9.6 Tilnærminger til deriverte og integraler

Transkript

1 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 169 Figur 915 Bezier-kurve med kontrollpolygon som representerer bokstven S i Postscript-fonten Times-Romn De ulike Bezier-segmentene ser du mellom kontrollpunktene som ligger på konturen til bokstven Legg merke til t den totle kurven også består v noen rette linjestykker Dtselskpet Apple utviklet tidlig på 1990-tllet en teknologi for å bryte Adobes monopol på font-området Denne teknologien klles TrueType og er bsert på kvdrtiske Bezier-kurver istedenfor kubiske TrueType er i dg svært utbredt og brukes også v Microsoft 96 Tilnærminger til deriverte og integrler Så lngt r vi sett vordn vi ved jelp v polynomer og stykkevise polynomer kn finne tilnærminger til mer generelle funksjoner ved jelp v dt (funksjonsverdier og deriverte) entet fr funksjonene I denne seksjonen skl vi se på en nnen form for pproksimsjon, nemlig vordn vi kn tilnærme én opersjon på funksjoner med en nnen opersjon på funksjoner Eksemplene vi skl se på er vordn vi kn regne ut tilnærminger til den deriverte og til integrlet v en funksjon ut fr funksjonsverdier, såklt numerisk derivsjon og integrsjon Vi r vært innom disse temene tidligere,

2 170 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER men er skl vi også gi estimter for feilen som gjøres Nøkkelen til det ele er Tylors formel med feilledd Hvis vi bre ser på de ulike tilnærmingene for seg, kn både numerisk integrsjon og derivsjon lett synes som en smling med mer eller mindre tilfeldige metoder, og det kn virke nokså uforståelig vordn noen kunne finne på disse metodene For å få oversikt i virvret, er det som lltid viktig å prøve å få øye på noen overordnede prinsipper Det overordnede prinsippet for både numerisk integrsjon og derivsjon er følgende: Ersttt funksjonen f som skl integreres eller deriveres med et interpolerende polynom p og integrer eller deriver p istedenfor f Under skl vi se nærmere på vordn dette gjøres i prksis Stoff om interpolsjon med polynomer finner du i seksjon Numerisk integrsjon I seksjonene 87 i Klkulus og 7 i kompendiet r vi llerede sett prinsippet over gjennomført i prksis i forbindelse med integrsjon Der delte vi integrsjonsområdet [, b] inn i delintervller, tilnærmet f med et polynom på vert delintervll, integrerte vert v disse polynomene og summerte til slutt opp bidrgene fr vert delintervll Den største utfordringen er dermed vordn vi skl finne polynomtilnærmingen på vert delintervll I forbindelse med numerisk derivsjon så vi på tre ovedmuligeter: Tilnærming på et delintervll med en konstnt funksjon, en lineær funksjon og en prbel L oss kjpt repetere disse metodene Trpesformelen L oss for enkelets skyld se på det første delintervllet [, + ] Vi finner først den rette linj p 1 som interpolerer f i og + Denne kn skrives som p 1 (x) = f() + f( + ) f() (x ) (914) Deretter bruker vi relet under denne linj som tilnærming til integrlet v f, + p 1 (x) dx = ( ) + f() + f( + ) f(x) dx Simpsons metode Her interpolerer vi med en prbel på vert delintervll Siden vi trenger tre punkter for å interpolere med prbler, ser vi på intervllet [, + ] og integrerer prbelen p som r smme verdi som f i punktene, + og + Vi kn skrive denne prbelen slik som i seksjon 91, men til vårt bruk er er en nnen form mer endig Hvis punktene vi skl interpolere i er x 0, x 1 og x, skriver vi polynomet som p (x) = b 0 + b 1 (x x 0 ) + b (x x 0 )(x x 1 ) I vårt tilfelle er x 0 =, x 1 = + og x = + Interpolsjonsbetingelsene gir d f() = p () = b 0, f( + ) = p ( + ) = b 0 + b 1, f( + ) = p ( + ) = b 0 + b 1 + b

3 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 171 Fr den første ligningen finner vi b 0 = f(), fr den ndre og fr den tredje får vi b 1 = f( + ) b 0 = f( + ) f() b = f( + ) b 0 b 1 Prbelen p kn derfor skrives som = f( + ) f( + ) + f() f( + ) f() p (x) = f() + (x ) f( + ) f( + ) + f() + (x )(x ) (915) Integrerer vi p får vi etter litt opprydding + p (x) dx = 3 ( f() + 4( + ) + f( + ) ) som tilnærming til + f(x) dx, og dette kjenner vi igjen som Simpsons formel Tilnærming med konstnter Integrlet v f er i Klkulus definert ved jelp v øvre og nedre trppesummer som jo nettopp består i å tilnærme f med en konstnt på vert delintervll For den øvre trppesummen bruker vi, på intervllet [, + ], verdien v f i det punktet C der f oppnår sitt mksimum på [, + ] Integrltilnærmingen på dette intervllet blir d f(c) For den nedre trppesummen bruker vi på tilsvrende måte verdien v f i punktet c der f oppnår sitt minimum på [, + ], slik t tilnærmingen blir f(c) Disse tilnærmingene er endige når vi skl finne frm til egenskper ved integrlet og vise t de øvre og nedre trppesummene konvergerer mot verndre Men for prktiske, numeriske beregninger er disse trppesummene som regel til liten jelp siden vi d må finne mksimum- og minimumverdiene til f på [, + ], noe som kn være vnskelig eller til og med umulig om f er en komplisert funksjon En mye enklere løsning er å bruke verdien v f i et fst punkt, for eksempel f(), siden vi d ikke trenger å kste bort tid på å regne oss frm til det rette punktet Tilnærmingen til integrlet blir d f() Andre muligeter ville være å bruke f(b) eller f ( ( + b)/ ) som tilnærming til f på intervllet [, + ]

4 17 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER 96 Numerisk derivsjon I seksjon 6 tilnærmet vi den deriverte til f ved jelp v uttrykket f () ( f( + ) f() ) / som er nturlig ut fr definisjonen v den deriverte Men med utgngspunkt i ideen vi r brukt for å finne frm til formler for numerisk integrsjon kn vi også finne frm til ndre tilnærminger til den deriverte Frmgngsmåten er som før t vi interpolerer f i noen punkter med et polynom og bruker den deriverte til polynomet som en tilnærming til den deriverte v f Her vil det åpenbrt ikke fungere om vi tilnærmer f med en konstnt siden den deriverte v en konstnt lltid er 0 L oss derfor forsøke å derivere den rette linj p 1 som interpolerer f i og + Formelen for p 1 er gitt ved (914) og deriverer vi denne får vi f () p 1() = f( + ) f() som er kkurt den smme tilnærmingen vi brukte i seksjon 6 Legg merke til t den deriverte v p 1 er konstnt siden p 1 er et polynom v grd 1 Vi kn derfor like gjerne bruke tilnærmingen i det ndre punktet, f ( + ) p 1( + ) = f( + ) f() En tredje muliget er bruke denne tilnærmingen i midtpunktet + /, f ( + /) p 1( + /) = f( + ) f() (916) Denne tilnærmingen r den fordelen t den er mer symmetrisk vi fvoriserer ikke noen v de to gitte punktene når vi bruker tilnærmingen i et punkt som ligger midt mellom dem Med det vi nå vet om slike tilnærminger r vi ingen grunn til å tro t dette betyr noe, men som vi skl se under viser det seg fktisk å være svært viktig for tilnærmingens nøyktiget Formelen (916) brukes vnligvis på formen f () f( + ) f( ) Vi ser t vi fremdeles tilnærmer den deriverte til f midt mellom to gitte punkter og + ved å t foroldet mellom forskjellen i funksjonsverdier og vstnden mellom funksjonsverdiene Alterntivt kn vi utlede denne formelen ved å interpolere f med en rett linje i punktene og +, derivere denne og bruke tilnærmingen i x = Ved å bruke flere funksjonsverdier kn vi interpolere f med polynomer v øyere grd og foråpentligvis finne frm til ndre tilnærminger både til f og øyere deriverte For eksempel ser vi t interpolsjonspolynomet p gitt ved (915) gir f () p () = f( + ) + 4f( + ) 3f()

5 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 173 Dette er en mer komplisert formel enn vi fikk fr p 1, men foråpentligvis er den også mer nøyktig Vi får en mer symmetrisk formel vis vi bruker p til å finne en tilnærming til f ( + ) Vi får d f ( + ) p ( + ) = f( + ) f() Dette er bre en forkledd versjon v (916) og er ltså smme formel som vi kom frm til ved jelp v p 1 Fr p 1 kunne vi ikke finne noen tilnærming til f siden p 1 er 0 overlt Ved jelp v p kn vi finne en slik formel, f ( + ) p f( + ) f( + ) + f() ( + ) = (917) Siden p er konstnt, kunne dette like gjerne vært en tilnærming til f () eller f ( + ), men som vi r nevnt tidligere er symmetri br i denne smmenengen og formelen fungerer best i midtpunktet Tilnærmingen (917) brukes forøvrig som regel på formen f () f( + ) f() + f( ) Ved å interpolere i flere punkter med polynomer v øyere grd kn vi finne mer kompliserte (og mer nøyktige) formler og tilnærminger til øyere deriverte Men det underliggende prinsippet for vordn vi finner frm til formlene er illustrert med eksemplene over 963 Feilestimter Over r vi utledet formler som lr oss regne ut tilnærminger til integrlet og den første og ndre deriverte til en funksjon f Spørsmålet er vor nøyktige disse formlene er Ved jelp v Tylors formel skl vi nå finne uttrykk for feilen slik t vi kn smmenligne formlene Utregningene under kn knskje virke overveldende og kompliserte Men emmeligeten er som vnlig ikke å drukne i detljene, men se de overordnede prinsippene Disse skl vi oppsummere mot slutten v seksjonen Vi minner om Tylors formel som sier t f(x) = f() + (x )f () + der R n f(x) minner om det neste leddet, (x ) f () + + (x )n f (n) () + R n f(x) (918) n! R n f(x) = (x )n+1 f (n+1) (c), (n + 1)! og c er et tll i intervllet [, c] (intervllet [c, ] om x < ) som venger v x Dette gjelder så snt f (n+1) og de lvere deriverte lle er kontinuerlige nær

6 174 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER L oss se vordn vi kn finne et uttrykk for feilen i tilnærmingen f () f( + ) f() (919) Feilen er gitt ved E 1 (f, ) = f f( + ) f() () (90) Ideen er å ersttte f( + ) med et Tylorpolynom med restledd med et åp om t en del ledd d vil flle mot verndre Vi setter x = +, bruker (918) og skriver f( + ) som f( + ) = f() + f () + f (c) der c er et tll i intervllet [, + ] Setter vi dette inn i (90) får vi E 1 (f, ) = f () f() + f () + f (c)/ f() = f (c) Spesielt ser vi t feilen vil gå mot null når går mot null For lettere å kunne finne frm til dette resulttet i teksten formulerer vi det som en setning Setning 915 Ant t f, f og f er kontinuerlige funksjoner på intervllet [, + ] D kn f () tilnærmes med og feilen i tilnærmingen er gitt ved f () f () der c er et tll i intervllet [, + ] f( + ) f(), f( + ) f() = f (c), L oss også finne et uttrykk for feilen i den ndre tilnærmingen til den deriverte, Denne feilen er gitt ved f () E (f, ) = f () f( + ) f( ) f( + ) f( ) (91) Her trenger vi å uttrykke både f( ) og f( + ) ved jelp v Tylor-polynomer Vi r f( + ) = f() + f () + f () f (c 1 ), (9) f( ) = f() f () + f () 3 6 f (c ), (93)

7 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 175 der c 1 ligger i intervllet [, + ] og c i intervllet [, ] Vi legger merke til t leddene er lternerer i fortegn slik t f( + ) f( ) = f () + ( f (c 1 ) + f (c ) ) 6 Setter vi dette inn i (91) fller leddene som involverer f () mot verndre og vi står igjen med E (f, ) = ( f (c 1 ) + f (c ) ) 1 Dette uttrykket kn forenkles litt vis vi ser på tllverdier og godtr en øvre grense for feilen istedenfor et ekskt uttrykk Vi r nemlig E (f, ) ( = f (c 1 ) + f (c ) ) 1 ( f(c1 ) + f(c ) ) 1 ( 1 = 6 mx c 1 [,+] mx x [,+] f (c 1 ) + f (x) mx c [,+] f (c ) ) I den første overgngen r vi brukt trekntuliketen mens den ndre uliketen følger når vi tr mksverdier v f I den siste liketen r vi bre utnyttet t de to mksverdiene er like Det ele er oppsummert i følgende setning Setning 916 L funksjonen f være definert på intervllet [, + ] og nt t både f, f, f og f er kontinuerlige på dette intervllet D kn f () tilnærmes med uttrykket f f( + ) f( ) () og feilen i denne tilnærmingen er begrenset v f () f( + ) f( ) 6 mx x [,+] f (x) Legg merke til t feilen er venger v, mens den for metoden i setning 915 venger v Dette er en vesentlig forskjell Hvis for eksempel = 10 4 vil feilen i den første metoden være omtrent 10 4 om f ikke er for stor, mens feilen i den ndre metoden vil være omtrent 10 8 så snt f ikke er for stor En illustrsjon v dette er vist i figur 916 der det frmgår tydelig t metoden i setning 916 gir minst feil Generelt vil feilen bli mindre jo øyere potens v som forekommer i feiluttrykket Men smtidig vil vnligvis metodens kompleksitet, og dermed nødvendig regnetid, også øke når eksponenten på øker L oss til slutt utlede et feilestimt for trpesregelen i det enkle tilfellet t vi bre bruker ett linjestykke i tilnærmingen til f Formelen er gitt ved + f(x) dx ( f() + f( + ) )

8 176 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER Figur 916 Den deriverte v sin x og de to tilnærmingene til den deriverte gitt ved setningene 915 (grovstiplet) og 916 (finstiplet) med = 05 Nok en gng benytter vi oss v Tylorutviklinger I dette tilfellet bruker vi f(x) = f() + (x )f () + f( + ) = f() + f () + f (c ), (x ) f (c 1 ), der c 1 ligger i intervllet [, x] og c i intervllet [ + ] Vi ersttter først f(x) med denne Tylorutviklingen og integrerer, + + f(x) dx = (f() + (x )f (x ) ) () + f (c 1 ) dx (x ] ) + + ( (x ) = [(x )f() + f ) () + f (c 1 ) dx Igjen ser vi på feilen, = f() + f () + E 3 (f, ) = + + (x ) f (c 1 ) dx f(x) dx ( f() + f( + ) ) Her setter vi inn verdien for integrlet som vi fnt over smt Tylorutviklingen v f(+) Dette gir + E 3 (f, ) = f() + f () + 1 (x ) f (c 1 ) dx (f() + f() + f () + ) f (c ) = 1 + (x ) f (c 1 ) dx 3 4 f (c )

9 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 177 For å få dette på en litt penere form tr vi igjen tllverdier og godtr estimter istedenfor liketer, E3 (f, ) 1 + (x ) f (c 1 ) dx + f (c ) 4 I det følgende kn vi spre litt trykksverte ved å innføre notsjonen M = mx x [,+] f (x) Det første leddet i uttrykket over estimerer vi til 1 + (x ) f (c 1 ) dx 1 1 = M (x ) f (c 1 ) dx (x ) M dx (x ) dx = M3 6 Den første uliketen kommer v t integrlet ldri kn bli mindre når vi integrerer bsoluttverdien v et uttrykk istedenfor uttrykket selv Den ndre uliketen følger når vi ersttter f(c 1 ) med mksimumsverdien v f på intervllet [, + ] Dermed blir den totle feilen begrenset v E 3 (f, ) M3 + M3 6 4 = 5M3 1 når vi også ersttter f(c ) med mksverdien til f på [, + ] Dette gir oss følgende setning Setning 917 L funksjonen f være slik t både f, f og f er kontinuerlige på intervllet [, + ] D kn integrlet v f på dette intervllet tilnærmes med + f(x) dx og feilen i denne tilnærmingen er begrenset ved + f(x) dx ( f() + f( + ) ) ( f() + f( + ) ) mx x [,+] f (x) Vi understreker t dette feilestimtet bre gjelder for ett delintervll Bruker vi metoden over flere delintervller viser det seg t vi mister en potens på, men dette skl vi ikke gå inn på er Merk også t det i seksjon 87 i Klkulus er oppgitt et feilestimt for trpesmetoden der fktoren 5/1 er erstttet med 1/1 Det er mulig å få til dette ved å bruke en litt mer rffinert metode enn vi r benyttet er Over r vi utledet estimter for den mtemtiske feilen i de forskjellige tilnærmingene, og i lle tilfellene går denne mot null når går mot null Men det er viktig å uske på t når disse metodene implementeres på en dtmskin er det en feilkilde til som spiller inn, nemlig vrundingsfeilen Dette r vi llerede sett eksempel på i seksjon 6 når

10 178 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER det gjelder numerisk derivsjon Dessverre er det generelt slik t for numerisk derivsjon øker vrundingsfeilen med vtgende For numerisk integrsjon er det derimot små problemer med vrundingsfeil En presis mtemtisk nlyse v vrundingsfeil er lngt mer komplisert enn den feilnlysen vi r ttt for oss er 964 Generell strtegi for å utlede feilestimter Over utledet vi tre feilestimter med til dels lnge utledninger I slike smmenenger er det viktig å se den overordnede ideen, ellers er det lett å drukne i detljene L oss forsøke å oppsummere strtegien vi brukte Utgngspunktet er t vi r en tilnærming til den deriverte eller integrlet v en funksjon f nær et punkt For å finne et uttrykk for feilen gjør vi følgende: 1 Skriv opp uttrykket for feilen Ersttt lle funksjonsverdier unnttt f() med Tylorpolynomer med feilledd, utviklet rundt 3 Trekk smmen lle uttrykkene (og beregn de integrlene som kn beregnes direkte) Hr du regnet riktig og ttt med pssende ntll ledd i Tylorutviklingene vil du ende opp med et uttrykk som bre involverer restleddene 4 Står det igjen mer enn ett restledd, må du t tllverdi v feilen og bruke trekntuliketen slik t du får en øvre grense som er summen v tllverdiene v restleddene 5 T mksverdier i lle funksjonsuttrykkene over det største intervllet som er involvert i tilnærmingen Slike mksverdier kn settes utenfor eventuelle integrler slik t de gjenstående integrlene lett kn beregnes Alle feilledd kn så slås smmen til ettuttrykk Det er lurt å gå tilbke å se over utledningene over for å gjenkjenne disse stegene Det mest mystiske er knskje vordn vi kn vite vor mnge ledd som skl ts med i Tylorpolynomene Tr du med for få ledd vil du til slutt ende opp med et feiluttrykk som inneolder en sum v to eller flere restledd fr Tylorutviklingene der summen v koeffisientene er null Dette betyr t du kn t med minst ett ledd til i vert Tylorpolynom siden disse leddene d vil flle mot verndre (d får du jo smme rgument i lle funksjonsuttrykkene) Tr du med for mnge ledd vil du til slutt stå igjen med flere ledd enn restleddene fr Tylorutviklingene i det endelige feiluttrykket Se oppgve 9 under for konkret øvelse i dette

11 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 179 Oppgver 91 Tylor-polynomene til e x, cos x og sin x er e x = 1 + x + x + x3 6 + x4 4 + x x x cos x = 1 x + x4 4 x sin x = x x3 6 + x5 10 x Regn ut Tylor-polynomet til e ix og bruk dette til å forklre t Eulers formel e ix = cos x + i sin x er en rimelig definisjon v e ix 9 Utled egenskpene 1 og ved Bernsteinbsisen gitt i lemm 93 Et nyttig redskp for å bevise egenskp er binomilteoremet 93 Utled egenskp 3 i lemm Utled egenskp 4 og 5 i lemm Utled egenskpene 1 3 i lemm 95 for Bernstein-polynomer v generell grd n på intervllet [0, 1] 96 Sjekk t relsjonen stemmer ( ) n = n i + 1 ( ) n i i i 1 97 ) Vis t polynomet x kn uttrykkes i Bernsteinbsisen som x = 3 i=0 i 3 b i,3(x) Hint: Sjekk t de deriverte på de to sidene v liketstegnet er like og t de to sidene r smme verdi i ett punkt b) Bruk () til å vise relsjonen ( ) 3 x, p(x) = (i/3, c i )b i,3 (x) i=0 (Dette må tolkes som en vektorrelsjon der venstresiden ( x, p(x) ) og kontrollpunktene (i/3, c i ) 3 i=0 er punkter i plnet, mens b i,3(x) for ver x er en sklr) Denne relsjonen viser t grfen til p(x) er et veiet gjennomsnitt v sine kontrollpunkter

12 180 KAPITTEL 9 APPROKSIMASJON AV FUNKSJONER 98 Progrmmer lgoritme 98 og test progrmmet ved å plotte ut noen v Bernsteinpolynomene i figur 97 og I denne oppgven skl vi gjent utregningene som førte oss frm til setning 916, men med flere eller færre ledd i Tylorpolynomet ) T med et ledd mindre i ver v de to Tylorutviklingene (9) (93) (slik t restleddene involverer ), men gjennomfør ellers utregningene som vist over Hvordn kn du gjenkjenne t dette kn gjøres bedre? b) T med et ledd mer i ver v de to Tylorutviklingene (slik t restleddene involverer 4 ), men gjennomfør igjen utregningene som over Hvordn kn du se t du r ttt med for mnge ledd? 910 Vis t feilen E(f, ) i tilnærmingen til den førstederiverte gitt ved f () f( + ) + 4f( + ) 3f() er begrenset v E(f, ) mx x [,+] f (x) 911 Utled et feilestimt for tilnærmingen til den ndrederiverte gitt ved f () f( + ) f() + f( ) 91 Utled et feilestimt for tilnærmingen til integrlet gitt ved + f(x) dx f( + /) Hint: Ersttt f(x) med en pssende Tylorutvikling om x = + /

13 96 TILNÆRMINGER TIL DERIVERTE OG INTEGRALER 181