Ekstrapolasjon. Minste kvadraters metode. Minste kvadraters metode på matriseform. Implementering

Transkript

1 Ekstrpolsjon Minste kvdrters metode Implementering := ModuleB8c, c, c, c<, n = Length@dtD - ; c = 0; c = 0; c = 0; c = 0; For@i = 0, i n, ++i, c += x@id; c += x@id x@id; c += y@id; c += x@id y@id; D; g = c * c - c * Hn + L; c * c - c * c = ; g = c * c - c * Hn + L ; g F Print@"Beste rette linje gjennom dtpunktene: y = " + + * "x"d Minste kvdrters metode på mtriseform Ant vi hr tre oservsjoner Hx0, L, Hx, y L, Hx, y L som vi forventer skl ligge på en rett linje. Likningene () og () med n = kn d skrives: H + + L + Hx0 + x + x L = + y + y Hx0 + x + x L + Ix0 + x + x M = x0 + x y + x y Vi sier t likningene er skrevet på normlform. Likningssystemet kn skrives på mtriseform: M= ++ x0 + x + x x0 + x + x x0 + x + x,u= + y + y, v= Þ M.u = v x0 + x y + x y Videre er det lurt å definerer ny mtrise og nye vektorer: x0 A = x, x =, y = y. y x

2 Likningssystemet kn skrives på mtriseform: + metode + oppg x0fsit.n + x + x Minste kvdrters M= x0 + x + x x0 + x + x,u= + y + y, v= Þ M.u = v x0 + x y + x y Videre er det lurt å definerer ny mtrise og nye vektorer: x0 A = x, x =, y = y. y x Den trnsponerte mtrisen til A er gitt ved AT =. x0 x x Vi får følgende resultt: AT. A = M og AT. y = v Vårt likningssystem kn derfor formuleres på formen M.u = v AT. A. x = AT. y Fordelen med å innføre mtrisen A og vektoren y, er t disse er lette å skrive opp. Grunnen er t de inneholder re kjente verdier. Vi trenger ikke gjennomføre eregninger for å sette opp A og y. Metoden lr seg lett generlisere til n målepunkter: x0 y x A=, y=»»» yn xn Mtrisen AT. A er kvdrtisk, og hr en invers mtrise så snt determinnten er ulik null. Dette gir oss løsningen x= - = IAT. AM AT. y Polynomer v høyere grd En ll lir skutt loddrett oppover. Vi oserverer posisjonen ved ulike tidspunkter. Fr meknikkpensumet kjenner vi evegelseslikningen shtl = v0 t + t der v0 er strthstighet og er konstnt kselersjon. Våre dtpunkter skulle derfor teoretisk ligge på en prel. Vi vil estemme den este kurven ved minste kvdrters metode. Målt verdi er Hti, si L og teoretisk verdi er yi = + Β xi + Γ xi Χ H,, cl = Úni=0 I + Β xi + Γ xi - yi M Χ = Úni=0 I + Β xi + c xi - yi M = Úni=0 + Β Úni=0 xi + ý Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 Þ Hn + L + Β Úni=0 xi + ý Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 HL Χ = Úni=0 I + Β xi + Γ xi - yi M xi = Úni=0 xi + Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 Þ Úni=0 xi + Β Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 HL Χ c = Úni=0 I + Β xi + Γ xi - yi M xi = Úni=0 xi + Β Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 Þ Úni=0 xi + Β Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 HL

3 Målt verdi er Hti, si L og teoretisk verdi er yi = + Β xi + Γ xi Χ H,, cl = Χ Úni=0 I + Β xi + Γ xi - yi M Minste kvdrters metode oppg fsit.n = Úni=0 I + Β xi + c xi - yi M = Úni=0 + Β Úni=0 xi + ý Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 Þ Hn + L + Β Úni=0 xi + ý Úni=0 xi - Úni=0 yi = 0 HL Χ = Úni=0 I + Β xi + Γ xi - yi M xi = Úni=0 xi + Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 Þ Úni=0 xi + Β Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 HL Χ c = Úni=0 I + Β xi + Γ xi - yi M xi = Úni=0 xi + Β Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 Þ Úni=0 xi + Β Úni=0 xi + Γ Úni=0 xi - Úni=0 xi yi = 0 HL Uttrykkene for, Β og Γ lir kompliserte, men skriver vi likningssettet () -() på mtriseform og gjentr resonnementene ovenfor i det lineære tilfellet, finner vi t likningssettet kn skrives: x0 x0 IAT. A M x = AT.y der x x A=, x=»»» xn xn Β, Γ y y=» yn Eksempel Vi foretr oservsjoner v evegelsen med /0 s mellomrom. dt = 880.,.0<, 80.,.<, 80.9,.<, 8., 0.9<, 8., 8.<, 8.8,.<<; A = ; y = Β Γ.0.. ; = Inverse@[email protected]. [email protected] Strtposisjon, strtfrt og kselersjon lir: s0 = = 0.9 m v0 = Β =. m/s = Γ = -. m/s Siden > g = 9.8 m/s er det rimelig å nt t det også virker luftmotstnd. Posisjonen ved tiden t er derfor gitt ved: shtl = t -. t Uttrykket gjelder re så lenge llen er på vei oppover, siden luftmotstnden lltid virker mot evegelsen.

4 Minste kvdrters metode oppg fsit.n Siden > g = 9.8 m/s er det rimelig å nt t det også virker luftmotstnd. Posisjonen ved tiden t er derfor gitt ved: shtl = t -. t Uttrykket gjelder re så lenge llen er på vei oppover, siden luftmotstnden lltid virker mot evegelsen. lp = ListPlot@dt, PlotStyle [email protected], Red<, AxesOrigin 80, 0<D; line = PlotA -.7 t +. t + 0.9, 8t, 0, <, AxesOrigin 80, 0<E; Show@lp, line, AxesLel 8"t", "sl"<, PlotRnge AllD sl t Mthemtic hr kommndoer som håndterer tilpsning v vilkårlig grd : FitAdt, 9, t, t =, te -.70 t +. t Eksponentiell smmenheng Dersom vi forventer en eksponensiell smmenheng mellom x og y kn vi skrive y = e x. For å ruke minste kvdrters metode skriver vi om uttrykket ved å t logritmen på egge sider: ln y = ln + x Vi trnsformerer først dtene fr Hxi, yi L til Hxi, ln yi L. Dermed får vi en lineær smmenheng mellom ln yi og xi. Eksempel xi = Rnge@D 8,,,, < yi = 8.,.7, 9.,.,.8<; Log@yiD 8.7,.7,.77,.7,.8< A = ; x = K O; Β y =..7. ;.7.

5 Minste kvdrters metode oppg fsit.n K O = Inverse@[email protected]. [email protected] Β Dette gir oss : ln y = + Β x = x y = ã0.7 ã 0. x =. ã 0. x pts = Trnspose@8xi, yi<d; lp = ListPlot@pts, PlotStyle 8Red, [email protected]<D; pl = PlotA. ã0. x, 8x, 0, <E; Show@lp, pl, PlotRnge AllD I et logritmisk plott lir grfen lineær: llp = ListLogPlot@pts, PlotStyle [email protected], Red<, AxesOrigin 80, 0<D; pl = Plot@0. x + 0.7, 8x, 0, <D; Show@llp, pld x FitBpts, :ExpB F>, xf.0999 ãx

6 Minste kvdrters metode oppg fsit.n Oppgve Bestem regresjonslinj gjennom punktene (, ), (, ) og (, ). Løs oppgven åde med og uten mtriseregning. Estimer y- verdien når x =.. Tegn linje og punktene i smme grf. Cler@x, yd dt = 88, <, 8, <, 8, <<; x@i_d := +, DD y@i_d := dt@@i +, DD lsm@dtd x Beste rette linje gjennom dtpunktene: y = - +8 y@x_d := -. x + 8 [email protected]. Plottet viser punktene og den este linjen etter minste kvdrters metode. Punktet (.,.) ligger på linjen. lp = ListPlot@dt, PlotStyle [email protected], Red<, AxesOrigin 80, 0<D; line = Plot@ y@xd, 8x, 0, <, AxesOrigin 80, 0<D; Show@lp, line, PlotRnge All, Epilog 8Dshed, Blue, Line@88., 0<, 8.,.<<D, [email protected], Point@8.,.<D<<D 8 - A = ; x = K O; y = ; x = Inverse@[email protected]. [email protected] 8 - Regresjonslinj: y (x) = + x = 8 -. x

7 Minste kvdrters metode oppg fsit.n Oppgve Bestem et polynom grd som ekstrpolerer punktene H-,.<, H0, <, 80., 0.L, H, -0.L, 8., -.8<, 8,.L. =. x -. x +. x x -. x +. x + 0. Plot@f@xD, 8x, -, <D pts = 88-,.<, 80, 0.<, 80., 0.<, 8, - 0.<, 8., -.8<, 8,.<<; xrnge@0,d 9, x, x, x, x = FitApts, xrnge@0,d, xe.098 x -. x x +.0 x