Ekstrapolasjon. Minste kvadraters metode

Transkript

1 Ekstrpolsjon Minste kvdrters metode I de foregående øvingene hr vi sett forskjellige metoder vi kn ruke for å eregne polynomer som interpolerer målepunkter. Vi kn ruke polynomene vi hr eregnet til å estimere verdier som ligger mellom målepunktene ( nodene). Resulttet lir ofte veldig r, hvilket kn kontrolleres når den fktiske funksjonssmmenheng er kjent. Dersom vi ruker polynomene tilå estimere verdier som ligger utenfor intervllet der vi hr dt, sier vi t vi ekstrpolerer målepunktene. Dette må gjøres med stor forsiktighet, for vi hr ingen grnti for t våre interpolerende polynomer også kn enyttes utenfor intervllet. Vi hr sett eksempler med Cheyshevpolynomer definert for intervllet [-,] som gir helt gle resultter utenfor intervllet. Noen gnger er smmenhengen melom måledt kjent fr fysiske eller nturvitenskpeklige områder. Vi vet f. eks. t trykket i dyden h under hvoverflten øker lineært med dyden, p = p0 + Ρ g h der Ρ er vnnets tetthet og g er tyngdens kselersjon. D p = phhl ser vi t p0 = ph0l representerer trykket ved hvoverflten, dvs. tmosfæretrykket. Et nnet eksempel er evegelse v et stivt legeme som sklir ned et skråpln med hellingsvinkel Α. Her vil frten øke lineært med tiden: vhtl = v0 + t, der = g H sin Α - Μ cos ΑL er konstnt når friksjonskoeffisenten Μ er konstnt. Når det er en lineær smmenheng mellom x og y, kn vi skrive y =f(x) = + x. Dersom vi gjør en rekke målinger v smhørende verdier 8xi, yi <, i = 0,...,n i en situsjon hvor vi vet t smmenhengen er lineær, kn det likevel hende t målingene ikke gir punkter på en rett linje fordi målenøyktighet er for dårlig. D er det vår oppgve å prøve å finne den este rette linjen vi kn forinde målepunktene med, dvs. estemme koeffisienten og, slik t vi får gjengitt den lineære smmenhengen som vi vet skulle være tilstede. Hv menes med den este rette linjen gjennom dtpunktene? Det vil være nturlig å se på differnsen mellom oservert verdi yi og teoretisk kjent verdi f Hxi L = + xi i hvert målepunkt 8xi, yi <, og summere disse over dtsettet. Men siden hver enkelt differns kn være positiv eller negtiv, kn summen li meget nær null selv om dtpunktene vviker mye fr den rette linjen vi søker. For å t hensyn til dette, summerer vi kvdrtene v differnsene i hver dtpunkt og minimerer denne summen. Den este linjen definert på denne måten klles regresjonslinjen til dtene. Den kn enyttes åde til ekstrpolsjon og interpolsjon. Vi definerer differnsen Χ H, L = Úni=0 H + xi - yi L ( leses kji kvdrt). Dette er en kontinuerlig funksjon i to vrile som hr sitt minimum når de prtielt deriverte mhp og er null. Χ = Úni=0 H + xi - yi L = Úni=0 + Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 Þ Hn + L + Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 HL Χ = Úni=0 H + xi - yi L xi = Úni=0 xi + Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 Þ Úni=0 xi + Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 HL Løser vi likningssettet HL - HL mhp. og, får vi : = H Úni=0 xi L HÚni=0 xi yi L - IÚni=0 xi M HÚni=0 yi L H Úni=0 xi L - Hn+L I Úni=0 xi M

2 Den este linjen definert på denne måten klles regresjonslinjen til dtene. Den kn enyttes åde til ekstrpolsjon og interpolsjon. Minste oppg.n Χ H, L = Ún H + x - y L ( leses kji kvdrt). Dette er en kontinuerlig Vi kvdrters definerermetode differnsen i i i=0 funksjon i to vrile som hr sitt minimum når de prtielt deriverte mhp og er null. Χ = Úni=0 H + xi - yi L = Úni=0 + Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 Þ Hn + L + Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 HL Χ = Úni=0 H + xi - yi L xi = Úni=0 xi + Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 Þ Úni=0 xi + Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 HL Løser vi likningssettet HL - HL mhp. og, får vi : = = H Úni=0 xi L HÚni=0 xi yi L - IÚni=0 xi M HÚni=0 yi L H Úni=0 xi L - Hn+L I Úni=0 xi M H Úni=0 xi L HÚni=0 yi L-Hn+L HÚni=0 xi yi L H Úni=0 xi L - Hn+L I Úni=0 xi M Implementering lsm@dt_d := ModuleB8c, c, c3, c<, n = Length@dtD - ; c = 0; c = 0; c3 = 0; c = 0; For@i = 0, i n, ++i, x@i_d := +, DD; y@i_d := dt@@i +, DD; c += x@id; c += x@id x@id; c3 += y@id; c += x@id y@id; D; g = c * c - c * Hn + L; c * c - c * c3 = ; g = c * c3 - c * Hn + L ; g F Print@"Beste rette linje gjennom dtpunktene: y = " + + * "x"d Eksempel ( dt fr Millikn s oljedråpeforsøk til estemmelse v elementærldningen) dt = 88, 6.8<, 8, 8.06<, 86, 9.880<, 87,.0<, 88, 3.<, 89,.8<, 80, 6.0<, 8, 8.0<, 8, 9.68<, 83,.3<, 8,.96<, 8,.60<, 86, 6.<, 87, 7.88<, 88, 9.<<; lsm@dtd Beste rette linje gjennom dtpunktene: y = x

3 lp = ListPlot@dt, PlotStyle [email protected], Red<, AxesOrigin 80, 0<D; line = [email protected] x , 8x, 0, 0<, AxesOrigin 80, 0<D; ShowAlp, line, AxesLel 9"k", "q H0-9CL"=, PlotRnge AllE q H0-9 CL k 0 0 Stigningstllet gir oss e = C med feilestimt = C Minste kvdrters metode er implementert i Mthermtic ved kommndoen Fit. Der kn du ngi åde lineær tilpsning og høyere ordens tilpsning. Fit@dt, 8, x<, xd.6383 x Dgens este verdi for elementærldningen er e = C (Coulom). Millikn puliserte sitt resultt i 90 og det revolusjonerende ved forsøket vr påvisningen v t ldningen på tomer vr kvntisert, q = n e for et heltll n. Minste kvdrters metode på mtriseform Ant vi hr tre oservsjoner Hx0, y0 L, Hx, y L, Hx, y L som vi forventer skl ligge på en rett linje. Likningene () og () med n = kn d skrives: H + + L + Hx0 + x + x L = y0 + y + y Hx0 + x + x L + Ix0 + x + x M = x0 y0 + x y + x y Likningssystemet kn skrives på mtriseform: M= ++ x0 + x + x x0 + x + x x0 + x + x,u= y0 + y + y, v= Þ M.u = v x0 y0 + x y + x y Videre er det lurt å definerer ny mtrise og nye vektorer: x0 y0 A = x, x =, y = y. y x Den trnsponerte mtrisen til A er gitt ved AT = Vi får følgende resultt: AT. A = M og AT. y = v. x0 x x 3

4 Videre er det lurt å definerer ny mtrise og nye vektorer: x0 metode oppg.n Minste kvdrters A = x x y0, x=, y = y. y Den trnsponerte mtrisen til A er gitt ved AT =. x0 x x Vi får følgende resultt: AT. A = M og AT. y = v Vårt likningssystem kn derfor formuleres på formen M.u = v AT. A. x = AT. y Vi sier t likningene er skrevet på normlform. Fordelen med å innføre mtrisen A og vektoren y, er t disse er lette å skrive opp. Grunnen er t de inneholder re kjente verdier. Vi trenger ikke gjennomføre eregninger for å sette opp A og y. Metoden lr seg lett generlisere til n målepunkter: x0 y0 y x A=, y=»»» yn xn Mtrisen AT. A er kvdrtisk, og hr en invers mtrise så snt determinnten er ulik null. Dette gir oss løsningen x= - = IAT. AM AT. y Eksempel (Millikn s forsøksserie). A = K ; y = ; O = Inverse@[email protected]. [email protected] Vi får smme resultt som før, e = 0-9 C» C.

5 Polynomer v høyere grd En ll lir skutt loddrett oppover. Vi oserverer posisjonen ved ulike tidspunkter. Fr meknikkpensumet kjenner vi evegelseslikningen shtl = sh0l + v0 t + t der v0 er strthstighet og er konstnt kselersjon. Våre dtpunkter skulle derfor teoretisk ligge på en prel. Vi vil estemme den este kurven ved minste kvdrters metode. Målt verdi er Hti, si L og teoretisk verdi er yi = Α + Β ti + Γ ti Χ HΑ, Β, ΓL = Úni=0 IΑ + Β ti + Γ ti - yi M Χ = Úni=0 IΑ + Β ti + c ti - yi M = Α Úni=0 + Β Úni=0 ti + ý Úni=0 ti - Úni=0 yi = 0 Þ ΑHn + L + Β Úni=0 ti + ý Úni=0 ti - Úni=0 yi = 0 HL Χ = Úni=0 IΑ + Β ti + Γ ti - yi M ti = Α Úni=0 ti + Úni=0 ti + Γ Úni=0 ti 3 - Úni=0 ti yi = 0 Þ Α Úni=0 ti + Β Úni=0 ti + Γ Úni=0 ti 3 - Úni=0 ti yi = 0 HL Χ c = Úni=0 IΑ + Β ti + Γ ti - yi M xi = Α Úni=0 ti + Β Úni=0 ti 3 + Γ Úni=0 ti - Úni=0 ti yi = 0 Þ Α Úni=0 ti + Β Úni=0 ti 3 + Γ Úni=0 ti - Úni=0 ti yi = 0 H3L Uttrykkene for Α, Β og Γ lir kompliserte, men skriver vi likningssettet () - (3) på mtriseform og gjentr resonnementene ovenfor i det lineære tilfellet, finner vi t likningssettet kn skrives: t0 t0 IAT. A M x = AT.y der A= t t»»» Α, x= Β, Γ tn tn y0 y y=» yn Eksempel Vi foretr 6 oservsjoner v evegelsen med 3/0 s mellomrom. dt = 880.3, 3.0<, 80.6, 3.<, 80.9, 33.<, 8., 0.9<, 8., 8.6<, 8.8,.<<; A = ; y = ;

6 6 Α Β Γ = Inverse@[email protected]. [email protected] Strtposisjon, strtfrt og kselersjon lir: s0 = Α = 0.96 m v0 = Β =.6 m/s = Γ = -3. m/s Siden > g = 9.8 m/s er det rimelig å nt t det også virker luftmotstnd. Posisjonen ved tiden t er derfor gitt ved: shtl = t - 3. t Uttrykket gjelder re så lenge llen er på vei oppover, siden luftmotstnden lltid virker mot evegelsen. lp = ListPlot@dt, PlotStyle [email protected], Red<, AxesOrigin 80, 0<D; line = PlotA t +.6 t , 8t, 0, <, AxesOrigin 80, 0<E; Show@lp, line, AxesLel 8"t", "sl"<, PlotRnge AllD sl t Mthemtic hr kommndoer som håndterer tilpsning v vilkårlig grd : FitAdt, 9, t, t =, te t +.6 t Eksponentiell smmenheng Dersom vi forventer en eksponensiell smmenheng mellom x og y kn vi skrive y = e x. For å ruke minste kvdrters metode skriver vi om uttrykket ved å t logritmen på egge sider: ln y = ln + x Vi trnsformerer først dtene fr Hxi, yi L til Hxi, ln yi L. Dermed får vi en lineær smmenheng mellom ln yi og xi.

7 Eksempel xi = Rnge@D 8,, 3,, < yi = 83.6,.7, 9.,.,.8<; Log@yiD 8.7,.7,.77,.73, 3.8< A = K 3 ; x = K Α O; Β y =..7. ;.7 3. Α O = Inverse@[email protected]. [email protected] Β Dette gir oss : ln y = Α + Β x = x y = ã0.7 ã 0. x =. ã 0. x pts = Trnspose@8xi, yi<d; lp = ListPlot@pts, PlotStyle 8Red, [email protected]<D; pl = PlotA. ã0. x, 8x, 0, 6<E; Show@lp, pl, PlotRnge AllD I et logritmisk plott lir grfen lineær: 6 7

8 8 llp = ListLogPlot@pts, PlotStyle [email protected], Red<, AxesOrigin 80, 0<D; pl = Plot@0. x + 0.7, 8x, 0, 6<D; Show@llp, pld x FitBpts, :ExpB F>, xf.0999 ãx Oppgve Bestem regresjonslinj gjennom punktene (, 6), (, ) og (3, ). Løs oppgven åde med og uten mtriseregning. Estimer y- verdien når x =.. Tegn linje og punktene i smme grf. Regresjonslinj: y (x) = + x = 8 -. x Oppgve Bestem et polynom grd som ekstrpolerer punktene H-,.<, H0, 3<, 80., 0.6L, H, -0.6L, 8., -.8<, 8,.L.