TMA4100 Matematikk1 Høst 2008

Transkript

1 TMA4 Mtemtikk Høst 8 Norges teknisk nturvitenskpelige universitet Institutt for mtemtiske fg Løsningsforslg Øving Gjennomsnittet v f(x) = x på intervllet [, ] er lik relet A under grfen dividert på lengd v intervllet. Ved å dele intervllet i fire deler [, /], [/, ], [, /] og [/, ] og evluere f i midtpunkt /4, /4, 5/4 og /4 får ein følgjnde tilnærming v A A f( 4 ) + f( 4 ) + f(5 4 ) + f( 4 ) = 8. Lengd v intervllet er lik = så v(f) A = 6. 5.:4 Norm v ei prtisjonering er lik den største breidd v delintervll. Breiddene v delintervll er lik; Norm v prtisjonering er lik.. x =.6 ( ) =.4 x =.5 (.6) =. x = (.5) =.5 x 4 =.8 =.8 x 5 =.8 = P k= c k x k = x dx P k= (tn c k ) x k = π/4 (tn x)dx. 5.. ) f(x)dx = f(x)dx = () =. 6. september 8 Side v

2 Løsningsforslg Øving 6 b) c) d) e) f) (f(x) + h(x))dx = (f(x) h(x))dx = 9 f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx f(x)dx h(x)dx = = 9. h(x)dx = 5 4 =. f(x)dx = () =. f(x)dx = 5 = 6. 9 (h(x) f(x))dx = (h(x) f(x))dx = ( = (4 5) =. h(x)dx f(x)dx) = 5.:4 Av regel 4 i teorem på side 6 får ein v(f + g) = b = b f(x) + g(x) dx = ( f(x) dx + b f(x) dx + b Av regel i teorem på side 6 får ein v(kf) = b kf(x) dx = k b Av regel i teorem på side 6 får ein v(f) = b g(x) dx = v(f) + v(g). ( f(x) dx = k b f(x) dx b g(x) dx = v(g). ) g(x) dx ) f(x) dx = k v(f) Vi deler opp intervllet [, π/] i n like store deler, dvs. [, π/(n)], [π/(n), π/(n)], [π/(n), π/(n)],..., [(n )π/(n), nπ/(n) = π/]. Vi ser på et vilkårlig intervll som vist på tegningen nedenfor. 6. september 8 Side v

3 Løsningsforslg Øving 6 L = (i )π/(n) og b = iπ/(n). Arelet v dette rektngelet er (π/(n)) sin(iπ/(n)), og vi kn summere lle slike rektngler fr i = til i = n, dvs. U = (π/(n)) sin(iπ/(n)) = (π/(n)) i= Vi bruker formelen oppgitt i oppgv, og får dermed U = (π/(n))( sin(iπ/(n)). i= cos(π/(4n)) cos((n + /)(π/(n))) ) = sin(π/(4n)) cos(π/(4n)) cos(π/ + π/(4n)) (π/(n))( ). sin(π/(4n)) Vi ønsker ltså nå å finne grenseverdien til dette utrykket når n. cos(π/ + π/(4n)) (π/(n))(cos(π/(4n)) ) = sin(π/(4n)) cos(π/ + π/(4n)) = π (cos(π/(4n)) ). 4n sin(π/(4n)) L oss først se på grenseverdien v uttrykket under brøkstreken. Sett y = (π/4n), dvs. t n = (π/4y). Dette gir oss følgende. π (4n sin(π/4n)) = 4(π/4y) sin(y) = sin(y) = + +(π/y) y cos(π/ + π/(4n)) (cos(π/(4n)) 4n sin(π/(4n)) y = π sin(y) = π = π. y +(/y) ) = π cos(π/(4n)) cos(π/ + π/(4n)) 4n sin(π/(4n)) = cos(π/(4n)) cos(π/ + π/(4n)) = cos cos(π/) = + =. = 6. september 8 Side v

4 Løsningsforslg Øving π ( + cos x)dx = π π dx + cos xdx = π + [sin x] π = π + (sin π sin) = π Vi vil finne d x dx ( cos t dt). Merk t integrlet går fr til x, så y er smmensetningen v funksjonene y = u cos t dt og u = x, så vi må bruke kjerneregelen. Vi hr t dy dx = dy du du dx = ( d du u cos t dt) du dx = cos u x = x cos x Først regner vi ut relet under y = sin x ved integrlregning. 5π/5 π/6 sin x dx = [ cos x] 5π/6 π/6 = ( cos(5π/6) ( cos(π/6))) = / + / =. Vi trekker så ifr relet v det hvite rektngelet under området vi skl regne ut relet v (det hvite) [se tegning i bok]. Dette rektngelet hr rel ((5π/6) (π/6)) sin(π/6) = π/ (/) = π/. Dermed får vi t relet er π/. 5.4:8 ) L = x < x < < x n = b vere ei vilkårleg prtisjonering v [, b]. Då får ein; ( F (xi ) F (x i ) ) = F (x ) F (x ) + F (x ) F (x ) + F (x ) F (x ) + i= + F (x n ) F (x n ) + F (x n ) F (x n ) = F (x ) + F (x n ) = F (b) F (). b) Av middelverdisetning på side 4 får ein F (x i ) F (x i ) x i x i = F (c i ) for ein x i < c < x i. Sidn F (x) = f(x) får ein ved å multiplisere begge sider med x i x i Av dette får ein F (b) F () = F (x i ) F (x i ) = f(c i )(x i x i ). [F (x i ) F (x i )] = i= f(c i )(x i x i ) = i= f(c i ) x i der x i = x i x i. P = {x, x,..., x n } er ein prtisjonering v [, b] og sidn kvr c i ligg i intervllet [x i, x i ] er F (b) F () = n i= f(c i) x i ein Riemnnsum for f på [, b]. i= 6. september 8 Side 4 v

5 Løsningsforslg Øving 6 c) L S P = n i= f(c i) x i betegne Riemnn summen v f på intervllet [, b] med ein prtisjon P = {x =, x,..., x n = b}. Sidn f er kontinuerleg på [, b] følger v theorem på side 4 t det bestemte integrlet over [, b] finnes og S P = P f(x) dx. Av b) følgjer t S P = n i= f(c i) x i = n i= [F (x i) F (x i )] og ) gir t S P er lik F (b) F () for lle prtisjonr P. Vi får difor F (b) F () = P i= [F (x i ) F (x i )] = P S P = f(x) dx (y 4 + 4y + ) (y + y). Setter u = y 4 + 4y +, så du = 4y + 8y dy = 4(y + y) dy, og dermed er (y + y) dy = (/4) du. (y 4 + 4y + ) (y + y) dy = u (/4) du = u du = = (/)u + c = u + c = (y 4 + 4y + ) + c ( + x) x dx. Sett u = + x, så du = x dx, og dermed er x dx = du. ( + x) dx = x u du = (/4)u 4 + c = (/)( + x) 4 + c x x + dx Sett u = x +, så u = x + og dermed er u du = x dx, dvs. u du = x dx. Merk også t x = u. x x + dx x x + x dx = (u )u u du = u 4 u du = (/5)u 5 (/)u + c = (/5)( x + ) 5 (/)( x + ) + c 6. september 8 Side 5 v

6 Løsningsforslg Øving 6 5.5:68 Ved å bruke t = sin x + cos x får ein tn x Sidn C = C + C = sin x cos x + C = cos x cos x + C = cos x + C. er ein konstnt og sec x = cos x tn x + C = sec x Begge integrsjonne i oppgåv er korrekte. får ein + C For enkelhets skyld, regner vi først ut det ubestemte integrlet før vi evluerer. Sett u = + v /, så du = (/)v / dv, og dermed er v dv = (/) du. v ( + v / ) dv = (/)du = (/) u u du = ) b) = (/) (/( + ))u + c = ( /) ( + v / ) + c. v ( + v / ) dv = [( /) ( + v / ) ] = = (( /) + / (( /) )) = ( /6) + (4/6) = /6 = /. + / 4 v ( + v / ) dv = [( /) ( + v / ) ]4 = = (( /) + 4 / (( /) )) = + / = ( /) + (/) (/) = ( /) + (/6) = (/). + 4/ / t sin ( + t ) dt. Sett u = + t = + t, og vi får du = t dt og dermed er t dt = du. / cos u t sin ( + t ) dt = sin u du = du = (/) ( cos u) du = (/) sin u du = du (/) cos u du = = [(/)u (/4)(sin u)] = ((/)() (/4) sin( )) = (/)+(/4) sin( ). 6. september 8 Side 6 v

7 Løsningsforslg Øving x dx Sett u = x så du = dx, og dermed er dx = (/) du. x dx = du = [ln u ] 5 = ln ln 5. 5 u 6. september 8 Side v