Kinematikk i to og tre dimensjoner

Transkript

1 Kinemtikk i to og tre dimensjoner Innleveringsfrist oblig 1: Mndg, 5.eb. kl.18 Innlevering kun vi: Mulig å levere som gruppe (i Devilry, N 3) Bruk gjerne Pizz ved spørsmål (men ikke grntert t du får hjelp søndg kveld...) Snuble-gruppe: Tir , Y-Ø257 YS-MEK

2 v [m/s] x [m] Eksempel: En msse er festet til en fjær og beveger seg uten friksjon og luftmotstnd. krft fr fjær til mssen: kx N2L: d x dt 2 k x m 2 initilbetingelser: x( t v( t ) m ) 1m/s.2.1 Svingning: t [s] 2 1 v x( t) sin( t) v( t) v cos( t) t [s] Svingningsfrekvens: k m YS-MEK

3 ccess number: I hvilket tilfelle er tuspenningen større? Snordrget i tu 1 er større enn i tu 2 Snordrget i tu 1 er like stort som i tu 2 Snordrget i tu 1 er mindre enn i tu 2 YS-MEK

4 Newtons tredje lov: Enhver virkning hr lltid og tilsvrende en motvirkning, eller den gjensidige påvirkning v to legemer på hverndre er lltid lik, og motstt rettet. fr A på B = fr B på A Newtons tredje lov forbinder krefter mellom legemer: Hvis jeg dytter på veggen, dytter veggen tilbke på meg med like stor krft. essensiell for å beskrive systemer som består v flere legemer krefter kommer i pr: krft og motkrft kreftene i pret virker på forskjellige legemer YS-MEK

5 Eksempel: En kloss ligger i ro på bkken. N fr J på K Oppskrift: kloss tegn lle legemer som seprte systemer finn lle krefter på lle objekter W fr K på J uttrykk kreftene som A på B finn krft motkrft pr sjekk: hver krft hr en unik motkrft W fr J på K jorden N fr K på J YS-MEK

6 Eksempel N fr B på A 2 stblete klosser N fr J på B A B W fr J på A W fr A på J W fr B på J N fr A på B jorden W fr J på B Vi hr neglisjert grvitsjon mellom kloss A og B. N fr B på J Vnligvis skiller vi mellom system og omgivelse og tegner bre krefter som virker fr omgivelsen på systemet. YS-MEK

7 Eksempel: Mnn som går W og N er ikke et krft-motkrft pr. bevegelse fremover på grunn v friksjonskrft: mnnen dytter jorden bkover jorden dytter mnnen fremover YS-MEK

8 YS-MEK Eksempel: En bil dytter en lstebil med konstnt krft. kinemtisk betingelse: biler er i kontkt v v v L x x A B A B A B N2L for A: B påa m g m N m x A x A A y A y A W A N A B på A x y B W B N B A på B N2L for B: A påb m g m N m x B x B B y B y m m x B A B A på B påa ) ( System oppfører seg som ett legeme med msse m A +m B Vi trenger ikke se på indre krefter, bre på krefter mellom systemet og omgivelsen. N3L: = fr A på B fr B på A

9 ccess number: En kvinne trekker med = 1 N i en 6-kilos eske som igjen er forbundet med en 4-kilos eske med et lett tu. Begge tuene forblir strmm og overflten er friksjonsfritt. Smmenliknet med 6-kilos esken er 4-kilos esken: utstt for en større netto krft. utstt for smme netto krft. utstt for en mindre netto krft. YS-MEK

10 v1 v ; tuene forblir strmm vi ser bre på horisontle krefter: m 1 = 4 kg m 2 = 6 kg T T = 1 N x x tuspenning T: T 1 m T m2 m m ) ( 1 2 ( m m 1 2) T m 1 T m m m N T 6 N YS-MEK

11 Bevegelse i to og tre dimensjoner YS-MEK

12 Bevegelsesdigrm i to dimensjoner bevegelsen er todimensjonl, vi kn beskrive posisjon med: r t = x t i + y t j = x(t) y(t) med enhetsvektorer i, j i i = j j = 1 i j = posisjon i tre dimensjoner: r t = x t i + y t j + z(t)k = x(t) y(t) z(t) med enhetsvektorer i, j, k i i = j j = k k = 1 i j = j k = k i = YS-MEK

13 todimensjonl bevegelsesdigrm: vi nlysere bevegelsen videre: hstighet? kselersjon? vi kn se på x(t) og y(t) hver for seg r t = x t i + y t j = x(t) y(t) hstighet og kselersjon i x og y retning: v x t = d dt x t, v y t = d y t dt v t = v x t i + v y t j = v x(t) v y (t) x t = d dt v x t, y t = d dt v y t t = x t i + y t j = x(t) y (t) YS-MEK

14 s v v 1 v v 1 v 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s v(t i ) r t i+1 r(t i ) t (t i ) v t i+1 v(t i ) t YS-MEK

15 hstighetsvektor: v t = lim t r t + t r(t) t = dr dt = d dt x t i + y t j + z(t)k = dx dt i + dy dt j + dz dt k = v x t i + v y t j + v z (t)k hstighet: v(t) frt: v t = v(t) kselersjonsvektor: t = lim t v t + t v(t) t = dv dt = d dt v x t i + v y t j + v z (t)k = dv x dt i + dv y dt j + dv z dt k = x t i + y t j + z (t)k YS-MEK

16 Bevegningsligninger i tre dimensjoner vi ntr t vi kjenner (t) og r, v kkurt de smme som i én dimensjon bre t vi må bruke vektorer og det er gyldig for hver komponent YS-MEK

17 ccess number: En pendel svinger fr punkt P til punkt R. Hvilken pil ngir retningen på kselersjonen til pendelloddet i punktet Q (det lveste punktet i bnen)? Pil #1 Pil # Pil #3 Pil #4 P #1 #2 Q #3 R #4 YS-MEK

18 ccess number: En pendel svinger fr punkt P til R og tilbke. Hvilken pil ngir retningen på kselersjonen til pendelloddet i punktet P (punktet lengst til venstre i bnen)? Pil #1 Pil #2 Pil #3 #1 # Pil #4 Pil #5 kselersjonen i P er null P #5 #4 #3 Q R YS-MEK

19 Sklrer og vektorer sklr: størrelse, men ingen retning eksempel: msse, tempertur, lengde, frt,... vektor: størrelse og retning eksempel: posisjon, hstighet, kselersjon, krft,... notsjon: m, T, l, v r, v,, vektorkomponenter: A y y A A x A z x i krtesisk koordintsystem: A = A x i + A y j + A z k = A = A x 2 +A y 2 +A z 2 A x A y A z i = j = k = z Vi kommer å bruke også sfæriske og sylindriske koordintsystemer senere. YS-MEK

20 Regne med vektorer: ddisjon: + b = c b kommuttiv: + b = b + ssositiv: c b c + b + c = + b + c multipliksjon med en sklr: i Mtlb: b = 2 b YS-MEK

21 Sklrprodukt (=indreprodukt) b = b cos α lineær: kommuttiv: + b c = c + b c b = b i komponenter: b = x b x + y b y + z b z x = i, y = j, z = k i Mtlb: = YS-MEK

22 tidssekvenser v vektorer mtriser v: 3d-vektor konstnt over tiden (1x3) mtrise n: ntll tidsskritter sklr r: 3d-vektor evluert ved n tider (nx3) mtrise t: sklr evluert ved n tider (nx1) mtrise r(1,:) første tid (linje) i (nx3) mtrise = 3d-vektor dt: tidsskritt sklr linje i (nx3) mtrise = vektor = vektor + vektor * sklr linje i (nx1) mtrise = sklr = sklr + sklr YS-MEK

23 ccess number: Du kster en bll i en vinkel på 45 i forhold til horisontl. Vi ser bort fr luftmotstnden. Hvilket utsgn er riktig i høyeste punkt på bnen? y A. rt og kselersjon er null. B. rten er på et minimum, men ikke null, og kselersjonen er konstnt. C. rten er null, og kselersjonen er konstnt, men ikke null. D. rten er på et minimum, men ikke null, og kselersjonen øker. x eneste krft: grvitsjon = gj frt: v = v = v x 2 + v y 2 ingen krft i x retning: v x = v,x i høyeste punkt: v y = YS-MEK

24 ri-legeme digrm i 3 dimensjoner Tegn et fri-legeme digrm for den øverste bllen. system: øvre bllen omgivelse: nedre bllen, kret kontktpunkter kontktkrefter: normlkrft fr vegg på bll normlkrft fr nedre bll på øvre bll lngtrekkende krft: grvitsjon system er i ro: ext = N w + N b + G = m = N b N w G YS-MEK