonen her er t vinkelen burde være 8 grder. Hvorfor? Linjen utspent v x Sp{x} består v lle x hvor er et reelt tll. Spesielt ligger x ( ) x på linjen. Tenk på en vektor v i R, vinkelen mellom v og v er 8 grder. x, x cos θ x x x ( x)dx x dx ( x) dx x dx x dx Dette betyr t θ er 8 grder. Eksempel.5. I dette eksempelet er og b π. Vi skl regne ut lengden til vektorene, cos x og sin x, og se t de er prvis ortogonle. π () π [x]π π () π dx Husk den trigonometriske identiteten cos(x) cos x. sin x. Vektorene og cos x er ortogonle:, cos x π () π cos xdx cos xdx π [sin x]π, sin(±π) Tilsvrende regning gir, sin x. Bruk substitusjon for å regne ut det siste integrlet: cos x, sin x π () π π cos x sin xdx, udu cos x sin xdx π [ u ] π ( ( ) ) u cos x Du kn bruke lignende triks fr mtemtikk for å bevise t cos(nx) og sin(mx), hvor n, m,,..., også kn ts med i Eksempel.5. Teorem.6. Vektorene, cos(nx) og sin(mx), hvor n, m,,,..., er prvis ortogonle i C s ([, π]). 8

9 Mer om ortogonlitet Definisjon. En ortogonl mengde er en mengde v ikke-null vekorer u, u,...,u n, slik t u i, u k for lle vektorer u i og u k i mengden med i k. Dersom i tillegg u j for lle vektorene, sier vi t mengden er ortonorml. Intuisjonen bk det neste teoremet er klr: Vektorer som prvis står 9 grder på hverndre er lineært uvhengig. Du kn f. eks. tenke på stndrdbsisen i R. Teorem.7. En ortogonl mengde er lineært uvhengig. Bevis. L u, u,...,u n være en vilkårlig ortogonl mengde i et indreproduktrom. Vi ønsker å vise t ligningen x u + x u + + x n u n kun hr triviell løsning definisjonen på lineær uvhengighet. Trikset er å nvende indreproduktet med lle u i -ene på ligningen. Høyre side: Venstre side:, u i x u + x u + + x n u n, u i x u, u i + x u, u i + + x n u n, u i, lineritet Her kn ikke u i, u i fordi lle u i -ene er ikke nullvektoren (positivitet). Dermed må x i. Vi hr kun triviell løsning x i for lle i. Eksempel.8. Stndrdbsisen e, e,..., e n for R n er en ortonorml mengde. Eksempel.9. I forrige seksjon så vi t polynomene x og x er ikke en ortogonl mengde i C s ([, ]). Eksempel.. Teorem.6 kn omformuleres: Vektorene, cos(nx) og sin(mx), hvor n, m,,,..., er en ortogonl mengde i C s ([, π]). Definisjon. Dersom en ortogonl mengde u, u,...,u n i V også er en bsis, sier vi t mengden er en ortogonl bsis for V. Hvis vi hr en ortogonl bsis for et rom, er det veldig lett å finne en vektors komponenter i rommet. L oss si t vi ønsker å finne vektoren v sine koordinter i bsisen u, u,..., u n. Koordintene, x, x,..., x n, til v i denne bsisen er gitt ved ligningen v x u + x u +...x n u n. I motivsjonen for indreproduktet så vi t når u i - ene er stndrdbsisen til R n, så er x i -ene bre komponentene til vektoren v; projeksjonen ned på hvert element i stndrdbsisen. Det smme gjelder for en ortonogonl bsis. Anvend indreproduktet med u i for å få ut den i-te komponenten: u i, v u i, x u + x u +...x n u n Altså er x u, u i + x u, u i + + x n u n, u i, lineritet x i u i, u i, ortogonlitet u i, v x i u i, u i for hver i. Fordi u i ikke er nullvektoren, er u i, u i >. Altså er løsningen x i u i, v u i, u i. Når vi husker formulen for projeksjonen på en vektor, så ser vi t Vi beviste ltså: x i u i u i, v u i, u i u i P ui (v). x i u i, u i, ortogonlitetteorem.. Koordintene til v i en ortogonl bsis u Til smmen får vi t, u,..., u n er v P u (v) + P u (v) P un (v) x i u i, u i. u, v u, u u + u, v u, u u u n, v u n, u n u n Vi kn også projisere en vektor ned i et underrom der den ikke hører hjemme. Projeksjonen minimerer vstnden fr underrommet til vektoren. Det neste teoremet sier t vi må finne en ortogonl bsis for å få til situsjonen som er illustrert i bildet nedenfor. Teorem.7 sier t vi likså godt kunne byttet ut bsis med spenner ut i definisjonen v en ortogonl bsis en ortogonl mengde er lineært uvhengig, vi trenger kun å sjekke om den spenner ut. Merk. Hvis indreproduktet er sklrproduktet i R n, så er det vnlig å sette opp u, u,...,u n som kolonner i en mtrise U. Vi sier d t U er en ortogonl mtrise. Ortogonl projeksjon minimerer vstnden til et underrom Teorem.. L u, u,...,u n være en ortogonl bsis for U, et underrom v V. Punktet P U (v) P u v + P u v P un v u, v u, u u + u, v u, u u u n, v u n, u n u n 9

10 er det punktet i V som hr kortest vstnd til v: v P U (v) min v w w V Punktet P U (v) er det unike punktet som minimerer vstnden til U. Derfor er P U (v) uvhengig v hvilken ortogonl bsis du velger for U. Dette definerer en lineærtrnsformsjon P U : V U, den ortogonle projeksjonen ned på underrommet U. Du kn regne den ut ved å velge en ortogonl bsis for så å bruke formelen i Teorem.. Hvordn velger jeg en ortogonl bsis? Svret er Grm Schmidts metode, temet i neste seksjon. Men vi klrer å regne på et enkelt eksempel: Eksempel.. Betrkt (x, y) plnet som et underrom v R ved å sette z. Vektorene e og e er en ortonorml bsis. Formelen gir v v P e +P e P (x,y) plnet v v v v v v v. Projeksjonen P ei gir enkelt og greit gir ut den i-te komponenten: v v v P (x,y) plnet v + v v. v Resulttet er nturlig nok lineærtrnsformsjonen som dropper siste komponent. Stndrdmtrisen er [P (x,y) plnet ]. L U være et underrom v et indreproduktrom V. Vi definerer det ortogonle komplementet til U i V som og v. Nå kn vi fortsette slik, og definere rekursivt U {vektorene i V som er ortogonle på lle vektorer i U}. k En vektor v er ltså i U dersom v, u for lle u u k v k P uj (v k ) i U. Merk. Det ortogonle komplementet er et underrom v V. Det neste teoremet sier t det holder å sjekke om en vektor står normlt på en bsis. Teorem.4. L u, u,..., u n være en bsis for et underrom U. En vektor v er i det ortogonle komplementet hvis og bre hvis u i, v for lle i. Eksempel.5. L oss finne det ortogonle komplementet til (x, y) plnet i R. Det består v vektorer b slik t c b c og b c. Venstre side er henholdsvis og b. Krvet for å være i det ortogonle komplementet er b ; det ortogonle komplementet er z ksen. Før neste teorem kn det være nyttig å tenke over hvorfor det ortogonle komplementet til en linje i R er et pln; hvorfor det ortogonle komplementet til et pln i R er en linje. Teorem.6. L U være et underrom v et indreproduktrom V. D gjelder dim U + dim U dim V. Grm-Schmidts metode L v, v,...,v n være en lineært uvhengig vektormengde. Vi skl lge oss en ortogonl bsis u, u,...,u n for rommet utspent v vektorene i mengden. Vi begynner med å definere u v Vektoren v er ikke nødvendigvis ortogonl på u, men u v P u (v ) v u, v u, u u er fordi vi trkk fr komponenten lngs u. Vektoren u v P u (v ) P u (v ) v u, v u, u u u, v u, u u er ortogonl på både u og u fordi vi trkk fr komponentene lngs u og u. De tre vektorene u, u og u spenner ut det smme rommet som v, v j k u j, v k v k u j, u j u j. j Teorem.7. Mengden u, u,...,u n er en ortogonl bsis for rommet utspent v v, v,...,v n. Bevis. Vi bruker induksjon. Det er lett å se t u og u er ortogonle: u, u u, (v u, v u, u u ) u, v u, v u, u u, u u, v u, v Siden u og u er ikketrivielle lineærkombinsjoner v de lineært uvhegnige vektorene v og v, er det

11 åpenbrt t u og u spenner ut det smme rommet som v og v. L nå V k Sp{v, v,..., v k }. Vi ntr t u, u,..., u k er en ortogonl bsis for V k. Vi må vise t u k står ortogonlt på V k, og t u, u,..., u k spenner ut V k. Vi sjekker indreproduktet v u j med u k. Siden u j u m når j m, får vi u j, u k u j, (v k u j, v k k m k m u m, v k u m, u m u m) u j, v k u j, v k. u m, v k u m, u m u j, u m Vi ser ltså t u k står ortogonlt på lle u j, og siden u, u,..., u k er en ortogonl bsis for V k, står u k ortogonlt på V k. Siden v k er lineært uvhengig v u, u,..., u k, og u k er en lineærkombinsjon v V k og u, u,..., u k, spenner u, u,..., u k ut V k. Siste bsisvektor er u v u v u u v u u u u u ( ) 6. L oss illustrere metoden med et pr eksempler. Vektorene, og 6 Eksempel.8. Vi finner en ortogonl bsis for underrommet U v R 4 utspent v v, v og v. T u v. Observer t u v + + ( ) +. De er llerede ortogonle, så neste bsisvektor blir bre er en bsis for U. Den blir finere dersom vi sklerer u med 6: smlingen, og er også en ortogonl bsis for U. Eksempel.9. Vi finner en ortogonl bsis for underrommet U v C s ([, ]) utspent v, x og x. Strt med u x for å kunne gjenbruke utregninger fr Eksempel.. T v x : u v u, v u, u u x x, x x, x x x Du kn sjekke t 4 x x 4 x u v u v u u u v. x 4 x, x 4 x 8

12 og Siste bsisvektor er u x 4 x, 4. x, x, x x x 4, x 4 x, x 4 x (x 4 x) x 4 (x 4 x) 8 x x + En ortogonl bsis for U er x, x 4 x og x x +. L U være et underrom til et indreproduktrom V. Her er en metode for å regne ut den ortogonle projeksjonen P U :. Bruk Grm-Schmidt til å finne en ortogonl bsis u, u,..., u n for U.. Den ortogonle projeksjonen er P U (x) P u (x) + P u (x) + + P un (x).. Hvis V R n, så er stndrdmtrisen [ PU (e ) P U (e )... P U (e n ) ]. Regn ut P U (e ): P U (e ) P u (e ) + P u (e ) + P u (e ) Siden P U (e ) e skjønner vi t e ligger i U. En del regning gir t P U (e ), P U (e ) og P U (e 4 ) er henholdsvis 6 5, 6 5 og 6. Stndrdmtrisen er 6 [P U ] Komplekse indreprodukt Eksempel.. Finn stndrdmtrisen til P U hvor U er underrommet v R 4 utspent v v, v og v. Vi fnt en ortogonl bsis i Eksempel.8: u, u og u Hv skjer om vi definerer prikkproduktet i C n på smme måte som i R n? L oss prøve: Et produkt v w v w + v w + + v n w n, hvor v i -ene og w j -ene er komplekse tll, tilfredstiller ikke nødvendigvis t v v er et reelt tll. Eksempelvis er e i π 4 e i π 4 e i π 4 e i π 4 i. Dette er et problem hvis vi ønsker å definere lengde som i det reelle tilfellet. Vi kn med ndre ord ikke definere e i π 4 e i π 4 e i π 4.

13 Det finnes en enkel måte å fikse dette problemet. Husk t prikkproduktet i R n er et mtriseprodukt v w v w. Nå konjugerer vi v, i tillegg til å trnsponere den, v [ v v... v n. ] Vektoren v klles den djungerte til v. Nå kn vi bruke mtrisemultipliksjon til å definere et produkt Merk deg t v w v w + v w + + v n w n. v v v v + v v + + v n v n v + v + + v n lltid et ikke-negtivt reelt tll; summen v lengden til komponentene. Et eksempel er e i π 4 e i π 4 e i π 4 e i π 4 e i π 4 e i π 4. Vi hr ikke lengre symmetri, v w w v, men vi hr konjugert symmetri v w w v. Ellers kn du sjekke t vi fortstt hr lineritet i ndre vribel og positivitet v (w + bu) v w + bv u, v v, og v v kun hvis v. Bsert på motivsjonen fr det reelle indreproduktet virker det rimelig t dette fortstt gir en rik geometri som blnt nnet inneholder lengde, ortogonlitet og projeksjoner. Definisjon. L V være et komplekst vektorrom. Et indreprodukt i V er en opersjon som tr inn to vektorer, v og w, for å gi ut et komplekst tll. Opersjonen tilfredstiller w, v v, (w + bu) + b v, u, og kun hvis v (konj. sym.) (lineritet) (positivitet) Vi sier t V, smmen med ett vlgt indreprodukt, er et indreproduktrom. Merk. Positivitet viser igjen t den eneste vektoren som er ortogonl med lle vektorer i V er nullvektoren. Du trenger kun å vite om ett komplekst eksempel, nemlig C n. Eksempel.. Opersjonen v w v w, er et indreprodukt i C n. Til smmen utgjør de et komplekst indreproduktrom. Merk. Dersom v og w er reelle, blir v w v T w v w + v w + + v n w n v w det gode gmle sklrproduktet. Fr nå v er v w en fellesbetegnelse for sklrproduktet i R n og indreproduktet i C n. Merk. Nesten lt vi gjorde for reelle indreproduktrom gjelder også for komplekse indreproduktrom. Det er ett unntk, vinkelen er ikke definert. Grunnen er t Cucy Schwrz, Teorem.9, impliserer t er et komplekst tll med lengde mindre eller lik. I det reelle tilfellet befinner oss dermed i intervllet [, ], men i det komlekse tilfellet er det flere tll som er inkludert; disken som er sentrert i med rdius. Teorem.. Alt som gjelder for reelle indreproduktrom, med unntk v vinkelen, gjelder også for komplekse indreproduktrom. Eksempel.. Vektorene er ortogonle: i og i [ i i + i i i. i ] Eksempel.4. L oss projisere vektoren både på og normlt på Vi beregner: og slik t og 5i w i v i. 4 v v + i ( i) v w ( 5i) + i + 4 i 7i P v w v w v v v 7i i 6 4 w P v (w) w v w v v v 5i 7i 6 i i 9i i

14 Vi vslutter seksjonen med en liten diskusjon om djungering, noe du knskje kommer til å møte på i fremtiden. Mn kn definere den djungerte til n n A m m mn som mtrisen m A m n n mn der rdene og kolonnene i A er byttet om, og lt er komplekskonjugert. Du kn sjekke t siden (AB) B A, så gjelder (Ax) y x (A y). Mer generelt, l V og W være indreproduktrom, og T er en lineærtrnsformsjon mellom dem. Den djungerte til T, T, er lineærtrnsformsjonen som tilfredstiller T (x), y x, T (y). Eksempel.5. Hvis vi lr A være mtrisen A 5i i, i 4 så er den djungerte v A gitt ved: A 5i i i 4 Hvis vi djungerer denne mtrisen igjen, så kommer vi tilbke til utgngspunktet: (A ) A Bevis. Det holder å bevise en v påstndene. For den ndre følger ved å se på A istedet for A. Så l oss bevise (Col A) Null A. Vi skl vise denne påstnden ved å sjekke t (Col A) er en delmengde v Null A og t smtidig Null A er en delmengde v (Col A). Vi begynner med t x er en vektor i (Col A). L,..., n være kolonnevektorene i A. Kolonnerommet Col A er utspent v kolonnene i A. Altså er x ortogonl med lle i, dvs i, x i x for lle i,..., n. Men dette betyr ved definisjon v multipliksjonen mtrise gng vektor t A x. Altså ligger x i Null A. En nnen måte å vise dette er å observere t x (Col A) betyr t Men vi vet Altså hr vi Au, x for lle u C n. Au, x u, A x. u, A x for lle u C n. Vektoren A x er ltså ortogonl med lle vektorer i C n. På grunn v positivitet må A x være nullvektoren, dvs x ligger i Null A. Omvendt l oss nt t x er en vektor i Null A. Dette betyr t A x og viser ved definisjon v multipliksjonen mtrise gng vektor t x ortogonl med lle kolonnene i A. Med ndre ord x ligger i (Col A). Merk. For en reell m n-mtrise A sier teoremet: (Col A) Null A T (Null A) Col A T. Merk. A A Det siste resulttet i denne seksjonen er grunnlget for minste kvdrters metode som er en nvendelse i neste kpittel. L A være en m n-mtrise. D observerer vi en smmenheng mellom kolonnerommet til A og nullrommet til A. For hvis w A u og Av, så er w v (A u) (v) u (A v) u (Av) u. Dette viser t w, som ligger i Col A, er ortogonl med Null A. Fktisk gjelder følgende likheter: Teorem.6. L A være en m n-mtrise. D vet vi (Col A) Null A (Null A) Col A. 4