R2 eksamen våren ( )

Transkript

1 R Eksmen V04 R eksmen våren 04. ( ) Løsningsskisser (Versjon 3.0.4) Del - Uten hjelpemidler Oppgve ) fx sinu; u 3x Kjerneregel: f x f uu x cosu3 3 cos3x b) e x e x med kjerneregel som i ) Produktregel: g x e x cosx e x sin x e x cosx sin x Oppgve ) x sinx dx u sin u dx sin u u dx sin u du cosu C C cosx (Eller: u x du x dx du dx x x sinx dx x sin u du sin u du cosu C C cosx ) x b) Ubestemt integrl med delvis integrsjon: x ln x dx x ln x x x dx x ln x ln x C x 4 xdx x ln x x C e e x ln x dx x e ln x ln e ln e e Oppgve 3 f x e x 4e x og f x 4e x 4e x 4e x e x Vendepunkt når: f x 0 4e x e x 0 e x 0 (umulig)e x x 0 ): VP 0, f0 0,3 Oppgve 4 ) Kvotient: k x Konvergensområde: x x x x 0 x 0 x b) sx k x x, 0 x H-P Ulven v 7 R_V4_ls.tex

2 R Eksmen V04 sx 3 x 3 x 3 sx 3 x 3 x 3 (Forkstes) Ingen løsning (Vi ser t hvis x 3, så blir rekken: sx Rekken både oscillerer og får større og større ledd, så x 3 gir divergens og kn ldri bli et endelig tll 3.) Oppgve 5 Normlvektor: n,, (Fr koeffisienten i ligningen.) ) P innstt i plnets ligning: VS HS 0 ): P ligger ikke i b) hr retningsvektor: r n,, x, y, z OP tr 3, 4, t,, : x 3 t y 4 t z t c) Skjæring når: 3 t 4 t t t 4 t 4 4t 3 0 9t 9 0 t Skjæringspunkt: S 3, 4,, 3, 4 d) D SP n blir vstnden: SP 3, 4 3, 4,, 3 (Som er enklere enn å bruke vstndsformelen: Oppgve ) ) Avstnd (x) fr topp- til nærmeste bunnpunkt: T 0 T 4 ): c T 4 Avstnd (y) fr topp- til bunnpunkt gir mplitude: Gjennomsnittlig y-verdi for topp- og bunnpunkt gir likevektslinje: d 73 5 H-P Ulven v 7 R_V4_ls.tex

3 R Eksmen V04 Toppunkt 0, 7 ligger T til høyre for første skjæring med likevektslinje, 4 fx er fseforskjøvet til venstre: c ): fx sin x 5 sin x 5 QED b) Skissen bør h tre hele svingninger d 0, inneholder 3 perioder. Alle vendepunkter (skjæringer med likevektslinje) og ekstremlpunkter bør være rimelig nøyktige. ( 0, 7,, 5,, 3,3, 5,4, 7,...,, 7) Oppgve 7 Kn bruke integrerende fktor eller seprere: 3y 0 : y y dx dx dy dx ln 3y x C 3y 3y 3y 3 ln 3y 3x C 3y e 3x C 3 3y C 4 e 3x Generell løsning: y Ce 3x 3 ( 3y 0 y 3 dekkes v C 0 ) Initilbetingelse gir: Ce C Spesiell løsning: y e 3x 3 Del - Med hjelpemidler Oppgve ) Må vise t punktene ikke ligger på linje. Antr det motstte: AB kac,, k3,,3 k k k Selvmotsigende! 3 3 ): Punktene ligger ikke på linje. b) Normlvektor: H-P Ulven v 7 R_V4_ls.tex

4 R Eksmen V04 n AB AC e x e y e z 3 3,3, Bruker B som punkt i plnet: x, y, z0,3, 0 x 4 3y 6 z 0 ): : x 3y z 0 c) V ABCT AB AC AT,3,,, 4t 4 6 4t t 5 t 6 3 V ABCT 3 5 t 3 5 t 9 5 t 9 5 t 9 t t 7 3 Obs: Viktig å få med begge løsninger her! ( Tllverdiligninger er kkurt som ndregrdsligninger, de hr som regel to løsninger: ux ux ux ) Oppgve Gjør b) først (for å få mer oversiktlig regning i ) ): x x y y z 6z3 3 x y z3 3 ): Sentrum: S,, 3, Rdius: r 3 ) Setter inn på begge sider i ligning: VS HS 3 9 ): P, 3, 5 ligger på kuleflten c) Plnet hr SP som normlvektor: n, 3, 5 3,, Bruker P som punkt i plnet: x, y 3, z5,, 0 x y 6 z0 0 x y z8 0 Oppgve 3 ) Temperturendring per time: y t [ C/t] Differnsen mellom kropps- og romtemperur: y [ C] Altså hr vi proporsjonliteten: y ky (y er negtiv fordi temperturen er vtgende, og k må derfor være positiv.) b) Strtemperturn vr 30 C, så vi hr initilbetingelsen y0 30. Seprerer: (Kunne også brukt integrerende fktor på y ky k ) y 0 : H-P Ulven v 7 R_V4_ls.tex

5 R Eksmen V04 y k y dt kdt dy kdt y y y ln y kt C y e kt C y Ce kt y 0 : y dekket v tilfellet C 0 ): Generell løsning: y Ce kt Initilbetingelse: Ce 0 30 C 8 ): Spesiell løsning: y 8e kt c) y 8 8e k 8 e k k ln y 8e 0.9t d) yt 37 8e 0.9t 37 e 0.9t. 875 t ln ): Drpet ble utført c. timer og 0 minutter før kl. :00, dvs. c. kl. 08:50 Oppgve 4 S x x x 3... er geometrisk med og kvotient k x. Konvergerer når k x, : S k x QED b) Derivsjon v venstre og høyre side i ligningen i ) gir: Alle ledd på venstre side bruker x n nx n Høyre side deriveres med kjerneregel og u x; u x u u x x Vi får derfor: x 3x...nx n... x c) x QED gir ligningen: QED d) P : VS blir første leddet: HS blir OK! Induksjonstrinnet: Pn Pn : Må vise t summen v n ledd blir: Sn 4 n 4 n3 n n e) Sn Sn n 4 n n 4 nn n n n 4 n4n 4 n3 OK! n n H-P Ulven v 7 R_V4_ls.tex

6 R Eksmen V04 d) viser t summen v n ledd blir Sn 4 n n c) viser t den uendelige summen blir 4, ltså må lim n 4 n 4 n 4 lim n n 4 lim n n n n 0 QED Kommentrer: Dette er litt bkvendt, normlt ville vi brukt lim n n n 0, som er opplgt, d nevneren er en eksponentilfunksjon og telleren en lineær funksjon, til å vise t summen v rekken blir S lim n Sn lim n 4 n n 4 lim n n n Hvis vi først kjenner formelen for Sn trenger vi ikke gjøre triksene i ) og b)... På den nnen side er trikset i ) og b) ntgelig lettere å finne på enn formelen i d), hvordn kunne vi funnet den? Viser hvordn dette kn gjøres, som en morsom illustrsjon v hvordn oppstillinger ofte løser denne type rekkesummer: Sn n 3 n... n rd :... rd : n... rd 3: n n n n n n n n n rd n: n n n n n n Så summerer vi uttrykkene til høyre for lle n rdene: Sn... n n n n n n n n n n n n 4 n n n n n n 4 4 n 4 4n 4 n n n n n Oppgve 5 ) Formelen for rel v sirkelsektor; A buerdius, og definisjonene v bue gir oss: Fv rvr r v 0 v 50v b) AB CD rsin v, BC AD rcos v rdius, c) Tv ABC AOD Fv ABBC r sin v r cos v r cos v r sin v AD AB Fv 50v 3r sin v cos v 50v 3 r sin v 50v 50 sin v 50v 50v 3 sin v QED H-P Ulven v 7 R_V4_ls.tex

7 R Eksmen V04 Hv mener de med "Bestemme v grfisk": Jeg regner med t de godtr å bestemme funksjonens mksimum i den grfiske/numeriske delen v GeoGebr med: F(x)50 (v3 sin(v)) MEkstremlpunkt[F,,] Som gir ekstremlpunktet M(.9,37) ): T mks 37, når v. 9 [rd] 0 Kommentr: Men, egentlig er jo dette bre en vnlig numerisk løsning med kommndoer, enten mn viser det grfisk eller ikke. "Grfisk" ville det blitt hvis mn lgde en glider v og en geometrisk konstruksjon og vrierte v til relet i den geometriske konstruksjonen ble størst mulig, men det ville jo ttt ltfor mye tid, jeg håper det ikke vr dette oppgveforftteren tenkte på. Og, det rskeste hdde jo vært vnlig regning: T v cosv T v 0 gir d cosv og v. 9 direkte, kjpt og greit. 3 Men, d hr mn gjort det "ved regning" og ville fått trekk i vurderingen... Jeg håper de skjermper ordbruken fr og med våren 05...og t de er mer åpne for metodefrihet enn denne oppgveformuleringen gir uttrykk for... Oppgve 6 ) V f xdx x dx x dx x b) I fxdx x dx ln x ln ln ln Hvis vi hdde projisert overflten v hlve omdreiningslegemet ned i xy-plnet ville vi fått I som åpenbrt er mindre enn overflten v hlve omdreiningslegemet; O I O 4I O I QED c) lim V lim lim 0 Volumet er ltså endelig. (Så mnnen på stigen vil kunne fylle Gbriels horn.) O I lim O lim ln Grenseverdien til høyre eksisterer ikke (går mot uendelig), å grenseverdien til venstre eksisterer heller ikke; overflten til Gbriels horn går mot uendelig, og mnnen på figuren under til venstre vil ldri bli ferdig med å mle Gbriels horn. H-P Ulven v 7 R_V4_ls.tex