Kapittel 15 ANDREGRADSLIGNINGER. Arealet av det ytre kvadratet skal være dobbelt så stort som arealet av bassenget. x =?

Transkript

1 Arelet v det ytre vdrtet sl være doelt så stort som relet v ssenget.?

2 ( 4) ( 4) > 0 Hvis > 4, så ( 4) 4 4 4,44,44 4 9,66 Løsningen n rues dersom > 0. 9,66 n rues. 9,66 93,3 m 86,60 m

3 ( 4) ( ) Ten. vdrtsetning ( 4) 3 ( ) ( 4) 3 Hvis ( 4) > 0, dvs. hvis > 4, så ( 4) 3 4 5,66 5,66 4 9,66

4 Fullstendige vdrt Figuren er nesten vdrtet ( ). Vi mngler re det lille vdrtet ( ) i øvre høyre hjørne. ( )?

5 Figuren er nesten vdrtet ( ). Vi mngler re det lille vdrtet ( ) i øvre høyre hjørne. Vi setter det inn (fullfører vdrtet) og ser t ( ) ( ) ( )

6 Det hvite mindre vdrtet til høyre er vdrtet ) (. Det er smtidig li ) (. Vi hr ddert det lille vdrtet ) ( én gng fordi (som er li ) sutrherer det to gnger. Dette gir t: ) ( ) ( ) ( HALVERE, KVADRERE, ADDERE ) ( ) ( ) ( ) (

7 Vi utleder en formel for å løse ndregrdsligninger 0 c Vi dividerer egge sidene på. 0 c Ten. vdrtsetning: ( ) ) ( 4 c c 0 c c 4 ) ( fortsetter på neste side

8 Først sl vi se hvordn utledningen lir når vi forutsetter t ( ) < 0 c ( ) 0 4 (negtivt) positivt c ( ) 4 ( ) 4 c c 4 4 c c 4 4 c 4 4 4c 4 4c 4 4 4c 4c 4c 4c

9 Det smme resonnementet lir sli når vi forutsetter t ( ) > 0 c ( ) 0 4 c ( ) 4 4 c c 4 4 c 4 4 4c 4 4c 4 4c 4 4c 4c 4c

10 Andregrdsformelen 4c c 0 ± 4c 4c

11 c 0 ± 4c Formelen ør du huse selv om den står i formelsmlingen , 4 og c 6 4 ± 4 4 ( 6) 4 ± ± ± Kontroll: ( 3) 4 ( 3)

12 Algoritme for å løse ndregrdsligninger Ordne ligningen sli t den ommer på formen c 0 List oeffisientene (, og c) sli: c 3 Sett -, - og c-verdien inn i formelen og eregn og. ± 4c

13 Et ordt sier ingen regel uten unnt. Nå sl vi se på et pr ndregrdsligninger som ie hr to løsninger. Først ser vi på ligningen c 0 6 c 9 ± 4c ( 6) ± ( 6) 4 9 ( 6) ± 0 6 ± Her får vi re én løsning, og lir egge li 3, og vi n onludere sli: 3

14 Den neste ligningen som ie hr to løsninger, er c 0 6 c 0 ± 4c ( 6) ± ( 6) 4 0 ( 6) ± 4 Her får vi prolemer, vi n ie t vdrtrot v det negtive tllet 4. Konlusjonen må derfor li t denne ndregrdsligningen ie hr noen løsning. Ligningen hr ingen løsning.

15 Algeris n vi oppsummere de siste esemplene sli: c 0 ± 4c Det som estemmer ntll løsninger, er verdien under rottegnet, dvs. verdien 4c Hvis 4c er større enn 0, får vi to forsjellige løsninger og. Hvis 4c er 0, lir det ingen forsjell på og, og vi hr re én løsning. Hvis 4c er negtiv, hr vi ingen løsninger. Vi n ie eregne vdrtrot v en negtiv verdi. Dersom 4c > 0, hr ligningen røtter. Dersom 4c 0, hr ligningen rot. Dersom 4c < 0, hr ligningen 0 eller ingen røtter.

16 Andregrdsligninger uten førstegrdsledd c 0 c : c Ligningen hr røtter (løsning) hvis c dvs. hvis > 0. Røttene er d c er en positiv verdi, c c

17 Andregrdsligninger uten onstntledd 0 er felles ftor i egge leddene på den venstre siden. Derfor n vi omsrive ligningen sli: ( ) 0 ( ) n være 0 på to måter, hvis 0 og hvis 0. 0 er en førstegrdsligning som vi n løse sli: 0 : En ndregrdsligning på formen 0 hr følgelig de to løsningene: 0

18 Det gylne snittet Kon til Pytgors, Theno, srev en vhndling om en spesiell deling v et linjestye. Ettertiden hr lt delingspuntet for det gylne snittet (the golden men).. c 0 ( ) ) ( 4 ) ( ) ( ± ± ± 0, , , Φ

19 Det gylne snittet Desimlene til Φ hr ni liv. (, ), Φ Φ 0, , Φ Φ 0, , , Φ Φ Φ 0

20 Tllet Φ 0, duer opp i mnge forsjellige smmenhenger : 5 9,4 5 5 : 47, : 5, : 99, : 5, : 50, : 40, : 65, : 05, : 703, : 755, : 4458, : 73,680

21 Dersom vi egynner med to ettll, nærmer vi oss Φ, sli: : : 3 3 :,5 5 5 : 3, : 5,6 3 3 : 8,65 : 3, :, : 34, : 55, : 89, : 44,680 Den siste tllfølgen,,, 3, 5, 8, 3, osv. er erømt og lles ofte Fioncci-følgen etter mtemtieren Leonrdo fr Pis (c ). Leonrdo fr Pis le også lt Fioncci som ommer v ltin filius Boncci som etyr sønn v Boncci". Fioncci-følgen er interessnt fordi den duer opp i mnge forsjellige smmenhenger, åde når vi edriver ren mtemti og når vi studerer nturen rundt oss. Bru litt tid på nettet for å få vite mer om det.

22 Hvilen oling finner du mellom Fioncci-følgen og det gylne snittet i listen under, og hv n listen rues til? Φ Φ Φ 3 4 Φ Φ 3Φ Φ Φ 5 6 5Φ 3 8Φ 5 Φ 7 3Φ 8 osv.

23 Fioncci introduserte indise sifre (de vi ruer i dg) og titllsystemet. Det gjorde hn i o Lier ci som etyr o om lulsjon. Bo om ut i 0 d det vr vnlig å rue romertll. 400 år tidligere, rundt år 800, introduserte l-khuwãrizmi fr Bgdd indise sifre og titllsystemet for å få et edre tllsystem enn de lssise grese systemene.

24 Mnge unstnere lier å lee med tllfølger. På nettet finner du mye to- og tredimensjonl unst som tr utgngspunt i Fioncci-følgen. Se på noe v den. I onstrusjonen under hr unstneren rut tllfølgen,,, 3, 5, 9, 7, som modell. Etter tre ettll er hvert tll summen v de tre siste tllene forn.

25 Med linjl og psser finner vi det gylne snittet sli: På vestfronten v Nidrosdomen i Trondheim, ser vi lett to gylne snitt, ett fr middellderen og ett fr det forrige århundret:

26 Lier vi retnglet over edre enn for esempel:?

27 Gyllen trent eller gyllent tringel: Lengden v de to lie sidene er Φ gnger så lng som grunnlinjen. Vis t det er sli. Det er trenten over vi ller gyllen selv om trenten til høyre også hr gylne mål. Hvile?

28 Litt pentgon-sjonglering: Er det noe system her?

29 Sissen til høyre er tegnet v mleren, illedhuggeren, riteten, diteren, musieren, teneren og vitenspsmnnen Leonrdo d Vinci (45 59). I denne sisssen, som vr ment å vise en del idelmål for menneseroppen, plsserte hn nvlen sli t den delte høyden i det gylne snittet. Hvor seriøst sl vi t dette i dg? Mnge hr lett etter interessnte mål på pyrmidene i Egypt. Sissene til høyre viser noen resultt.

30 Gitt et gyllent retngel. Vi lger en forminset opi sli t lengden i opien er li redden i originlen og plsserer opien i den høyre enden v originlen. Påstnd: Den venstre delen v det opprinnelige retnglet er et vdrt.