Anvendt matematikk formelsamling versjon 21

Transkript

1 Anvendt mtemtikk formelsmling versjon Alger,, c, x R. Kvdrtsetning: ( + ) = + + θ grder sin θ cos θ tn θ. Kvdrtsetning: ( ) = Konjugtsetningen: ( + )( ) = Andregrdslikningen: x + x + c = 0 x = ± 4c Trigonometriske identiteter θ R n Z tn θ = sin θ 60 cos θ sin θ + cos θ = sin( θ) = sin θ cos( θ) = cos θ tn( θ) = tn θ sin( θ) = sin θ cos( θ) = cos θ tn( θ) = tn θ sin θ = sin(θ + n) cos θ = cos(θ + n) tn θ = tn(θ + n) sin(θ ± ) = ± cos θ cos(θ ± ) = sin θ tn(θ ± ) = ± tn θ sin(n) = 0 cos(n) = ( ) n tn(n) = 0 sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin sin ± sin = sin ± cos cos + cos = cos + cos cos cos = sin + sin 90 0 ± θ grder 70 0 ± sin θ cos θ tn θ θ r = rθ θ θ θ Potenser og røtter,, n, m R + k N Derivsjon mhp x k = k gnger {}}{ n = e n ln 0 = n = n m+n = m n m n = m n m n = ( m ) n ( ) n = n n ( ) n = n n 0 n = 0 0 n = 0 n = 0 = ( ) k = (k prtll) ( ) k = (k oddetll) ( ) k = ( ) k k ( ) k = ( )k k ( ) 0 = 0 0 = eller Logritmefunksjonen log x /n = x slik t x n = n = /n = = / n m = m/n = ( m ) /n n = n n n n = n n = n n R = Funksjonen log x er definert som inversfunksjonen til x. D log x = R +, V log x = R og hr følgende egenskper: log (x y) = log x + log y ( ) x log = log y x log y log (x r ) = r log x log x = log x log log = 0 log = log x = x n= log x med =, = e og = 0 er definert slik: lg x = log x ln x = log e x log x = log 0 x Et pr rekker k n = k n=0 der < k < n k n = ( k) der < k < (n oddetll) (n ikke oddetll) Der, og c er konstnte, u og v er funksjoner v x. (c) = 0 (sin x) = cos x (cu) = cu (cos x) = sin x (u + v) = u + v (tn x) = cos x (uv) = u v + uv sin(x + ) = cos(x + ) ( u ) v = u v uv v cos(x + ) = sin(x + ) u(v) = u (v) v tn(x + ) = cos (x+) (x n ) = nx n (sin x) = x ( x) = (cos x) = x x ( x Integrsjon ) = x (tn x) = +x ( x ) = x ln (ln x) = x (e x ) = e x (log x) = x ln (e cx ) = ce cx x = x x x n dx = n+ xn+ + c x dx = ln x + c x+ dx = ln x + + c sin x dx = cos x + c cos x dx = sin x + c x dx = ln x + c dx +x = ( ) tn x + c dx = ( ) x sin x + c cos x dx = tn x + c sin x dx = tn x + c e x dx = ex + c uv = uv u v f(x)g (x) dx = f(x)g(x) f (x)g(x) dx f(g(x)) g (x) dx = g() f(u) du g()

2 Brøkregning = = = = = = = Omregning v lengder µm mm cm dm m km mil Omregning v kvdrt µm mm cm dm m km mil Omregning v kuikk µm mm cm dm m km mil Geometriske figurer i plnet Figur Arel Omkrets Rektngel gh (g + h) Geometriske figurer i rommet Figur Volum Overflte Kue s 6s Treknt gh Prisme Gh Prllellogrm gh Pyrmide Gh Trpes (+)h Sylinder r h r(r + h) Sirkel r r Kjegle r h r(r + s) Sektor r = r θ = rθ Kule 4r 4r

3 Prosent, promille prosent = hundredel = % = 00 = 0.0 promille = tusendel = = 000 = 0.00 For vilkårlige treknter i plnet gjelder Arel = c sin A = + c c cos A sin A = sin B = sin C c Tll Mengder En mengde er en smling v elementer. Følgende notsjon kn rukes, der S og T er mengder: S S S T S T S T Grder og rdiner er element i S er ikke element i S Unionen v S og T (inneholder lle elementer i S og T til smmen) Snittet v S og T (inneholder lle elementer felles for S og T ) Den tomme mengden (inneholder ingen elementer) S er en delmengde v T (T inneholder minst lle elementene til S) En vinkel n i grder kn regnes om til en vinkel θ i rdiner med formelen θ = 80 n Motstt hr vi n = 80 θ De trigonometriske funksjonene relteres til sidelengdene i en rettvinklet treknt på følgende måte: sin θ = c cos θ = c sin θ cos θ = tn θ = Tilnærmet eskrivelse v et periodisk fenomen ved hjelp v en cosinuskurve Et periodisk fenomen kn ofte tilpsses med funksjonen ( ) y = C 0 + C cos T (t t 0) Tll kn eskrives geometrisk som punkter på en tllinje: Tll kn også defineres som mengdene N, Z, Q, R slik: Nturlige tll N = {,,,...} Hele tll Z = {...,,, 0,,,...} Rsjonle tll Q = der, Z og 0 Reelle tll R = Alle tll på tllinjen Ulikheter Irrsjonle tll = Reelle tll som ikke er rsjonle Hvis,, c R så hr vi: N Z Q R < + c < + c < c < c < og c > 0 c < c < og c < 0 c > c < > > 0 > 0, > 0 eller, < 0 < > Andregrdslikningen Hvis x = x 0 og x = x er løsninger v x + x + c = 0, så hr vi følgende: x + x + c = (x x 0 )(x x ) x 0 + x = x 0 x = c Symmetrilinjen til funksjonen f(x) = x + x + c ligger på Sirkelfrekvens/vinkelfrekvens/vinkelhstighet Hvis T er perioden til en hrmonisk svingning, så kller vi størrelsen /T svingningens sirkelfrekvens ω ω = T T = ω L ω være et positivt tll. Funksjonene cos ωt og sin ωt gir hrmoniske svingninger med sirkelfrekvens ω og periode T = /ω. Pytgors setning x = I en rettvinklet treknt med ktetlengder og og hypotenuslengde c så hr vi + = c

4 Intervller En delmengde v tllinj klles et intervll om den inneholder minst to tll og inneholder lle reelle tll mellom to vilkårlige elementer i delmengden. Et linjesegment v tllinj er et endelig intervll. Et uegrenset område v tllinj er et uendelig intervll. Et intervll er lukket om det inneholder egge endepunktene, åpent om det ikke inneholder noen endepunkter og hlvåpent om det inneholder ett v endepunktene men ikke det ndre. Punkter i intervllet som ikke er endepunkter klles indre punkter. Vi hr følgende typer intervller: Notsjon Mengde Type, {x < x < } Åpent, endelig [, {x x } Lukket, endelig [, {x x < } Hlvåpent, endelig, {x < x } Hlvåpent, endelig, {x x > } Åpent, uendelig [, {x x } Lukket, uendelig, {x x < } Åpent, uendelig, {x x } Lukket, uendelig, R Åpent, lukket, uendelig Gjeldende siffer Antll gjeldende siffer er det totle ntllet siffer unnttt eventuelle nuller til venstre. Stndrd form 0 n Gjeldende siffer i 0 n er lik gjeldende siffer i. Sifferregel Når et tll y kommer frem ved multipliksjon og/eller divisjon fr tll y, y,..., y r, så kn y ngis med like mnge gjeldende siffer som det v tllene y, y,..., y r som hr færrest gjeldende siffer. Vekstfktor Vekstfktor = ny verdi gmmel verdi = x x 0 Hvis den reltive økningen er p % så hr vi Vekstfktor = + p 00 p = (Vekstfktor ) 00 Å øke med p % er det smme som å gnge med + p 00. Geometrisk følge Den geometriske følgen er gitt ved, k, k, k, k 4,... I en geometrisk følge med kvotienten k er ledd nr. i gitt ved i = k i der er det første leddet. Summen v et visst ntll v leddene i denne følgen kn skrives på forskjellige måter: + k + k + + k n = kn k = kn k + k + k + + k n = kn+ k = kn+ k Summetegnet hjelper oss til å skrive en sum med mnge ledd på en kompkt måte: k = n + n k= Den greske okstven Σ står for sum. Summsjonsindeksen k sier hvor summen strter (tllet under Σ-symolet) og hvor den slutter (ved tllet over Σ-symolet). Regneregler for summetegnet Sifferregel Når et tll y kommer frem ved ddisjon og/eller sutrksjon fr tll y, y,..., y r, så kn y ngis med like mnge desimler som det v tllene y, y,..., y r som hr færrest desimler. Repeterende desimler.... = =.4 ( k + k ) = k + k= ( k k ) = k= k= k k= c k = c k= k= c = n c k= k k= k= Noen vnlige endelige summer k k sum differnse konstnt multippel konstnt verdi Asolutt økning Asolutt økning = ny verdi gmmel verdi = x x 0 Reltiv økning Reltiv økning = solutt økning gmmel verdi = x x 0 x 0 k = k= n(n + ) De n første heltllene k n(n + )(n + ) = 6 De n første kvdrtene ( ) n(n + ) k = De n første kuene k= k= 4

5 Gjennomsnittet v tllene x, x,..., x n er gitt ved x = x i n Logikk i= For utsgn P og Q etyr følgende utsgn det smme: P Q (leses P impliserer Q ) P re hvis Q Q hvis P Hvis P så Q P er en tilstrekkelig etingelse for Q Q er en nødvendig etingelse for P For utsgn P og Q etyr følgende utsgn det smme: P Q (leses P er ekvivlent med Q ) Q P og P Q P hvis og re hvis Q Q hvis og re hvis P P er en nødvendig og tilstrekkelig etingelse for Q Q er en nødvendig og tilstrekkelig etingelse for P Asoluttverdi Hvis,, x R så hr vi: { x hvis x 0 x = x hvis x < 0 Hvis > 0 hr vi: Kvdrtroten til x = = = = + + (trekntulikheten) x = hvis og re hvis x = ± x < hvis og re hvis < x < x > hvis og re hvis x > eller x < x hvis og re hvis x x hvis og re hvis x eller x Er reltert til soluttverdien v x på følgende måte: x = x Funksjoner En funksjon fr en mengde D til en mengde V er en regel som tilordner ett (unikt) element f(x) V til hvert element x D. Mengden D med lle mulige inputverdier klles definisjonsmengden til funksjonen. Mengden v lle verdiene til f(x) når x vrierer gjennom hele D klles verdimengden til funksjonen. En funksjon klles empirisk om den er lget på grunnlg v et oervsjonsmterile. Voksende, vtgende og monotone funksjoner L f være en funksjon definert på et intervll I og l x og x være to vilkårlige punkter i I. D hr vi:. Hvis f(x ) < f(x ) når x < x, så er f voksende på I.. Hvis f(x ) > f(x ) når x < x, så er f vtgende på I. En funksjon som enten er voksende eller vtgende på I klles monoton på I. Linjer i plnet Stigningstllet til en ikkevertikl linje gjennom punktene (x 0, y 0 ) og (x, y ) er definert som = y x = y y 0 x x 0 En linje med stigningstll som går gjennom punktet (x, y ) kn eskrives med likningen y = y + (x x ) En horisontl linje gjennom punktet (x, y ) kn derfor eskrives med likningen y = y. En vertikl linje gjennom punktet (x, y ) kn eskrives med likningen x = x. En linje med stigningstll og konstntledd kn eskrives med likningen y = x + Alle linjer kn skrives på normlformen Ax + By = C der A og B ikke egge er lik null. Polynom En funksjon p(x) er et polynom hvis p(x) = 0 + x + + n x n + n x n hvor n N og 0,,,..., n R (og klles koeffisientene) til polynomet. Alle polynomer hr definisjonemengde,. n klles grden v polynomet. Rsjonle funksjoner En rsjonl funksjon er et forhold mellom to polynomer: f(x) = p(x) q(x) der p og q er polynomer. Definisjonsmengden til en rsjonl funksjon er mengden v lle x R der q(x) 0. Proporsjonlitet To vrile x og y er proporsjonle til hverndre hvis den ene lltid er en konstnt multippel v den ndre, dvs: y = kx y x for en eller nnen konstnt k 0. 5

6 Smmenstte funksjoner Hvis f og g er funksjoner, så er den smmenstte funksjonen (f g)(x) = f(g(x)) Definisjonsmengden til f g estår v tllene x i definisjonsmengden til g der g(x) ligger i definisjonsmengden til f. Flytting/modifisering v grfer En grf kn flyttes vertiklt ved å legge til en konstnt k: Hvis k > 0 så hr vi: f(x) + k f(x) k f(x + k) f(x k) Hvis k > så hr vi: kf(x) k f(x) f(kx) f(x/k) Flytter grfen til f opp lengden k Flytter grfen til f ned lengden k Flytter grfen til f lengden k mot venstre Flytter grfen til f lengden k mot høyre Strekker grfen til f vertiklt med fktoren k Krymper grfen til f vertiklt med fktoren k Krymper grfen til f horisontlt med fktoren k Strekker grfen til f horisontlt med fktoren k Hvis k = så hr vi: kf(x) = f(x) f(kx) = f( x) Enentydig funksjon Speiler grfen til f gjennom x-ksen Speiler grfen til f gjennom y-ksen En funksjon f(x) er enentydig (eller injektiv) på en definisjonsmengde D hvis f(x ) f(x ) når x x i D. Horisontllinjetesten for enentydige funksjoner En funksjon y = f(x) er enentydig hvis og re hvis grfen skjærer enhvær horisontl linje høyest ett sted. Invers funksjon Ant t f er en enentydig funksjon på en definisjonsmengde D med verdimengde V. Den inverse funksjonen f er definert ved f () = hvis f() = Definisjonsmengden til f er V og verdimengden til f er D. Polrkoordintene til et punkt i plnet Et punkt P i xy-plnet kn eskrives på krtesisk måte som (, ) eller på polr form (C, v) der C er vstnden fr origo til punktet og v er vinkelene mellom x-ksen og linj mellom origo og punktet: cos v = sin v = C C C = cos v = sin v = + tn v = Omforming v uttrykket cos ωt + sin ωt L, og ω være gitte tll 0 med ω > 0. Funksjonen kn skrives på formen f(t) = cos ωt + sin ωt f(t) = C cos ω(t t 0 ) der (C, ωt 0 ) er polrkoordintene til punktet (, ). Spesielt hr vi C = + og tn ωt 0 = Vinkelen ωt 0 ligger i intervllet [0, og hører til smme kvdrnt som punktet (, ). Interferens Gitt C, C 0 og f(t) = C cos(ωt φ ) og g(t) = C cos(ωt φ ) Amplituden C til funksjonen f(t) + g(t) er d gitt ved C = C + C + C C cos(φ φ ) og middelverdien er 0. Grenseverdier Hvis L, M, c, k R og f(x) = L og g(x) = M, så (f(x) + g(x)) = L + M (f(x) g(x)) = L M (f(x) g(x)) = L M (k f(x)) = k L f(x) g(x) = L M, M 0 Merk t disse reglene også er gyldige når c = ±. Grenseverdien til polynomer Hvis p(x) er et polynom, så er p(x) = p(c) Vi hr her følgende smmenhenger: = C cos v = C sin v Grenseverdien til rsjonle funksjoner Hvis p(x) og q(x) er polynomer og q(c) 0, så er p(x) q(x) = p(c) q(c) 6

7 Venstre og høyre grenseverdier En funksjon f(x) hr en grenseverdi når x går mot c hvis og re hvis den hr venstre og høyre grenseverdier der og disse grenseverdiene er like: f(x) = L f(x) = L og f(x) = L + Vertikl symptote En linje x = er en vertikl symptote v grfen til en funksjon y = f(x) hvis enten x Kontinuitet x f(x) = ± eller f(x) = ± + En funksjon f(x) er kontinuerlig ved x = c hvis og re hvis følgende tre krv er oppfyllt:. f(c) finnes (c er i definisjonsmengden til f). f(x) finnes (f hr en grense når x c). f(x) = f(c) (grenseverdien er lik f(c)) Kontinuerlig funksjon En funksjon er kontinuerlig på et intervll hvis og re hvis den er kontinuerlig på lle punktene i intervllet. En kontinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerlig på lle punktene i funksjonens definisjonsmengde. En funksjon trenger ikke være kontinuerlig på lle intervller. F.eks. y = /x er ikke kontinuerlig i intervllet [,, men er kontinuerlig i definisjonsmengden, 0 0,. Noen grenseverdier Skjæringssetningen sin x x 0 x = n kn = 0 når < k < n kn = når k = n kn R når k n kn = når k > En funksjon y = f(x) som er kontinuerlig på et lukket intervll [, ntr lle verdier mellom f() og f(). Dvs t hvis y 0 er en hvilken som helst verdi mellom f() og f(), så er y 0 = f(c) for en eller nnen c [,. Egenskper til kontinuerlige funksjoner Hvis funksjonene f og g er kontinuerlige ved x = c, d er følgende kominsjoner også kontinuerlige ved x = c: Horisontl symptote En linje y = er en horisontl symptote v grfen til en funksjon y = f(x) hvis enten f(x) = eller f(x) = x x En setning om eksistens v grenseverdi Hvis det fins et tll x 0 og C slik t f(x) C for lle x i definisjonsmengden til f som er størren enn x 0 og f er vtkende i denne delen v definisjonsmengden, d eksisterer x f(x). En tilsvrende setning får vi om vi ytter om ordet vtkende med voksende smtidig som f(x) C yttes ut med f(x) C. Tllfølger En tllfølge er en funksjon med definisjonsmengde N. Hvis er en funksjon v n og er en tllfølge, kn vi velge å skrive (n) eller n. Konvergens v tllfølger Hvis n er en tllfølge og n = C R så sier vi t n konvergerer mot C. Rekker Hvis n er en tllfølge så kller vi S n = n for en endelig rekke med n ledd. Merk t S n her også er en tllfølge der ledd n er summen v de n første tllene i n. Vi kller S = n + n+ + for en uendelig rekke, eller re en rekke. En nnen skrivemåte for disse er S n = i og S = i= n= Vi hr følgende smmenheng mellom S og S n : S = n S n n Summer f + g Differnser f g Produkter f g Konstnte multipler k f, for lle tll k Kvotienter f/g, gitt t g(c) 0 Smmenstte funksjoner f(g(x)) 7

8 Eksponentilfunksjon med som grunntll Funksjoner på formen f(t) = t der t R og R + klles eksponentilfunksjoner. klles grunntllet. En funksjon på formen f(t) = c t kn tilpsses til å gå gjennom punktene (t, y ) og (t, y ) hvis t t og ingen v punktene ligger i origo. Formlene for dette ser slik ut: Hvis t < t så hr vi t = ( y y ) t t c = y t = y t f(t ) f(t ) = c t c t = t t Dvs t eksponentilfunksjoner hr smme vekstfktor over lle intervller v smme lengde. Vekst eller minking med p % per år En størrelse y som vokser/vtr eksponentiellt med p % per år og er lik y 0 ved tiden t 0 kn eskrives med funksjonen y(t) = c t der = ± p 00 Eksponentilfunksjon med e som grunntll Funksjonen f(x) = x kn skrives: og c = y 0 t0 f(x) = e λx der λ = ln 0, hvis 0 < < f(x) = e λx der λ = ln 0, hvis > Hvis f er voksende, er dolingstiden T = ln λ. Hvis f er vtkende, er hlveringstiden T / = ln λ. Funksjonen ph ph er en funksjon som gir et mål på hvor mnge H O + - molekyler det finnes per liter i en væskeløsning. Denne konsentrsjonen skrives som [ H O + og hr enevning mol/l. Denne funksjonen er definert slik: ph ([ H O +) = log ([ H O +) ph > 7 etyr en sisk løsning. ph < 7 etyr en sur løsning. Logritmer i likningsløsing Hvis, > 0 så hr vi x = x = ln ln Aldersestemmelse etter 4 C-metoden Hvis I 0 er forholdet mellom 4 C og C i en levende orgnisme når den dør, så vil følgende funksjon I(t) eskrive forholdet mellom mengden 4 C som er igjen i liket i forhold til I 0 etter tiden t: I(t) = I 0 ( Potensfunksjonen f(x) = c x r ) t/570 Hvis punktene (x, y ) og (x, y ) ligger i første kvdrnt og x x, så vil prmeterene r og c til potensfunksjonen som går gjennom egge punktene være gitt ved Allometrisk vekst r = ln(y /y ) ln(x /x ) c = y x r = y x r L y = y(t) er størrelsen v et gitt orgn ved tiden t og x = x(t) være størrelsen v orgnismen som helhet ved tiden t. Ofte så hr vi følgende smmenheng mellom x og y: y = cx r Der c og r er konstnter. c vhenger v hvilke måleenheter en ruker for x og y. Denne smmenhengen klles llometriloven. Logritmisk skl Brukes for å smmenlikne størrelser v ulik størrelsesorden, der størrelsesordenen til et tll er gitt ved logritmen (med grunntll 0) til tllet. Å plssere et (positivt) tll r på en logritmisk skl svrer til å plssere log r på den tilsvrende lineære sklen. Et enkeltlogritmisk koordintsystem med to kser hr logritmisk skl på den ene ksen og lineær skl på den ndre ksen. Et doeltlogritmisk koordintsystem med to kser hr logritmisk skl på egge ksene. Enhver eksponentilfunksjon y = c x gir en rett linje når den plottes i et enkeltlogritmisk koordintsystem med logritmisk skl på y-ksen og lineær skl på x-ksen. Enhver potensfunksjon y = cx r gir en rett linje når den plottes i et doeltlogritmisk koordintsystem. Derivsjon Gjennomsnittlig vekstrte er gitt ved endring i løpet v en tidsperiode lengden på tidsperioden Hvis en kurve er kontinuerlig ved et gitt tidspunkt, så er kurvens øyelikkelige vekstrte ved tidspunktet definert som stigningstllet til tngenten til kurven ved tidspunktet. Hvis kurven ikke er kontinuerlig ved det gitte tidspunktet, hr ikke kurven heller noen øyelikkelig vekstrte der. 8

9 Den deriverte Den deriverte f (x) til en funksjon f(x) er definert slik: f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h f () er stigningstllet til funksjonen f(x) i punktet x =. Hvis f(x) er deriverr for x = så er også f(x) kontinuerlig for x =. Derivsjon og evegelse Posisjon som funksjon v tid eskrives ofte som funksjonen x(t). Hstighet som funksjon v tid eskrives ofte som v(t). Akselersjon eskrives ofte som (t). Det viser seg t x (t) = v(t) og v (t) = (t) Skrivemåter for den deriverte Det er mnge måter å skrive den deriverte på. Her er noen vnlige lterntiver: f (x) = y = dy dx = df dx = d dx f(x) Kjerneregelen i Leiniz notsjon dy dx = dy du du dx Førstederivert testen for monotone funksjoner Ant t f er kontinuerlig på [, og deriverr på (, ). Hvis f (x) > 0 for lle x (, ), d er f voksende på [, Hvis f (x) < 0 for lle x (, ), d er f vtgende på [, Positiv krumning, negtiv krumning Grfen til en deriverr funksjon y = f(x) hr på et åpent intervll I. positiv krumning hvis f er voksende på I. negtiv krumning hvis f er vtgende på I. Andrederivert testen for konkvitet L y = f(x) være to gnger deriverr på et intervll I Hvis f > 0 på I, d hr grfen til f over I positiv krumning. Hvis f < 0 på I, d hr grfen til f over I negtiv krumning. Vendepunkt Linerisering Funksjonen f kn tilnærmes med en linje ved x = med Tylorpolynom F (x) = f() + f () (x ) Funksjonen f kn tilnærmes med et polynom ved x = med F n (x) = f()+f ()(x )+ f () L Hôpitls regel (x ) + + f (n) () (x ) n n! Hvis x f(x) = 0 og x g(x) = 0 så hr vi Integrsjon Bestemt integrl f(x) x g(x) = f (x) x g (x) L f være en kontinuerlig funksjon over [,. Hvis F (x) = f(x) for lle x [, så klles F () F () det estemte integrlet v f over [, og skrives slik: f(x) dx = F () F () Regneregler for estemt integrl Hvis f(x) og g(x) er kontinuerlige over I og,, c, k I, så hr vi følgende regneregler: Regneregler for estemte integrler f(x) + f(x) dx = 0 f(x) dx = c f(x) = kf(x) dx = k (f(x) ± g(x)) dx = c f(x) dx f(x) dx f(x) dx f(x) dx ± g(x) dx Et punkt der grfen til en funksjon kn h en tngent og der krumningen endres, klles et vendepunkt. Mx og min Hvis f er kontinuerlig i et egrenset intervll I, så hr f minst ett mksimumspunkt og minst ett minimumspunkt. Disse punktene er hhv den største og den minste v funksjonsverdien til følgende punkter: Endepunktene Alle punkter der f (x) = 0 Alle punkter der f (x) = 9

10 Anvendelser v estemt integrl s(t) = tilkelgt veilengde s (t) = v(t) = nehstighet t S = v(t) dt = s(t ) s(t 0 ) t 0 = tilkelgt veilengde i løpet v [t 0, t V (t) = vnnvolum i et kr ved tiden t V (t) = v(t) = tilstrømningshstighet t t 0 v(t) dt = V (t ) V (t 0 ) t = økning i vnnvolum i løpet v [t 0, t F (t) = Effekten i kw ved tiden t t 0 F (t) dt = Energien i kwh i løpet v [t 0, t Bestemt integrl som rel f(x) dx kn tolkes som relet mellom grfen til f, x- ksen, x = og x = der lt v rel over x-ksen er positivt og lt v rel under x-ksen er negtivt. Det uestemte integrlet L f være en kontinuerlig funksjon i et intervll over [,. Hvis F (x) = f(x) for lle x [, så klles F (x) + C det estemte integrlet v f (som er gyldig for lle x [, ) og skrives slik: f(x) dx = F (x) + C der C er en vilkårlig konstnt Derivsjon v estemt intergl d dt t Differensillikninger f(x) dx = f(t) Hvis y(t) er kontinuerlig på et intervll I, så hr vi følgende løsninger v forskjellige differensillikninger på intervllet: y = y + y + c y = y y = Ce t y = y + y = Ce t = (y A)(y B) y = A + og y A B A + ke (B A)t Mlthus modell. L spesifikk vekstrte være definert som dn N dt, som kn tolkes som ntll vkom et individ i en efolkning produserer per tidsenhet. Antr vi t denne størrelsen er konstnt får vi dn N dt = dn dt = N N = Cet Rdioktiv nedrytning. Om vi ntr t endringen i ntll rdioktive tomkjerner er proporsjonl med ntllet kjerner får vi dn dt = λn N = Ce λt med hlveringstid t / = ln λ Newtons vkjølingslov. Ant t et legeme vkjøles i omgivelser med konstnt tempertur T. L T = T (t ) være legemets tempertur ved tiden t og T = T (t ) være legemets tempertur ved tiden t og t < t. Vi definerer vkjølingsrten til å være dt dt. Hvis vi ntr t vkjølingsrten er proporsjonl med temperturdiffernsen T T får vi der og dt dt = k(t T ) dt dt = k(t T ) T = T + Ce kt k = ln((t T )/(T T )) t t C = (T T )e kt = (T T )e kt Verhulsts modell. L æreevnen B til efolkningen være så mnge individer omgivelsene kn livnære. Om vi ntr t spesifikk vekstrte er proporsjonl med forskjellen i æreevne og ntll individer, får vi dn N dt = (B N) dn = N(N B) dt B N = + ke Bt Seprle differensillikninger dy dt = f(t) g(y) g(y) dy = f(t) dt Allometrisk vekst. Om vi lr kroppens vekstrte være dx dt og en kroppsdels vekstrte være dy dt og ntr t kroppdelens spesifikke vekstrte er proporsjonl med kroppens spesifikke vekstrte får vi Lineær lger dy y dt = r dx x dt y = Cx r En lineær likning med vriler x,..., x n kn skrives x + x + + n x n = der og koeffisientene,..., n er reelle tll. Et system med lineære likninger (eller et lineært system) er en smling med en eller flere lineære likninger. F.eks. x x +.5x = 8 x 4x = 7 0

11 En sekvens v n tll (x,..., x n ) klles et n-tuppel. Et n- tuppel kn oppfttes som koordintene til et punkt i n dimensjoner. (Den euklidske) vstnden mellom to punkter A = (,..., n ) og B = (,..., n ) i n dimensjoner defineres som tllet d = ( ) + + ( n n ) Vi hr følgende regneregler for n-tupler: A + B = ( +,..., n + n ) A B = (,..., n n ) ta = (t,..., t n ) A B = + + n n (prikkprodukt) En løsning v systemet er et n-tuppel (s,... s n ) som gjør t hver likning stemmer når mn ytter ut x,..., x n med s,..., s n. Smlingen v lle mulige løsninger klles løsningsmengden. To lineære systemer klles ekvivlente hvis de hr smme løsningsmengde. Å finne løsningsmengden til et system med to lineære likninger med to vrile med reelle koeffisienter er ekvivlent med å finne ut hvor to linjer krysser hverndre. F.eks: x x = x + x = x Ingen løsning x x x = x + x = x Nøyktig én løsning x x x = x + x = x Uendelig mnge løsninger Et lineært system er konsistent hvis det hr minst en løsning og er ukonsistent hvis det ikke hr noen løsning. Et lineært system kn representeres med en mtrise. F.eks. gitt det lineære systemet x x + x = 0 4x + 5x + 9x = 9 x 8x = 8 så kn mn representere koeffisientene i systemet med følgende koeffisientmtrise: [ Hele det lineære systemet kn representeres med følgende ugmenterte mtrise: [ Størrelsen til en mtrise sier hvor mnge rder og kolonner den hr. Den ugmenterte mtris ovenfor hr rder og 4 kolonner. En m n mtrise ( m gnger n mtrise ) er en mtrise med m rder og n kolonner. m og n trenger ikke å være forskjellige tll. Hvis to mtriser er ekvivlente ruker mn tegnet mellom dem. Tre grunnleggende rdopersjoner kn enyttes på lineære systemer uten t det påvirker løsningsmengden: x. (ersttning) Ersttte en rd med summen v seg selv og en multippel v en nnen rd.. (omytting) Bytte om to rder.. (sklering) Gnge lle tll i en rd med et tll ulik 0. Eksempel : Ersttter rd med (rd ) + (4 gnger rd ): [ [ (-) Eksempel : Bytter rd med rd : [ [ Eksempel : Gnger lle tll i rd med : [ [ [ [ En enhetsmtrise v størrelse n n er en kvdrtisk mtrise med lngs digonlen fr øverste venstre hjørne til nederste høyre hjørne og 0 ellers. Eksempel på en enhetsmtrise: [ Ved å ruke rdopersjonene for å få koeffisientmtrisen mest mulig lik en enhetsmtrise klles rdredusering. Gjør mn det med eksempelmtrisen ovenfor får mn følgende: [ [ Og mn hr funnet en unik løsning på det opprinnelige systemet med s = 9, s = 6, s =. To mtriser er rdekvivlente hvis det finnes en rekkefølge v elementære rdopersjoner som trnsformerer den ene mtrisen til den ndre. Hvis de ugmenterte mtrisene til to lineære systemer er rdekvivlente så hr systemene smme løsningsmengde. En nullrd er en rd der lle tll er 0. Hvis en ugmentert mtrise på redusert trppeform hr minst en nullrd, hr systemet minst en fri vriel, og systemet hr uendelig mnge løsninger. F.eks. [ Tilsvrer systemet x 5x = x + x = 4 0 = 0 Vrilene x og x klles ledende vrile, mens x her er en fri vriel. Slike konsistente systemer kn skrives som en generell løsning ved å løse det reduserte likningssystemet mhp de ledende vrilene: { x = + 5x x = 4 x x er fri Her står løsningen på prmeterform der x er en prmeter, men kn også skrives på følgende måte: { x = + 5t x = 4 t x = t Her er t prmeteren i løsningen som kn skrives som en -tuppel på følgende generelle form: ( + 5t, 4 t, t), t R I dette tilfellet hr systemet én fri vriel som gir én prmeter i den generelle løsningen. Løsningsmengden er dermed endimensjonl (lle løsningene ligger på en linje). Løsningsmengdens dimensjon er ltså systemets ntll frie vrile.

12 Determinnter Det generelle likningssystemet Crmers regel L D 0 være determinnten til likningssystemet Kn løses slik: Som gir [ p c d q x = x + x = p cx + dx = q dp q d c, [ 0 dp q 0 x = d c q cp d c q cp d c Dette etyr t det generelle -systemet hr en entydig estemt løsning når den såklte determinnten d c 0. Hvis vi hr følgende generelle system v n likninger med n ukjente: x + + n x n = x + + n x n = n x + + nn x n = n så klles systemet homogent hvis = = = n = 0 og inhomogent hvis minst en i 0. Generelt kn vi d si t hvis D er determinnten til et lineært likningssystem med n likninger med n ukjente så hr vi følgende fire muligheter: D 0 D = 0 inhomogent homogent entydig estemt løsning kun triviell løsning x =x = x n =0 Determinnten til en -mtrise er: [ det = c d c d = d c enten uendelig mnge løsninger, eller ingen løsninger uendelig mnge ikke-trivielle løsninger Determinnten til en -mtrise er: c d e f g h i = e f h i d f g i + c d g e h For n kn determinnten til en n n-mtrise defineres rekursivt på følgende måte: n n n n nn = det(m ) det(m ) + + ( ) n+ n det(m n ) der det(m i ) er determinnten til den (n ) (n )-mtrisen som kommer frem når vi stryker rd og kolonne i. x + + n x n = x + + n x n = n x + + nn x n = n D hr likningssystemet løsningen n n n n nn x =, D n n n n nn x =, D n n n..., x n = D Summen/differnsen v to mtriser Dette er definert for to mtriser som er like store: n n.. ±.. m mn m mn Sklering v en mtrise = ±. n ± n. m ± m mn ± mn En mtrise kn gnges med et tll; Mn gnger d lle tllene i mtris med tllet: n c c n c.. =.. m mn c m c mn Produktet v to mtriser Hvis ntll kolonner i en mtrise likt ntll rder i en nnen mtrise, så kn de gnges smmen som i eksempelet her: B A A B = [ [ [ F.eks. så hr 7 her kommet frem ved å plusse smmen produktet v tll fr. rd i A og. kolonne i B slik: 0 + ( 8) + 7 = 7

13 Regneregler for mtriser L A, B, C være vilkårlige mtriser, I enhetsmtrisen og 0 være mtrisen der lle tllene er lik null. Vi hr d følgende regler for mtriseregning (der størrelsene på mtrisene er slik t den ktuelle formelen gir mening): A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C A + 0 = 0 + A = A A A = 0 A(BC) = (AB)C AI = IA = A A(B + C) = AB + AC I tillegg er opersjonen A k der k N definert som å gnge A med seg selv k gnger. M 0 er definert til å være lik I. Den inverse til en mtrise Hvis A er en kvdrtisk mtrise, så er A definert slik t A A = A A = I En mtrise A er inverterr det A 0 Inversen til en -mtrise er Inverser i likningsløsing [ [ d = c d d c c Hvis Y = AX og A = 0 så er X = A Y Negtive eksponenter Vi definerer Dette fører til t A k = (A ) k k N A p A q = A p+q og (A p ) q = A qp Inversen til et produkt Om dette heftet (AB) = B A Dette heftet er lget som en skreddersydd formelsmling til et forkurs i nvendt mtemtikk ved UiA i Grimstd. En del v stoffet er oversettelser v definisjoner og teoremer fr Gulliksen (998). Noe stoff er også inspirert v formelsmlingen til Utdnningsdirektortet (00). Kommentrer og rettelser er meget velkomne, og medfører finnerlønn ved lvorlige feil. Dette er versjon. Siste versjon ør ligge her: Refernser CC trondl.com/nvendt.pdf $\ BY: Jostein Trondl, 7. mi 009 jostein@trondl.no Gulliksen, T. (998). Mtemtikk i prksis. Universitetsforlget. Utdnningsdirektortet. (00). Formelsmling i mtemtikk. Gyldendl.