Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Integrasjon.

Transkript

1 De grunnleggende definisjonene L oss strte med følgende prolem: Gitt en ontinuerlig funsjon y = f der f for [, ] Beregn relet A som er vgrenset v grfen til f, -sen, og de to vertile linjene = og = Vi n finne en tilnærmet verdi for relet A ved følgende prosedyre (se figuren til høyre): Del opp -sen i n orte styer med lengder,,,,, n * L være en vilårlig -verdi i Konstruer n retngler der retngel hr grunnlinje f * og høyde ( ) Arelet v dette retngelet er ( *) f f * * * Summen v relene v lle de n retnglene er d tilnærmet li relet A: * ( ) n = A f Det er innlysende t jo smlere retnglene er, jo edre er tilnærmelsen Det er nå rimelig å nt t dersom vi lr n smtidig som lle streningene går mot null, vil summen ovenfor onvergere mot A Mer inngående undersøelser (som er lt for omfttende til t vi sl gjennomføre dem) viser t vår ntelse er orret Denne grensen for summen lles integrlet v f fr til, og srives f ( ) Vi hr ltså t Integrlet v f fr til er n f = lim f ( *) n = Foreløpig hr vi re definert hv vi mener med et integrl Men hvordn eregner vi et integrl? vriel, og vil sl l No en gng sl vi vende tile til relet som vi definerte i innledningen Men nå sl vi l t være fri A være relet som vgrenses v t-sen, grfen til f, og de to rette linjene t = og t = der > Se figuren til høyre A() A t Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø

2 Vi lr nå øe med en liten størrelse D vil relet øe med en liten størrelse A A f f Hvis vi nå lr, sjer to ting Først enytter vi definisjonen v derivert til å sette t A da lim = Dernest er det rimelig å nt t når, n erstttes v = Også her viser en nærmere undersøelse t denne ntelsen er orret Følgelig hr vi t A da lim = = f Vi hr ltså vist den fundmentle smmenhengen: Når A = f t dt, er da = f Med ndre ord: for å finne relet, trenger vi re å finne en eller nnen funsjon A( ) som er sli t da = f Men det er en liten omplisjon: Du n legge til en vilårlig onstnt til A( ), og få den smme funsjonen f fordi onstnten fller ort ved derivsjonen Dette prolemet løses ved å innføre en vilårlig funsjon F( ) som er sli t df = f D er A = F + C Men v figuren er det opplgt t når = lir relet li null, sli t A = F + C = C = F Dermed hr vi t A = F F Nå lr vi øvre grense være istedenfor, og gjeninnfører som fri vriel D hr vi t: Gitt en funsjon f der f når [, ] Det relet som vgrenses v grfen til f, -sen, og de vertile linjene f ( ) = F ( ) F ( ) der F er en vilårlig funsjon som er sli t df = f = og =, er Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø

3 Nå viser det seg t vi hr ru for slie eregninger til mye nnet enn den releregningen som vi innledet med Vi definerer derfor: Gitt en funsjon y = f Det uestemte integrlet v f er f = F der df = f F er en vilårlig funsjon som er sli t Det estemte integrlet v f er f ( ) = F ( ) = F ( ) F ( ) Esempel : Bestem relet som vgrenses v -sen, grfen til y = f =, og linjene = og = 4 Løsning: Vi må først finne en funsjon F( ) som er sli t df = f = Vi ser t enhver funsjon v typen F = + C der C er en onstnt tilfredsstiller dette rvet D er relet estemt ved 4 A = = F ( 4) F ( ) = ( 4 + C) ( + C ) = 8 = 6 4 y y = f = 4 Grunnleggende integrsjonsregler På grunnlg v definisjonene ovenfor n vi sette opp mnge integrsjonsregler L oss t dem i systemtis reefølge Generelle regler for estemte integrl Av definisjonen på estemt integrl som grense for en sum virer reglene nedenfor gnse innlysende: = f f = + c f f f når < c< c Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø

4 Generelle regler for uestemte integrl Den tenien vi enytter for å eregne et uestemt integrl, n rues til å vise t reglene nedenfor gjelder: L c være en onstnt, mens f og g er to funsjoner D gjelder: c f = c f ( + ) = + f g f g Integrsjon v enle funsjoner df der opp disse integrsjonsreglene: Siden f = F = f, n vi rue jente derivsjonsregler til å sette n + = ln + C e e = + C n n+ = + C når sin = cos + C cos = sin + C rctn = + + C = rcsin + C n Den første v disse reglene gjelder for lle verdier v n unnttt for n = Esempel ) og c) nedenfor viser to vitige nvendelser v denne regelen Esempel : Beregn integrlene nedenfor: ) ( + ) ) c) d) 4 ( + ) Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø

5 Løsning: ) ( + ) = [ ] + = + = ( ) ( ) + ( ) = = 6 = = = = = = + + ) c) + 4 ( 4 ) ( ) ( 8 ) 4 = = = = = = + d) = = + + = + + [ ] [ ln ] ( ) ( ) ( ln ln) = + + = + + = + + ln = + ln 7 Oppgve Sustitusjon I utgngspuntet er dette jerneregelen nvendt på integrler Hovedpoenget er t vi ser etter u som er sli t integrnden lir en funsjon v u etter t er erstttet med du en jerne Denne ersttningen gjøres vnligvis ved å sette du u ' = = du u ' Hvis vi nå får et uttry som n integreres, er vi (nesten) i mål Esempel : Beregn integrlene nedenfor: ) sin ( ) ) e c) d) + e) sin cos f) + 4 Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø

6 Løsning: ) Vi ser t når vi deriverer får vi Vi prøver derfor jernen du u = u ' = = = du Integrlet n nå srives sin( ) = sinu du = cos u + C = cos( ) + C ) Vi ser t når vi deriverer får vi du u = u ' = du = = Integrlet n nå srives e = e c) Vi ser t når vi deriverer jernen, og -en hr vi ru for Vi prøver derfor jernen u u u ( du ) = e du e C e C = + = + får vi, og -en hr vi ru for Vi prøver derfor du u = u ' = du = = Integrlet n nå srives = du = ln ln u du = u + C = + C u d) Vi ser t når vi deriverer jernen + får vi, og -en hr vi ru for Vi prøver derfor du u = + u ' = du = = Integrlet n nå srives + = u = = = u + C = u + C = + + C + + du udu u du ( ) e) Her merer vi oss t når vi deriverer sin får vi cos som inngår i integrnden Vi prøver derfor jernen du u = sin u ' = cos du = = cos Integrlet lir nå sin cos = u cos cos du = u + C = sin + C f) Dette minner litt om integrsjonsformelen som gir rctn : rctn = + + C Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø

7 Men for å unne rue denne formelen, må vi sffe oss et -tll som onstntledd i nevneren Det gjør vi sli: = = Nå prøver vi du u = u ' = = = du Integrlet lir nå = = u du = rctn u + C = rctn ( ) + C Du ommer ofte ort i integrler v smme type som i Esempel ) ovenfor Det n derfor være nyttig å løse dem en gng for lle D får vi reglene nedenfor, som du siert lrer å evise selv ved å enytte smme frmgngsmåte som i Esempel ): Når er en onstnt, lir sin cos cos = + C sin = + C e = e + C Oppgve D vi løste integrlene i Esempel, erstttet vi jernen u med den opprinnelige vrielen i sluttsvret Men når vi sl eregne estemte integrl, er dette ie nødvendig Det er ofte enlere å endre grensene for integrsjonen smtidig som vi innfører den nye integrsjonsvrielen u Esemplene nedenfor viser hvordn vi går frm Esempel : Beregn disse estemte integrlene: ) + (se Esempel d) ) sin cos (se Esempel e) Løsning: ) Vi løste integrlet ved å innføre jernen u = +, og fnt t + = u du = u + C Istedenfor å gjeninnføre i dette svret før vi setter inn grensene, n vi enytte t når = er u = + =, og når = er u = + = 5 D lir Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø

8 5 5 udu u + = = = 5 = 5 5 Dette et lettere enn å enytte t + = + = + + = 5 = 5 5 ) Vi løste integrlet ved å innføre jernen u =, sin og fnt t sin cos = u du = u + C Istedenfor å gjeninnføre i dette svret før vi setter inn grensene, n vi enytte t når = er u = sin =, og når = er u = sin ( ) = D lir sin cos = u du = u = ( ) = Dette et lettere enn å enytte t ( ) sin cos sin = sin sin = = = Oppgve Bjørn Dvidsen, Universitetet i Tromsø