dy ycos 2 y = dx. Ved å integrere på begge sider av likhetstegnet får man ved å substituere u = y,du = dy dy ycos 2 y = 2du cos 2 u = x.

Transkript

1 NTNU Institutt for mtemtiske fg TMA Mtemtikk høsten 2 Løsningsforslg - Øving 7 Avsnitt 6.5 ) En hr t y = e, så 2y +y = 2e +e = e. b) En hr t y = e 2 e (/2), så 2y +y = 2e e (/2) +e +e (/2) = e. c) En hr t y = e 2 Ce (/2), så 2y + y = 2e Ce (/2) + e + Ce (/2) = e. Differensilligningen er seprbel. Ved å smle y-leddene og -leddene på hver sin side v likhetstegnet får mn ligningen dy ycos 2 y = d. Ved å integrere på begge sider v likhetstegnet får mn ved å substituere u = y,du = dy 2 y : dy ycos 2 y = 2du cos 2 u =. d Siden sec = cos og d d (tn) = sec2 (s. 6) gir fundmentlsetningen for klkulus t = 2tn y +C. 5 ) L H(t) være temperturen v suppen etter tid t og H S = 2 være temperturen i rommet. Først må mn finne konstnten k. Ved å bruke ligning 9 på side 27 med H = H() = 6, H = H() = 9 og t = gir dette H() H S = (H() H S )e k 6 2 = (9 2)e k 7 = e k. Ved hjelp v logritmen får mn t k = ln 7 = ln 7. Neste steg er å finne tidspunktet t slik t H(t ) = 5. Ved å bruke ligning 9 på side 27 får mn H(t ) H S = (H() H S )e kt 5 2 = (9 2)e kt t = k ln 5 7 = k ln. lfov7 6. oktober 2 Side

2 TMA Mtemtikk høsten 2 Ved å sette inn k = ln 7 får mn t = ln 7 ln = ln 7 ln 27.5 Tiden det tr for suppen å kjølne fr 6 til 2 grder er derfor 27.5 = 7.5 minutt. b) Konstnten k er den smme som i forrige oppgve. L t 2 være tidspunktet d suppen er H(t 2 ) = 5 grder og l H S = 5. Ved å bruke ligning 9 på side 27 får mn H(t 2 ) H S = (H() H S )e kt 2 5 ( 5) = (9 ( 5))e kt 2 t 2 = k ln Det tr med ndre ord.26 minutt for suppen å kjølne fr 9 til 5 grder i en fryser med tempertur -5 grder. Avsnitt 6.6 Definisjon på side gir Work = b F()d, hvor F() er krften i punktet [,b]. L b være høyden v sylinderen før kompresjon, og høyden etter kompresjon. Trykket p er vhengig v volumet i beholderen. Siden grunnflt er konstnt, kn p derfor skrives på formen p(v) = p(a), der er høyden på beholderen. Ved hjelp v hintet i oppgven og substitusjonsformelen på side 6 med V() = A, V () = A gir dette Work = b F()d = b p(v())ad = b p(a)ad = V(b) V() p(v)dv = V2 V pdv. 2 Siden pv. = k, kn vi definere trykket p som en funksjon v V ved formelen p(v) = k V. = kv.. Ved å bruke p = 5 og V = 2 får mn t k = Integrlet i oppgve 6.6. gir t rbeidet utført ved å komprimere gssen fr tilstnd (p,v ) til (p 2,V 2 ) er gitt ved Work = V2 V p(v)dv = To elektroner frstøter hverndre med krft [ kv. dv = 5 2. ] 2. V. F = 2 29 r 2 N, 2 = der r er vstnden mellom elektronene. Vi får t rbeidet utført ved å redusere vstnden mellom to elektroner fr r til r 2 i bsoluttverdi er lfov7 6. oktober 2 Side 2

3 TMA Mtemtikk høsten 2 r2 Work = 2 29 r 2 dr = 2 29 r [ r ] r2 r = 2 29 r r 2. ) Her skl vstnden mellom to elektroner reduseres fr 2 m til m. Vi får t rbeidet utført er lik 2 29 ( 2 ) =.5 29 J. b) Her skl vstnden mellom elektron og elektron reduseres fr 6 m til m og vstnden mellom elektron 2 og elektron reduseres fr m til 2 m. Arbeidet utført blir lik 2 29 ( 6 )+2 29 ( 2 ) = 2 29 J. Avsnitt 6.7 Løser oppgven ved å bruke vertikle remser. Kurvene y = 2 og y = hr skjæringspunkt i = og = 2. L være et vilkårlig punkt i intervllet [,2]. D er M, M og M y er gitt ved (,ỹ) = (, 2 ( 2 +( ))) = (, 2 2 ) Lengde = 2 ( ) = 2 2 Bredde = d Arel = da = (2 2 )d Msse = dm = δda = δ(2 2 )d M = M y = dm = δ ỹ dm = δ 2 dm = δ (2 2 )d = δ ( 2 )(2 2 )d = δ 5 (2 2 )d = δ Pltens mssesentrum er dermed (,ȳ) = ( M y M, M M ) = (, 5 ). 7 Løser oppgven ved å bruke vertikle remser. L være et vilkårlig punkt i intervllet [, 6]. D er (,ỹ) = (, 2 ) Lengde = Bredde = d Arel = da = d Msse = dm = δ()da = d lfov7 6. oktober 2 Side

4 TMA Mtemtikk høsten 2 M, M og M y er gitt ved M = M y = dm = ỹ dm = dm = d = [ln]6 = ln6 [ ] 6 = 2 d = /2 d = 6 Pltens mssesentrum er dermed Vi hr t (,ȳ) = ( M y M, M M ) = ( 5 ln6, ln6 ). M, M og M y er gitt ved (,ỹ) = (,y) dm = δds M = M y = dm = δ ds = δ lengde ỹ dm = δ y ds dm = δ ds Koordintene til sentroiden er dermed (,ȳ) = ( M y M, M M ) = ( ds lengde, y ds lengde ). 2 Løser oppgven ved å bruke vertikle remser. Kurvene y = 2 /(p) og y = hr skjæringspunkt i = ±2 p. L være et vilkårlig punkt i intervllet [ 2 p,2 p]. D er (,ỹ) = (, 2 (+ 2 p )) Lengde = 2 p Bredde = d Arel = da = ( 2 p )d Msse = dm = δda = δ( 2 p )d lfov7 6. oktober 2 Side

5 TMA Mtemtikk høsten 2 M og M er gitt ved M = 2 p dm = δ ỹ dm = 2 p 2 p 2 p 2 p 2 8δ p d = 2 2 (+ )δ( p p )d = δ 2 2 p 2 p 2 6p 2 d = 8δ2 p 5 Sentroidens y-koordint er dermed ȳ = M 8δ2 5 p 8δ p = 5. Avsnitt 7. L u = 2 og v = cos. Ved å bruke delvis integrsjonsformelen på side 7 får mn 2 sind = 2 cos 2( cos)d. Ved smme fremgngsmåte får mn ved å sette u =, v = sin t 2 cos = 2sin 2 sind = 2sin+2cos+C. Ved å sette smmen de to uttrykkene får mn t 2 sind = 2 cos+2sin+2cos+c. 7 Gjennomsnittsverdien v y på intervllet [, 2π] er gitt ved Vi ser på integrlet v = 2π 2π 2π 2e t costdt. e t costdt. L u = e t og v = sint. Ved å bruke delvis integrsjonsformelen på side 9 får mn [ e t sint ] 2π 2π e t sintdt = 2π e t sintdt. Ved smme fremgngsmåte får mn ved å sette u = e t og v = cost t Det følger t 2π e t sintdt = [ e t cost ] 2π 2π 2 ( e 2π ). e t costdt = e 2π I. Dermed er v = π 2π ( e 2π ). lfov7 6. oktober 2 Side 5

6 TMA Mtemtikk høsten 2 Formel () gir tn d = tn tny dy, der y = tn. Ved å bruke tny = siny cosy, og substitusjonen u = cosy, du = siny dy, får mn siny tnydy = cosy dy = u du = ln u +C = ln cosy +C = ln cos(tn ) +C. I siste likhetstegnet er det brukt t y = tn. Uttrykket cos(tn ) kn forenkles ved hjelp v følgende rgument: Betrkt en rettvinklet treknt (f.eks. på side 2 i lærebok) hvor hypotenus hr lengde. L motstående (opposite) ktet h lengde o og hosliggende ktet (djcent) lengde. Velg o og slik t o =. D er tn = θ, hvor θ er vinkelen mellom hypotenus og hosliggende ktet. Ved å bruke dette og t cosθ = djcent hypotenuse får mn cos(tn ) = cosθ = =. Pytgors og o Derfor får vi = gir t o = o2 2 + = 2 = 2 +. cos(tn ) = = 2 + = (+2 ) /2. Integrlet tn d kn uttrykkes som tn d = tn +ln cos(tn ) +C = tn +ln(+ 2 ) /2 +C = tn 2 ln(+2 )+C. 9 ) sinh d = sinh sinhy dy = sinh cosh(sinh )+C Vi sjekker svret ved å derivere I: di d = sinh sinh(sinh ) = sinh. b) sinh d = sinh + 2 d. Ved å substituere u = + 2, du d = 2 får vi t d = du = u 2 2 u+c = + 2 +C. Det følger t sinh + 2 +C. Vi sjekker svret ved å derivere I: di d = sinh = sinh. lfov7 6. oktober 2 Side 6

7 TMA Mtemtikk høsten 2 Eksmensoppgver 2 L v(t) betegne plttformens hstighet ved tidspunkt t, der v(t) er målt i km/time og t er målt i timer med t = idet slepewiren ryker. dv VET: dt = kv2, v() =, v( 2 ) = 8 Vi løser differensillikningen ved seprsjon v vribler. dv v 2 = k dt v = kt+c v(t) = kt C v() = C = C = og v(t) = kt+. v( 2 ) = k 2 +. = 8 k = og v(t) =.t+. Vi hr derfor t v(t) =.5 når.t+. =.5, dvs. når t = 9 timer 6.timer. Tilbkelgt strekning: 9/ v(t)dt = 9/ dt.t+. = [ ] 9/ ln(t+) = ln2km 9.99km lfov7 6. oktober 2 Side 7