Numerisk kvadratur. Newton-Cotes kvadratur. PROBLEM STILLING: Approksimér. I(f) = f(x)dx. hvor f : R R kan Riemann-integreres.

Transkript

1 Numerisk kvdrtur PROBLEM STILLING: Approksimér 1/15 I(f) = hvor f : R R kn Riemnn-integreres. b f(x)dx. Newton-Cotes kvdrtur Newton-Cotes kvdrtur erbsert på ekvidistnte noder i [, b]: For en n-noder åpen formel n-noder lukket formel x i = + i b, i = 1, 2,..., n, n + 1 x i = + (i 1) b n 1, i = 1, 2,..., n

2 De mest kjente N-C formler er: 2/15 Midpunktreglen, M(f) = (b )f( b+ 2 ), Trpesreglen, T (f) = b (f() + f(b)), 2 Simpsonsreglen, S(f) = b (f() + 4f(+b ) + f(b)), 6 2

3 Stbilitet v numerisk kvdrtur Q n ( ˆf) Q n (f) ( n ) w i ˆf f Hvis vektene w i er positive, d n i=1 w i = n i=1 w i = b og den numeriske kvdrtur formel er like stbil som den teoretisk kvdrtur Hvis noen v de vektene w i er negtive, d kn n i=1 w i > b og den numerisk kvdrtur kn være ustbil. i=1 3/15 N-C formler er ustbile for n 11!!! Feil v M(f), T (f) og S(f) I(f) M(f) = 1 24 (b )3 f ( b + 2 ) + O((b )5 ) I(f) T (f) = 1 12 (b )3 f ( b + 2 )O((b )5 ) I(f) S(f) = (b )5 f (iv) (m)o((b ) 7 ) Ved å hlvere intervllet [, b], reduserer vi feilen v en fktor 1 8, 1 8, 1 32.

4 I prksis: mn deler [, b] i mnge små intervller v størrelse h mn bruker lv grds formler i de sm intervller En slik prosedyre klles for komposisjon v kvdrtur regler eller smmenstt kvdrtur. 4/15

5 Smmenstt kvdrtur Vi subdividerer intervllet [, b] i k like store subintervller, v størrelse h = b k : 5/15 b Vi bruker vå fvoritt kvdrtur formlen i hver subintervllet (f.eks. trpesreglen) og summere resulttene, b

6 Hvor mnge gnger trenger vi å evluere funksjonen f? Hvis vi bruker en n-punkter regel Q n i hver subintervllet, trenger vi kn evluering v funksjonen f, hvis formlen er åpen b 6/15 hvis formelen er lukket, trenger vi bre k(n 2) + (k + 1) = k(n 1) + 1 evluering v f (fordi noen v punktene er repetert) b

7 EKSEMPLER: k subintervller v lengde h = (b )/k. 7/15 b [, b] = [}{{}, } {{ + h } ] [ }{{ + h }, } + {{ 2h } ] [ + jh, + (j + 1)h] [ + (k 1)h, }{{}}{{}}{{}}{{} b x 0 x 1 x 1 x 2 x j x j+1 x k 1 x k ] Midpunkt: k j=1 (x j x j 1 )f( x j 1 + x j 2 ) = h k i=1 f( x j 1 + x j ) 2 Trpes: k i=1 x j x j 1 (f(x j 1 ) + f(x j )) = h ( f() + f(x 1 ) + f(x 1 ) + f(x 2 ) 2 2 ) + f(x 2 ) + + f(x k 1 ) + f(x k 1 ) + f(b) ( 1 = h 2 f() + f(x 1) + + f(x k 1 ) + 1 ) 2 f(b)

8 En smmenstt kvdrtur er lltid stbil om det opprinnelig kvdrtur Q n er stbil En smmenstt kvdrtur lltid konvergerer til I(f) for k hvis Q n er v grd zero minst og det betyr t, i prinsippel, ved å velge k stort nok kn mn h så mnge signifiknte siffre mn ønsker selv om Q n hr lv grd. 8/15

9 Feil ved smmenstt kvdrtur Vi hr sett t: I(f) M(f) 1 24 (b )3 f ( b + 2 ) I(f) T (f) 1 12 (b )3 f ( b + 2 ) I(f) S(f) (b )5 f (iv) (m) 9/15 og t ved å hlvere intervllet [, b], reduserer vi feilen v en fktor 1 8, 1 8, 1 32.

10 For smmenstt kvdrtur: i hvert subintervllet [x j 1, x j ] I j (f) M(f) 1 24 h3 f (ξ M ) I j (f) T (f) 1 12 h3 f (ξ T ) I j (f) S(f) 2 3 og, ved å summere feilen over de k intervllene, finner vi h5 f (iv) (ξ T ) 10/15 I(f) C M,k (f) 1 24 kh3 f (η M ) = O(h 2 ) siden k = (b )/h. I(f) C T,k (f) 1 12 kh3 f (η T ) = O(h 2 ) I(f) C S,k (f) kh5 f (iv) (η T ) = O(h 4 ) Derfor sier mn t Midpunkt- og Trpesreglen er order 2 smmenstt kvdrtur regler mens Simpson er order 4. Det betyr t ved å hlvere h, reduserer mn feil v 1 4, 1 4 og 1 32

11 Feilestimering Antr t C k er en smmensttt kvdrtur bsert på k subintervller slik t hvor K er en konstnt. I(f) C k (f) = O(h p ) = Kh p 11/15 Vi tr det smme smmenstt kvdrtur nå MEN bsert på 2k subintervller (vi hlverer hver subintervllet): I(f) C 2k (f) = 2K( h 2 )p (den første 2 er fordi vi hr dobbelt så mnge subintervller) Vi tr differnsen og eliminerer I(f), C k (f) C 2k (f) = Kh p ( 1 1) 2p 1 dermed kn vi estimere feilen v formlen C k (f) som ( )/( 1 ) Feil(C k (f)) = Kh p = C k (f) C 2k (f) 2 1 p 1 En mulig stoppe meknisme for kvdrtur er: Fiks en tolernse T OL over feilen Fiks ntll subintervller k; evluer C k, C 2k of feilen ifølge (1) Hvis Feil< T OL stopp, ellers hlvér intervllene o.s.v. Dermed lgoritmen stopper nå den feilen er mindre enn T OL. (1)

12 Adptive kvdrtur En smmenstt kvdrtur med feilestimering kn brukes til å lgre mer vnsert rutiner, som utomtisk integrsjon. Generelt sett, hlvering v subintervllene kn være lite effisient, fordi vi hlvere også hvor funksjonen er veldig regulær 12/15 b Istedet, ønsker mn å h flere punkter der hvor funksjonen vrierer mye (og er dermed venskeligere å integreres) og mindre punkter hvor funksjonen vrierer lite (og lett å integreres) b

13 Det mn gjør er som følge: fikse en tolernse ɛ som mn ønsker å h i hver subintervllet integrere funksjonen f i hver subintervllet med to kvdrturer for å estimerer feilen: hvis feilen er mindre enn ɛ d er mn fornøyd og drr til neste subintervllet ellers, forsetter mn å hlverer subintervllet til feilen er mindre en ɛ. 13/15 Men merk t for å lge en robust lgoritme, trenger mn å nlysere en del detljer.

14 Numerisk derivsjon Hvis kvdrtur er et veldig br kondisjonert problem, derivsjon v dt er istedet et veldig sensitivt problem og små perturbsjoner over dt kn h som effekt store forskjell i resultter! 14/15 Når vi må pproksimere deriverte v en funksjon som er gitt bre som en smling v dt, kn mn tilpsse en nokså regulær funksjon og derivere det istedet. Om dt er regulære, kn mn bruke interpolsjon om dt er veldig støyete på grunn v måling feil, d er det bedre å bruke minste kvdrter pproksimsjoner eller splines.

15 Endelige differnser Endelig differnser brukes til å pproksimere deriverte v regulære funksjoner, f.eks. funksjoner som mn kn evluere nlytisk eller veldig presis for et gitt input. 15/15 forlengs differnser, bklengs differnser, sentrerte differnser for første og ndre deriverte