R1 kapittel 7 Sannsynlighet

Transkript

1 Løsninger til oppgvene i ok R kpittel 7 Snnsynlighet Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er lå, så er det tre røde og én lå kule igjen i esken når vi skl trekke den ndre kul. Den etingede snnsynligheten for B «ndre kule er lå», gitt A, er derfor P( B A) Hvis A hr inntruffet, ltså t den første kul er rød, så er det to røde og to lå kuler igjen i esken når vi skl trekke den ndre kul. Den etingede snnsynligheten for B gitt A er derfor P( B A) P( B A) Oppgve 7. Det er 00 frgelinde jenter, og jenter totlt. Altså er 00 P( F J) 0,006 0,6 % Det er 00 frgelinde gutter, og 00 frgelinde rn totlt. Altså er 00 P( G F) 0,9 9, % 00 Det er 8 00 jenter med normlt syn, og rn totlt med normlt syn. Altså er 8 00 P( J N) 0,505 50,5 % Ashehoug Side v 58

2 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. 5 PA ( ) 0 0 PB ( ) 0 5 P( A B) P( A B) 5 P( B A) 0 PA ( ) P( A B) 0 5 P( A B) PB ( ) Oppgve 7. Hendelsen A = «minst én ener» estår v g gunstige utfll, v totlt m 6 mulige utfll. Altså er g PA ( ) m 6 Hendelsen B = «sum øyne høyst fem» estår v g 0 gunstige utfll. Altså er g 0 5 PB ( ) m 6 8 Hendelsen A B estår v g 7 gunstige utfll. Altså er g 7 P( A B) m 6 7 P( A B) 7 P( A B) 6 PB ( ) Vi tenker oss t vi kster to terninger veldig mnge gnger. PA ( ) svrer til ndelen v kstene der vi får minst én ener. P( A B ) svrer til ndelen v kstene der vi får minst én ener, når vi re teller med de kstene der summen v øynene er høyst lik fem. Ashehoug Side v 58

3 Oppgve 7.5 Løsninger til oppgvene i ok 70 Det er 70 elever som sykler til skolen, v totlt 80 elever. Altså er PS ( ) Det er 0 gutter som sykler til skolen, v totlt 0 gutter. Altså er P( S G). 0 Vi ser t P( S) P( S G). Hendelsene S og G er derfor uvhengige. 0 Det er 0 elever som tr ussen, v totlt 80 elever. Altså er PB ( ) Det er 50 gutter som tr ussen, v totlt 0 gutter. Altså er P( B G). 0 Vi ser t P( B) P( B G). Hendelsene B og G er derfor vhengige. Oppgve 7.6 C D er den komplementære hendelsen til C D. Altså er P( C D) P( C D) 0,0 0,60 Fr ddisjonssetningen får vi P( C D) P( C) P( D) P( C D) 0,0 0,50 0,60 0,0 Definisjonen v etinget snnsynlighet gir dermed P( C D) 0,0 P( C D) 0, 0 PD ( ) 0,50 5 Vi ser ltså t P( C D) P( C). Hendelsene C og D er derfor vhengige. Oppgve 7.7 Fr definisjonen v etinget snnsynlighet får vi P( F M ) 0,05 5 P( M F) 0, 5 PF ( ) 0,0 0 P( F M ) 0,05 5 P( F M ) 0,0 PM ( ) 0, Vi ser åde t P( M F) P( M) og t P( F M) P( F). Begge deler viser t F og M er vhengige hendelser. Oppgve 7.8 Fr definisjonen v etinget snnsynlighet får vi P( S R) 0,0 P( S R) 0, 75 PR ( ) 0,0 P( S R) 0,0 P( R S) 0,50 PS ( ) 0,60 6 Vi ser åde t P( S R) P( S) og t P( R S) P( R). Begge deler viser t S og R er vhengige hendelser. Ashehoug Side v 58

4 Oppgve 7.9 Det er 8 elever som hr vlgt mtemtikk, v totlt elever. Dermed er 8 PM ( ) Tilsvrende finner vi t PK ( ) 9 P( K M ) 8 9 P( K M ) 9 P( M K) PK ( ) 9 P( K M ) 9 P( K M ) PM ( ) 8 8 Vi ser åde t P( M K) P( M) og t P( K M) P( K). Begge deler viser t M og K er uvhengige hendelser. Oppgve 7.0 Løsninger til oppgvene i ok Vi ser på hendelsene F = «ilisten kjører for fort» og P = «ilisten hr promille». Fr opplysningene i oppgven er PF ( ) 5 %, PP ( ) 0,5 % og P( F P) 0,6 %. P( F P) 0,006 P( F P) 0,6 6 % PP ( ) 0,005 Snnsynligheten for t ilisten kjører for fort, gitt t hn kjører med promille, er 6 %. (Vi legger for øvrig merke til t P( F P ) er vesentlig større enn PF ( ). Det er ltså en klr smmenheng mellom promille og høy frt.) Ashehoug Side v 58

5 Oppgve 7. Løsninger til oppgvene i ok Hendelsen A estår v utfllene, og 6, hendelsen B estår v utfllene, 5 og 6, og hendelsen A B estår v utfllene og 6. Altså er PA ( ) 6 PB ( ) 6 P( A B) 6 P( A B) P( B A) 6 PA ( ) 6 Vi tenker oss t vi kster én terning veldig mnge gnger. PB ( ) svrer til ndelen v kstene der vi får minst fire øyne på terningen. P( B A ) svrer til ndelen v kstene der vi får minst fire øyne på terningen, når vi re teller med de kstene der ntll øyne er et prtll. Oppgve 7. P( A B) 0,5 5 5 P( A B) P( A) PB ( ) 0,0 0 6 A og B er vhengige hendelser hvis P( AB) 0,5. P( A B) 0,5 5 P( A B) 0,50 P( A) PB ( ) 0,0 0 A og B er uvhengige hendelser hvis P( AB) 0,5. Siden PD ( ) 0, 0, er P( D) P( D) 0,0 0,80. P( C D) 0, :6 P( C D) 0,0 P( C) PD ( ) 0, :6 5 C og D er uvhengige hendelser hvis P( C D) 0,. P( C D) 0,08 8 d P( C D) 0,0 P( C) PD ( ) 0, C og D er vhengige hendelser hvis P( C D) 0,08. Ashehoug Side 5 v 58

6 Oppgve 7. Hendelsen A = «sum øyne minst ni» estår v g 0 gunstige utfll, v totlt m 6 mulige utfll. Altså er g 0 5 PA ( ) m 6 8 Hendelsen B = «minst fire øyne på hver terning» estår v g 9 gunstige utfll. Altså er g 9 PB ( ) m 6 Hendelsen A B estår v g 8 gunstige utfll. Altså er g 8 P( A B) m P( A B) 6 8 P( B A) PA ( ) Løsninger til oppgvene i ok Vi tenker oss t vi kster to terninger veldig mnge gnger. PB ( ) svrer til ndelen v kstene der vi får minst fire øyne på hver terning. P( B A ) svrer til ndelen v kstene der vi får minst fire øyne på hver terning, når vi re teller med de kstene der summen v ntll øyne er minst ni. Oppgve 7. Vi finner først P( B F) fr ddisjonssetningen. P( B F) P( B) P( F) P( B F) 0,0 0,0 0,50 0,0 Fr definisjonen v etinget snnsynlighet får vi P( B F) 0,0 P( B F) 0, 5 PF ( ) 0,0 P( B F) 0,0 P( F B) 0,50 PB ( ) 0,0 Vi ser åde t P( B F) P( B) og t P( F B) P( F). Begge deler viser t B og F er vhengige hendelser. Oppgve 7.5 Når vi skl trekke den første kul, er det fem kuler å velge mellom. For hvert v disse fem vlgene er det igjen fire kuler når vi skl trekke den ndre kul. Vi kn derfor trekke to kuler på til smmen m 5 0 forskjellige måter. Det er to lå kuler, og derfor to gunstige utfll for A når vi skl trekke den første kul. For hvert v disse to vlgene er det igjen tre røde kuler, og ltså tre gunstige utfll for B, når vi skl trekke den ndre kul. Det er derfor g 6 måter å trekke to kuler på som er gunstige for hendelsen A B. For hendelsen A spiller det ingen rolle hvilken frge den ndre kul hr. For hvert v de to gunstige vlgene v den første kul, er det igjen fire kuler når vi skl trekke den ndre kul. Det er derfor g 8 måter å trekke to kuler på som er gunstige for hendelsen A. Ashehoug Side 6 v 58

7 Løsninger til oppgvene i ok d g 6 P( A B) m 0 0 g 8 PA ( ) m P( A B) 0 6 P( B A) PA ( ) Hvis hendelsen A hr inntruffet, er det igjen én lå og tre røde kuler når vi skl trekke den ndre kul. Antllet utfll som er gunstige for hendelsen B er derfor g, v totlt m mulige utfll. Altså er g P( B A) m Oppgve 7.6 Vi kn trekke to kuler på til smmen m 5 0 forskjellige måter. Det er tre røde kuler. Hvis vi først trekker en rød kule, er det to røde kuler igjen når vi skl trekke den ndre kul. Antllet utfll som er gunstige for hendelsen A = «to røde kuler» er derfor g 6. Altså er g 6 PA ( ) m 0 0 Det er to lå kuler. Hvis vi først trekker en lå kule, er det én lå kule igjen når vi skl trekke den ndre kul. Antllet utfll som er gunstige for hendelsen «to lå kuler» er derfor g. Altså er g P(to lå kuler) m 0 0 Hendelsene B = «minst én rød kule» og «to lå kuler» er komplementære. Altså er 9 P( B) P(to lå kuler) 0 0 d Hvis hendelsen A = «to røde kuler» hr inntruffet, så hr nødvendigvis også hendelsen B = «minst én rød kule» inntruffet. Altså er AB A. Det etyr t P( A B) P( A) 0 P( A B) P( B) P( B) Snnsynligheten for t egge kulene er røde, gitt t minst én v dem er rød, er. Vi tenker oss t vi trekker to kuler veldig mnge gnger. P( A B ) svrer til ndelen v forsøkene der vi trekker to røde kuler, når vi re teller med de forsøkene hvor vi trekker minst én rød kule. Ashehoug Side 7 v 58

8 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.7 P( A) P( B) P( A B) P( A B) P( A B) PB ( ) Siden P( A B) P( A) er hendelsene A og B uvhengige. Hendelsen C estår v to utfll, nemlig A B og A B. Altså er P( C) P( A B) P( A B) Hvis åde A og C skl inntreffe, må vi få krone i første kst og mynt i ndre kst. Altså er P( AC) Dermed er P( A C) P( A C) PC ( ) Siden P( A C) P( A) er hendelsene A og C uvhengige. Hvis åde B og C skl inntreffe, må vi få mynt i første kst og krone i ndre kst. Altså er P( B C) Dermed er P( B C) P( B C) PC ( ) Siden P( B C) P( B) er hendelsene B og C uvhengige. d Hendelsen A B etyr t vi får krone i egge kstene. D er ikke C oppfylt. P ( A B) C 0. Dermed er Altså er P ( AB) C 0 P( A B C) 0 P( A B) PC ( ) Hendelsene A B og C er derfor vhengige. Oppgven viser t for t tre hendelser A, B og C skl være uvhengige, er det ikke nok å kreve t de er uvhengige to og to. I tillegg må vi (f.eks.) kreve t A B og C er uvhengige. Ashehoug Side 8 v 58

9 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.8 Vi ntr t P( B A) P( B), ltså t P( A B) P( B A) P( B) PA ( ) Dette etyr t P( A B) P( A) P( B). Dermed er P( AB) P( A) P( B) P( A B) P( A) P( B) P( B) Vi ntr t P( A B) P( A), ltså t P( A B) P( A B) P( A) PB ( ) Dette etyr t P( A B) P( A) P( B). Dermed er P( AB) P( A) P( B) P( B A) P( B) P( A) P( A) Oppgve 7.9 Vi kn få én kule i hver frge på to måter, nemlig først en hvit og så en grønn kule (HG), eller først en grønn og så en hvit kule (GH). Til å egynne med er det seks hvite og tre grønne kuler i esken. Fr produktsetningen er 6 8 8:8 P( HG) : :8 P( GH ) :8 Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir dermed P(én v hver) P( HG) P( GH ) Snnsynligheten for å trekke én kule i hver frge er. Oppgve 7.0 For å kunne li minst 80 år, må mnnen først li 70 år og så 75 år. Fr produktsetningen får vi dermed P(80 år) 0,9 0,89 0,8 0,67 67 % Det er 67 % snnsynlig t en 65 år gmmel mnn skl li minst 80 år. Ashehoug Side 9 v 58

10 Oppgve 7. Produktsetningen for uvhengige hendelser gir P( GGG) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,6,6 % Snnsynligheten er,6 % for t lle rn i søskenflokken er gutter. P( JJJ ) 0,86 0,86 0,86 0,86 0,5,5 % Snnsynligheten er,5 % for t lle rn i søskenflokken er jenter. Løsninger til oppgvene i ok Den er tre måter vi kn få to gutter i søskenflokken, nemlig t det eldste rnet er en jente (JGG), det midterste rnet er en jente (GJG), eller det yngste rnet er en jente (GGJ). P( JGG) 0, 86 0,5 0,5 0, 86 0,5 P( GJG) 0,5 0, 86 0,5 0, 86 0,5 P( GGJ ) 0,5 0,5 0, 86 0, 86 0,5 Dermed er P(to gutter) P( JGG) P( GJG) P( GGJ ) 0,86 0,5 0,85 8,5 % Snnsynligheten er 8,5 % for t det er to gutter i søskenflokken. Oppgve 7. Det er fire lå og to gule kuler i esken. Fr produktsetningen er P( BB) Snnsynligheten for t egge kulene er lå er 5. P( GG) Snnsynligheten for t egge kulene er gule er 5. Vi kn trekke to kuler med smme frge på to måter, nemlig ved å trekke to lå kuler eller ved å trekke to gule kuler. Fr ddisjonssetningen er 6 7 P(smme frge) P( BB) P( GG) Snnsynligheten for t kulene hr smme frge er 7 5. Ashehoug Side 0 v 58

11 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Fr produktsetningen er P( KKK) 8 Snnsynligheten for å få ingen mynt er 8. Vi kn få én mynt på tre forskjellige måter, nemlig MKK, KMK og KKM. P( MKK ) P( KMK ) P( KKM ) 8 P(én mynt) P( MKK ) P( KMK ) P( KKM ) 8 8 Snnsynligheten for å få én mynt er 8. Vi kn få to mynt på tre forskjellige måter, nemlig MMK, MKM og KMM. P( MMK ) P( MKM ) P( KMM ) 8 P(to mynt) P( MMK ) P( MKM ) P( KMM ) 8 8 Snnsynligheten for å få to mynt er 8. d P( MMM ) 8 Snnsynligheten for å få tre mynt er 8. Oppgve 7. Det er jenter og gutter i klssen. Produktsetningen gir dermed P( GGGG) 0,079 7,9 % 5 Snnsynligheten er 7,9 % for t det re lir gutter i festkomiteen P( JJJJ ) 0,06,6 % 5 Snnsynligheten er,6 % for t det re lir jenter i festkomiteen. Ashehoug Side v 58

12 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.5 For hver v terningene er snnsynligheten for å få sekser. 6 Snnsynligheten for å få fem seksere er derfor 5 P(5 6) 0,000 0,0 % 6 Snnsynligheten for å få fem enere, fem toere, fem treere, fem firere eller fem femere er lik snnsynligheten for å få fem seksere. Snnsynligheten for t lle terningene viser det smme er derfor P(fem like) P(5) P(5 ) P(5) P(5 ) P(55) P(5 6) 5 6 P(5 6) 6 0, ,077 % 6 6 Oppgve 7.6 For hver v foreldrene er snnsynligheten 50 % for t rnet rver genutgven F og 50 % for t rnet rver genutgven f. Produktsetningen gir dermed P( FF) 0,50 0,50 0,50 0, 5 5 % Snnsynligheten er 5 % for t rnet får genotypen FF. Det er to måter rnet kn få genotypen Ff, nemlig ved å rve F fr mor og f fr fr, eller f fr mor og F fr fr. Dermed er P(rnet får Ff ) P( Ff ) P( ff) 0,50 0,50 0, 5 0, 5 0,50 50 % Snnsynligheten er 50 % for t rnet får genotypen Ff. P( ff ) 0,50 0, 5 5 % Snnsynligheten er 5 % for t rnet får genotypen ff. d Brnet får ikke Føllings sykdom hvis det ikke får genotypen ff. Altså er P(ikke Føllings) P( ff ) P( ff ) 0, 5 0,75 75 % Snnsynligheten er 75 % for t rnet ikke får Føllings sykdom. Oppgve 7.7 Med én terning er snnsynligheten for ikke å få en sekser lik ,0 0, % 6 Snnsynligheten er 0, % for t ludospilleren ikke får en sekser på 5 kst ,6 6, % 6 Snnsynligheten er 6, % for t ludospilleren ikke får en sekser på 0 kst. Terningkstene er uvhengige hendelser. Det hr derfor ingen etydning hvor mnge terninger ludospilleren hr kstet tidligere uten å få noen sekser. Snnsynligheten er ltså 0, % for t hun ikke får en eneste sekser i de 5 neste kstene. Ashehoug Side v 58

13 Oppgve 7.8 d For t mnnen skl li minst 70 år må hn først li 60 år og så 65 år. Fr produktsetningen er P(mnnen lir 70 år) 0,97 0,955 0,90 0,865 86,5 % Snnsynligheten for t mnnen lir minst 70 år er 86,5 %. For t kon skl li minst 65 år må hun først li 55 år og så 60 år. Fr produktsetningen er P(kon lir 65 år) 0,989 0,98 0,97 0,95 9,5 % Snnsynligheten for t kon lir minst 65 år er 9,5 %. Løsninger til oppgvene i ok For t egge skl li pensjonister, må mnnen li 70 år og kon må li 65 år. 0,865 0,95 0,87 8,7 % Snnsynligheten for t de vil oppleve en pensjonisttilværelse smmen er 8,7 %. Vi må nt t snnsynligheten for t mnnen lir 70 år er uvhengig v snnsynligheten for t kon lir 65 år. Vi må ltså nt t levelderen til mnnen og kon er uvhengige. Oppgve 7.9 Det er to lå og tre røde kuler i esken. Hvis vi først trekker en lå kule, er det igjen én lå og tre røde kuler i esken. Altså er PA ( ) 5 P( B A) Fr produktsetningen er dermed 6 P( A B) P( A) P( B A) PB ( ) er snnsynligheten for t den ndre kul er rød, unsett hvilken frge den første kul hr. Vi får en rød kule ndre gng hvis vi først trekker en lå kule og så en rød kule, eller hvis vi trekker to røde kuler. Altså er 6 6 P( B) P( A) P( B A) P( A) P( B A) P( A B) 0 6 P( A B) PB ( ) 0 Vi tenker oss t vi trekker to kuler veldig mnge gnger. P( A B ) svrer til ndelen v forsøkene der den første kul er lå, når vi re teller med de forsøkene der den ndre kul er rød. Oppgve 7.0 Vi setter D A B. Fr produktsetningen er d P( D C) P( D) P( C D). Dessuten er P( D) P( A B) P( A) P( B A). Til smmen gir dette P( D C) P( A) P( B A) P( C D) P( A B C) P( A) P( B A) P( C A B) Ashehoug Side v 58

14 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Vi ser på hendelsene A = «første kule er grønn» og B = «ndre kule er grønn». D er PA ( ) og P( B A). Fr produktsetningen er dermed P( A B) P( A) P( B A) Snnsynligheten for t egge kulene er grønne er. 6 PA ( ) og P( B A). Dermed er P( A B) P( A) P( B A) Snnsynligheten for t første kule er hvit og ndre kule er grønn er. Den ndre kul er grønn hvis vi enten trekker to grønne kuler eller hvis vi først trekker en hvit kule og så en grønn kule. B er ltså unionen v hendelsene A B og A B. Dermed er P( B) P( A B) P( A B) Snnsynligheten for t ndre kule er grønn er. Oppgve 7. Vi ser på hendelsene N = «vi trekker det normle pengestykket» og K = «vi får krone». D er P( N) P( N), P( K N) og P( K N). Vi finner PK ( ) fr setningen om totl snnsynlighet. P( K) P( N) P( K N) P( N) P( K N) Snnsynligheten for å få krone er. Oppgve 7. Vi ser på hendelsene K = «vi får krone og trekker fr eske» og G = «vi trekker en grønn kule». D er P( K) P( K), P( G K) og P( G K). Setningen om totl snnsynlighet gir 8 P( G) P( K) P( G K) P( K) P( G K) Snnsynligheten for å trekke en grønn kule er 8. Ashehoug Side v 58

15 Oppgve 7. Løsninger til oppgvene i ok I oppgve 7. fnt vi t PN ( ), P( K N) og PK ( ). Vi vil finne den etingede snnsynligheten P( N K ), og ruker Byes' setning. P( N) P( K N) P( N K) PK ( ) Snnsynligheten for t du kstet med det normle pengestykket, gitt t du fikk krone, er. Oppgve 7.5 I oppgve 7. fnt vi t PK ( ), P( G K) og PG ( ). 8 Vi vil finne den etingede snnsynligheten P( K G ), og ruker Byes' setning. P( K) P( G K) 8 P( K G) PG ( ) 8 8 Snnsynligheten for t du trkk fr eske, gitt t du trkk en grønn kule, er. Oppgve 7.6 Vi ser på hendelsene S = «personen er syk» og T = «testen er positiv». Fr opplysningene i oppgven er PS ( ) 0,0, PS ( ) 0,98, P( T S) 0,90 og P( T S ) 0,05. Setningen om totl snnsynlighet gir P( T) P( S) P( T S) P( S) P( T S) 0,0 0,90 0,98 0,05 0,067 6,7 % Snnsynligheten for t personen får positiv reksjon på testen er 6,7 %. Vi vil finne den etingede snnsynligheten P( S T ), og ruker Byes' setning. P( S) P( T S) 0,0 0,90 P( S T) 0,69 6,9 % PT ( ) 0,067 Snnsynligheten for t personen fktisk lider v sykdommen, når testen er positiv, er 6,9 %. Ashehoug Side 5 v 58

16 Oppgve 7.7 Vi ser på hendelsene N = «normlt pengestykke» og K = «krone to gnger». D er P( N) P( N), P( K N) og P( K N). Setningen om totl snnsynlighet gir 5 P( K) P( N) P( K N) P( N) P( K N) 8 8 Snnsynligheten for t du får krone to gnger er 5 8. Løsninger til oppgvene i ok Byes' setning gir P( N) P( K N) 8 P( N K) PK ( ) Snnsynligheten for t du hr kstet med det normle pengestykket, gitt t du fikk krone to gnger, er 5. Oppgve 7.8 Ifølge oppgven er PJ ( ) 0,0, PJ ( ) 0,60, P( N J) 0,75 og P( N J ) 0,50. Snnsynligheten for t eleven hr et nettrett, gitt v eleven er en jente, er ltså 75 %. Fr setningen om totl snnsynlighet er P( N) P( J) P( N J) P( J ) P( N J ) 0,0 0,75 0,60 0,50 0,0 0,0 0,60 Snnsynligheten for t eleven hr et nettrett er 60 %. Byes' setning gir t P( J) P( N J) 0, 00,75 0,0 P( J N) 0,50 50 % PN ( ) 0,60 0,60 Snnsynligheten for t eleven er en jente, gitt t eleven hr et nettrett, er 50 %. Oppgve 7.9 Vi ser på hendelsene M = «personen er en mnn» og F = «personen hr joet i edriften i mer enn 5 år». Fr opplysningene i oppgven er PM ( ) 0,0, PM ( ) 0,60, P( F M) 0,60 og P( F M) 0,0. Fr setningen om totl snnsynlighet er P( F) P( M ) P( F M ) P( M ) P( F M ) 0,0 0,60 0,60 0,0 0, 0, 0,8 8 % Snnsynligheten for t den nstte hr joet i edriften i mer enn 5 år, er 8 %. Fr Byes' setning er P( M ) P( F M ) 0, 00,60 0, P( M F) 0,50 50 % PF ( ) 0, 8 0, 8 Snnsynligheten for t den nstte er en mnn, gitt t personen hr joet i edriften i mer enn 5 år, er 50 %. Ashehoug Side 6 v 58

17 Oppgve 7.0 Løsninger til oppgvene i ok Vi ser på hendelsene X = «meldingen inneholder ordet sex» og S = «meldingen er spm». Fr opplysningene i oppgven er P( S) P( S) 0,50, P( X S) 0,65 og P( X S) 0,0. Setningen om totl snnsynlighet gir dermed P( X ) P( S) P( X S) P( S) P( X S) 0,50 0,65 0,50 0,0 0,5,5 % Snnsynligheten for t meldingen inneholder ordet «sex» er,5 %. Byes' setning gir t P( S) P( X S) 0,50 0,65 P( S X ) 0,970 97,0 % PX ( ) 0,5 Snnsynligheten for t meldingen er spm, gitt t den inneholder ordet «sex», er 97,0 %. Oppgve 7. Vi ser på hendelsene T = «testen er positiv» og H = «personen er HIV-smittet». Ifølge oppgven er PH ( ) 0,0, PH ( ) 0,90, P( T H) 0,98 og P( T H) 0,00. Fr setningen om totl snnsynlighet er dermed P( T) P( H) P( T H) P( H) P( T H) 0,0 0,98 0,90 0,00 0,0998 9,98 % Snnsynligheten for t testen vil indikere t personen er HIV-smittet, er 9,98 %. Fr Byes' setning er P( H) P( T H) 0,0 0,98 P( H T) 0,98 98, % PT ( ) 0,0998 Snnsynligheten for t personen er HIV-smittet, gitt t testen er positiv, er 98, %. Nå er PH ( ) 0,000 og PH ( ) 0,9999. Dermed er P( H ) P( T H ) P( H T) P( H ) P( T H ) P( H ) P( T H ) 0,000 0,98 0,07,7 % 0, 0000,98 0,9999 0, 00 Snnsynligheten for t personen er HIV-smittet, gitt t testen er positiv, er,7 %. Ashehoug Side 7 v 58

18 Oppgve 7. Tre femdeler v lle elevene hr med mtpkke. Altså er PM ( ). 5 To tredeler v lle guttene hr med mtpkke. Altså er P( M G). Løsninger til oppgvene i ok Vi hr t PG ( ) 0,60, PG ( ) 0,0, P( M G) og 5 5 Setningen om totl snnsynlighet gir P( M ) P( G) P( M G) P( G) P( M G) P( M G) P( M G) P( M G) 5 Hlvprten v lle jentene hr ltså med seg mtpkke. PM ( ). 5 Fr Byes' setning er P( G) P( M G) 5 5 P( G M ) PM ( ) 5 5 Snnsynligheten for t eleven er en gutt, gitt t eleven hr med mtpkke, er. Siden PM ( ) er PM ( ), og siden P( M G) er 5 5 P( G) P( M G) 5 5 P( G M ) PM ( ) 5 5 P( M G). Snnsynligheten for t eleven er en gutt, gitt t eleven ikke hr med mtpkke, er. Oppgve 7. Siden P( AB) 0, 0 er P( A B) 0,0 0,80. Dermed er P( A B) P( A) P( B) P( A B) 0,0 0,60 0,80 0,0 Fr ddisjonssetningen for disjunkte hendelser er P( B) P( A B) P( A B). Det gir P( A B) P( B) P( A B) 0,60 0,0 0,0 P( A B) 0,0 P( B A) 0,50 PA ( ) 0,0 P( A B) P( A B) 0,0 0,0 P( B A) 0,67 P( A) P( A) 0,0 0,60 Ashehoug Side 8 v 58

19 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Vi ser på hendelsene L = «vitnet lyver» og T = «testen indikerer t vitnet lyver». Fr opplysningene i oppgven er P( T L) 88 % og P( T L) %. Vi vil finne den etingede snnsynligheten P( L T ), og ruker d Byes' setning og setningen om totl snnsynlighet. P( L) P( T L) P( L) P( T L) P( L T) P( T) P( L) P( T L) P( L) P( T L) Her er PL ( ) %, og dermed PL ( ) 99 %. 0,00,88 P( L T) 0,060 6,0 % 0,00,88 0,99 0, Snnsynligheten for t vitnet virkelig lyver er 6,0 %. P( L) P( L) 50 % 0,50 0,88 P( L T) 0,86 86, % 0,50 0,88 0,50 0, P( L) 99 % og P( L) % 0,99 0,88 P( L T) 0,998 99,8 % 0,99 0,88 0,0 0, Resulttet v en løgndetektortest er tilnærmet verdiløst hvis det rukes helt ukritisk. Mn må vite en god del om forsøkspersonen for å kunne tolke resulttet riktig. Testen er effektiv re dersom det er en etydelig snnsynlighet for t personen lyver. Det er ikke nødvendigvis tilfellet ved et jointervju. Et privt firm vil knskje ruke testen til kjpt å luke ut lle josøkere som «stryker», i stedet for å vurdere om de fktisk lyver eller re er nervøse for intervjuet. Oppgve 7.5 Vi ser på hendelsene N = «normlt pengestykke» og K = «krone tre gnger». Det er like snnsynlig å trekke de to pengestykkene. Altså er P( N) P( N). For det normle pengestykket er P( K N). For det unormle pengestykket er 8 derimot P( K N). Fr setningen om totl snnsynlighet er 9 P( K) P( N) P( K N) P( N) P( K N) Byes' setning gir dermed P( N) P( K N) 8 6 P( N K) PK ( ) Snnsynligheten for t du hr kstet med det normle pengestykket, gitt t du fikk krone i lle de tre kstene, er 9. Ashehoug Side 9 v 58

20 Oppgve 7.6 Løsninger til oppgvene i ok Snnsynligheten er % for t fren er ærer v sykdommen, ltså t hn hr genotypen Ff. Vi regner d med t det er 50 % snnsynlighet for t rnet rver hver v genutgvene. Brnet kn re få genutgven f dersom fren er ærer v sykdommen. Produktsetningen gir P( f) 0,0 0,50 0,0 % Snnsynligheten for t rnet får genutgven f fr fren er %. Brnet får Føllings sykdom hvis det får genutgven f fr åde fren og moren. P( ff ) P( f ) P( f ) 0,0 0,0 0,000 0,0 % Snnsynligheten for t rnet får Føllings sykdom er 0,0 %. Vi må nt t rnet får genutgven f fr fren og moren uvhengig v hverndre, ltså t fren og moren er ærere v sykdommen uvhengig v hverndre. Denne ntkelsen er ikke rimelig hvis foreldrene er i nær slekt, for eksempel søskenrn eller tremenninger. Oppgve 7.7 Brnet vil lide v Føllings sykdom hvis det rver genutgven f fr egge foreldrene. Fren er ærer, så snnsynligheten er P(fr) 50 % for t rnet rver genet fr fren. For moren ruker vi produktsetningen, P(mor) 0,0 0,50 0,0. Dermed er P( ff ) P(fr) P(mor) 0,50 0,0 0,005 0,5 % Snnsynligheten for t rnet vil lide v Føllings sykdom er 0,5 %. Vi ser på hendelsene B = «kvinnen er ærer» og I = «ingen v rn hr Føllings sykdom». Hvis kvinnen er ærer v sykdommen, er snnsynligheten 0,50 0,50 0,5 for t hvert enkelt rn vil lide v Føllings sykdom, og 0,75 for t de er friske. Vi ntr t rn er friske eller syke uvhengig v hverndre, ltså t de ikke er tvillinger eller trillinger. Dermed er P( I B) 0,75 0,75 0,75 0,75 0, 9 Hvis kvinnen ikke er ærer v sykdommen, kn heller ikke rn li syke, P( I B). Fr setningen om totl snnsynlighet er d P( I) P( B) P( I B) P( B) P( I B) 0,0 0,9 0,98 0,988 Vi finner dermed P( B I ) fr Byes' setning. P( B) P( I B) 0,0 0,9 P( B I) 0,0085 0,85 % PI ( ) 0,988 Snnsynligheten for t kvinnen er ærer v sykdommen, gitt t pret hr fått tre friske rn, er 0,85 %. (Merk t vi ikke kn ruke resulttet fr oppgve direkte til å regne ut PI ( ) 0,995. Det forutsetter nemlig t rn hr tre forskjellige mødre.) Oppgve 7.8 Vi kn velge forretten på 5 måter. For hvert v disse 5 vlgene kn vi velge hovedretten på 0 måter. For hver v disse 5 0 kominsjonene kn vi velge desserten på måter. Vi kn derfor sette smmen måltidet på måter. Oppgve 7.9 Det er ukser, 5 skjorter og gensere i klesskpet. Jo kn derfor velge ukse, skjorte og genser på 5 60 forskjellige måter. Ashehoug Side 0 v 58

21 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.50 Hver v de tre okstvene kn velges på forskjellige måter, og hvert v de tre sifrene kn velges på 0 forskjellige måter. Vi kn derfor lge forskjellige svenske ilnummer. Oppgve 7.5 Hver gng Chrlotte trekker en okstv, er det seks okstver å velge mellom. Chrlotte kn derfor velge fire okstver på måter. Alle de 96 måtene å trekke okstvene på er like snnsynlige. Snnsynligheten for å trekke ordet PRAT er derfor 0,0008 0,08 % 96 Oppgve 7.5 Vi velger hvert v de tre sifrene fr mengden,, 5, 7, 9. Det fins derfor tresifrede tll der lle sifrene er oddetll. Hvert v de tre sifrene kn velges på fire måter. Det fins derfor 6 tresifrede tll der hvert siffer er,, 6 eller 8. Hvert v de fire sifrene kn velges på tre måter. Det fins derfor 8 firesifrede tll der hvert siffer er 7, 8 eller 9. Oppgve 7.5 d For hvert spørsmål kn vi velge mellom tre svrlterntiver. 0 Vi kn derfor svre på de 0 spørsmålene på måter. For hvert spørsmål er det to gle svrlterntiver. Vi kn derfor svre glt på lle de 0 spørsmålene på Alle de mulige måtene å svre på er like snnsynlige. 0 P(0 gle svr) 0,07,7 % Snnsynligheten for å svre glt på lle spørsmålene er,7 %. 0 0 måter. Hendelsene «0 gle svr» og «minst ett riktig svr» er komplementære. Derfor er P(minst ett riktig svr) P(0 gle svr) 0,07 0,98 98, % Snnsynligheten for t Eivind får minst ett riktig svr er 98, %. Oppgve 7.5 Fr A til B kn Divy velge mellom fem veier. For hvert v disse fem vlgene kn hun velge mellom tre veier fr B til C. Hun kn derfor velge mellom 5 5 forskjellige reiseruter. Ashehoug Side v 58

22 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.55 Det er fire skjørt, fem topper og tre pr sko. Lise kn derfor velge ntrekk på 5 60 forskjellige måter. Oppgve 7.56 Vi kn velge mellom tre tnnhjul forn og sju tnnhjul k. Sykkelen hr ltså 7 gir. Oppgve 7.57 Vi tenker oss t vi først kster én terning. D er det seks mulige utfll. For hvert v disse utfllene er det seks mulige utfll når vi kster den ndre terningen. Fr regelen om ntll ordnede utvlg med tilkelegging er det derfor totlt 66 6 mulige utfll når vi kster to terninger. For hver v de tre terningene er det seks mulige utfll. Til smmen er det derfor mulige utfll når vi kster tre terninger. Med fem terninger er det til smmen Oppgve mulige utfll. Hver gng Ev trekker en okstv, er det 9 okstver å velge mellom. Hun kn derfor trekke tre okstver på måter. Hvert v disse utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å trekke ordet EVA er derfor 5,0 0,00 % 89 Oppgve 7.59 For hvert spørsmål er det fire svrlterntiver. Moni kn derfor svre på de 0 spørsmålene på Hvis Moni re gjetter, er lle utfllene like snnsynlige. Snnsynligheten for t hun vinner kr er derfor 7 9,50 0, % måter. Moni kn svre på de fire ukjente spørsmålene på 56 måter. Snnsynligheten for t hun svrer riktig på lle spørsmålene er d 0,009 0,9 % 56 Oppgve 7.60 Hvert v de seks punktene er enten opphøyd eller ikke opphøyd. Det er ltså to muligheter for hvert punkt. Antll mulige kominsjoner er dermed Vi må utelukke «tegnet» der ingen v punktene er opphøyd. Vi kn derfor lge 6 forskjellige tegn i lindeskrift Ashehoug Side v 58

23 Oppgve 7.6 Mlin kn velge mellom 5 forretter, 6 hovedretter og desserter. Hun kn derfor sette smmen måltidet på 56 0 måter. Løsninger til oppgvene i ok Det er forskjellige supper, kjøttretter og desserter med is. Mlin kn derfor sette smmen forskjellige middger med suppe, kjøtt og is. Alle utfllene er like snnsynlige. Snnsynligheten for å velge en middg med suppe, kjøtt og is er derfor 0,0 0 % 0 0 Oppgve 7.6 Det første sifferet kn velges på 9 måter (tllene fr til 9). For det ndre sifferet hr vi 0 muligheter (tllene fr 0 til 9). Men vi kn ikke velge smme siffer som det første sifferet. Vi kn derfor velge det ndre sifferet på 9 måter. For det tredje sifferet hr vi 0 muligheter. Men vi kn ikke velge smme siffer som de to første sifrene. Vi kn derfor velge det tredje sifferet på 8 måter. Til smmen kn vi ltså velge tllet på måter. Det er 68 tresifrede tll der lle sifrene er forskjellige. Oppgve 7.6 Vi velger hvert v de fire sifrene fr mengden,, 5, 7, 9. Det fins derfor firesifrede tll der lle sifrene er oddetll. Vi velger det første sifferet fr mengden,, 6, 8 (siden det ikke kn være 0). De tre neste sifrene velger vi fr mengden 0,,, 6, 8. Det fins derfor firesifrede tll der lle sifrene er prtll. Det første sifferet må være minst. De to neste sifrene kn velges helt fritt. Det siste sifferet må være enten 0 eller 5 for t tllet skl være delelig med 5. Det fins derfor firesifrede tll som er delelig med 5. Oppgve 7.6 For hver v de kmpene kn vi velge mellom tre forskjellige resultter. Vi kn derfor tippe 5 forskjellige rekker. Hver helgrdering svrer til tre forskjellige vlg for kmpen det gjelder. Hver hlvgrdering svrer til to forskjellige vlg. Med to helgrderinger og tre hlvgrderinger hr vi derfor tippet 98 7 forskjellige rekker. Hver helgrdering svrer til tre vlg, og hver hlvgrdering svrer til to vlg. n m Med n helgrderinger og m hlvgrderinger lir derfor ntll rekker lik. Ashehoug Side v 58

24 Oppgve 7.65 Løsninger til oppgvene i ok Første gng Mthis trekker, kn hn velge mellom okstver. Siden hn ikke legger okstvene tilke, kn hn velge mellom okstver når hn trekker ndre gng, og mellom okstver når hn trekker tredje gng. Mthis kn derfor trekke de tre okstvene på måter. Alle de måtene å trekke på, er like snnsynlige. Snnsynligheten for t okstvene vil dnne ordet TRE er derfor. Oppgve 7.66 P 6 P 5P 5 60 d 6P 65 0 Oppgve 7.67 Eleven skl velge en ordnet liste med tre fg lnt fem mulige fg. Det kn hun gjøre på 5 P 5 60 måter. Oppgve 7.68 Fordelingen v instrumenter svrer til en permutsjon v de fem instrumentene. Det kn gjøres på 5! 5 0 måter. Oppgve 7.69 Antll tresifrede tll der sifrene er forskjellige, er lik ntll rekkefølger vi kn skrive de tre sifrene i. Antll tresifrede tll med forskjellige sifre er derfor! 6. Hvis sifrene kn gjents, er det tre muligheter for hvert siffer. Antll tresifrede tll er d 7. Til smmen er det 7 tresifrede tll med sifrene 7, 8 og 9. For 6 v dem er lle sifrene forskjellige. Derfor er det 7 6 tresifrede tll som inneholder minst to like sifre. Oppgve 7.70 Antll koder med forskjellige okstver er lik ntll permutsjoner v de fire okstvene. Vi kn derfor lge! koder med fire forskjellige okstver. Hvis okstvene kn gjents, er det fire muligheter for hver okstv. Antll koder er d 56. Vi kn lge 56 koder totlt, og koder der lle okstvene er forskjellige. Det er derfor 56 koder som inneholder minst to like okstver. Oppgve 7.7 De 0 låtene kn spilles i 0! forskjellige rekkefølger. Ashehoug Side v 58

25 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.7 Antll måter elevene kn sitte på er lik ntll permutsjoner v de 7 pultene. Elevene kn ltså sitte på 7! forskjellige måter. De 7 elevene skl fordeles på pulter. Det kn gjøres på P forskjellige måter. Oppgve Antll mulige måter elevene kn h fødselsdgene sine på, er 65. Antll måter som er gunstige for hendelsen t ingen hr smme fødselsdg, er 65 P P5 0,, % 5 65 Snnsynligheten for t ingen v elevene hr smme fødselsdg er, %. Hendelsene «ingen hr smme fødselsdg» og «minst to hr smme fødselsdg» er komplementære. Snnsynligheten for t minst to v elevene hr smme fødselsdg er derfor 0, 0,569 56,9 % Oppgve 7.7! d!!!! 5! 5 5 0! e 6P P 65 0 f 5! Oppgve 7.75 Fordelingen v løperne på de fire etppene svrer til en permutsjon v de fire løperne. De fire løperne kn derfor fordeles på! forskjellige måter. Oppgve 7.76 Antll tresifrede tll med forskjellige sifre svrer til ntll ordnede utvlg v tre sifre fr en mengde på fire mulige sifre. Antll mulige tll er derfor P. Hvis sifrene kn gjents, er det fire muligheter for hvert siffer. Antll tresifrede tll er d 6. Det er totlt 6 tresifrede tll. Av disse hr v tllene tre forskjellige sifre. Det er derfor 6 0 tresifrede tll som hr minst to like sifre. Ashehoug Side 5 v 58

26 Oppgve 7.77 Vi skl trekke to kort uten tilkelegging fr en kortstokk med 5 kort. Når vi tr hensyn til rekkefølgen kn dette gjøres på 5 P måter. Oppgve 7.78 Antll ordnede utvlg på fire kort fr en kortstokk med 5 kort er 5 P Oppgve 7.79 Løsninger til oppgvene i ok Vi vil finne ntll måter vi kn velge to lg fr totlt 0 lg, når vi tr hensyn til rekkefølgen (nemlig hvem som spiller på hjemmene). Antll måter er gitt ved 0 P Det spilles totlt 80 kmper i Premier Legue i løpet v en sesong. Oppgve ! ! 0! ! 567 6P ! 6 d 5! !! Oppgve 7.8 Antll firesifrede tll med forskjellige sifre svrer til ntll ordnede utvlg v fire sifre fr en mengde på fem mulige sifre. Antll mulige tll er derfor 5 P Hvis sifrene kn gjents, er det fem muligheter for hvert siffer. Antll firesifrede tll er d Det er totlt 65 firesifrede tll. Av disse hr 0 v tllene fire forskjellige sifre. Det er derfor firesifrede tll som hr minst to like sifre. Oppgve 7.8 Antll mulige stfettlg svrer til ntll ordnede utvlg v 5 utøvere fr totlt 0 utøvere. Antll mulige stfettlg er derfor 0 P Antll måter utøverne kn fordeles på etppene svrer til ntll permutsjoner v 5 utøvere. Utøverne kn derfor fordeles på etppene på 5! måter. Ashehoug Side 6 v 58

27 Oppgve 7.8 De fem oltypene kn ordnes på 5! 0 forskjellige måter. Hvis Vegrd re gjetter, er lle disse 0 svrlterntivene like snnsynlige. 0,008 0,8 % 0 Snnsynligheten for t Vegrd gjetter riktig på lle oltypene er 0,8 %. Det er svært usnnsynlig t Vegrd klrer lle oltypene re ved å tippe. Det er derfor rimelig å tro t hn kn smke forskjell. Oppgve 7.8 Løsninger til oppgvene i ok 0 Antll mulige måter elevene kn h fødselsdgene sine på, er 65. Antll måter som er gunstige for hendelsen t ingen hr smme fødselsdg, er 65 P 0. Snnsynligheten for t ingen v elevene hr smme fødselsdg er ltså 65 P0 0, Snnsynligheten for t minst to v elevene hr fødselsdg på smme dto er derfor 0,9 0,706 70,6 % For hver v de 9 ndre elevene på festen, er snnsynligheten 6 for t eleven hr 65 fødselsdg på en nnen dg enn deg. Snnsynligheten for t lle de ndre elevene hr en nnen fødselsdg enn deg er dermed 9 6 0,9 65 Snnsynligheten for t minst én nnen elev hr smme fødselsdg som deg er derfor 0,9 0,076 7,6 % Oppgve d 6 6 P! P! P ! P ! 6 Oppgve 7.86 Vi tenker oss t vi først velger de to vennene som skl sove på tomnnsrommet. Resten må d sove på tremnnsrommet. Vi skl ltså finne ntll uordnede utvlg v to venner fr en mengde på totlt fem venner. Av formelen for ntll uordnede utvlg uten tilkelegging hr vi t 5 5P 5 0 0! Vennene kn fordele seg på de to soverommene på 0 måter. Ashehoug Side 7 v 58

28 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve d Oppgve 7.88 Vi kn velge ut fire medlemmer lnt 0 medlemmer på måter. Lokllget kn ltså velge utsendingene til møtet på 7 05 måter. Oppgve 7.89 Vi kn velge ut 7 spillere lnt 0 spillere på måter. Håndllkluen kn sette smmen lget på 0 forskjellige måter. Oppgve 7.90 Tenk t det er x elever i klssen. x måter. Dette skl li lik 78. Vi kn velge to elever på Vi får dermed likningen x 78. Denne likningen løser vi i GeoGer. Antll elever i klssen må være et nturlig tll. Det er ltså 8 elever i klssen. Oppgve d 6 6 P 6! P 5 0 0! P ! P ! Ashehoug Side 8 v 58

29 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.9 Du kn velge ut tre krmeller lnt seks krmeller på 6 måter. 6 6P ! 6 Du kn velge krmellene på 0 forskjellige måter. Oppgve 7.9 Vi kn velge ut 8 spørsmål lnt 0 spørsmål på måter. Eleven kn ltså velge spørsmålene på 5 måter. Oppgve 7.9 Vi kn velge ut fotllspillere lnt totlt 5 spillere på 5 65 måter. Fotllget kn settes smmen på 65 måter. Oppgve 7.95 Vi kn velge tre delegter lnt de 5 medlemmene v prtiet på 5 55 måter. Oppgve 7.96 Vi kn velge ut 7 tll lnt totlt tll på måter. Vi kn ltså krysse v de sju tllene i lottorekken på måter. Alle de mulige rekkene er like snnsynlige. Snnsynligheten for t lottorekken din lir trukket ut er derfor 7 5,86 0,86 0 % 0, % Oppgve P 76! d 8 8 P ! 6 P ! 56 P ! Ashehoug Side 9 v 58

30 Oppgve 7.98 Løsninger til oppgvene i ok Antll håndtrykk er lik ntll uordnede utvlg v to personer fr en gruppe på ti personer. 0 0 P ! Det lir til smmen 5 håndtrykk når ti personer skl si djø. Oppgve 7.99 Vi kn velge to elever lnt 0 elever på 0 måter. 0 0 P ! De to elevene til elevrådet kn velges på 90 måter. Oppgve 7.00 Vi ntr t vi kn trekke en rett linje mellom hvert pr v punkter. Antll linjer er ltså lik ntll uordnede utvlg v to linjer fr en mengde på fem linjer. 5 5P 5 0 0! Vi kn trekke 0 rette linjer mellom fem punkter i plnet. Forutsetningen er t tre eller flere v punktene ikke må ligge på smme rette linje. Oppgve 7.0 Vi kn velge ut 5 utøvere lnt totlt 0 utøvere på måter. Lglederen kn velge stfettlget på 5 50 forskjellige måter. Oppgve 7.0 Tllet 5 skl være med i rekken. Vi skl derfor velge ut 6 tll lnt de ndre tllene. Antll uordnede utvlg v 6 tll lnt tll er Lykketllet til Lott er med i lottorekker. Oppgve 7.0 Tenk t det er x medlemmer i lokllget. x måter. Dette skl li lik 990. Vi kn velge to delegter på Vi får dermed likningen x 990. Denne likningen løser vi i GeoGer. Antll medlemmer må være et nturlig tll. Lokllget hr ltså 5 medlemmer. Ashehoug Side 0 v 58

31 Oppgve 7.0 Løsninger til oppgvene i ok Du hr krysset v ni tll, mens én lottorekke inneholder sju tll. Antll rekker du hr tippet er derfor lik ntll utvlg v sju tll fr en mengde på ni tll, som er Hvis du krysser v ni tll, hr du tippet 6 rekker. Hvis du krysser v ti tll, hr du tippet 0 Hvis du krysser v n tll, hr du tippet n rekker. rekker. Denne formelen kn Norsk Tipping ruke til å regne ut ntll rekker hvis mn krysser v 8, 9, 0, eller tll. Oppgve 7.05 P P 0!! Vi finner disse tllene i rd i Psls tlltreknt. 0 P P P!!! Vi finner disse tllene i rd i Psls tlltreknt. I rd i Psls tlltreknt finner vi inomilkoeffisientene 6. 0,,, og d Vi finner disse inomilkoeffisientene i posisjonene og i rd 5 i Psls tlltreknt. Oppgve 7.06 Koeffisientene, og finner vi i rd i Psls tlltreknt. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Koeffisientene,, og finner vi i rd i Psls tlltreknt. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 Vi ser t vi finner koeffisientene,, 6, og i rd i Psls tlltreknt. Ashehoug Side v 58

32 Oppgve 7.07 Antll måter vi kn velge tre elever lnt de åtte elevene: 8 8 Antll måter vi kn velge to gutter lnt de tre guttene: Antll måter vi kn velge én jente lnt de fem jentene: 5 Dermed er P(to gutter og én jente) Løsninger til oppgvene i ok P ! Snnsynligheten for t det lir to gutter og én jente som skl gjøre joen, er Oppgve 7.08 Det er til smmen n 6 Non Stop i skål. Av disse er m røde og nm lå. Vi tr tilfeldig r Non Stop fr skål. Snnsynligheten for t vi får k 0 røde Non Stop er d gitt ved formelen for hypergeometriske snnsynligheter, m n m 0 k r k P( X k 0) n 6 r Her er og P Dermed er! 6 PX ( 0) 0 0 Snnsynligheten for t vi får ingen røde Non Stop er 0. 9 PX ( ) Snnsynligheten for t vi får én rød Non Stop er Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir 9 0 P(høyst én rød Non Stop) P( X ) P( X 0) P( X ) Snnsynligheten for t vi får høyst én rød Non Stop er. Ashehoug Side v 58

33 Oppgve 7.09 Vi lr x stå for ntll lkrisiter i skål. D er det totlt ( x) Løsninger til oppgvene i ok iter godteri i skål. Snnsynligheten for t vi trekker én sjokoldeit og én lkrisit er x P(én v hver) x Denne snnsynligheten skl være lik 7. Vi ruker GeoGer og løser likningen 5 x 7 x 5 Det er enten 6 eller lkrisiter i skål. Oppgve 7.0 Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer, og fyller inn tllene fr eksempel 0. X står for ntll gutter i festkomiteen. Vi skl ltså finne PX ( ), dvs. P( X ). Snnsynligheten for t det lir én gutt i festkomiteen er 8, %. Snnsynligheten for t det lir tre gutter i festkomiteen er,7 %. Vi finner PX ( ). Snnsynligheten for t det lir minst tre gutter i festkomiteen er 9,6 %. d Hendelsen «minst to jenter» er det smme som «høyst to gutter». Vi finner derfor PX ( ). Snnsynligheten for t det lir minst to jenter i festkomiteen er 60, %. Ashehoug Side v 58

34 Oppgve 7. Løsninger til oppgvene i ok Det er til smmen n 5 kuler i esken. Av disse er m lå og nm røde. Vi tr tilfeldig r kuler fr esken. Snnsynligheten for t vi får k lå kuler er d gitt ved formelen for hypergeometriske snnsynligheter, m n m k r k 0 P( X k ) n 5 r d Her er og P 5 0. Dermed er! PX ( ) 0 0 Snnsynligheten for t vi får to lå kuler er 0. 6 PX ( ) Snnsynligheten for t vi får én rød og én lå kule er 5. 0 PX ( 0) Snnsynligheten for t vi får to røde kuler er 0. Hendelsen «minst én rød kule» er det smme som «høyst én lå kule». Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir 6 9 P(høyst én lå kule) P( X ) P( X 0) P( X ) Snnsynligheten for t vi får minst én rød kule er Ashehoug Side v 58

35 Oppgve 7. Antll måter vi kn velge ingen gutter lnt de fire guttene: Antll måter vi kn velge tre jenter lnt de åtte jentene: 8 Antll måter vi kn velge tre rn lnt de rn: 0 Løsninger til oppgvene i ok 0 Vi lr X stå for ntll gutter vi velger. Formelen for hypergeometriske snnsynligheter gir d PX ( 0) 0,55 5,5 % 0 Snnsynligheten for t vi ikke velger noen gutter er 5,5 %. 8 Snnsynligheten for t vi velger én gutt er PX 8 Snnsynligheten for t vi velger to gutter er PX Oppgve ( ) 50,9 % ( ),8 %. 0 Antll måter vi kn velge fire sjokoldeiter lnt de ti sjokoldeitene: 0 Antll måter vi kn velge to krmeller lnt de åtte krmellene: 8 8 Antll måter vi kn velge seks iter lnt de totlt 8 itene: Vi lr X stå for ntll sjokoldeiter vi får. D er PX ( ) 0,7, 7 % Snnsynligheten for t vi får fire sjokoldeiter er,7 %. P( X ) P( X ) P( X 5) P( X 6) ,7,7 % Snnsynligheten for t vi får minst fire sjokoldeiter er,7 %. Hendelsen «minst tre krmeller» er det smme som «høyst tre sjokoldeiter». Denne hendelsen er komplementær med hendelsen «minst fire sjokoldeiter». Altså er P(minst tre krmeller) P(minst fire sjokoldeiter) 0, 7 0,56 56, % Snnsynligheten for t vi får minst tre krmeller er 56, %. Ashehoug Side 5 v 58

36 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer. Det er 50 plommer i kssen, og 0 v dem er v sort A. Vi lr X stå for ntll plommer vi får v sort A når 5 plommer velges tilfeldig. Vi finner P( X 0) P(0 X 0). Snnsynligheten for t kunden får 0 plommer v sort A er 0,7 %. Vi finner PX ( 0). Snnsynligheten for t kunden får minst 0 plommer v sort A er 8,0 %. Hendelsen «minst 8 plommer v sort B» er det smme som «høyst 7 plommer v sort A». Vi finner derfor PX ( 7). Snnsynligheten for t kunden får minst 8 plommer v sort B er 7, %. Oppgve 7.5 Vi lr X være ntll seigmenn vi får, og ruker formelen for hypergeometriske snnsynligheter med n 0, m 6 og r. Siden vi vil finne snnsynligheten for t vi får like mnge seigpersoner v hvert kjønn, setter vi k. Det gir 6 56 PX ( ) 0, 9,9 % 0 0 Snnsynligheten for t vi får like mnge seigpersoner v hvert kjønn er,9 %. Hendelsen «flere seigmenn enn seigdmer» svrer til X. Addisjonssetningen for disjunkte hendelser gir P( X ) P( X ) P( X ) 0,5 5, % Snnsynligheten for t vi får flere seigmenn enn seigdmer er 5, %. Ashehoug Side 6 v 58

37 Oppgve 7.6 Løsninger til oppgvene i ok Vi lr X være ntll røde klesklyper vi får, og ruker formelen for hypergeometriske snnsynligheter med n 5, m 5, r 6 og k 6. Det gir PX ( 6) 0,08,8 % Snnsynligheten for t vi får 6 røde klesklyper er,8 %. 5 0 PX ( ) 0,08 0,8 % Snnsynligheten for t vi får røde og grønne klesklyper er 0,8 %. Hendelsen «minst to v hver frge» svrer til X. P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) ,780 78,0 % Snnsynligheten for t vi får minst klesklyper v hver frge er 78,0 %. Oppgve 7.7 Antll måter vi kn velge tre røde kuler lnt de tre røde kulene: Antll måter vi kn velge ingen lå kuler lnt de fire lå kulene: Antll måter vi kn velge tre kuler lnt de totlt sju kulene: P ! Vi lr X være ntll røde kuler vi får. Formelen for hypergeometriske snnsynligheter gir 0 PX ( ) Snnsynligheten for t vi får tre røde kuler er 5. Snnsynligheten for t vi får én lå og to røde kuler er PX ( ) P(minst to lå kuler) P(høyst én rød kule) P(minst to røde kuler) 5 P( X ) P( X ) P( X ) Snnsynligheten for t vi får minst to lå kuler er 5. Ashehoug Side 7 v 58

38 Oppgve 7.8 Antll måter vi kn velge én kvinne lnt to kvinner: Antll måter vi kn velge én mnn lnt fire menn: Antll måter vi kn velge to personer lnt totlt seks personer: 6 6 Fr formelen for hypergeometriske snnsynligheter er dermed 8 P(én kvinne og én mnn) Snnsynligheten for t én kvinne og én mnn lir vlgt, er 8 5. Oppgve 7.9 d Løsninger til oppgvene i ok P 65 5! Vi lr X være ntll gutter som lir vlgt, og ruker formelen for hypergeometriske snnsynligheter med n 0, m, r 5 og k. Det gir PX ( ) 0,76 7,6 % Snnsynligheten for t det lir to gutter i komiteen er 7,6 % P(to jenter) P(tre gutter) P( X ) 0,8,8 % 0 5 Snnsynligheten for t det lir to jenter i komiteen er,8 %. P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) ,78 7,8 % Snnsynligheten for t det lir minst to gutter i komiteen er 7,8 %. P(flest gutter) P( X ) P( X ) P( X ) ,6 6, % Snnsynligheten for t det lir flere gutter enn jenter i komiteen er 6, %. Ashehoug Side 8 v 58

39 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.0 Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer. Det er 5 kort i kortstokken, og v dem er hjerter. Vi lr X stå for ntll hjerter vi får når vi trekker kort. Vi finner P( X ) P( X ). Snnsynligheten for t vi får fire hjerterkort er,9 %. Vi finner PX ( ). Snnsynligheten for t vi får minst fire hjerterkort er,5 %. Oppgve 7. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer. Det er til smmen kuler i esken, og 0 v dem er røde. Vi lr X være ntll røde kuler vi får når vi trekker 6 kuler. Snnsynligheten for å få X k røde kuler skl være 60 0, Vi ser t dette stemmer for k. Snnsynligheten er 60 for t vi får røde kuler. Oppgve 7. Tenk t det er x hvite kuler i esken. D er det ( ) Til smmen er det ltså ( ) x svrte kuler i esken før vi trekker. x kuler i esken. Vi trekker to kuler. Snnsynligheten for t vi får én kule i hver frge er dermed gitt ved x x PX ( ) x Vi løser denne likningen i GeoGer. Likningen hr løsningen x. Det er ltså hvite kuler i esken. Ashehoug Side 9 v 58

40 Oppgve 7. Antll måter vi kn få fem hjerterkort lnt de hjerterkortene: Antll måter vi kn få ingen v de 9 ndre kortene: 9 0 Antll måter vi kn få fem kort lnt de 5 kortene i kortstokken: P(re hjerter) 0, ,05 % Snnsynligheten for t pokerspilleren re får hjerterkort er 0,05 %. Løsninger til oppgvene i ok Det er like mnge kløver, ruter, hjerter og spr i kortstokken. Hendelsene «re kløver», «re ruter», «re hjerter» og «re spr» er disjunkte. Derfor er P(re kløver) P(re ruter) P(re hjerter) P(re spr). Det etyr t P(smme frge) P(re hjerter) 0, ,000 0, 0 % Snnsynligheten for t lle kortene hr smme frge er 0,0 %. Oppgve 7. Det er 0 elever i klssen, som skl fordeles på fire grupper med fem elever i hver gruppe. Vi kn velge elevene i den første gruppen på 0 5 måter. D er det igjen 5 elever. Vi kn velge elevene i den ndre gruppen på 5 5 måter. D er det igjen 0 elever. Vi kn velge elevene i den tredje gruppen på 0 5 måter. Til slutt er det d igjen 5 elever, som dnner den fjerde gruppen Elevene kn deles inn i fire grupper på måter. Oppgve 7.5 Bestemor kn velge itene i den første, ndre, tredje og fjerde skålen på henholdsvis 0 6, 6, 8 6 og måter. 6 De 6 siste itene hvner d i den femte skålen måter Hun kn ltså fordele smågodtet på Ashehoug Side 0 v 58

41 Oppgve 7.6 Løsninger til oppgvene i ok Vi kn velge tre hjerter på måter, to ruter på måter og én kløver på Det er ltså Totlt er det 5 6 måter. gunstige utfll for hendelsen «tre hjerter, to ruter og én kløver». mulige måter å trekke seks kort på. Dermed er 5 6 Vi kn velge åde to spr, to ruter og to kløver på måter. P(tre hjerter, to ruter og én kløver) 0,0, % P P (to spr, to ruter og to kløver) 0,0, % (to spr, to hjerter, én ruter og én kløver) 5, % Oppgve 7.7 Vi kn velge én rød, én lå, én gul og én grønn kule på hhv. 6, 5, og Vi kn velge fire kuler lnt de totlt 8 kulene på 8 måter. Snnsynligheten for t vi får én kule i hver frge er dermed 6 5 P(én kule i hver frge) 0,8,8 % 8 Vi kn velge to røde, én lå og én gul kule på henholdsvis Vi kn velge to røde og to lå kuler på henholdsvis P(to røde, én lå og én gul kule) 8 0,098 9,8 % P(to røde og to lå kuler) 8 0, 09,9 % og 5, 5 og måter. måter. måter. Ashehoug Side v 58

42 Oppgve 7.8 Løsninger til oppgvene i ok Vi kn velge medreidere til det første oppdrget på måter. Blnt de 8 som d er igjen, kn vi velge medreidere til det ndre oppdrget på 8 måter. Blnt de 5 som d er igjen, kn vi velge medreidere til det tredje oppdrget på 5 måter. De siste medreiderne hvner d på det fjerde oppdrget Medreiderne kn fordeles på oppdrgene på måter. Oppgve 7.9 Til smmen er det 0 seigmenn i skål. Vi kn derfor trekke de 6 seigmennene på måter. Vi kn trekke åde to røde, to grønne og to gule seigmenn på Vi kn trekke to seigmenn i hver frge på 9 5 måter. 95 0,5 5, % Snnsynligheten for t vi trekker to seigmenn i hver frge er 5, %. Oppgve 7.0 Bunken inneholder fire konger, fire dmer og fire knekter. Vi kn derfor trekke åde én konge, én dme og én knekt på måter. Vi kn trekke tre kort fr en unke med til smmen kort på måter. 5 måter. P(én konge, én dme og én knekt) 0,9 9, % 0 Snnsynligheten for t vi trekker én konge, én dme og én knekt er 9, %. Ashehoug Side v 58

43 Oppgve 7. Løsninger til oppgvene i ok Vi kn velge personer til den første joen på 0 5 måter. Blnt de 5 som d er igjen, kn vi velge personer til den ndre joen på 5 5 måter. Deretter kn vi velge personer til den tredje joen på 0 måter, og til den fjerde joen på 6 måter. Til slutt er det d igjen to personer til den siste joen. De 0 personene kn ltså fordele seg på joene på måter. 5 5 Oppgve 7. Antll måter vi kn trekke tre sjokoldeiter lnt de åtte sjokoldeitene: 8 Antll måter vi kn trekke to krmeller lnt de sju krmellene: 7 Antll måter vi kn trekke én lkrisit lnt de fem lkrisitene: 5 Antll måter vi kn trekke seks iter smågodt lnt de totlt 0 itene: ,5 5, % Snnsynligheten for t vi får tre sjokoldeiter, to krmeller og én lkrisit er 5, %. Oppgve 7. Vi kn velge tre røde, tre grønne og tre gule klesklyper på hhv. 0, 8 og 6 Vi kn velge ni klesklyper lnt de totlt klesklypene på 9 måter. Snnsynligheten for t vi får tre klesklyper i hver frge er dermed P(tre klesklyper i hver frge) 0,0 0, % 9 Vi kn velge fire røde, tre grønne og to gule klesklyper på hhv , 8 og 6 P(fire røde, tre grønne og to gule klesklyper) 0,5,5 % 9 måter. måter. Ashehoug Side v 58

44 Oppgve 7. Det er spr, hjerter, ruter og kløver i kortstokken. Vi kn ltså velge fire spr på Vi kn velge kort lnt de 5 kortene i kortstokken på 5 måter. Løsninger til oppgvene i ok måter, og tre hjerter, tre ruter og tre kløver på P(fire spr) 0,06,6 % 5 5 Snnsynligheten for t vi får fire spr, tre hjerter, tre ruter og tre kløver er,6 %. måter. Siden det er like mnge kort i hver frge i kortstokken, er snnsynligheten for å få f.eks. fire hjerter og tre v hver v de ndre frgene lik snnsynligheten vi fnt i oppgve, P(fire spr) P(fire hjerter) P(fire ruter) P(fire kløver) Derfor er P(fire kort i én frge) P(fire spr) 0,06 0,05 0,5 % Snnsynligheten for å få fire kort i én frge og tre kort i hver v de ndre frgene er 0,5 %. Oppgve 7.5 Først trekkes de sju vinnertllene. Det kn gjøres på 7 måter. Blnt de 7 tllene som er igjen, trekkes de tre tilleggstllene. Det kn gjøres på Sju vinnertll og tre tilleggstll kn ltså velges på 7 7 Antll måter vi kn velge seks vinnertll lnt de sju vinnertllene: måter. Antll måter vi kn velge ett tilleggstll lnt de tre tilleggstllene: Antll måter vi kn velge sju tll lnt de tllene: ,90 0 0, % Snnsynligheten for t du vinner ndrepremie i Lotto er 0, %. måter. Ashehoug Side v 58

45 Oppgve 7.6 Løsninger til oppgvene i ok Det er fire smmensetninger v søskenflokken som gir én gutt: GJJJ, JGJJ, JJGJ og JJJG. P( GJJJ ) 0,5 0,86 0,86 0,86 0,5 0,86 De tre ndre tilfellene, JGJJ, JJGJ og JJJG, hr også snnsynligheten Dermed er P(én gutt) 0,5 0, 86 0, 6,6 % Snnsynligheten for t ektepret hr én gutt er,6 %. 0,5 0,86. Det er fire smmensetninger v søskenflokken som gir tre gutter, nemlig GGGJ, GGJG, GJGG og JGGG. P( GGGJ ) 0,5 0,5 0,5 0, 86 0,5 0, 86 De tre ndre tilfellene, GGJG, GJGG og JGGG, hr også snnsynligheten Dermed er P(tre gutter) 0,5 0, 86 0, 6 6, % Snnsynligheten for t ektepret hr tre gutter er 6, %. 0,5 0, 86. Oppgve 7.7 Snnsynligheten for t Eivind får X k riktige svr er gitt ved k P( X k) Med k 0 får vi dermed k k 0 6 P(ingen riktige svr) P( X 0) Snnsynligheten for t Eivind får ingen riktige svr er P(ett riktig svr) P( X ) Snnsynligheten for t Eivind får ett riktig svr er P(høyst ett riktig svr) P( X ) P( X 0) P( X ) Snnsynligheten for t Eivind får høyst ett riktig svr er 6 7. Ashehoug Side 5 v 58

46 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.8 For hvert kst er det to muligheter, mynt eller krone, egge med snnsynlighet. Kstene er uvhengige v hverndre. Formelen for inomisk snnsynlighet med n gir k k k k k P( X k) 6 P(tre mynt) P( X ) 6 6 d P(fire mynt) P( X ) P(minst tre mynt) P( X ) P( X ) P( X ) 6 6 Oppgve 7.9 For hvert v de n 5 spørsmålene er snnsynligheten p 0, for t Signe svrer riktig. Spørsmålene utgjør 5 uvhengige delforsøk. Vi hr ltså en inomisk snnsynlighetsmodell, og ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer. Vi lr X stå for ntll riktige svr. Vi skl ltså finne PX ( 5). Snnsynligheten for t Signe får fem riktige svr er, %. Vi finner PX ( 8). Snnsynligheten for t Signe får minst åtte riktige svr er 8,8 %. Oppgve 7.0 Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer, og setter p 0,80. Vi ønsker t PX ( 50) skl være minst 95 %. Med n 68 lir PX ( 50) 9,7 %, mens med n 69 lir PX ( 50) 95, %. Vi må ltså så 69 frø for t det skl være minst 95 % snnsynlighet for t minst 50 frø vil spire. Ashehoug Side 6 v 58

47 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. For hvert kst er det to muligheter, mynt eller krone, egge med snnsynlighet. Kstene er uvhengige v hverndre. Vi lr X være ntll gnger vi får mynt. Formelen for inomisk snnsynlighet med n gir k k k k k P( X k) 8 For k 0 får vi P(ingen mynt) P( X 0) Snnsynligheten for t vi får ingen mynt er 8. P(én mynt) P( X ) Snnsynligheten for t vi får én mynt er 8. P(to mynt) P( X ) Snnsynligheten for t vi får to mynt er 8. d P(tre mynt) P( X ) Snnsynligheten for t vi får tre mynt er 8. Oppgve 7. For hver terning er snnsynligheten for å få sekser. 6 Formelen for inomisk snnsynlighet gir PX ( 0) 0,0 0, % Snnsynligheten for t vi får ingen seksere er 0, % PX ( ) 0 0,6 6, % Snnsynligheten for t vi får to seksere er 6, %. P( X ) P( X ) P( X ) P( X ) P( X 5) ,96 9,6 % Snnsynligheten for t vi får minst to seksere er 9,6 %. Ashehoug Side 7 v 58

48 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7. Dette er et inomisk forsøk der stndpunktene til de 0 personene utgjør 0 uvhengige delforsøk. For hver person er snnsynligheten 0 % for t personen støtter prtiet. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer, og finner PX ( 5), der X er ntll personer som støtter prtiet. Snnsynligheten for t fem støtter prtiet er 7,9 %. Vi finner PX ( 6). Snnsynligheten for t seks v personene støtter prtiet er 9, %. Vi finner PX ( 5). Snnsynligheten for t høyst fem v personene støtter prtiet er,6 %. d Vi finner PX ( 8). Snnsynligheten for t minst åtte v personene støtter prtiet er,8 %. Oppgve 7. Dette er et inomisk forsøk med n 0 og p. Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer, og lr X være ntll erteplnter med gule frø. Vi finner PX ( 0). Snnsynligheten for t 0 v erteplntene hr gule frø er 9, %. Vi finner PX ( ). Snnsynligheten for t v erteplntene hr gule frø er,5 %. Vi finner PX ( 0). Snnsynligheten for t høyst 0 v erteplntene hr gule frø er 9,7 %. d Vi finner PX ( ). Snnsynligheten for t minst v erteplntene hr gule frø er,8 %. Ashehoug Side 8 v 58

49 Oppgve 7.5 Vi ruker formelen for inomisk snnsynlighet. P( X 9) P( X 9) P( X 0) Løsninger til oppgvene i ok 0,000 0,0 % Snnsynligheten for t Ali vinner hvis hn gjetter på lle spørsmålene er 0,0 %. Hn må nå gjette riktig på minst fire v de fem spørsmålene hn gjetter på. P( X ) P( X ) P( X 5) ,05,5 % 5 Snnsynligheten for t Ali vinner hvis hn gjetter på fem v spørsmålene er,5 %. Oppgve 7.6 For hvert kst er det to muligheter, mynt eller krone, egge med snnsynlighet. Kstene er uvhengige v hverndre. Vi lr X være ntll gnger vi får mynt. Formelen for inomisk snnsynlighet med n 5 gir k 5k k k k P( X k) For k får vi P 5 5 P 5 5! 6 (tre mynt) P( X ) 0 Snnsynligheten for t vi får tre mynt er P(fire mynt) P( X ) 5 5 Snnsynligheten for t vi får fire mynt er 5. P(fem mynt) P( X 5) 5 d 5 Snnsynligheten for t vi får fem mynt er. 5 6 P(minst fire mynt) P( X ) P( X ) P( X 5) 6 Snnsynligheten for t vi får minst fire mynt er 6. Ashehoug Side 9 v 58

50 Oppgve 7.7 d Vi ruker formelen for inomisk snnsynlighet. 5 5 PX ( ) 0, 0 0, % 6 6 Snnsynligheten for t vi får én sekser er 0, %. 5 5 PX ( ) 0,6 6, % 6 6 Snnsynligheten for t vi får to seksere er 6, %. P( X ) P( X 0) P( X ) P( X ) Løsninger til oppgvene i ok ,965 96,5 % Snnsynligheten for t vi får høyst to seksere er 96,5 %. Hendelsene «høyst to seksere» og «minst tre seksere» er komplementære. Dermed er P( X ) P( X ) P( X ) 0,965 0,05,5 % Snnsynligheten for t vi får minst tre seksere er,5 %. Oppgve 7.8 Når vi trekker med tilkelegging, lir dette et inomisk forsøk med tre delforsøk. I hvert delforsøk er snnsynligheten 5 for t vi trekker en rød kule, og 5 en lå kule. Vi lr X være ntll røde kuler vi trekker. D er PX ( ) 0,, % 5 5 Snnsynligheten for t vi trekker to røde kuler er, %. Når vi trekker uten tilkelegging, må vi ruke formelen for hypergeometriske snnsynligheter. PX 6 ( ) 60,0 % Snnsynligheten for t vi trekker to røde kuler er 60,0 %. Snnsynligheten er fortstt 00 for t hver enkelt kule er rød. Dermed er PX ( ) 0,, % 5 5 Snnsynligheten for t vi trekker to røde kuler er, % PX 500 ( ) 0,, % Snnsynligheten for t vi trekker to røde kuler er, %. for t vi trekker Ashehoug Side 50 v 58

51 Løsninger til oppgvene i ok Oppgve 7.9 Vi ruker snnsynlighetsklkultoren i GeoGer, og velger n 60 og p 0,85. Vi lr X være ntll frø som spirer, og finner PX ( 50). Snnsynligheten for t 50 frø vil spire er,9 %. Vi finner PX ( 50). Snnsynligheten for t minst 50 frø vil spire er 7,6 %. Vi ønsker t PX ( 50) skl være minst 99 %. Med n 66 lir PX ( 50) 98, %, mens med n 67 lir PX ( 50) 99, %. Vi må ltså så 67 frø for t det skl være minst 99 % snnsynlighet for t minst 50 frø vil spire. Oppgve 7.50 Dette er et inomisk forsøk, der hver fødsel er et delforsøk der snnsynligheten er % for t det lir tvillinger. Vi lr X være ntll tvillingfødsler, og vil t PX ( ) 90 %. Vi ruker GeoGer, og prøver oss frm med ntll fødsler n. Med n 50 lir PX ( ) 89,96 %, mens med n 5 lir PX ( ) 90,0 %. Det må ltså være 5 fødsler ved sykehuset for t snnsynligheten for t det lir født minst tre tvillingpr skl være minst 90 %. Oppgve 7.5 Hvis vi skl kunne se på de 0 skuddene som et inomisk forsøk, må skuddene utgjøre 0 uvhengige delforsøk. Snnsynligheten for t Emil treffer linken må ltså være 85 % i hvert enkelt skudd, uvhengig v hvordn det hr gått hittil i rennet. Mulige grunner til t etingelsene ikke er oppfylt, kn f.eks. være t Emil er i dårlig form en dg, t det er spesielt vnskelige værforhold, t siktet på geværet er feil innstilt, eller t Emil lir nervøs fordi hn egynner å omme mye. Vi lr X være ntll linker Emil treffer. 0 0 PX ( 0) 0 0,85 0,5 0,0876,9 % 0 Snnsynligheten for t Emil treffer lle linkene er,9 %. P( X 8) P( X 8) P( X 9) P( X 0) ,85 0,5 0,85 0,5 0,85 0, ,05 0,5 % Snnsynligheten for t Emil treffer minst 8 v linkene er 0,5 %. Ashehoug Side 5 v 58