Arne B. Sletsjøe. Kompendium, MAT 1012

Transkript

1 Arne B. Sletsjøe Kompendium, MAT 2

2 En-vribel klkulus I denne første forelesningen skl vi friske opp litt rundt funksjoner i en vribel, se på hvordn de vokser/vtr, studere kritiske punkter og beskrive krumning og vendepunkter. Vi får ikke direkte bruk for dette, men det vil være en god bkgrunn for det vi skl gjennom for funksjoner i flere vrible. Stikkord: Voksende og vtgende funksjoner, lokle ekstremlpunkter, kritiske punkter, globle ekstremlpunkter, krumning, vendepunkter. Monotoni-egenskper og lokle ekstremlpunkter Vi strter med den lokle teorien, dvs. t vi nlyserer funksjonenes lokle egenskper. Lokle egenskper til en funksjon er egenskper som måles i punkter og små omegner om dem. Det første begrepet vi skl se på er monotoni-egenskpene til en funksjon, dvs. hvor de vokser og hvor de vtr. Definisjon.. En funksjon y = f(x) er (strengt) voksende på et intervll [, b] dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) < f(x 2 )) for lle x < x 2. Funksjonen er (strengt) vtgende dersom f(x ) f(x 2 ) (f(x ) > f(x 2 )) for lle x < x 2. Eksempel.2. Funksjonen f(x) = x 2 er strengt voksende på intervllet [, >, siden x 2 < x 2 2 når x < x 2. Tilsvrende er funksjonen strengt vtgende på intervllet <, ]. Teorem.3. Dersom f (x) > (f (x) < ) på et intervll, så vokser (henholdsvis vtr ) f(x) på intervllet. Eksempel.4. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen vokser på intervllet (, ) og vtr på intervllet (, ). Eksempel.5. Betrkt funksjonen f(x) = e x. Den deriverte er gitt ved f (x) = e x >, som betyr t funksjonen vokser overlt. Lokle ekstremlpunkter er punkter hvor funksjonen hr lokle mks- eller minimumspunkter Definisjon.6. Det er to typer lokle ekstremlpunkter: i) y = f(x) hr et loklt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x) for lle x i et åpent intervll om x = c. ii) y = f(x) hr et loklt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x)for lle x i et åpent intervll om x = c.

3 .2 Kritiske punkter Et helt sentrlt begrep innen klkulus er kritiske punkter: Definisjon.7. Et punkt x = c klles et kritisk punkt dersom f (c) = eller f (c) ikke eksisterer. Eksempel.8. Funksjonen f(x) = x hr et kritisk punkt i x = siden f () ikke er definert i det punktet. Eksempel.9. Alle potensfunksjoner g(x) = x n for n 2 hr kritisk punkt i x = siden f () = n n =. Eksempel.. Funksjonen h(x) = x ikke er definert i dette punktet. hr ikke et kritisk punkt i x = siden funksjonen Ofte er det smmenfll mellom ekstremlpunkter og kritiske punkter, men det er ikke lltid snt. Den ene retningen er snn: Teorem.. Dersom f(x) hr et loklt mksimum eller loklt minimum i x = c, så er c et kritisk punkt. Bevis.2. Se på f (c) f(x) f(c) x c Ant t f(x) hr et loklt mksimum i x = c. Dersom f (c) >, så vil f(x) > f(c) for x > c, og dersom f (c) <, så vil f(x) > f(c) for x < c. Motsetning. Med noen tilleggskrv hr vi også impliksjon den ndre veien. Teorem.3. Hvis f(x) hr et kritisk punkt i x = c, så er dette i) et loklt minimum dersom f (x) skifter tegn fr negtiv til positiv i x = c ii) et loklt mksimum dersom f (x) skifter tegn fr positiv til negtiv i x = c Eksempel.4. Vi ser på funksjonen f(x) = x 2. Den deriverte er gitt ved f (x) = 2x, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt i x =. Dette er også et loklt minimumspunkt. Eksempel.5. Gitt funksjonen g(x) = x 3. Den deriverte er gitt ved g (x) = 3x 2, som betyr t funksjonen hr et kritisk punkt for x =. Dette er imidlertid ikke noe ekstremlpunkt. Eksempel.6. Vi skl bestemme monotomi-egenskper og lokle ekstremlpunkter for funksjonen f(x) = 3x 4 4x Regner ut den deriverte og setter den lik for å finne fktorisering: f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) = 2

4 Tegner fortegnsskjem: x < < x < x > 2x x f (x) Det betyr t vi hr et loklt minimumspunkt for x =, t funksjonen er vtgende for x < og t den er voksende for x >..3 Globle ekstremlpunkter I motsetning til de lokle egenskpene, som måler funksjonens oppførsel i en liten omegn om et punkt, vil de globle egenskpene måle funksjonens oppførsel på hele definisjonsområdet sett under ett. Definisjon.7. Følgende gjelder i) y = f(x) hr et globlt minimum i x = c dersom f(c) er mindre enn eller lik f(x) for lle x i D f. ii) y = f(x) hr et globlt mksimum i x = c dersom f(c) er større enn eller lik f(x) for lle x i D f. Funksjoner trenger hverken å h lokle eller globle ekstremlpunkter, se f.eks. på funksjonen f(x) = x definert på hele tllinj. Den hr ingen ekstremlpunkter. For å sikre oss t en funksjon oppnår ekstremlverdier kn vi legge begrensninger på definisjonsområdet til funksjonen. Teorem.8. Hvis funksjonen f(x) er kontinuerlig på et lukket, begrenset inervll [, b], så vil f oppnå sin mksimums- og minimums-verdi i intervllet. Eksempel.9. Vi ser på funksjonen Deriverer og tegner fortegnsskjem: f(x) = x 2 e x x 3 f (x) = 2xe x x 2 e x = x(2 x)e x = - <, > <, 2 > 2 < 2, 3 > 3 x x e x f (x) f(x) e e 2 e 3 Dette betyr t funksjonen vtr på intervllene (, ) og (2, 3) og vokser på intervllet (, 2). Den hr lokle mksimumspunkter i x = og i x = 2, og minimumspunkter i x = og for x = 3. Av disse er x = globlt mksimum og x = globlt minimum. 3

5 .4 Krumning og vendepunkter Neste skritt er å studere funksjonenes krumningsegenskper. Definisjon.2. En deriverbr funksjon y = f(x) krummer opp (resp. ned) i et intervll (, b) dersom f (x) > (resp. f (x) < ) i intervllet. Teorem.2. L f(x) være deriverbr (to gnger deriverbr) på et intervll I. i) Dersom f > på I, så krummer grfen oppover. ii) Dersom f < på I, så krummer grfen nedover. Definisjon.22. Et punkt x = c der funksjonen f(x) skifter krumning fr opp til ned eller motstt, klles et vendepunkt for f. Teorem.23. Dersom (c, f(c)) er et vendepunkt for f, og f (c) er veldefinert, så er f (c) =. Eksempel.24. Funksjonen f(x) = x 3 hr et vendepunkt i x = siden f () = og den deriverte f (x) skifter tegn i x =. Eksempel.25. Vi skl studere krumningsegenskpene til funksjonen f(x) = 3x 4 4x Regner ut den deriverte og den dobbelt-deriverte og setter den lik for å finne fktorisering: f (x) = 2x 3 2x 2 = 2x 2 (x ) f (x) = 36x 2 24x = 2x(3x 2) Tegner fortegnsskjem for den dobbel-deriverte: x < < x < 2 2 x > x x f (x) opp ned vendepunkt opp og konklusjonen står i nederste linje. 2 Bestemte integrl I Tidligere (MAT ) hr vi nti-derivert funksjoner for å finne løsninger v differensillikninger. Vi skl gå litt videre med dette og se på et som klles bestemte integrler. Regnereglene er egentlig kkurt de smme, men nå evluerer vi integrlene over et intervll slik t svret blir et tll og ikke en funksjon. Dette tllet skl vi tolke som relet mellom grfen og x-ksen, eller mer generelt som en kkumulert verdi for en funksjon over et tidsrom, strekning eller nnet vlg v tolkning v rgumentet x (eller t). Det viktigste resulttet knyttet til dette er det såklte fundmentlteoremet (introdusert v Newton og Leibniz) som knytter smmen derivsjon og integrsjon. 4

6 Stikkord: Anti-derivert/ubestemt integrl, tolking v det bestemte integrl, integrsjonsregler og - teknikker, Fundmentlteoremet, Riemnnsummer, eksplisitte former, Archimedes og volumet v en kule 2. Repetisjon v ubestemte integrl Teorem 2.. Dersom F (x) og F 2 (x) begge er nti-deriverte til smme funksjon på et intervll <, b >, så er de like på en konstnt nær. Dette er grunnen til t vi lltid må legge til en integrsjonskonstnt når vi ntideriverer. Definisjon 2.2. L f(x) være en funksjon. Fmilien v lle nti-deriverte til f(x) klles det ubestemte integrlet til f(x). L F (x) være en slik nti-derivert. D skriver vi f(x) dx = F (x) + C hvor C er en vilkårllg konstnt. 2.2 Bestemte integrl Definisjon 2.3. L y = f(x) være en positiv funksjon definert på et intervll [, b]. D er S = b f(x) dx definert som relet over intervllet [, b] mellom x-ksen og grfen til f. Følgende generelle regler gjelder for bestemte integrl: Lineritet: Additivitet: b (αf(x) + βg(x))dx = α b f(x)dx + β b c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx g(x)dx 5

7 Integrsjon motstt vei: b f(x)dx = b f(x)dx Degenerert rel: f(x)dx = 2.3 Fundmentlteoremet Teorem 2.4. L f(x) være en integrerbr funksjon på et intervll [, b], og l F (x) være en nti-derivert til f(x). D hr vi b F (x) = d dx x f(t) dt = f(x) f(x)dx = F (x) b = F (b) F () Merk: Dette er den mest fundmentle egenskpen ved integrlet og fktisk den egenskpen som er grunnlget for hele differensil- og integrlregningen. Figuren illustrerer fundmentlteoremet, vi lr A(x) være relet under grfen fr x = og ut til en vilkårlig x. Den reltive tilveksten fr x til x + h er gitt ved A(x + h) A(x) h f(x) h h = f(x) 6

8 Følgende spesielle integrsjonsregler gjelder: b b b b b x k dx = k + (bk+ k+ ) x dx = ln b e kx dx = k (ekb e k ) sin x dx = cos b + cos cos x dx = sin b sin I tillegg hr vi generelle integrsjonsteknikker: Substitusjon: b hvor F (x) er en nti-derivert til f(x). Delvis integrsjon: b f(g(x))g (x)dx = F (g(b)) F (g()) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b Eksempel 2.5. Vi skl beregne det bestemte integrlet f (x)g(x)dx Vi bruker delvis integrsjon π x cos x dx π x cos x dx = [u v] π u = x u = = [x sin x] π π u v dx v = cos x v = sin x π sin x dx = [x sin x + cos x] π = π sin π + cos π cos = 2 Eksempel 2.6. Vi skl beregne det bestemte integrlet 2 xe x2 dx 7

9 Vi bruker substitusjon 2 xe x2 dx = = 2 2 ex2 2x dx u = x 2 du = 2x dx x = gir u = x = 2 gir u = eu du = [ 2 eu ] 4 = 2 (e4 ) Vi kn bruke det bestemte integrlet til å beregne relet mellom to kurver y = f(x) og y = g(x), der f(x) g(x) på hele intervllet [, b]: b [f(x) g(x)]dx = [Arelet mellom f og g] Eksempel 2.7. Eksempel 2.8. (x 2 x 3 )dx = [ 3 x3 4 x4 ] = 3 4 = 2 (x 3 3 x 2 )dx = [ 4 x x ] = = 2 Det er ikke tilfeldig t de to siste eksempene gir sm svr. Hvorfor? 2.4 Riemnnsummer Vi tenker oss t vi deler intervllet [, b] opp i delintervller med delingspunkter = < <... < n = b og t vi velger ut et punkt x i i hvert delintervll, ltså x i [ i, i+ ]. D vil summen (som vi kller en Riemnnsum) n f(x i )( i+ i ) i= 8

10 være en god pproksimsjon til integrlet b f(x)dx. Vi kn fktisk definere b n f(x)dx = lim f(x i )( i+ i ) n i= Eksempel 2.9. Vi skl beregne x 2 dx ved hjelp v Riemnnsummer. Prtisjon v enhetsintervllet, med x = n : Vi skl beregne < n < 2 n < 3 n < < n n n f(x i ) x i= < n n = med x i som venstre endepunkt i delintervllene, dvs. x i = i n. Dette gir sum ( n )2 n +( 2 n )2 n + ( 3 n )2 n + + (n n )2 n dvs. = n 3 ( n 2 ) = n(n + )(2n + ) n 3 6 = 2n3 + 3n 2 + n 6n 3 = 3 + 2n + 6n 2 3 når n x 2 dx = 3 9

11 2.5 Archimedes beregning v volumet v en kule Archimedes stilte opp et prktisk eksperiment: Dersom systemet er i blnse er dette nok til å beregne volumet v kul. Alle legemene nts å h tetthet lik. Sylinderen (til høyre) hr rdius og høyde lik, kul hr rdius, 2 mens kjeglen også hr rdius og høyde lik. Tyngdepunktet til sylinderen hr rmlengde, dvs. et moment på 2 π2. Armen på venstre side hr lengde og momentet 2 er (V + 3 π2 ), der V er volumet v kul. Dersom systemet er i blnse gir dette V = 4π( 3 2 )3, som er volumet v kul slik vi kjenner det. Så det gjenstår å vise t systemet er i blnse. Vi skl smmenlikne tynne skiver på de to figurene. L x. På høyre side hr vi en skive i vstnd x, som gir et moment på x π 2 dx. På venstre side er det litt mer regning. Kjeglen måler vi ovenifr, slik t skiv ved dybde x gir et moment på πx 2 dx. Kul deler vi også ovenfr, ved Pythgors blir rdius i skiv ( 2 )2 ( 2 x)2 = x x 2, dvs. et bidrg til momentet på π(x x 2 )dx. Dette er i blnse siden π 2 x dx = πx 2 dx + π(x x 2 )dx 3 Bestemte integrl II Vi fortsetter med å se på det bestemte integrlet, bl.. på hvordn vi kn bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis kn finne en nti-derivert. Videre skl vi t for oss en del ulike fysiske tolkninger v det bestemte integrl. Det er ikke lltid t definisjonsområdet er et lukket intervll og d må vi gjøre noen modifiksjoner mht. definisjonen v det bestemte integrlet. Det er heller ikke lltid t funksjonen vi skl integrere er begrenset, men vi kn like vel regne ut et rel. Dette vil involvere bruk v grenseverdier.

12 Stikkord: Numeriske beregninger v et integrl, Simpsons og trpesmetoden, definisjon v uekte integrler, grenseverdier, konvergens/divergens, ubegrensede definisjonsområder, ubegrensede funksjoner 3. Trpesmetoden Vi skl gi to metoder for å gjøre en numerisk tilnærming v et bestemt integrl. Den første er trpesmetoden (tilnærminger med trpeser). Vi deler intervllet i n like store deler = < <... < n = b D hr vi b f(x)dx = ( f( ) 2 der E T er et restledd som gir vviket i tilnærmingen + f( ) + f( 2 ) +... f( n ) + f( n) ) x + E T 2 Teorem 3.. Ant t f (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [, b] og hr mksverdi K. D er feilen E T i trpesmetoden begrenset ved K(b )3 E T 2n 2 Det er et viktig poeng ved dette restleddet K(b )3 E T 2n 2 Siden nevneren i uttrykket er proporsjonlt med n 2, så vil en dobling v ntll punkter i tilnærmingen gi en feil som er rundt en fjerdedel. Tredobling v ntll punkter vil gi en feil som er rundt en ni-del osv. Eksempel 3.2. Vi skl estimere integrlet 2 + x4 dx ved trpesmetoden med fire like store delintervller. Vi hr x =.5 og derfor x =, x =.5, x 2 =, x 3 =.5 og x 2 = 2. Det gir 2 ( + x dx = ).5 2 = ( ) Eksempel 3.3. En funksjon f(x) definert på intervllet [, 3] er gitt ved følgende verdier. x f(x) Vi bruker trpesmetoden på disse dtene og får for integrlet 3 f(x) dx ( ).25 2 = 2.8

13 3.2 Simpsons metode En nnen metode klles Simpsons metode. Her må n være et prtll. I denne metoden bruker vi tilnærmingen b f(x)dx (f( ) + 4f( ) + 2f( 2 ) + 4f( 3 ) + 2f( 4 ) hvor feilen vi gjør er gitt ved et restledd E S f( n 2 ) + 4f( n ) + f( n )) x 3 Teorem 3.4. Ant t f (x) eksisterer og er kontinuerlig på intervllet [, b] og hr mksverdi K. D er feilen E S i trpesmetoden begrenset ved E S K(b )5 8n 4 Vi skl finne en tilnærmet verdi for e x2 dx med n delintervller ved Simpsons metode. Først med n = 2: Med n = 4: e x2 dx ( f(x ) + 4f(x ) + f(x 2 ) ) x 3 = ( e + 4e 4 + e ) 6 = e x2 dx ( f(x ) + 4f(x ) + 2f(x 2 ) + 4f(x 3 ) + f(x 4 ) ) x 3 = ( e + 4e ) 6 + 2e 4 + 4e e 2 = Restleddet sier i dette tilfellet, siden e x2 for lle x E S ( )5 8 4 = Uekte integrler Bestemte integrl er definert for begrensede funksjoner over begrensede intervller. Imidlertid er det i mnge tilfelle mulig å definere bestemte integrler selv om vi hverken hr begrenset definisjons- område eller en begrenset funksjon. Begge deler defineres gjennom grenseverdier. Definisjon 3.5. Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f(x) når x dersom for lle vlg v ɛ >, så kn vi finne en δ > slik t dersom x < δ, så er f(x) L < ɛ. Vi skriver lim x f(x) = L 2

14 Litt nnerledes definisjon når = : Definisjon 3.6. Vi sier t L er grenseverdien v en funksjon f(x) når x dersom for lle vlg v ɛ >, så kn vi finne en M slik t dersom x > M, så er f(x) L < ɛ. Vi skriver lim x f(x) = L Vi hr gitt en funksjon f(x) definert over et ubegrenset område, f.eks. et hlvåpent intervll [, >. Vi definerer f(x) dx = lim b b f(x) dx under forutsetning v t grensen eksisterer. F.eks. kn vi integrere funksjonen +x 2 over intervllet (, ). Eksempel 3.7. Betrkt funksjonen f(x) = x s, s >, definert på intervllet [, >. D hr vi x s dx = lim x s dx = lim b s + (b s+ s+ ) = s + s+ b b siden b s+ når b og s + <. Eksempel 3.8. e x dx = lim b b e x dx = lim b ( e b + e ) = e Det ndre lterntivet for uekte integrler er i de tilfellene der definisjonsområdet er begrenset, men funksjonen er ubegrenset, slik som i eksemplet under, der vi ser på funksjonen ex c x på intervllet (, c). 3

15 Eksempel 3.9. Betrkt funksjonen f(x) = x s, < s <, definert på intervllet <, ]. D hr vi x s dx = lim x s dx = lim s + ( s+ s+ ) = s + siden s+ når og s + >. 4 Approksimering Det er ikke lltid t det er mulig å finne en nti-derivert til en funksjon, j, noen gnger hr vi ikke engng et pent uttrykk for funksjonen vår. En metode til å håndtere slike problemer er å tilnærme funksjonen med kjente og mer nvendelige funksjoner. Det vnligste er å bruke polynomer eller hrmoniske funksjoner. Vi skl se på hvordn vi kn gjøre dette med polynomfunksjoner. Første tilnærming er å tilpsse funksjonen med en rett linje, men dette blir litt snevert. D må vi gå videre med polynomer v høyere grd. Vi skl se hordn dette kn gjøres, men også studere feilen vi gjør, og spesielt få kontroll over hvor stor denne er. Stikkord: Lineær pproksimering, Tylorpolynom uten restledd, eksempler, restleddsestimter, Ffolger 4. Tylorpolynom Det er i mnge smmenhenger nyttig å kunne pproksimere en funksjon ved enklere funksjoner, f.eks. polynomfunksjoner. Hvis vi kjenner verdien v en funksjon og dens deriverte i et punkt, så kn vi nslå verdien på funksjonen i nærliggende punkter. Hvis vi er ute og går, så vil posisjon og frt på ett tidspunkt si mye om hvor vi er et pr sekunder senere, når vi ntr t bevegelsen er rettlinjet med konstnt frt, men vi kn si lite om hvor vi vil være minuter senere. Posisjon og frt i ett punkt vil bestemme en lineær funksjon som beskriver en bevegelse, som i et kort tidsrom likner vår bevegelse. 4

16 Tilsvrende kn vi gjøre for en funksjon y = f(x). Vi velger ut et punkt x og beregner den deriverte til f i dette punktet, f (x ). Disse dtene gir opphv til en lineær funksjon y f(x ) = f (x )(x x ) som klles den lineære pproksimsjonen til f i x. Grfen til den lineære pproksimsjonen tngerer funksjonen i punktet (x, f(x )). Eksempel 4.. L f(x) = sin x. D hr vi t f() = og f () = cos =. Den lineære pproksimsjonen v sinus i er gitt ved y = x. Nå kn vi fortsette i smme spor, med å prøve å finne polynomer som ikke bre hr smme verdi og derivert som sin x i x =, men også smme ndre-derivert (ltså smme krumning), og tredje-derivert, osv. Definisjon 4.2. L f være en n gnger deriverbr funksjon i punktet x =. Et polynom T f (x) som er slik t T f () = f() og som i tillegg oppfyller T (j) f () = f (j) () j =, 2,..., n klles Tylor-polynomet v grd n for funksjonen f. Tylor-polynom er oppklt etter sin opphvsmnn, den engelske mtemtikeren Brook Tylor (685-73). Tylor g en formel for å beregne Tylorpolynomet til en funksjon. Teorem 4.3. L f være en n gnger deriverbr funksjon i punktet x =. Tylorpolynomet til f v grd n er gitt ved T f (x) =f() + f ()(x ) + f 2! (x )2 + f (3) (x )3 3! + + f (k) k! (x )k + + f (n) (x )n n! 5

17 Eksempel 4.4. Vi skl finne Tylorpolynomet til f(x) = + x = ( + x) 2 v grd 3 i punktet x =. Vi hr f() = og videre f (x) = 2 ( + x) 2 f () = 2 f (x) = ( 2 ) 2 ( + x) 3 2 f () = ( 2 ) 2 = 4 f (3) (x) = ( 3 2 )( 2 ) 2 ( + x) 5 2 f (3) () = ( 3 2 )( 2 ) 2 = 3 8 Dette gir T f (x) = + 2 x 2! 4 x2 + 3! 3 8 x3 = + 2 x 8 x2 + 6 x3 4.2 Restleddsestimter Målet med Tylorpolynomene er å pproksimere en gitt funksjon med enklere funksjoner, i vårt tilfelle med polynomer. Jo høyere grd vi går til, jo bedre tilnærming får vi. Spørsmålet er hvor stor feil vi gjør når vi ersttter funksjonen med et Tylorpolynom. Svret ligger i følgende teorem: Teorem 4.5. L f være n + gnger deriverbr i et intervll som inneholder x =. L T f (x) være Tylorpolynomet til f v grd n. D hr vi for en c mellom og x. E n = f(x) T f (x) = f (n+) (c) (x )n+ (n + )! Eksempel 4.6. Eksemplet fr forrige side, f(x) = x + hr fjerde-derivert f (4) (x) = ( 5 2 )( 3 2 )( 2 ) 2 ( + x) 7 2, det betyr t feilestimtet blir E 4 = 5 7 ( + c) 2 x 4 28 som for eksempel for x = 3 2 gir E Eksempel 4.7. Vi skl se på Tylorpolynomet til f(x) = e x. I dette tilfellet er f (n) (x) = e x for lle n, og vi hr f (n) () = e =. Setter vi dette inn i formelen får vi Tylorpolynom T exp (x) = + x + 2 x2 + 3! x3 + + n! xn med restledd for en c x. Dette betyr E n (x) = f n+ (c)x n+ (n + )! når n for lle vlg v x. E n (x) = f n+ (c)x n+ ex x n+ (n + )! (n + )! 6

18 Eksempel 4.8. L f(x) = sin x. Vi hr lle de deriverte gitt ved f (4k+) (x) = cos x f (4k+2) (x) = sin x f (4k+3) (x) = cos x f (4k) (x) = sin x og derfor f (2k) () =, og f (2k+) () = ( ) k. Det gir Tylorpolynom T sin (x) = x 3! x3 + 5! x5 7! x7 + + ( ) k (2k + )! x2k+ I dette eksempelet hr vi E 2k+ når k. Eksempel 4.9. Tilsvrende som for sin x får vi for cos x Tylorpolynom Vi hr E 2k når k. 4.3 Følger T cos (x) = 2! x2 + 4! x4 6! x6 + + ( ) k (2k)! x2k Vi hr sett t vi kn tilnærme funksjoner med polynomer v ulik og voksende grd, og generelt vil det være slik t jo høyere grd, jo bedre tilnærming. Det betyr t vi vil h bruk for å gå til en grense, dvs. vi må kunne håndtere uendelig stor grd. Til å hjelpe oss med det skl vi bruke begrepet konvergente tllfølger. Definisjon 4.. En tllfølge { n } er en funksjon som til et hvert nturlig tll (indeksen n) tilordner et reellt tll n. Alterntivt kn vi skrive tllfølgene:, 2, Definisjon 4.. En tllfølge { n } sies å konvergere mot en grense L dersom for lle ɛ >, så finnes en N slik t dersom n > N så er L n < ɛ. Vi skriver En følge som ikke konvergerer divergerer. lim n = L n Eksempel 4.2. Følgen.3,.33,.333,... konvergerer mot 3, mens følgene, 2, 3, 4, 5,... og,,,,,,... begge divergerer, den første fordi den vokser over lle grenser, mens den ndre lternerer mellom to ulike verdier. 7

19 5 Rekker I dette kpitlet skl vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med i forrige kpittel. Vi skl se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.. gi et enkelt kriterium. Dette skl vi bruke til å regne ut Tylorrekker for noen utvlgte funksjoner, bl.. eksponensilfunksjonene, sin x og cos x. Når vi slår smmen disse kn vi bevise formelen som gir overgngen mellom normlform og polrform for et komplekst tll. Stikkord: Uendelige rekker, konvergens, konvergenskriterier 5. Rekker For hver n hr vi delsummer S n = n = n i= i Vi lr n og får en uendelig rekke S = = i= i mo. vi hr følgende definisjon v en uendelig rekke; Definisjon 5.. L, 2,... være reelle tll. Den uendelige tllfølgen S =, S 2 = + 2, S 3 = ,..., klles en uendelig rekke. Eksempel 5.2. Geometrisk rekke ( 2 )2 + ( 2 ) Hrmoniske rekke Alternerende hrmonisk rekke Det er lltid et problem å legge smmen uendelig mnge ledd. Hver delsum v rekk er et helt ok tll, men hele den uendelige rekk er formelt bre en rekke og ikke noe tll. Dersom vi kn tilordne en grenseverdi til den uendelige rekk, sier vi t dette er summen v de uendelig mnge leddene (men det er formelt sett ikke det!). Formliseringen v spørsmålet om rekk hr en sum eller ikke ligger i den følgende definisjonen. 8

20 Definisjon 5.3. Vi sier t en uendelig rekke S = lim n S n = = konvergerer dersom følgen v delsummer {S n } går mot en grenseverdi. I motstt fll sier vi t rekk divergerer. Vi hr + k + k 2 + k 3 + = k i= i for k < som gir konvergens v geometriske rekker for k <, mens vi hr divergens for k. Den hrmoniske rekk divergerer, mens den lternerende hrmonisk rekk konvergerer. 5.2 Konvergenskriterier = ln 2 Merk t dersom en rekke n konvergerer, så vil n når n. Det mest grunnleggende resulttet om konvergens er det som klles smmenlikningskriteriet, Teorem 5.4. Dersom vi for et positivt tll c hr n cb n for lle n, så vil konvergens v bn medføre konvergens v n. Motstt, så vil divergens v n medføre divergens v b n. Eksempel 5.5. Rekk cos nω konvergerer siden 2 n konvergerer. 2 n Eksempel 5.6. Betrkt rekk gitt ved cos nω 2 n 2 n og den geometriske rekk Siden 2 n n 2 2n, så vil n= n= 2 n n 2 n n 2 Den største rekk konvergerer og d vil også den mindre rekk konvergere, men vi kn ikke regne ut grenseverdien. Rekk ser for øvrig slik ut n= n= 2 n 2 n n =

21 Teorem 5.7. L n, b n > for lle n og nt t n lim = n b n D konvergerer n hvis og bre hvis b n konvergerer. Eksempel 5.8. Betrkt rekk. Siden vi hr n 2 6n+ lim n n 2 6n+ n 2 så vil de to rekkene n 2 6m+ og n 2 n 2 = lim n n 2 6n + = lim n 6 + = n n 2 enten begge konvergere eller divergere. Teorem 5.9. L f(x) være en positiv, vtgende funksjon, definert for lle x. For lle n lr vi n n s n = f(k) og t n = f(x) dx k= D vil de to følgene {s n } og {t n } begge konvergere eller begge divergere. enten begge konverg- Eksempel 5.. Vi hr sett t de to rekkene og n 2 6m+ erer eller begge divergerer. Nå hr vi videre t n 2 s n = n k= n og t k 2 n = x dx 2 også begge enten konvergerer eller begge divergerer. Men integrlet kn vi regne ut, t n = n når n, og begge rekkene konvergerer. x 2 dx = [ x ]n = n Eksempel 5.. Ved å se på det bestemte integrlet som et rel er det lett å se t k+ k x dx < k Derfor vil den hrmoniske rekk divergere siden den er større enn en divergent rekke, n+ x dx = n k= k+ k x dx < (Den venstre rekk er divergent siden integrlet er lik ln (n + ) som opplgt går mot når n.) Det viktigste resulttet for ltererende rekker er Leibniz konvergenskriterium Teorem 5.2. L { n } være en følge v positive tll, slik t n > n+ og n når n. D konvergerer den lternerende rekken ( ) n n. 2 n k= k

22 Den lternerende hrmoniske rekk konvergerer siden når k. Et nnet k eksempel på en konvergent lternerende rekke er ( ) k. Også her vil det generelle 2k+ leddet gå mot. Vi hr i dette tilfelle en vkker formel (som vi ikke skl bevise), k= ( ) k 2k + = = π 2 L n og b n være konvergente rekker og l α, β være vilkårlige reelle tll. D konvergerer også (α n + βb n ) og vi hr (αn + βb n ) = α n + β b n Merk t summen v en konvergent og en divergent rekke lltid er divergent, mens summen v to divergente rekker kn være enten konvergent eller divergent. 5.3 Rekker som funksjoner Vi kn lge en funksjon i x v en geometrisk rekke, + x + x 2 + x 3 + = x for x < Dersom vi deriverer rekk ledd for ledd, vil den fortstt konvergere for x <, og vi får + 2x + 3x 2 + 4x 3 + = ( x) 2 for x < eller vi kn integrere ledd for ledd og får f.eks. x 2 x2 + 3 x3 4 x = ( x + x 2 x ) dx = + x dx = ln + x Innsetting v x = gir formelen for summen v den lternerende hrmoniske rekk = ln 2 Eksempel 5.3. Vi kn skrive reelle tll som summer v rsjonle tll (og dermed gi en presis definisjon v uendelige desimltll). L x =, være desimlutviklingen til et reellt tll. Det betyr t x = = + k 3 k 2 k=

23 Eksempel 5.4. Vi minner om rekkeutvikling for eksponensilfunksjonen e x = + x + 2! x2 + 3! x3 + 4! x og for de trigonometriske funksjonene sin x = x 3! x3 + 5! x5 7! x cos x = 2! x2 + 4! x4 6! x Setter vi inn ix for x i rekkeutviklingen for e x, får vi e ix = + ix + 2! (ix)2 + 3! (ix)3 + 4! (ix)4 + 5! (ix) = + ix 2! x2 3! ix3 + 4! x4 + 5! ix = ( 2! x2 + 4! x4... ) + i(x 3! x3 + 5! x5... ) dvs. t vi hr = cos x + i sin x e ix = cos x + i sin x 6 Løsning v DL Vi hr llerede sett t vi kn bruke rekkeutviklinger v funksjoner til å gjøre estimter for funksjonsverdier. F.eks. gir rekkeutviklingen for cosinus og sinus oss mulighet til, med så stor nøyktighet vi måtte ønske, å beregne verdien v disse funksjonene i et vilkårlig punkt. Og det fine er t det kn vi gjøre, bre ved bruk v de fire regneopersjonene. I dette kpitlet skl vi se på en nnen bruk v rekkeutvikling, nemlig til å løse differensillikninger. Vi skl t for oss to eksempler, først en DL vi kn løse ekskt, dernest en vi ikke klrer å løse ekskt med våre tilgjengelige metoder. I begge tilfeller skl vi ngripe likningene på flere forskjellige måter, bl.. ved å bruke rekkeutvikling. Stikkord: Numeriske og geometriske løsninger v diff.likninger 6. Løsning v y + y = e x Vi betrkter likningen y + y = e x y() = Vi setter inn i formelen for løsning v slike likninger; y = e R dx (e x )e R dx dx = e x (e x )e x dx = e x ( e x ) dx = xe x + Ce x 22

24 Setter vi inn for initilbetingelsen får vi = y() = + C, dvs. C = 2, og den spesielle løsningen blir y = xe x + 2e x Nå skl vi bruke en lineær pproksimsjon v løsningen (uten t vi bruker den eksplisitte formen for løsningen) til å regne ut verdien v løsningen i nærheten v. Vi strter i et punkt (x, y ) på løsningskurven, dvs. vi ntr t dersom y = f(x) er en løsning v likningen, så er y = f(x ). Lineær pproksimsjon bserer seg på formelen y n+ = y n + y (x n )(x n+ x n ) som er en god tilnærming når x n+ x n er liten. I vårt tilfelle er y (x n ) = e xn y n, så vi får formelen y n+ = y n + (e xn y n )(x n+ x n ) L oss si t vi er interessert i å beregne y(). Vi deler opp veien mellom og i små deler og bruker lineær pproksimsjon i hvert lille delintervll. I første forsøk lr vi ntll deler være og lle delintervllene like store. Det gir Bruker vi formelen og t (x, y ) = (, ) får vi x =, x =, x 2 = 2,..., x 9 = 9, x = y n+ = y n + (e xn y n )(x n+ x n ) y = + ( ) =.9 y 2 =.9 + (e 9 ).8 y 3 =... og etter litt regning y().943. I ndre forsøk lr vi ntll deler være, fortstt like store. Det gir og x =, x =, x 2 = 2,..., x 99 = 99, x = y = + ( ) =.99 y 2 = (e ).98 y 3 =... Denne gngen blir svret y().27. En end finere oppdeling, i deler, gir oss y().35, så det kn virke som om vi begynner å nærme oss en rett verdi. I dette tilfellet hr vi den ekskte verdien gitt, ved y() = e + 2 e = 3 e.36 23

25 Neste innfllsvinkel til å løse differensillikningen er vi rekkeutvikling. Likningen er fortstt y + y = e x y() = Vi ersttter e x = ( ) n n= x n og får n! y ( ) n + y = ( x n ) n! n= Så lr vi y = n x n, hvor vi ikke kjenner n, men vi skl prøve å regne dem ut. Dette gir y = n n x n og n n x n + n x n ( ) n = ( x n ) n! n= n= Nå kn vi smmenlikne koeffisientene forn like potenser v x i uttrykket n n x n + n x n ( ) n = ( x n ) n! Det gir n= n= n= n= + = = = = 6... Siden vi vet t y() = = kn vi beregne lle n. Vi får =, =, 2 =, 3 = 6, 4 = 2, 5 = 4, 6 = 8... Dette gir oss et Tylorpolynom v grd 6 for løsningen gitt ved T (x) = x + 6 x3 2 x4 + 4 x5 8 x6 Igjen kn vi regne ut verdien for x = ; y() T () = = 36 =

26 6.2 Løsning v likningen y y 2 = Vi ser så på likningen y y 2 = y() = Her hr vi ikke noen ekskt løsning å støtte oss på. Vi skl likevel bruke en lineær pproksimsjon v løsningen til å regne ut verdien v løsningen i nærheten v. Vi strter i et punkt (x, y ) på løsningskurven, dvs. vi ntr t dersom y = f(x) er en løsning v likningen, så er y = f(x ). Lineær pproksimsjon bserer seg fortstt på formelen y n+ = y n + y (x n )(x n+ x n ) som er en god tilnærming når x n+ x n er liten. I vårt tilfelle er y (x n ) = (y n ) 2 +, så vi får formelen y n+ = y n + ((y n ) 2 + )(x n+ x n ) Igjen er vi interessert i å beregne y(). Vi deler opp veien mellom og i små deler og bruker lineær pproksimsjon i hvert lille delintervll. I første forsøk lr vi ntll deler være og lle delintervllene like store. Det gir Bruker vi formelen og t (x, y ) = (, ) får vi x =, x =, x 2 = 2,..., x 9 = 9, x = y n+ = y n + ((y n ) 2 + )(x n+ x n ) y = + ( 2 + ) =. y 2 =. + (. 2 + ) =.2 y 3 =... og etter litt regning y() I ndre forsøk lr vi ntll deler være, fortstt like store. Det gir og x =, x =, x 2 = 2,..., x 99 = 99, x = y = + ( 2 + ) =. y 2 =. + (. 2 + ).2 y 3 =... Denne gngen blir svret y().537. En end finere oppdeling, i deler, gir oss y().5553, og nok en gng kn det virke som om vi begynner å nærme oss en rett verdi. 25

27 Vi skl løse differensillikningen vi rekkeutvikling. Likningen er ltså gitt ved y y 2 = y() = Vi lr y = n x n, hvor vi ikke kjenner n, men vi skl prøve å regne dem ut. Dette gir y = n n x n og n n x n ( n x n ) ( n x n ) = n= n= n= Vi smmenlikner koeffisienter forn like grder v x og får 2 = = = =... Siden vi vet t y() = = kn vi beregne lle n. =, =, 2 =, 3 = 3, 4 =, 5 = 2 5, 6 = 7 = 7 35, 8 =, 9 = , =, = ,... Dette gir oss et Tylorpolynom v grd for løsningen gitt ved som gir T (x) = x + 3 x x x x x y() T () = Funksjoner i flere vrible I Vi er ferdig med en-vribel-teorien, og vi kn begynne å jobbe med funksjoner i flere vrible. Det første vi skl gjøre er å gå gjennom de vnlige nlysene vi gjør for funksjoner i en vribel, og se hvordn dette ser ut når vi hr flere vrible. Hovedfokus er introduksjon v prtiell derivsjon. Stikkord: Funksjoner i flere vrible, grfer, nivåkurver og -pln, prtiell derivsjon, høyere ordens prtielt deriverte 26

28 7. Noen definisjoner og eksempler Definisjon 7.. En vbildning f : R n R klles en funksjon i n vrible og vi skriver y = f(x,..., x n ). Eksempel 7.2. Funksjonen f(x, x 2 ) = x 3 + x x 2 2x 2 2 er en funksjon i to vrible. Eksempel 7.3. Funksjonen T (x, x 2, x 3 ) som til hvert punkt i rommet tilordner temperturen i kkurt det punktet. Merk t i tilfellene hvor vi hr 2 eller 3 vrible, så bruker vi ofte x, y eller x, y, z som nvn på vriblene. Grfen til en funksjon i to vrible vil som oftest være en flte. Eksempel 7.4. Grfen til funksjonen z = sin (π x 2 + y 2 ). Eksempel 7.5. Grfen til funksjonen z = y sin x Nivåmengder En måte å frmstille funksjoner i flere vrible er ved å se på funksjonens nivåkurver. Nivåkurvene til en flte er kurver lngs hvilke funksjonen er konstnt. 27

29 Definisjon 7.6. En nivåmengde for en funksjon y = f(x,..., x n ) = f(x) for et reelt tll c er delmengden v R n gitt ved {(x) f(x) = c}. Klles nivåkurver for n = 2 og nivåflter for n = 3. Eksempel 7.7. L (x, y) være et punkt på krtet og l f(x, y) måle høyden over hvet i dette punktet. Høydekurvene på krtet er nivåkurver for denne funksjonen. Eksempel 7.8. Nivåkurver for f(x, y) = cos (2x) y Prtiell derivsjon Vi kn generlisere begrepet derivsjon til funksjoner i flere vrible. 28

30 Definisjon 7.9. L y = f(x,..., x n ) være en funksjon i n vrible. Den i-te prtiellderiverte v f er gitt ved f f(..., x i, x i + x, x i+,... ) f(x) = lim x i x x dvs. t vi lr lle x j, j i opptre som konstnter og deriverer mhp x i. Eksempel 7.. L f(x, y) = cos (2x) y 2. D hr vi Vi kn regne ut verdiene for noen punkter f = 2 sin (2x) x f y = 2y (, ) ( π, ) 4 (, ) ( π, ) 2 ( π, 3) sin 2x 2 2 2y og smmenlikne tlleksempene med nivåkurvene ( π, ) 4 (, ) ( π, ) 2 ( π, 3) 4 2 ( 2 sin 2x, 2y) ( 2, ) (, 2) (, 2) ( 2, 3) Det kn se ut som om retningen til de prtiellderiverte står normlt på nivåkurvene! (se eksemplet over) Vi kn forndre litt på eksemplet Eksempel 7.. L f(x, y) = cos (2x) y 2 + xy. D hr vi f = 2 sin (2x) + y x f y = 2y + x Nå kn vi f.eks. sette x =, og se på funksjonen g(y) = f(, y) = y 2. Den deriverte v denne funksjonen er g (y) = 2y som er det smme som vi får ved å sette inn x = i f. Tilsvrende kn vi se på h(x) = f(x, ) = cos (2x) + x. Den deriverte v denne y er h (x) = 2 sin (2x) +, som er det smme som den prtiellderiverte v f med hensyn på x, innstt y =. Definisjon 7.2 (lterntiv). Prtiell derivsjon mhp en vribel er helt vnlig derivsjon hvor vi betrkter lle de ndre vriblene som konstnter. Eksempel 7.3. L f(x, y) = cos (xy). D hr vi f x = sin (xy) y f y = sin (xy) x 29

31 Nå kn vi fortsette å derivere, det gir oss 4 muligheter Vi observerer t de to i midten er like. f = cos (xy) y2 x x f = cos (xy) xy sin (xy) y x f = cos (xy) xy sin (xy) x y f = cos (xy) x2 y y f = cos (xy) xy sin (xy) y x f = cos (xy) xy sin (xy) x y Tilfeldighet? Eller hr vi f y x = f x y Definisjon 7.4. Vi skl bruke notsjonen og hvis x i = x j = x; 2 f x i x j = x i f x j 2 f x x = 2 f x 2 Teorem 7.5. Kryssderivsjon er uvhengig v rekkefølge: 2 f x i x j = 2 f x j x i Eksempel 7.6. L f(x, y) = x 3 + xy y 2. D hr vi f x = 3x2 + y f y = x 2y Høyere ordens deriverte 2 f x 2 = 6x 2 f x y = 2 f y 2 = 2 3

32 8 Funksjoner i flere vrible II Vi fortsetter med nlysen v funksjoner i flere vrible, spesielt med fokus på hvordn vi kn finne mksimum og minimum. Det innebærer t vi må definere kritiske punkter. I tillegg skl vi se hvordn vi kn generlisere ndre-derivert-testen for funksjoner i en vribel til funksjoner i to vrible, gjennom det som klles Hesse-mtrisen.Dennee teorien skl vi bruke på et pr differensillikninger i flere vrible, såklt prtielle differensillikninger. Vi skl ikke løse disse likningene, det hr vi ikke noe verktøy til, men vi skl se hvordn slike likninger kn brukes til å modellere fysiske fenomener. Stikkord: Mx/min for funksjoner i flere vrible, kritiske punkter/nødvendig betingelse, ndrederivert test, diffusjonslikning, bølgelikning 8. Lokle ekstremlpunkter Vi strter med den lokle teorien, dvs. t vi nlyserer funksjonenes lokle egenskper. Lokle egenskper til en funksjon er egenskper som måles i punkter og små omegner om dem. Vi skl gjøre teorien for funksjoner i to vrible, men det er ikke noe forskjell å jobbe med flere vrible. Definisjon 8.. Det er to typer lokle ekstremlpunkter: i) z = f(x, y) hr et loklt minimum i (, b) dersom f(, b) er mindre enn eller lik f(x, y) for lle (x, y) i nærheten v (, b). ii) z = f(x, y) hr et loklt mksimum i (, b) dersom f(, b) er større enn eller lik f(x, y) for lle (x, y) i nærheten v (, b). Eksempel 8.2. Funksjonen f(x, y) = x 2 +y 2 hr et loklt minimum i (, ). Funksjonen hr ikke noen lokle mksimum. Eksempel 8.3. Funksjonen z = sin (π x 2 + y 2 ) hr et loklt minimum i (, ) og lokle mksimum i x 2 + y 2 = (pluss mnge flere som vi ikke ser på figuren). 2 3

33 8.2 Kritiske punkter Et helt sentrlt begrep innen klkulus er kritiske punkter: Definisjon 8.4. Et punkt (x, y) = (, b) klles et kritisk punkt dersom de prtielt deriverte i punktet ikke eksisterer eller t lle er. Eksempel 8.5. Vi kn derivere funksjonen f(x, y) = sin (π x 2 + y 2 ) og får f x = cos (π x πx 2 + y 2 ) x2 + y 2 f y = cos (π x πy 2 + y 2 ) x2 + y 2 Det er lett å se t begge de prtiellderiverte er når x = y = og når x 2 + y 2 =, 2 mens det ikke er fullt så enkelt å se t de blir når x = y =. Men det gjør de og vi hr kritiske punkter både for x 2 + y 2 = og for (x, y) = (, ). 2 Ofte er det smmenfll mellom ekstremlpunkter og kritiske punkter, men ikke lltid. Teorem 8.6. Dersom f(x, y) hr et loklt mksimum eller loklt minimum i (, b), så er (, b) et kritisk punkt. I motsetning til en-vribel-klkulus kn vi her oppleve et mikset tilfelle: Eksempel 8.7. Vi ser på følgende grf Denne grfen illustrerer funksjonen z = x 2 y 2. Punktet (, ) er et kritisk punkt. Det er et minimumspunkt dersom vi beveger oss gjennom det lngs med x-ksen, og et mksimumspunkt lngs med y-ksen. Denne type punkter hr få nvnet sdelpunkt, oppklt etter sdelen på en hesterygg. Vi hr tre forskjellige typer kritiske punkter for en funksjon f(x, y), lokle minimum, lokle mksimum og sdelpunkter. For å finne ut hv slgs punkt vi hr med å gjøre skl vi se på de ndrederiverte til funksjonen i det ktuelle punktet. For et punkt (, b) lr vi H(, b) betegne uttrykket H(, b) = 2 f x 2 (, b) 2 f y 2 (, b) ( 2 f x y (, b)) 2 32

34 Teorem 8.8. L f(x, y) være en funksjon i to vrible. D hr vi Dersom H(, b) > og 2 f x 2 (, b) >, så er (, b) et loklt minimumspunkt. Dersom H(, b) > og 2 f x 2 (, b) <, så er (, b) et loklt mksimumspunkt. Dersom H(, b) <, så er (, b) et sdelpunkt. Dersom H(, b) = sier ikke denne testen oss noe. Eksempel 8.9. Vi betrkter funksjonen f(x, y) = x 2 y 2. Det eneste kritiske punktet er for x = y =. Vi hr H = 2 ( 2) 2 = 4 <, som betyr t det kritiske punktet er et sdelpunkt. Eksempel 8.. Se på funksjonen f(x, y) = x 3 y 2 + xy. Vi setter de prtielt deriverte 3x 2 + y og 2y + x til å være lik, noe som gir oss kritiske punkter (, ) og (, ). 6 2 Vi regner ut H(x, y) = 6x ( 2) 2 = 2x Dette gir H(, ) = og H(, ) =. Smtidig hr vi 2 f (, ) = <. 6 2 x Det betyr t (, ) er et sdelpunkt og (, ) er et loklt mksimum Vrme- og bølgelikningene Eksempel 8.. Vrmelikningen er en differensillikning som beskriver hvordn vrme (energi) forplnter seg gjennom et legeme. I det -dimensjonle tilfellet beskriver den hvordn vrme forplnter seg gjennom en tynn metllstv, når vi vrmer opp den ene enden. Vi lr stven befinne seg på x-ksen, med det ene endepunktet i origo og det ndre i x =. Så vrmer vi opp origo-enden og ser hv som skjer. Vi betegner med u(x, t) temperturen i punktet x på stven på tidspunktet t og α betegner den såklte vrmediffusiviteten D hr vi differensillikningen u t = u α( 2 x ) 2 Denne likningen er i prinsippet er svært vnskelig å løse, men vi kn illustrerer hv som skjer over tid: 33

35 Til å begynne med er den ene enden vrm og den ndre kld. Etter hvert vil vrmen strømme fr den vrme til den klde enden slik likningen beskriver. Til slutt vil temerturen i stven være jevnt fordelt over det hele. Eksempel 8.2. Den -dimensjonle bølgelikningen er gitt ved 2 u t 2 = c2 2 u x 2 der u(x, t) betegner bølgeutslget i posisjonen x ved tiden t, og c er en konstnt. Likningen hr mnge forskjellige løsninger, vhengig v hv som er utgngspunktet. F.eks. ser vi t funksjonen u(x, t) = sin (x + ct) oppfyller 2 u t = 2 c2 sin (x + ct) 2 u = sin (x + ct) x2 og derfor er en løsning. Denne funksjonen beskriver en hrmonisk svingning som beveger seg i en retning. 9 Lgrnge metode Vi begynner med et eksempel på bruk v prtiell derivsjon for å gjøre såklt lineær regresjon, eller minste kvdrters metode. Dette er en nvendelse v teorien vi hr gjennomgått som gjør oss i stnd til å finne en best mulig rett linje gjennom et sett v oppgitte dtpunkter. Deretter skl vi se på en nnen metode for å finne ekstremlpunkter, men denne gngen hr funksjonene med seg såklte bibetingelser. Det betyr t vi ikke bre skl finne mksimumsverdien til en funksjon over et område i x, y-plnet, men vi kn finne mksimumsverdien over f.eks. en kurve i x, y-plnet. Dette klles Lgrnges metode, oppklt etter den frnske mtemtikeren Lgrnge, og hr mnge nvendelser, f.eks. i økonomi. 34

36 Stikkord: Anvendelser, minste kvdrters metode, lineær regresjon, betinget optimering, Lgrnge metode, ndre-derivert-test for Lgrnge optimering 9. Minste kvdrters metode Forventet levelder for nyfødte jentebrn i Norge hr utviklet seg slik de siste årene: ,53 8,52 8,93 82,33 82,52 82,66 82,66 82,95 Vi skl bruke det som klles minste kvdrters metode til å finne en formel som beskriver disse tllene. Vi lr x være år og y være forventet levelder. Hypotesen vår er t det er en lineær smmenheng mellom disse, dvs. y = x + b. Vi indekserer de 8 dtprene fr til 8, slik t f.eks. (x 3, y 3 ) = (23, 8.93). For hvert pr beregner vi vviket fr den nttte rette linj, gitt ved x i + b y i. Disse tllene kvdrerer vi og summerer over =, 2,..., 8. Dernest skl vi finne de koeffisientene og b slik t denne kvdrtsummen blir minst mulig. For å gjøre regningene litt enklere bruker vi år,2,3 osv. Kvdrtsummen blir 8 (x i + b y i ) 2 = 2 i= 8 x 2 i + 2b i= 2 8 x i + i= 8 x i y i 2b i= 8 i= 8 y i + Vi setter inn verdiene og får dette kvdrtiske vviket som en funksjon i og b gitt ved Q(, b) = b + 8b b Vi skl finne minimum for denne funksjonen. Vi prtiellderiverer med hensyn på og b og setter uttrykkene lik. Det gir i= b 2 8 i= y 2 i Q Q b = b 594 = b 36 som gir =, 226 og b = 8, 23 og forventet levelder som en funksjon v årstll blir y =, 226(x 2) + 8, 23 =, 226x 37, 77 Smmenlikner vi med de oppgitte tllene får vi ,53 8,52 8,93 82,33 82,52 82,66 82,66 82,95 8,46 8,68 8,9 82,3 82,36 82,59 82,8 83,4 35

37 Vi kn sette inn x = 866 som er SSBs første registrering. Det gir forventet levelder y = 5, 95, mens SSB oppgir 5,65 som gjennomsnitt for perioden Vår lineære tilnærming er ltså ut til å stemme godt. I den motstte tidsretning ser vi t y = gir x = 283, så med smme utvikling vil jentebrn født i 283 h en forventet levelder på år. Gjør vi den smme nlysen i en generell setting får vi ut likninger for og b; = n n i= x iy i n i= x n i i= y i n n i= x2 i ( n i= x i) 2 n i= b = y i n i= x i n som kn brukes i lle eksempler. Eksempel 9.. Gitt følgende dt for korresponderende høyde og vekt for jentebrn i lderen 5- år. Vi skl finne en best mulig lineær smmenheng. x y Vi regner ut x i = 998, y i = 97.9, x 2 i = og x i y i = Setter vi xi = 998, y i = 97.9, x 2 i = og x i y i = inn i formelen får vi = n n i= x iy i n i= x i n i= y i = n n i= x2 i ( n i= x i) (998) =.4424 og n i= b = y i n i= x i n = = Det gir smmenhengen y =.4424x 3.5 for dtene 9.2 Lgrnges metode Lgrnges metode gir oss muligheten til å finne mks og min for en funksjon over et mer generelt definisjonsområde. Definisjonsområdet kn f.eks. være en kurve eller en flte i rommet. Lemm 9.2. Ant t to funksjoner f(x, y) og g(x, y) hr nivåkurver som tngerer hverndre i et punkt (x, y ). D er deres første-ordens prtiellderiverte proporsjonle i punktet, dvs. det finnes en konstnt λ (klt Lgrnge multipliktor) slik t f x = λ g x f y = λ g y 36

38 Vi skl formulere Lgrnges metode i det tilfellet t definisjonsområdet er gitt som nullpunktene til en funksjon i to vrible, dvs. området er en kurve i plnet. Teorem 9.3. For å løse det betingede optimeringsproblemet : Finn mks eller min v funksjonen f(x, y) under betingelsen g(x, y) = må vi løse det følgende likningssystemet i x, y og λ; f x = λ g x, f y = λ g, g(x, y) = y Dersom optimliseringsproblemet hr en løsning (x, y ), så vil (x, y, λ ) være løsning v likningssystemet for en λ. Joseph-Louis Lgrnge (736-83), vr født i Torino (hn het egentlig Giuseppe Lodovico Lgrngi). Tretti år gmmel etterfulgte hn Leonrd Euler som direktør for det prøysiske vitenskpskdemiet i Berlin. Tyve år senere flyttet hn til Pris og ble kompis med Npoleon. Hn er regnet som en v verdenshistoriens viktigste mtemtikere og mtemtiske fysikere. Eksempel 9.4. Finn mksimum for f(x, y) = x 2 3 y 3 over kurven gitt ved 8x + 2y 2 =. (Dette eksemplet er hentet fr økonomi). Prtiell derivering gir 2 3 x 3 y 3 = 8λ 3 x 2 3 y 3 = 2λ 8x + 2y 2 = Eliminerer vi λ fr de to første likningene får vi 2 3 x 3 y 3 = 4 3 x 2 3 y 3 eller y = 2x. Kombinerer vi dette med den tredje likningen får v x =, y = 2, som gir minimumsverdi 26. Vi hr også her en ndre-derivert-test for å fstslå om et ekstremlpunkt er mks eller min. 37

39 Teorem 9.5. L (x, y, λ ) være et kritisk punkt for Lgrngefunksjonen og l F (x, y, λ) = f(x, y) λg(x, y) D(x, y, λ) = ( 2 F )( 2 F ) ( 2 F ) 2 x 2 y 2 x y D gjelder t hvis D(x, y, λ ) > og ( 2 F x 2 ) (x, y, λ ) > (henholdsvis < ), så hr f(x, y) et loklt minimum (mksimum) i (x, y, λ ) under betingelsen g(x, y) =. Eksempel 9.6. Finn mksimum for f(x, y) = 5x 2 +3y 2 2xy 6x y + over kurven gitt ved g(x, y) = x + y 8 =. Lgrngefunksjonen er De prtielt deriverte og F (x, y, λ) = 5x 2 + 3y 2 2xy 6x y + λ(x + y 8) F x = x 2y 6 λ, F F y y = (x + y 8) = 6y 2x λ settes lik, og vi får x = 3, y = 5 og λ = 4 som det eneste kritiske punktet. ndre-deriverte; ( 2 F ) ( 2 F ) ( 2 F ) 2 =, = 2, = 6 x 2 y 2 x y som gir D(3, 5, 4) = 6 ( 2) 2 = 56 >. Mo, det kritiske punktet er et loklt minimum. Vektorklkulus I Vi fortsetter med grdienter og Lgrnge metode som vi begynte på i forrige kpittel. Dette vil lede oss til teorien for vektorfelt, som vi skl jobbe videre med utover. Vektorfelt er funksjoner i flere vrible der funksjonsverdiene er vektorer. Eksempel på et vektorfelt er funksjonen som til et hvert punkt i tmosfæren tilordner vindstyrke og -retning. Retningen påvektoren er vindretningen og lengden v vektoren er vindstyrken. Et nnet eksempel på et vektorfelt er retningsdigrmmet til en differensillikning, der vi til et hvert punkt i plnet tilordner vektoren (, y ). Stikkord: Vektorfelt, grdienter, potensilfunksjoner, konservtive vektorfelt De 38

40 . Vektorfelt Vi hr tidligere definert hv vi mener med fuksjoner i flere vrible. Vi kn generlisere denne definisjonen til det som klles vektorfelt. Definisjon.. En funksjon F : R n R m for to nturlige tll n, m klles et vektorfelt. Eksempel.2. Hvis vi setter n = m = 3 er et vektorfelt en funksjon som til hvert punkt i rommet tilordner en vektor i rommet. F.eks. vil en funksjon som i hvert punkt i tmosfæren ngir vindretning (vektorens retning) og vindstyrke (lengden til vektoren) være et vektorfelt, mo et felt v vektorer. Eksempel.3. Et mgnetfelt kn beskrives v som et vektorfelt. Til et punkt i plnet tilordner vi en vektor som ngir mgnetfeltets retning i dette punktet. Vi kn illustrere mgnetfeltet ved å bruke jernfilspon oppå en glsplte med en mgnet rett under. Sponet vil d tegne opp feltlinjene. Eksempel.4. L F (x, y) = (sin y, sin x) være et vektorfelt i plnet. Vi kn illustrere feltet ved å tegne et pssende utvlg v vektorer: 39

41 Eksempel.5. Vektorfeltet F (x, y) = ( y, x) i plnet kn illustreres slik:.2 Grdient Hvis vi hr gitt en funksjon i flere vrible kn vi derivere funksjonen og få et vektorfelt. Denne deriverte klles grdienten til funksjonen: Definisjon.6. L f(x,..., x n ) være en funksjon i n vrible. Grdienten til f er gitt ved f = ( f,..., f ) x x n Eksempel.7. Funksjonen f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 hr grdient f = (2x, 2y, 2z), ltså et rdilfelt. Teorem.8. L y = f(x,..., x n ) være en funksjon i n vrible. D vil f være en vektor som peker i retningen hvor f vokser mest, dvs grdienten står normlt på nivåmengdene. Bevis.9. L γ : R R n være en kurve som er helt inneholdt i en nivåmengde for f, dvs. F (t) = f(γ(t)) = C for lle t. Generliseringen v kjerneregelen gir t F (t) = f(γ(t)) γ (t) hvor produktet er vnlig sklrprodukt mellom vektorer. Siden F (t) = C er konstnt vil dette sklrproduktet være, som er det smme som t de to vektorene står normlt på hverndre. Men γ(t) ligger helt inne i nivåmengden, og dens deriverte vil derfor 4

42 være tngent til nivåmengden. Men når grdienten står normlt på lle tngenter, står den normlt på hele mengden. Vi hr tidligere sett på Lgrnges metode for å finne ekstremlpunkter under betingelser. Lgrnges teorem sier t dersom vi skl finne mks og min for funksjonen f(x, y) under betingelsen g(x, y) =, så skl vi lete etter punkter som oppfyller g(x, y) = og slik t grdientene til f og g er prllelle; f = λ g Dersom vi hr funnet et ekstremlpunkt på kurven gitt ved g(x, y) =, l oss si et mkspunkt, så betyr det t for lle punkter i nærheten v punktet vil verdien v funksjonen f(x, y) være mindre enn verdien i punktet. Retningen for største endring vil derfor stå normlt på nivåkurven. Funksjonen g(x, y) er jo nødvendigvis konstnt lngs kurven g(x, y) = og vil derfor også h sin største endring normlt på kurven. Mo er de to grdientene prllelle i mkspunktet. Eksempel.. Grdienten til funksjonen f(x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 er f = (2x, 2y, 2z), mens nivåfltene er kuleskll gitt ved x 2 + y 2 + z 2 = C. Det stemmer godt med t f = 2(x, y, z) står normlt på kuleskllene. Eksempel.. L f(x, y, z) = xyz. D er f = (yz, xz, xy)..3 Konservtive felt Vi hr til en funksjon f i flere vrible tilordnet et vektorfelt f, som vi tenker på som en generlisering v derivsjon. Et nturlig spørsmål å stille i en slik smmenheng er om vi hr noe vi kn klle nti-derivsjon. Problem.2. Gitt et vektorfelt F : R m R n. Kn vi finne en funksjon f : R m R slik t F = f? Definisjon.3. Et vektorfelt F som er slik t det finnes f slik t F = f klles et konservtivt vektorfelt, og funksjonen f klles et potensil for F. Teorem.4. L F (x, y) = (p(x, y), q(x, y)) være en funksjon fr R 2 inn i R 2. En nødvndig betingelse for t vektorfeltet er konservtivt er t p y = q x Merk. Selv om denne betingelsen er oppfyllt er det ikke sikkert t vektorfeltet hr et potensil. F.eks. er betingelsen oppfyllt for F (x, y) = ( y x, ( ) (utenfor origo), x 2 +y 2 x 2 +y 2 men det finnnes ikke noe potensil. Eksempel.5. Vi hr gitt et vektorfelt F(x, y) = (2xy 4, 4x 2 y 3 ) Vi skl teste om vektorfeltet kn h et potensil. Vi gjør derivsjonstesten y (2xy4 ) = 8xy 3 4 x (4x2 y 3 ) = 8xy 3

43 Det gikk br, og det er dermed gode muligheter for t det finnes et potensil f = f(x, y). Vi må i så fll h f x = f 2xy4 x = 4x2 y 3 Integrerer vi 2xy 4 med hensyn på x får vi x 2 y 4 + g(y), der g(y) er en funksjon kun i y og som går på når vi deriverer med hensyn på x. Det enkleste er nå å derivere denne funksjonen med hensyn på y og smmenlikne med uttrykket over. y (x2 y 4 + g(y)) = 4x 2 y 3 + g (y) Siden dette skl være lik 4x 2 y 3 slutter vi t g (y) = eller t g(y) = K en konstnt. Et generelt potensil er derfor gitt ved Vektorklkulus II f(x, y) = x 2 y 4 + K Vi begynner med litt repetisjon fr forrige kpittel, med å sjekke om et vektorfelt er konservtivt og dersom svret er j, regne ut potensilfunksjonen. Videre skl vi se på en vrint v dette, hvor vi tr utgngspunkt i et vektorfelt og prøver å jobbe oss frm til integrlkurver for vektorfeltet. Integrlkurver er kurver som følger feltet. Generelt er det nesten umulig å løse slike problemer, men vi skl hovedskelig se på eksempler der vi kn finne en løsning, som illustrsjoner på nvendelser v grdientkonstruksjonen. Stikkord: Mer om potensil og grdienter, geometrisk betydning v potensiler, prktiske eksempler på potensiler. Grdienter og potensil Eksempel.. Vi hr gitt et vektorfelt F(x, y) = (3x 2 6xy, 3x 2 + 3y 2 ) Vi skl prøve å finne et potensil for F. Vi gjør derivsjonstesten y (3x2 6xy) = 6x x ( 3x2 + 3y 2 ) = 6x Det gikk br, og det er dermed gode muligheter for t det finnes et potensil f(x, y) slik t F = f. Vi må i så fll h f x = 3x2 6xy f x = 3x2 + 3y 2 Integrerer vi 3x 2 6xy med hensyn på x får vi x 3 3x 2 y + g(y), der g(y) er en funksjon kun i y og som går på når vi deriverer med hensyn på x. Det enkleste er nå å derivere denne funksjonen med hensyn på y og smmenlikne med uttrykket over. y (x3 3x 2 y + g(y))) = 3x 2 + g (y) 42

44 Siden dette skl være lik 3x 2 +3y 2 slutter vi t g (y) = y 3 +K hvor K er en integrsjonskonstnt. Et generelt potensil er derfor gitt ved f(x, y) = y 3 3x 2 y + y 3 + K.2 Integrlkurver i plne vektorfelt Vi skl se på en vrint v potensilproblemet. Tidligere hr vi sett på retningsdigrm og brukt disse til å konstruere løsninger til differensillikninger. Vi skl se på denne problemstillingen fr en litt nnen synsvinkel. I plnet ser definisjonen v et vektorfelt slik ut Definisjon.2. L f (x, y) og f 2 (x, y) være funksjoner i to vrible definert på et område R i xy-plnet. Et plnt vektorfelt F : R 2 R 2 er gitt ved F(x, y) = (f (x, y), f 2 (x, y)) Retningsdigrmmet til en funksjon y = f(x) er et eksempel på et vektorfelt i plnet. Vi kn sette opp et uttrykk for tngentene til grfen til f ved vektorene (, f (x)). Dette gir oss et vektorfelt ved å sette f (x, y) = og f 2 (x, y) = f (x)). Nå vet vi t funksjonene y = f(x) + C gir oss lle løsningskurvene til dette vektorfeltet. Dette kn vi forsøke å generlisere. Vi tenker oss t vi hr gitt et vektorfelt F : R 2 R 2. Denne funksjonen tilordner til et hvert punkt i plnet en vektor. Et nturlig spørsmål vi kn stille er om det finnes en pln kurve som følger dette vektorfeltet, ltså om det finnes det vi hr klt en løsningskurve eller integrlkurve. Definisjon.3. L F(x, y) = (f (x, y), f 2 (x, y)) være et vektorfelt i plnet. Vi sier t en funksjon y = g(x) er en integrlkurve for vektorfeltet dersom (, g (x)) er prllell med F(x, y) i lle punkter på grfen til y = g(x). Dette betyr spesielt t i lle punkter på grfen til y = g(x) må vi h t g (x)) = f 2(x,y) f (x,y). Dette er generelt vnskelig å få til, så vi må begrense problemet litt for å komme noe videre. Men først et pr eksempler: Eksempel.4. Betrkt vektorfeltet F(x, y) = (y, x). D vil funksjonen y = g(x) = R2 x 2 gi oss en integrlkurve for lle vlg v R. Det følger v t g (x) = 2x 2 R 2 x = x 2 y Eksempel.5. Dersom vektorfeltet er gitt ved F(x, y) = ( x, y) ser vi t funksjonen y = g(x) = C gir oss en integrlkurve for lle vlg v konstnten C. Det følger siden x som er prllell med F(x, y). (, g (x)) = (, C x ) = 2 x ( x, C x ) = ( x, y) x Vi legger inn et lite mellomspill om vektorer her. 43

45 Lemm.6. Gitt en vektor v = (v, v 2 ) i plnet. D vil vektoren v = ( v 2, v ) stå normlt på v, dvs. v v =. Eksempel.7. Vektorene v = (, 2) og v = ( 2, ) står normlt på hverndre siden v v = (, 2) ( 2, ) =. Eksempel.8. Vi skl først se på problemet i motstt retning. Vi tenker oss d t vi hr gitt en kurve, f.eks. g(x, y) = x 2 y + y + =. Grdienten til kurven peker i hvert punkt på kurven i en retning som står vinkelrett på tngenten til kurven. I vårt tilfelle er grdienten gitt ved g(x, y) = (2xy, x 2 + ) Nå er vi mer interessert i vektorer lngs med kurven, mer enn vektorer på tvers v kurven. Det betyr t for å skrive opp et pildigrm som følger den gitte kurven, så må vi se på vektorene g(x, y) = (x 2 +, 2xy) Tr vi utgngspunkt i dette vektorfeltet, så blir spørsmålet det motstte, betrkt et vektorfelt som står normlt på det gitte vektorfeltet. Kn vi finne en funksjon slik t vektorfeltet er grdienten til denne funksjonen, ltså det vi hr klt et potenisl? I vårt tilfelle kn vi det (pr. konstruksjon) og nivåkurvene til denne funksjonen gir oss presis løsningskurver til vektorfeltet g(x, y). Eksempel.9. Et vektorfelt er gitt ved F(x, y) = ( y, x) Vi skl prøve å finne en kurve som følger dette vektorfeltet, dvs. som i hvert punkt på kurven hr tngent som er prllell med vektorfeltet. I tillegg vil vi t kurven skl gå gjennom punktet (, ). Vi begynner med å konstruere et vektorfelt som står normlt på det gitte vektorfeltet, nemlig F (x, y) = (x, y) Det er lett å se t dette vektorfeltet er grdienten til funksjonen f(x, y) = 2 (x2 +y 2 ). Siden vår kurve skulle gå gjennom punktet (, ) så er det nivåkurven til f gitt ved f(x, y) = 2 (x2 + y 2 ) = vi er ute etter, mo en sirkel i plnet. 2 Eksempel.. Et eksempel til. Nå hr vi gitt vektorfeltet F(x, y) = ( y, 2x) Vi skl prøve å finne en kurve som som i hvert punkt hr en tngent som er prllell med vektorfeltet. I tillegg vil vi t kurven skl gå gjennom punktet (, ). Vi begynner med å konstruere et vektorfelt som står normlt på det gitte vektorfeltet, nemlig F (x, y) = (2x, y ) Det er lett å se t dette vektorfeltet er grdienten til funksjonen f(x, y) = x 2 +ln (y). Siden vår kurve skulle gå gjennom punktet (, ) så er det nivåkurven til f gitt ved f(x, y) = x 2 + ln (y) = vi er ute etter, mo ln (y) = x 2 eller y = e x2. 44

46 Eksempel.. Vi skl se på et nnet eksempel der vi hr et potensil. Tyngdefeltet på jordoverflten er et vektorfelt, gitt v et potensil. Potensilet er gitt ved f(x, y, z) = C x2 + y 2 + z 2 der vi hr lgt origo i jords sentrum. Grdienten til dette feltet er f = ( Cx Cy Cz ),, (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) Vektorklkulus III Grdienten er den nturlige deriverte til en funksjon i flere vrible. Hv med den deriverte v et vektorfelt? Siden derivsjon er et uttrykk for endring, skl derivsjon v et vektorfelt gi oss et uttrykk for endring v vektorfeltet. Dette leder oss til begrepet sirkulsjon (curl), En viktig observsjon er t når vi definerer derivsjon på denne måten forsvinner lle dobbel-deriverte, f.eks. vil et potensil ikke h noen sirkulsjon. Stikkord: Definisjon og tolkning v begrepet sirkulsjon for plne vektorfelt, sirkulsjon for romlige vektorfelt 2. Sirkulsjon Vi hr tidligere sett t når vi hr gitt et vektorfelt F = (P, Q) kn vi bruke en deriverttest for å vgjøre om feltet er konservtivt, dvs. om det kn skrives som en grdient v en funksjon i flere vrible. Testen smmenlikner de prtiellderiverte Q x og P y og konklusjonen er t likhet er en nødvendig betingelse for t feltet er konservtivt. Det betyr t differnsen Q x P y hr en lkmus-rolle i å vgjøre om et felt er konservtivt. Uttrykket er så viktig t det hr fått et eget nvn, vi kller det sirkulsjonen til feltet Definisjon 2.. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et plnt vektorfelt. Vi definerer sirkulsjonen til F, curl(f) ved curl(f) = Q x P y Vi skl etter hvert se på hvorfor vi kller dette for sirkulsjon. Vi skl først regne ut sirkulsjonen til noen vektorfelt: 45

47 Eksempel 2.2. L F(x, y) = (x, y) være et rdilt vektorfelt. D er sirkulsjonen til F curl(f) = x y y x = så feltet er konservtivt, gitt ved F = f, der f(x, y) = x 2 + y 2 + C. Eksempel 2.3. L F(x, y) = ( y, x) være et sirkulært vektorfelt. D er sirkulsjonen til F curl(f) = x x y ( y) = 2 dvs. t sirkulsjonen er konstnt i hele plnet. Eksempel 2.4. Et konstnt vektorfelt F(x, y) = (, b) hr selvfølgelig ikke noen sirkulsjon, siden curl(f) = x y b = Feltet er grdienten til funksjonen f(x, y) = x + by + C, dvs. en lineær funksjon. Eksempel 2.5. Selv et vektorfelt der lle pilene peker smme vei kn h sirkulsjon. L F(x, y) = (y, ) være et vektorfelt der lle pilene peker i x-retning. Sirkulsjonen til F er gitt ved curl(f) = x y y = Grunnen til t vi får en ikke-null sirkulsjon i dette eksempelet er t størrelsen på feltet øker når vi beveger oss ut fr x-ksen. En måte å visulisere sirkulsjon er som følger. Vi tenker oss t vi fyller hele plnet med mennesker som beveger seg med vektorfeltet. Det betyr t de i et hvert punkt beveger seg i den retningen som feltet foreskriver og med en hstighet gitt ved lengden v vektoren i punktet. For eksempel vil feltet F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) i punktet (, b) h retning (P (, b), Q(, b)) og størrelse P (, b) 2 + Q(, b) 2. For å måle sirkulsjonen i feltet i punktet (, b) plsserer vi en stolpe i punktet. Stolpen må bli værende i punktet, men må kunne sirkulere fritt om sin egen kse. Når folkemssen beveger seg med feltet vil sirkulsjonen i stolpen presis beskrive sirkulsjonen i feltet. I det ene eksempelet over så vi t feltet F(x, y) = (y, ) hr sirkulsjon curl(f) = selv om hele køen går i smme retning, lngs x-ksen. Imidlertid går de fortere og fortere jo lenger ut fr x-ksen vi kommer. Det betyr t en stolpe som er pssert i folkemssen bliir skubbet mer på den ene enn den ndre siden, og derfor vil rotere. Det er den smme effekten i eksemplet med det sirkulære vektorfeltet F(x, y) = ( y, x). Det er ltså ikke det t feltet er sirkulært som skper sirkulsjonen, men det er det t størrelsen på feltet øker når vi beveger oss på tvers v feltretningene. I det rdile feltet F(x, y) = (x, y) vil også størrelsen på feltet øke når vi beveger oss vekk fr origo, men feltet er konstnt i størrelse på tvers v feltretningene, og d blir sirkulsjonen borte. Vi kn gi en romlig versjon v begrepet sirkulsjon. I det tilfellet vil sirkulsjonen være et nytt vektorfelt. 46

48 Definisjon 2.6. L F(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) være et vektorfelt i rommet. Vi definerer sirkulsjonen til F, curl(f) ved curl(f) = ( R y Q z, P z R x, Q x P ) y Betrkt nå et vektorfelt i plnet, gitt ved t R(x, y, z) = og slik t P og Q er konstnte mht. z. Dette er det nærmeste vi kommer en romlig versjon v et plnt vektorfelt. Det gir curl(f) = (,, Q x P ) y Mo. er sirkulsjonen til et plnt vektorfelt gitt ved en retning ut v plnet og i den retningen er størrelsen på feltet lik med definisjonen v sirkulsjon for et plnt vektorfelt. De to definisjonene er dermed konsistente, men vi skl i våre eksempler holde oss til den plne versjonen. Eksempel 2.7. Vi skl regne ut sirkulsjonen til retningsdigrmmet til funksjonen y = g(x). Retningsdigrmmet er i hvert punkt gitt som et vektorfelt G(x, y) = (, g (x)). Sirkulsjonen blir d curl(g) = x g (x) y = g (x) Det betyr t sirkulsjonen i dette tilfellet måles v smme uttrykk som måler funksjonenes krumning. 3 Multippel integrsjon Fundmentlteoremet sier t integrsjon og derivsjon er motstte opersjoner. Vi hr de siste ukene sett hvordn vi på ulike måter kn derivere funksjoner i flere vrible. Nå er turen kommet til den motstte opersjonen, vi skl integrere funksjoner i flere vrible. Stikkord: Multippel integrsjon over rektngler, multippel integrsjpon over generelle plne område, rel/tyngdepunkt 3. Multippel integrsjon over rektngler Vi skl begynne med å integrere funksjoner i to vrible over rektngler i plnet. Ved prtiell derivsjon deriverte vi mhp en vribel og betrktet lle ndre vrible som konstnter. Multippel integrsjon bserer seg på nøyktig smme prinsipp. Vi illustrerer dette med eksempler. Eksempel 3.. Vi skl regne ut integrlet v funksjonen f(x, y) = xy + over rektngelet Q : [, ] [, ] i (x, y)-plnet. Når vi skriver xy + dx dy Q 47

49 så mener vi Q Q xy + dx dy = xy + dx dy = = = ( ( xy + dx) dy xy + dx) dy [ 2 x2 y + x] dy 2 y + dy = [ 4 y2 + y] = ( ) = 2 Eksempel 3.2. Vi kn regne ut det smme integrlet, men i motstt rekkefølge: Q xy + dx dy = = = ( xy + dy) dx [ 2 xy2 + y] dx ( 2 x + x + ) dx 2 = [2x] = 2 = 2 Det er ikke noen tilfeldighet t disse to integrlene er like. Det er et generelt fktum. Teorem 3.3. En funksjon f(x, y) er definert over et rektngel Q : [, b] [c, d] i plnet. D hr vi d b b d f da = ( f(x, y) dx) dy = ( f(x, y) dy) dx Q c Eksempel 3.4. Funksjonen f(x, y) = x sin y ye x er definert over rektngelet [, ] c 48

50 [, π 2 ]. Vi skl beregne integrlet Q f da. π 2 ( x sin y ye x dy) dx = = [ x cos y 2 y2 e x ] π 2 dx ( π2 8 ex + x) dx = [ π2 8 ex + 2 x2 ] = π2 8 e π2 8 e 2 = π2 8 ( e e) Eksempel 3.5. Vi skl regne ut volumet under grfen til f(x, y) = x 2 + y 2 over rektngelet [, ] [, ]. ( x 2 + y 2 dy) dx = = [x 2 y + 3 y3 ] dx (x ( x2 ) ( )) dx 3 = [ 2 3 x x] = ( ) = Multippel integrsjon over mer generelle områder Vi skl se på dobbeltintegrlet over mer generelle områder enn rektngler, nemlig områder som ligger mellom to grfer. Vi begynner med de områdene vi kller type I. Dette er områder gitt ved D = {(x, y) x b, g(x) y h(x)} Definisjon 3.6. Vi definerer integrlet v funksjonen f(x, y) over området D, gitt over, til å være b h(x) f da = ( f(x, y) dy)dx D Eksempel 3.7. L D være området gitt ved ulikhetene x 2 og y x 2. Vi skl beregne dobbeltintegrlet xy dx dy D g(x) 49

51 I dette eksemplet er g(x) = og h(x) = x 2. Det gir D xy dx dy = = = ( x 2 xy dy)dx [ 2 xy2 ] x2 )dx 2 x5 dx = [ 2 x6 ] 2 = 63 2 Områder (integrler) v type II er vgrenset v kurver på formen x = g(y), ltså grfer der x-ksen og y-ksen hr byttet roller i forhold til type I. D = {(x, y) c y d, g(y) x h(y)} Formelen for dobbeltintegrlet v en funksjon f(x, y) over et slikt område er gitt ved D f(x, y) dx dy = d c ( h(y) g(y) f(x, y) dx)dy Det er viktig å merke seg t i disse tilfellene er det ikke nødvendigvis mulig å bytte om på integrsjonsrekkefølgen, det kn vi kun gjøre dersom området både er v type I og v type II. Eksempel 3.8. Vi skl beregne dobbeltintegrlet D y2 sin xy dx dy der D er området mellom x = y og x = og der y [, ]. Vi regner ut y f(x, y) dx dy = ( y 2 sin xy dx)dy 3.3 Arel og tyngdepunkt D = = [y 2 y cos xy]y dy y cos y 2 y dy = [ 2 sin y2 2 y2 ] = 2 sin 2 2 Vi kn bruke dobbeltintegrsjon til å finne relet til et område i xy-plnet. Det gjør vi ved å betrkte konstntfunksjonen f(x, y) = over det området vi skl finne relet v. Det legemet vi d beregner volumet v vil være en sylindrisk boks med grunnflte lik området i xy-plnet og høyde, og relet får nøyktig smme verdi som volumet. Vi kn se på et eksempel. 5

52 Eksempel 3.9. Vi skl finne relet v området i xy-plnet som ligger inni prbelen y = x 2, under y = og mellom x = og x =. Vi beregner dobbeltintegrlet A = x 2 dy dx = [y] x dx = x 2 dx 2 = [x 3 x3 ] = ( 3 ) ( 3 ( )3 )2 2 3 = 4 3 Vi kn bruke en tilsvrende teknikk for å finne tyngdepunktet v et rel i plnet. Tyngdepunktet v et område D i plnet er det punktet som ligger mest midt i området. Det betyr t dersom vi kutter ut området på en ppplte og setter plten på toppen v en psserspiss, så vil plten blnsere dersom vi hr stt psserspissen i tyngdepunktet. Mn kn vise t vi finner koordintene til dette punktet, som vi kller (x, y) ved formelene xa = x dx dy ya = y dx dy der A er relet v området D. D Eksempel 3.. Vi kn bruke disse formelene til å finne tyngdepunktet til en treknt med grunnlinje og høyde h. Vi legger de tre hjørnene i punktene (, ), (, ) og (, h). 2 2 Siden treknten stikker like mye ut på hver side v y-ksen vil et enkelt symmetrirgument gi t x =. For å finne y-koordinten deler vi treknten i to og betrkter den delen som ligger i første kvdrnt. Vi ser t y-koordinten til tyngdepunktet er den smme for denne hlve treknten som for hele treknten. Det betyr t området vi skl integrere over er gitt ved t x og y h 2h x. Den siste ulikheten får vi fr uttrykket som gir 2 likningen til hypotenusen i den hlve treknten, nemlig y = h 2h x. Arelet v denne treknten vet vi er A = h og formelen over gir oss 2 y h 2 = 2 = 2 h 2h x y dy dx = 2 [ y2 D 2h 2 ]h x dx h 2 4h2 x + 4h2 2 x2 dx = [h 2 x 2h2 x2 + 4h2 3 2 x3 ] 2 = h 2 2 2h2 ( 2 )2 + 4h2 3 2 ( 2 )3 = h 2 ( ) = h2 6 Deler vi ut får vi t y = h som er y-koordinten til tyngdepunktet. 3 4 Kurveintegrler I I dette kpitlet skl vi se på kurver i plnet og hvordn vi kn inegrere funksjoner som er definert over slike kurver. Når vi integrerer lngs x-ksen tenker vi på integrlet som en uendelig sum v relene til uendelig mnge uendelig smle rektngler med funksjonsverdien som høyde og bredde dx. Vi gjør det smme lngs en kurve, men nå ersttter vi dx med et uendelig lite segment ds lngs kurven. Integrlet blir i prinsippet det smme, men for å få det til kommer vi til å trenge inngående kunnskp om disse små segmnetene. 5

53 Stikkord: Prmetriserte kurver, differensiler på kurver, ds, generelle kurveintegrler 4. Prmetriserte kurve Vi hr til nå beskrevet kurver på to forskjellige måter. Den ene er som grfen til en funksjon y = f(x) = x 2, og den ndre er som løsningene v en likning, x 2 + y 2 =. Disse to beskrivelsene gir oss (deler v) en sirkel. En tredje måte å gjøre dette er ved å prmetrisere kurven. I vårt tilfelle setter vi eller x = cos t, y = sin t. r(t) = (cos t, sin t) Definisjon 4.. Funksjonen klles en prmetrisert kurve. r(t) = (f(t), g(t)) Eksempel Prmetriseringen r(t) = (R cos t, R sin t) beskriver en sirkel med rdius R. 2. En prbel kn prmetriseres ved r(t) = (t, t 2 ). 3. Generelt kn vi prmetrisere grfen til en funksjon y = f(x) ved r(t) = (t, f(t)). 4. Prmetriseringen r(t) = ( t 2 + t 4, t 2 t 4 ) beskriver en lemniscte. Vi kn regne ut tngentvektoren til den prmetriserte kurven i et punkt ved å derivere de to definerende funksjonene; T(t) = r (t) = (f (t), g (t)) og normlvektoren T(t) = r (t) = ( g (t), f (t)) Eksempel 4.3. Vi hr gitt en sirkel ved r(t) = (R cos t, R sin t). Det gir tngentvektor T(t) = ( R sin t, R cos t) og normlvektor N(t) = ( R cos t, R sin t). I dett tilfelle vil posisjonsvektoren r(t) og normlvektoren N(t) peke i smme (motstt) retning. Eksempel 4.4. Prblen kn beskrives ved r(t) = (t, t 2 ) og vi hr tngentvektor T(t) = (, 2t) og normlvektor N(t) = ( 2t, ). 52

54 4.2 Buelengde Det er mulig å beregne buelengden til en prmetrisert kurve. Ved Pythgors teorem får vi t ( s) 2 = ( x) 2 + ( y) 2. Tr vi kvdrtroten og deler vi på t får vi s t = ( x t )2 + ( y t )2 Når vi går til grensen t får vi som vi kn skrive s lim t t = ds dt = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 ds = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt På smme måte som vi hr tolket dx som et uendelig lite linjestykke lngs med x- ksen, kn vi tolke ds som et uendelig lite linjestykke lngs med kurven. Det betyr t vi kn regne ut lengden v kurven. Definisjon 4.5. Buelengden B til kurven r(t) = (f(t), g(t)) mellom t = og t = b er gitt ved integrlet b b B = ds = (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt Eksempel 4.6. Buelengden til kurven r(t) = (R cos t, R sin t) mellom t = og t = 2π er gitt ved integrlet B = = = 2π 2π 2π ( R sin t)2 + (R cos t) 2 dt R sin 2 t + cos 2 t dt R dt = [R t] 2π = 2πR 53

55 Eksempel 4.7. Buelengden til kurven r(t) = (t, 2t 3 2 ) mellom t = og t = 3 er gitt ved 3 integrlet 3 B = () 2 + ( t 2 ) 2 dt 4.3 Kurveintegrler = 3 + t dt = 2 3 [( + t) 3 2 ] 3 = 2 4 (8 ) = 3 3 Kombinerer vi det vi hr sgt om buelende med vår viten om integrler er vi nå i stnd til å definere mer generelle kurveintegrl. Definisjon 4.8. Kurveintegrlet v funksjonen f(x, y) lngs med kurven r(t) = (x(t), y(t)) mellom t = og t = b er gitt ved b f ds = b f(x(t), y(t)) (x (t)) 2 + (y (t)) 2 dt Eksempel 4.9. Vi skl beregne kurveintegrlet v funksjonen f(x, y) = y lngs prbelen P, gitt ved r(t) = (t, 2 t2 ) mellom t = og t = 3. Merk t lngs denne kurven ser x funksjonen ut som og integrlet blir P f ds = f(r(t)) = f(t, 2 t2 ) = t2 2t = 2 t 3 3 = f(x(t), y(t)) () 2 + (t) 2 dt 2 t + t 2 dt = 6 ( ) = 6 Eksempel 4.. Vi skl beregne kurveintegrlet v funksjonen f(x, y) = y lngs sirkelen C, gitt ved r(t) = (R cos(t), R sin t) fr t = til t = 2π. Lngs denne kurven ser funksjonen ut som f(r(t)) = f(r cos(t), R sin t) = R sin t Det gir integrl C f ds = = 2π 2π f(x(t), y(t)) ( R sin t) 2 + (R cos t) 2 dt R sin t dt = R[ cos t] 2π = Integrlet i det siste eksemplet beregnes rundt en hel sirkel slik t de to endepunktene fktisk er smme punkt i plnet, r() = r(2π). Slike integrl hr et eget (meget illustrerende) symbol, vi skriver f ds som betyr t vi integrerer lngs en lukket kurve C. C 54

56 5 Kurveintegrler II Vi hr tidligere integrert funksjoner lngs x-ksen, og vi hr integrert funksjoner i flere vrible over begrensede områder i xy-plnet. I dette kpitlet skl vi integrere funksjoner lngs mer generelle kurver i plnet. Vi skl se hvordn vi beregner verdien v et vektorfelt lngs en kurve og hvordn vi integrerer opp disse verdiene for å klkulere integrlet lngs hele kurven. Et v hovedresulttene for kurveintegrler sier t integrlet v et konservtivt vektorfelt lngs en lukket kurve er null, lterntivt t kurveintegrler i et konservtivt felt kun vhenger v endepunktene. Vi skl se nærmere på dette resulttet. Stikkord: Forelesning ntegrere vektorfelt, kjerneregelen for funksjoner i flere vrible, konservtive felt 5. Integrere vektorfelt Definisjon 5.. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)) en prmetrisering v kurven C i det smme plnet. Verdien v vektorfeltet F lngs C er en funksjon i to vrible gitt ved F T C = P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t) Eksempel 5.2. L f(x, y) være en funksjon i to vrible og nt t den prmetriserte kurven C gitt ved r(t) = (x(t), y(t)) beskriver en nivåkurve for funksjonen, dvs. t f((x(t), y(t))) = c, c en konstnt. Grdienten til f dnner et vektorfelt f i plnet. D er verdien v vektorfeltet f lngs nivåkurven C lik. Vi kn se dette ved å regne ut f T r (t) = f x x (t) + f y y (t) = d dt f((x(t), y(t))) = d dt c = der overgngen fr ndre til tredje linje er kjerneregelen for derivsjon. Alterntivt kunne vi dedusert dette direkte siden vi vet t grdienten til en funksjon står normlt på nivåkurvene til funksjonen, og dermed også normlt på tngentene til nivåkurvene, og det er kkurt sklr-produktet mellom disse to vektorene vi regner ut. Hvis vi hr to (deriverbre) funksjoner f : R R 2 og g : R 2 R, der f(t) = (x(t), y(t)), så vil komposisjonen h = g f : R R være en funksjon h(t) = (g(x(t), y(t)) i en vribel. Denne funksjonen kn vi derivere ved hjelp v kjerneregelen: Teorem 5.3. L h(t) være gitt som over. D hr vi h (t) = g f (t) = f x x (t) + f y y (t) Eksempel 5.4. L f(t) = (R cos t, R sin t) og g(x, y) = xy. D hr vi h(t) = g(f(t)) = R 2 cos t sin t og h (t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t 55

57 Bruker vi kjerneregelen på den smme funksjonen får vi siden x = R cos t, og y = R sin t. h (t) = (y, x) ( R sin t, R cos t) = R sin t( R sin t) + R cos tr cos t D hr vi smlet nok bkgrunn til å kunne integrere et vektorfelt lngs en kurve. Definisjon 5.5. L F(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (x(t), y(t)), t b en prmetrisering v kurven C i det smme plnet. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs C er gitt ved b F T C dt = (P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt C Eksempel 5.6. L F(x, y) = ( y, x) være et vektorfelt i plnet (tngentfeltet til konsentriske sirkler) og r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π, en sirkulær kurve. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs C er gitt ved 2π F T C dt = ( R sin t)( R sin t) + R cos t R cos t dt C = 2π R 2 (sin 2 t + cos 2 t) dt = 2πR 2 Eksempel 5.7. L F(x, y) = (2y, x) være et vektorfelt i plnet og r(t) = (t, 2 t2 ), t. Linjeintegrlet v vektorfeltet F lngs C er gitt ved F T C dt = (t 2 + ( t)t) dt = C Hvorfor blir dette? Kurven er prbelen y = f(x) = 2 x2. Tngentvektoren i punktet (x, y) hr stigningstll f (x) = x, dvs. tngentvektorfeltet hr retning (, x). Det oppgitte vektorfeltet hr retning (2y, x). Prikkproduktet v disse to retningene er (, x) (2y, x) = 2y x 2. Men på kurven y = 2 x2 er dette tllet lik, og vektorfeltet hr derfor ingen verdi lngs med kurven. 5.2 Kurveintegrler i konservtive felt Nå hr vi kommet frm til et hovedresultt i vektornlysen. Resulttet dreier seg om kurveintegrler i konservtive felt. Vi strter med en funksjon f(x, y) og ser på grdienten F = f. Dette er et konservtivt felt. Vi lr C være en lukket kurve i plnet, gitt ved en prmetrisering r(t) = (x(t), y(t)), t b slik t r() = r(b). D hr vi b F T C dt = F(r(t)) (x (t), y (t)) dt C = = b b f x (r(t)) x (t) + f y (r(t)) y (t) dt d dt f(r(t)) dt = [f(r(t))]b = f(r()) f(r(b)) = 56

58 Dermed hr vi bevist følgende teorem: Teorem 5.8. Kurveintegrlet i et konservtivt felt F, lngs en lukket kurve C er ; F T C dt = C Korollr 5.9. Kurveintegrlet i et konservtivt felt er kun vhengig v potensilets verdi i kurvens endepunkter. Eksempel 5.. En viktig nvendelse v dette teoremet/korollret er grvitsjonsfeltet rundt jord. Dette er et konservtivt felt der potensilet kun er vhengig v vstnden til jords sentrum, dvs. høyden over hvoverflten. Kurveintegrler i et grvitsjonsfelt måler energiforbruk lngs kurven. Resulttet sier d t energiforbruket ved å bevege seg fr et punkt til et nnet punkt kun vhenger v differnsen mellom de to punktenes høyde over hvoverflten. Eksempel 5.. Et eksempel på et ikke-konservtivt krftfelt er feltet som over et område beskriver vindretning og -styrke. Vi ntr t det i området befinner seg noen store steiner, fyr, trær e.l. Skl mn bevege seg mot vinden, og mn ønsker å bruke minst mulig krefter, prøver mn å gå mn mest 57

59 mulig i le v steinene eller trærne, der motvinden er svkest. Energiforbruket lngs en kurve i dette vindfeltet er presis kurveintegrlet lngs kurven, og det er som vi lle hr erfrt, vhengig v vlg v vei, dvs. feltet er ikke konservtivt. 6 Greens teorem I dettesiste kpittelet skl vi knytte smmen en del tråder i den teorien vi hr gjennomgått og formulere det som klles Greens teorem. Greens teorem er den plne versjonen v et meget berømt mtemtisk resultt som heter Stokes teorem. Stikkord: Greens teorem, Stokes teorem, oppsummering 6. Greens teorem Dette dreier seg om et v mtemtikkens mest berømte resultter, nemlig det som klles Stokes teorem. Stokes teorem ble først formulert v vitenskpsmnnen Willim Thompson (824-97), eller Lord Kelvin, i 85, men hr fått nvn etter Sir George Gbriel Stoke (89-93). Begge disse to stt dype spor etter seg innen mtemtikk og nturvitenskp. Imidlertid heter den 2-dimensjonle versjonen v Stokes teorem som vi skl se på Greens teorem, oppklt etter George Green (793-84). Green formulerte dette resulttet i det oppsiktsvekkende essyet An Essy on the Appliction of Mthemticl Anlysis to the Theories of Electricity nd Mgnetism fr

60 Essyet er oppsiktsvekkende v to grunner. For det første fordi det inneholder nye og bnebrytende resultter, for det ndre fordi det er skrevet v en legmnn. Green hdde fktisk bre ett års skolegng! Teorem 6.. L C være en positivt orientert, lukket kurve i plnet gitt ved prmetriseringen r(t) = (x(t), y(t)) og l D være det området som kurven C omslutter. L f(x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) være et vektorfelt. D hr vi (P (r(t))x (t) + Q(r(t))y (t)) dt = ( Q x P ) dx dy y C Mo. den totle sirkulsjonen til feltet over et område er lik med kurveintegrlet til feltet lngs rnd til området. Dersom feltet er konservtivt vil begge sider i likheten være, venstresiden fordi lukkede kurveintegrl i et konservtivt felt er, høyresiden fordi integrnden er for et konservtivt felt. Eksempel 6.2. Betrkt det sirkulære vektorfeltet f(x, y) = ( y, x) og sirkelen r(t) = (R cos t, R sin t), t 2π. Vi hr tidligere sett t venstresiden er lik 2πR 2. Høyresiden kn vi også regne ut, D Eksempel 6.3. Vi skl beregne integrlet y 2 dx + 3xy dy = ( x x ( y)) dx dy = ( + ) dx dy y D = 2 rel(d) = 2πR 2 C C D y 2 x (t) + 3xyy (t) dt 59