Numerisk Integrasjon

Transkript

1 Numerisk Integrsjon Anne Kværnø Mrch 1, Problemstilling Vi skl ltså finne en numerisk tilnærmelse til integrlet for en gitt funksjon f (x). I(, b) = f (x)dx Teknikken vi skl diskutere klles numeriske kvdrtur, disse er på formen Q(, b) = n w i f (x i ) i=0 der punktene x i klles noder og w i vekter. Og vi ønsker ltså t I(, b) Q(, b). Trpesregelen, midtpunkt-regelen og Simpsons regel er lle kjente eksempler på slike formler. I dette nottet skl vi se mer generelt på hvordn slike kvdrturformler kn konstrueres, hvordn mn kn finne et estimt for feilen i kvdrtueret, og hvordn dette kn settes smmen til en lgoritme som gir et tilnærmelse til løsningen med en nøyktighet som er mindre eller omtrent lik en oppgitt tolernse. Kvdrturformler bsert på polynominterpolsjon. Velg et sett med noder x i, i = 0,..., n på intervllet [, b]. Interpolsjonspolynomet til f (x) gjennom disse nodene er gitt ved 1

2 der krdinlfunksjonene l i (x) er gitt ved n p n (x) = f (x i )l i (x) i=0 l i (x) = n j=0,j =i x x j x i x j, se nottet om polynominterpolsjon. D kn vi bruke integrlet v p n (x) som en tilnærmelse til integrlet v f (x), dvs I(, b) = f (x)dx p n (x)dx = n n f (x i ) l i (x)dx = w i f (x i ) = Q(, b) i=0 i=0 Definisjon: Presisjonsgrd Et numerisk kvdrtur hr presisjonsgrd d dersom Q(, b) = I(, b) for lle polynomer v grd d eller mindre. Eksempler 1. Trpesmetoden er bsert på nodene (, b), og blir Presisjonsgrden finner vi ved: T(, b) = b ( f () + f (b)). f = 1, I(, b) = b, T(, b) = b, (1) f = x, I(, b) = b, T(, b) = b, () f = x, I(, b) = b3 3, T(, b) = (b )(b + ), 3 (3) så trpesmetoden hr presisjonsgrd 1.. På intervllet [ 1, 1], velg noder ± (3)/3. Dette gir kvdrturformelen ( ) ( ) 3 3 Q( 1, 1) = f + f. 3 3 Denne hr hr også presisjonsgrd 3 (vis det selv).

3 Jo høyere presisjonsgrd, jo bedre kvdrtur. Alle kvdrturformler bsert på polynominterpolsjon i n + 1 noder vil utomtisk h presisjonsgrd minst n, men bedre resultt er som vi hr sett mulig. I prksis vil vi utvikle slike formler på et stndrdintervl [ 1, 1] for deretter å flytte disse over til intervllet [, b]. Eller vi bruker smmenstte formler: Prtisjoner intervllet [, b] i N pssende delintervller = X 0 < X 1 < < X N = b og nvend en kvdrturformel på hvert delintervll: f (x) = N 1 Xk+1 f (x)dx k=0 X k N 1 Q(X k, X k+1 ). k=0 Oppsummert: 1. Velg noder på stndrdintervllet [ 1, 1].. Finn kvdrturformelen Q( 1, 1) ved å integrere interpolsjonspolynomet. 3. Flytt dette til et tilfeldig intervll [, b] Q(, b). 4. Forutstt t feilen E(, b) = I(, b) Q(, b) C(b ) p for en gitt p er det også mulig å finne et feilestimt. Det kn brukes til å konstruere en lgoritme som utomtisk gir en pssende prtisjonering v intervllet. L oss gå gjennom hele denne prosessen med et velkjent eksempel:.1 Simpsons metode Stndrdintervll [-1,1]: Vi strter med å finne en tilnærmelse til 1 1 f (t)dt. Velg nodene t 0 = 1, t 1 = 0 og t = 1. Dette gir oss krdinlfunksjonene l 0 = 1 (t t), l 1 (t) = 1 t, l (t) = 1 (t + t). som igjen gir vektene w 0 = slik t 1 1 l 0 (t)dt = 1 3, w 1 = 1 1 l 1 (t)dt = 4 3, w = 1 1 l (t)dt = f (t)dt 1 1 p (t)dt = w i f (t i ) = 1 [ f ( 1) + 4 f (0) + f (1) ]. 3 i=0 3

4 Simpsons metode hr presisjonsgrd 3 (sjekk det selv). Eksempel: 1 1 cos ( ) πt dt = 4 π 1 3 [cos( π/) + 4 cos(0) + cos(π/)] = 4 3. Over til intervllet [,b]: Resulttet fr stndrdintervllet flyttes til et intervll [, b] ved trnsformsjonen Husk t d blir dx = (b )/ dt. Det betyr t x = b t + b +. f (x)dx = b 1 1 f ( b t + b + ) dt b [ 6 ( b + f () + 4 f ) ] + f (b). Så Simpsons formel over et intervl [, b] er S(, b) = b 6 ( f () + 4 f (c) + f (b) ), c = b +. (Det er vnlig prksis å bruke S i stedet for Q i dette tilfellet.) Smmenstt Simpsons metode Del intervllet [, b] inn i m like store intervller v lengde $ h = (b-)/(m)$. L x j = + jh, i = 0,, m, og nvend Simpsons formel på hvert delintervll [x j, x j+) ]. Det resulterer i f (x)dx = = = h 3 m 1 xj+ m f (x)dx S(x j, x j+ ) (4) j=0 x j j=0 m 1 j=0 [ h [ f (xj ) + 4 f (x j+1 ) + f (x j+ ) ] (5) 3 ] m 1 f (x 0 ) + 4 f (x j+1 ) + j=0 m 1 j=1 f (x j ) + f (x m ) = S m (, b). (6) Den smmenstte formelen, her klt S m (, b), er kjent som Simpsons regel fr Mtemtikk 1. 4

5 .1.1 Implementsjon v smmenstt Simpsons metode In [1]: %mtplotlib inline from numpy import * from mtplotlib.pyplot import * from mth import fctoril newprms = {'figure.figsize': (8.0, 4.0), 'xes.grid': True, 'lines.mrkersize': 8, 'lines.linewidth':, 'font.size': 14} rcprms.updte(newprms) In []: def simpson(f,, b, m=10): # Finner en tilnærmelse til integrlet v funksjonen f # over intervllet [,b] ved bruk v Simpsons metode med m delintervller. n = *m x_noder = linspce(, b, n+1) # Jevnt fordelte noder fr til b h = (b-)/n S1 = f(x_noder[0]) + f(x_noder[n]) S = sum(f(x_noder[1:n:])) # S = f(x_1)+f(x_3)+...+f(x_m) S3 = sum(f(x_noder[:n-1:])) # S3 = f(x_)+f(x_4)+...+f(x_{m-1}) S = h*(s1 + 4*S + *S3)/3 return S 3 Testing Test om koden er korrekt: Simpsons metode vil integrere.grdspolynomer ekskt. f.eks. f (x) = 4x 3 + x + x 1. Vis t f (x)dx = 18. Sjekk om koden gir rett svr. 1 In [3]: # Definerer funksjonen def f(x): return 4*x**3+x**+*x-1 I_ekskt = 18.0 # Bruker Simpsons smmenstte metode for å tilnærme integrlet S = simpson(f, -1,, m=1) feil = I_ekskt-S print('i = {:.8f}, S = {:.8f}, feil = {:.3e}'.formt(I_ekskt, S, feil)) I = , S = , feil = 0.000e+00 5

6 Numeriske eksperimenter 1. Finn en tilnærmelse til π/ 0 cos(x)dx. Bruk m = 1,, 4, 8. Finn eksperimentelt hvor stor m må være for t feilen skl bli mindre enn Gjent eksperimentet med integrlet (Ekskt løsning er rctn(3)/4.) x dx Feilnlyse Bruk Tylorutviklinger rundt midtpunktet c = (b + )/. L h = (b )/. Dette gir f (x)dx = h h f (c + s)ds = h h f (c) + s f (c) + 1 s f (c) s3 f (c) s4 f (4) (c) + (7) = h f (c) + h3 3 f (c) + h5 60 f (4) (c) +. (8) Hvert ndre ledd forsvinner pg. symmetri. Tilsvrende for kvdrturet S(, b): S(, b) = h ( f (c h) + 4 f (c) + f (c + h)) (9) 3 = h ( f (c) h f (c) h f (c) 1 6 h3 f (c) h4 f (4) (c) + (10) + 4 f (c) (11) + f (c) + h f (c) + 1 h f (c) h3 f (c) + 1 ) 4 h5 f (4) (c) + (1) = h f (c) + h3 3 f (c) + h5 36 f (4) (c) + (13) Vi hr d følgende uttrykk for feilen: E(, b) = f (x)dx S(, b) = h5 90 f (4) (b )5 (c) + = 5 90 f (4) (c) + Dette gir en rimelig ide om størrelsen på feilen, under forusetningen v t b er reltivt liten slik t høyere ordens ledd kn ignoreres. 6

7 Det er mulig, men ikke helt trivielt å vise følgende presise resultt: ##### Setning (feil for Simpsons metode) L f (x) C 4 [, b]. D fins en ξ (, b) slik t E(, b) = f (x)dx b 6 [ ( ) ] b + (b )5 f () + 4 f + f (b) = 880 f (4) (ξ). Dette kn vi bruke for å finne et uttrykk for feilen i smmenstt Simpsons formel. f (x)dx S m (, b) = = m 1 ( xj+ f (x)dx h [ f (xj ) + 4 f (x j+1 ) + f (x j+ ) ]) (14) j=0 x j 3 m 1 (h)5 880 f (4) (ξ j ) (15) j=0 der ξ j (x j, x j+ ). Vi kn nå bruke Section?? til å vise t det fins en ξ (, b) slik t m 1 j=0 f (4) (ξ j ) = m f (4) (ξ). Ved å bruke mh = b får vi følgende uttrykk for feilen: (b )h4 f (x)dx S m (, b) = f (4) (ξ) Feilestimt Er det mulig å finne en tilnærmelse til feilen I(, b) S(, b), uten å kjenne f (4) (x)? Ant t intervllet (, b) er så lite t f (4) (x) er tilnærmet konstnt over intervllet. L H = b. D hr vi følgende: I(, b) S 1 (, b) CH 5, (16) ( ) H 5 I(, b) S (, b) C. (17) 7

8 der I(, b) = f (x)dx, og S m(, b) er smmenstt Simpsons formel nvendt på m like store delintervller v [, b], og C = f (4) (ξ)/880, der ξ er et eller nnet punkt i (, b). Hvilket spiller ingen rolle siden forutsetningen her er t f (4) (x) er nesten konstnt. T differensen mellom disse to: S (, b) S 1 (, b) CH5 CH (S (, b) S 1 (, b)). Sett dette inn i uttrykket over: E 1 (, b) = I(, b) S 1 (, b) ( S (, b) S 1 (, b) ) = E 1 (, b), (18) E (, b) = I(, b) S (, b) 1 15 ( S (, b) S 1 (, b) ) = E (, b). (19) Siden feilen i S (, b) er omtrent 1/16 v feilen i S 1 (, b), og begge unsett må regnes ut for å finne feilestimtene, så vil vi bruke S (, b) som tilnærmelse. Denne kn gjøres end bedre ved å legge til feilestimtet. Eksempel Finn en tilnærmelse til integrlet 1 cos(x)dx = sin(1) ved hjelp v Simpsons formel over et og to 0 delintervller. Beregn feilestimtene E m, m = 1, og smmenlign den med virkelig feilen. Vi får S 1 (0, 1) = 1 6[ cos(0.0) + 4 cos(0.5) + cos(1.0) ] = (0) S (0, 1) = 1 1[ cos(0.0) + 4 cos(0.5) + cos(0.5) + 4 cos(0.75) + cos(1.0) ] = (1) Den ekskte feilen og feilestimtet blir E 1 (0, 1) = sin(1) S 1 (0, 1) = , E 1 (0, 1) = (S S1) = , () E (0, 1) = sin(1) S (0, 1) = , E (0, 1) = 1 16 (S S1) = (3) I dette tilfellet er det et meget godt smsvr mellom feilestimtet og målt feil. Vi får en end bedre tilnærmelse ved å bruke 8

9 Q = S (0, 1) + E (0, 1) = som hr en feil sin(1) Q = Det gir et mye mer nøyktig resultt uten ekstr rbeid Implementsjon v Simpsons metode med feilestimt Funksjonen simpson_bsis regner ut en tilnærmelse til integrlet f (x)dx ved hjelp v Simpsons metode, inkludert et feilestimt. In [4]: def simpson_bsis(f,, b): # Regner ut en tilnærmelse til integrlet v f over [,b]. # Inn: Funksjonen f, og integrsjonsintervllet [,b] # Ut: S_1(,b), S_(,b) og feilestimtet for S_(,b). # Finner nodene c = 0.5*(+b) d = 0.5*(+c) e = 0.5*(c+b) # Regner ut S1=S_1(,b), S=S_(,b) og feilestimtet for S H = b- S1 = H*(f()+4*f(c)+f(b))/6 S = 0.5*H*(f()+4*f(d)+*f(c)+4*f(e)+f(b))/6 feilestimt = (S-S1)/15 return S1, S, feilestimt Testing Test implementsjonen på eksempelet over: 1 0 cos(x)dx. og kontroller t svrene blir de smme som tidligere. In [5]: def f(x): return cos(x), b = 0, 1 I_ekskt = sin(1) # Ekskt løsning 9

10 S1, S, feilestimt = simpson_bsis(f,, b) print('s1 = {:.8f}, S = {:.8f}'.formt(S1, S)) print('feil i S = {:.3e}, Feilestimt for S = {:.3e}'.formt(I_ekskt-S, feilestimt S1 = , S = Feil i S = e-05, Feilestimt for S = e-05 Numerisk eksperiment Gitt det ubestemte integrlet (med ubestemt løsning): 1 rctn(4x) dx = x 4 1. Bruk simpson_bsis for å finne en tilnærmelse til integrlet over intervllet [0, 8]. Skriv ut S (0, 8), feilestimtet E (0, 8) og målt feil E (0, 8). Er feilestimtet pålitelig?. Gjent eksperimentet over intervllene [0, 1] og [4, 8]. Legg merke til forskjellen i målt feil over de to intervllene. 3. Gjent eksperimentet igjen over intervllet [0, 0.1] In [6]: def runge(x): return 1/(1+16*x**), b = 0, 0.1 I_ekskt = 0.5*(rctn(4*b)-rctn(4*)) # Ekskt løsning S1, S, feilestimt = simpson_bsis(runge,, b) print('s1 = {:.8f}, S = {:.8f}'.formt(S1, S)) print('feil i S = {:.3e}, Feilestimt for S = {:.3e}'.formt( I_ekskt-S, feilestimt)) S1 = , S = Feil i S = -6.8e-07, Feilestimt for S = e-07 Observsjoner v eksperimentet: 1. Over intervllet [0, 8]: Stor feil, dårlig feilestimt.. Over intervllet [0, 1]: Stor feil, dårlig feilestimt. Over intervllet [4, 8]: Liten feil, greit feilestimt. 3. Over intervllet [0, 0.1], liten feil, greit feilestimt. Forklring Fr Section?? hr vi (b )5 E(, b) = 880 f (4) (ξ). (1) 10

11 Så vi må forvente t feilen er stor når f (4) (x) er stor. Videre ntok vi i utledningen v feilestimtet t f (4) (x) vr nogenlunde konstnt over intervllet. Så det kn være en god grunn til å t en titt på den 4. deriverte v vår funksjon: f (x) = x f (4) (x) = x4 160x + 1 (1 16x ) 5 In [7]: # Lger et plott v den 4. deriverte v 1/(1+16x^) def d4f(x): return 6144*(180*x**4-160*x**+1)/((1+16*x**)**5) x = linspce(0, 8, 1001) plot(x, d4f(x)) xlbel('x') title('fjerde derivert v Runges funksjon'); De er dermed ingen overrskelse t feilen er stor og feilestimtet svikter over intervller som inkluderer [0, 1]. Dette intervllet må prtisjoneres i lngt mindre biter for t vi skl få et meningsfyllt resultt. Men hvordn kn intervllet prtisjoneres når f (4) (x) ikke er kjent? 11

12 3.0.4 Adptiv integrsjon Gitt t en grunnleggende integrsjonsrutine som gir en tilnærmelse Q(, b) med et feilestimt E(, b). Vi ønsker å finne en prtisjon v intervllet [, b] = X 0 < X 1 < X m = b slik t E(X j, X j+1 ) X k+1 X k Tol b der Tol er en tolernse gitt v brukeren. I så fll vil Smlet feil m 1 E(X k, X k+1 ) Tol. j=0 Adptiv integrsjon Gitt f,, b og Tol. * Beregn Q(, b) og E(, b). * if E(, b) Tol: * Godkjenn resulttet, returner Q(, b) + E(, b). * else: * L c = ( + b)/, og prosessen på delintervllene [, c] og [c, b], med tolernse Tol/. * De godkjente resulttene fr hvert delintervll summeres underveis. Implementsjon Den dptive lgoritmen er implementert med Simpsons metode som bsismetode. simpson_bsic er lett omskrevet fr funksjonen over, den returnerer bre S og feilestimtet, det er det eneste som behøves i den dptive lgortimen. simpson_dptive er en rekursiv funksjon (funksjon som kller seg selv). For å unngå t den gjør så i det uendelige, er det lgt til en ekstr vribel level som øker med 1 for hver gng funskjonen klles v seg selv, og en mksverdi for denne. In [8]: def simpson_bsis(f,, b): # Regner ut en tilnærmelse til integrlet v f over [,b]. # Inn: Funksjonen f, og integrsjonsintervllet [,b] # Ut: S_1(,b), S_(,b) og feilestimtet for S_(,b). # Finner nodene c = 0.5*(+b) d = 0.5*(+c) 1

13 e = 0.5*(c+b) # Regner ut S1=S_1(,b), S=S_(,b) og feilestimtet for S H = b- S1 = H*(f()+4*f(c)+f(b))/6 S = 0.5*H*(f()+4*f(d)+*f(c)+4*f(e)+f(b))/6 feilestimt = (S-S1)/15 return S, feilestimt def simpson_dptive(f,, b, tol = 1.e-6, level = 0, mks_level=15): # Finner en tilnærmelse til integrlet v funksjonen # f over intervllet [,b], gitt tolernsen tol. Q, feil_estimt = simpson_bsis(f,, b) # # Utskrift og plott for demonstrsjonens skyld. if level == 0: print(' l b feil_est tol') print('==============================================') print('{:d} {:.6f} {:.6f} {:.e} {:.e}'.formt( level,, b, bs(feil_estimt), tol)) x = linspce(, b, 101) plot(x, f(x), [, b], [f(), f(b)], '.r') # if level >= mks_level: print('mksimlt ntll nivåer nådd') return S if bs(feil_estimt) < tol: resultt = S + feil_estimt # Godkjent, returnerer forbedret pprox. else: # Deler intervllet i to, og bruker metoden på # hvert delintervll. c = 0.5*(b+) resultt_venstre = simpson_dptive(f,, c, tol = 0.5*tol, level = level+1) resultt_hoyre = simpson_dptive(f, c, b, tol = 0.5*tol, level = level+1) resultt = resultt_hoyre + resultt_venstre return resultt 13

14 Eksempel Bruk dptive Simpson til å finne en tilnærmelse til integrlet 5 0 1/(1 + 16x )dx med ulike tolernser, f.eks. Tol=10 3, 10 5, Smmenlign den numeriske løsningen med den ekskte. In [9]: def runge(x): return 1/(1+(4*x)**), b = 0, 8 I_ekskt = 0.5*(rctn(4*b)-rctn(4*)) tol = 1.e-3 resultt = simpson_dptive(runge,, b, tol=tol) # Utskrift print('\nnumerisk løsning = {:8f}, ekskt løsning = {:8f}'.formt(resultt, I_ekskt)) feil = I_ekskt - resultt print('\ntolernse = {:.1e}, feil = {:.3e}'.formt(tol, bs(feil))) l b feil_est tol ============================================== e e e e e-03.50e e e e e e e e e e e e e e e e e e-06.50e e e-04 Numerisk løsning = , ekskt løsning = Tolernse = 1.0e-03, feil =.810e-01 14

15 3.1 Andre kvdrturformler Simpsons metode er bre et eksempel på kvdrturformler, og lt som er gjennomgått for Simpsons metode kn også gjøres for ndre. L meg til sist nevne noen vnlige klsser v metoder: Newton-Cotes metoder Bsert på jevnt fordelte noder over intervllet, se her for noen eksempler. Trpes og Simpson er eksempler på lukkede Newton-Cotes metoder, midtpunkt-metoden et eksemp på en åpen Newton-Cotes metode. Guss-Legendre kvdrtur: Velg nodene som nullpunktene i polynomet L m (t) = dm dt m (t 1) m. Disse hr presisjonsgrd d = m 1, og er det beste som kn oppnås med m noder. Midtpunktmetoden er et eksempel på et Guss-Legendre kvdrtur med m = 1. 4 Appendix #### Den generliserte middelverdisetningen 15

16 L f C[, b]. Gitt k noder x i i [, b] og k positive vekter w i [min x i, mx x i ] slik t > 0, i = 1,..., k. D fins en η n i=1 w i f (x i ) = f (η) k i=1 w i. 16