6 Sannsynlighet. Læreplanmål for 1P og 2P-Y. Læreplanmål for 1T

Transkript

1 6 Sannsynlighet 6.1 Læreplan 6A Sannsynlighet og relativ frekvens 6B Sannsynlighet for en hendelse 6C Antall utfall i sammensatte forsøk 6D Komplementære hendelser 6E Krysstabell og venndiagram 6F Addisjonssetningen 6G Produktsetningen for uavhengige hendelser 6H Produktsetningen for avhengige hendelser 6I Sammensatte forsøk Kapitteltest 6 Symboler, formler og eksempler Læreplanmål for 1P og 2P-Y lage eksempler og simuleringer av tilfeldige hendinger og gjøre rede for begrepet sannsynlighet beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen i praktiske sammenhenger Læreplanmål for 1T formulere, eksperimentere med og drøfte uniforme og ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynlighet ved å telle opp gunstige og mulige utfall, systematisere opptellinger ved hjelp av krysstabeller, venndiagram og valgtre og bruke addisjonssetningen og produktsetningen

2 6A Sannsynlighet og relativ frekvens 6.1 Tabellen viser hvor mange enere vi fikk da vi kastet terningen. Tabellen gir også den relative frekvensen for enere etter 50 kast. Antall kast Antall enere Relativ frekvens 0,240 a Skriv av tabellen. b Etter 100 kast hadde vi fått 23 enere. b Bestem den relative frekvensen for enere etter 100 kast og skriv den inn i tabellen. Relativ frekvens = n N = = 0,230 c Bestem den relative frekvensen for enere etter 500, 1000, 5000 og kast c og skriv de relative frekvensene inn i tabellen. Relativ frekvens = n N = = 0,174 Relativ frekvens = n N = = 0,170 Relativ frekvens = n N = = 0,1706 Relativ frekvens = n N = = 0,1678 Antall kast Antall enere Relativ frekvens 0,240 0,230 0,174 0,170 0,1706 0,1678 d Diskuter hvordan den relative frekvensen for enere endret seg etter hvert som antall kast økte. Vi ser at relativ frekvens nærmer seg noe. Sannsynligheten for å få ener når vi kaster en terning er den samme som relativ frekvens når vi kaster terningen veldig mange ganger. Vi regner ut sannsynligheten: P(ener) = 1 6 = 0,1666 Og ser at 0,1678 er veldig nær den beregnede sannsynligheten. 1

3 6.2 Kast en tikrone 250 ganger og se om hvert kast gir mynt eller krone. (Gjør det gjerne i samarbeid med andre elever. For eksempel kan fem elever kaste 50 ganger hver.) Har her valgt å kaste 25 kronestykker i hvert av kastene slik at jeg må kaste 10 ganger. Kast nummer Antall KRONE Antall MYNT Relativ frekvens MYNT per kast 0,56 0,56 0,64 0,32 0,56 0,56 0,40 0,60 0,40 0,56 a Regn ut den relative frekvensen for mynt etter de 25 første kastene, etter de 50 første kastene, osv. Antall kast Antall MYNT Relativ frekvens for MYNT 0,560 0,560 0,587 0,520 0,528 0,533 0,514 0,525 0,511 0,516 b Diskuter hvordan den relative frekvensen endrer seg når du kaster flere ganger. Ettersom sannsynligheten teoretisk skal være 0,500 så skal også relativ frekvens nærme seg denne verdien. Ser vi litt stort på det er det nettopp dette som er i ferd med å skje, men det er en overvekt av mynt i de fleste kastene og den relative frekvensen varierer en del p.g.a. det lave antallet kast. 6.3 I perioden ble det født barn i Norge. Av dem var gutter. a Bestem den relative frekvensen for guttefødsler. Relativ frekvens for guttefødsler = n N = = 0,514 b Hva er sannsynligheten for at et nyfødt barn er gutt. Sannsynlighet kan oppgis som brøk, desimalbrøk eller prosent. Velger her å oppgi sannsynligheten for at et nyfødt barn er en gutt i prosent. Relativ frekvens for guttefødsler = n N = = 0,514 51, 4%

4 6.4 UTEN HJELPEMIDLER Når vi kaster en tikrone, er sannsynligheten 50 % for å få mynt. Nedenfor er det gitt fem påstander. Avgjør for hver påstand om den er riktig eller gal. a Når vi kaster en tikrone, er det like sannsynlig å få krone som mynt. Riktig. Sannsynlighet for å få mynt eller krone er teoretisk like stor. Vi må i praktiske forsøk være sikre på at tyngden på mynt og kronesiden av tikronen er lik. b Hvis vi har kastet en tikrone 95 ganger og fått mynt 45 ganger, vil vi få mynt i de neste fem kastene. Galt. Sannsynligheten for å få mynt (M) fem ganger på rad er forholdvis liten. Prøv selv... P(Mynt fem ganger på rad) = P(M M M M M) = = 1 32 = 3,125% c Hvis vi kaster en tikrone 100 ganger, vil vi få omtrent 50 mynt og 50 krone. Riktig. Sannsynligheten er stor fordi det er like store teoretiske muligheter å få mynt som krone. d Hvis vi kaster en tikrone 100 ganger, vil vi få akkurat 50 mynt og 50 krone. Galt. Sannsynligheten for dette utfallet er vesentlig mindre enn om vi ikke skulle få det etter 100 kast. e Hvis vi kaster en tikrone veldig mange ganger, vil den relative frekvensen for mynt nærme seg 1 2. Riktig, fordi sannsynligheten for at vi får like mange mynt som krone øker for hvert kast. Det forutsetter som påpekt i svaret til oppgave a at mynten har samme vekt på begge sider. 6.5 UTEN HJELPEMIDLER Du kaster to tikroner. Hva tror du sannsynligheten er for at du får mynt på den ene og krone på den andre? Er det er firedel, en tredel eller en halv? En halv. MYNT-MYNT / KRONE-KRONE / MYNT-KRONE / KRONE-MYNT. Hvordan kan du avgjøre det ved å kaste to tikroner mange ganger? Lager en tabell for de fire utfallene. Utfall MYNT-MYNT KRONE-KRONE MYNT-KRONE KRONE-MYNT Relativ frekvens 0,250 0,250 0,250 0,250 En krone og en mynt har da relativ frekvens = 0, ,250 = 0,500 = 1 = en halv. 2 3

5 6.6 I de 60 årene fra 1951 til 2010 ble det født gutter og jenter i Norge. a Bestem de relative frekvensene for guttefødsler og jentefødsler. Relativ frekvens for guttefødsler = n N = = 0,514 51, 4% ( ) Relativ frekvens for jentefødsler = n N = = 0,486 48, 6% ( ) b Hvordan stemmer de relative frekvensene i oppgave a med at sannsynligheten er 51,4 % for at nyfødte barn er en gutt og 48,6 % for at det er en jente? Det stemmer med oppgave a. Guttefødsler: 0,514 51, 4% og Jentefødsler: 0,486 48, 6%. 6.7 I de 20 årene fra 1961 til 1980 var det fødsler i Norge. Av dem var tvillingfødsler. a Bestem den relative frekvensen for tvillinger i perioden Relativ frekvens tvillingfødsler i perioden = n N = = 0, Fra 1991 til 2010 var det fødsler hvorav var tvillingfødsler. b Hva er den relative frekvensen for tvillinger i perioden ? Relativ frekvens for tvillingfødsler i perioden = = 0, Ved et tilfeldig forsøk er sannsynligheten for et utfall det samme som relativ frekvens for utfallet når vi gjentar forsøket veldig mange ganger. Men for at det skal være slik, må forsøket gjentas under like betingelser. Hvis betingelsene endrer seg vil også sannsynligheten endre seg. c Ser det ut til at sannsynligheten for tvillingfødsler har endret seg fra perioden til perioden ? Ja, den relative frekvensen har gått opp fra 0, til 0, En økning på 65,2 %. d Kunstig befruktning, der flere befruktede egg blir satt inn i kvinnens livmor, ble innført i Norge på 1980-tallet. Diskuter om det kan forklare forskjellen på de relative frekvensene i oppgave a og b. Når flere forsøker å bli gravide med flere samtidig befruktede egg og som tidligere ikke har blitt gravide vil det naturligvis være stor sannsynlighet for at flere av disse ender i tvillingstatestikken. 4

6 6B Sannsynlighet for en hendelse 6.8 UTEN HJELPEMIDLER I klasse 1B er det 27 elever. Emma er en av dem. Ved loddtrekning blir én elev valgt til å være med i en spørrekonkurranse. a Hvor mange mulig utfall er det? Det er 27 utfall, når én blir valgt av de 27. Vi har en uniform sannsynlighetsmodell. b Hva er sannsynligheten for at Emma blir valgt? Sannsynligheten for at Emma blir valgt = 1 = 0,037 = 3,7 % UTEN HJELPEMIDLER Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer hjulet rundt og ser hvilken farge det stopper på. a Hva er de mulige utfallene? Det er 5 utfall. Fargene Rød, Blå, Gul, Grå og Grønn. b Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på rødt? P(Rødt) = 1 4, fordi den røde sektoren dekker 1 4 av lykkehjulet. c Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper på grønt? P(Grønt) = 1, fordi den grønne sektoren dekker 1/8 av lykkehjulet. 8 5

7 6.10 UTEN HJELPEMIDLER Du kaster et kronestykke og en femkrone. Hva er sannsynligheten for at du får a Minst én mynt (dvs. mynt på en av pengestykkene, eller mynt på begge) Det er fire mulige utfall: MYNT-MYNT / KRONE-KRONE / MYNT-KRONE / KRONE-MYNT. Vi ser da at i tre av fire utfall er det minst én mynt. P(minst én mynt) = 3 4 b Det samme på begge pengestykkene (dvs. mynt på begge eller krone på begge) Det er fire mulige utfall: MYNT-MYNT / KRONE-KRONE / MYNT-KRONE / KRONE-MYNT. Vi ser da at i to av fire utfall er det mynt på begge eller krone på begge. P(mynt eller krone på begge) = 2 4 = UTEN HJELPEMIDLER I en klasse er det 12 jenter og 15 gutter. Ved loddtrekning blir én elev valgt ut til å være med i en spørrekonkurranse. a Hvor mange mulige utfall er det? Det er 27 mulige utfall, 12 jenter + 15 gutter. b Hvor mange utfall er gunstige for at en gutt blir trukket ut? Det er 15 gutter. Det er da også 15 mulige gunstige utfall for at det skal bli en gutt. c Hva er sannsynligheten for at en gutt blir trukket ut? P(gutt blir trukket ut) = = 5 9 = 55,5 % 6.12 UTEN HJELPEMIDLER Jonas har kjøpt en pose smågodt. I posen er det 8 sjokoladebiter, 7 lakrisbiter og 5 karameller. Jonas tar tilfeldig én bit fra posen. Hva er sannsynligheten for at Jonas får a en sjokoladebit Det er totalt 20 biter med smågodt. P(sjokoladebit) = 8 20 = 2 5 = 40 % b en lakrisbit Det er totalt 20 biter med smågodt. P(lakrisbit) = 7 20 = 35 % c en karamell Det er totalt 20 biter med smågodt. P(karamell) = 5 20 = 1 4 = 25 % P(for å velge en godtebit) = antall gunstige utfall antall mulige utfall 6

8 Andre kast Andre kast Andre kast 6.13 UTEN HJELPEMIDLER Vi stokker en kortstokk godt og ser hvilket kort som ligger øverst. a Hva er sannsynligheten for at kortet er et hjerterkort? P(hjerterkort) = = 1 4 = 25 % b Hva er sannsynligheten for at kortet er et ess? P(ess) = 4 52 = 1 13 = 7,69 % c Et kort kalles et honnørkort hvis det er en knekt, dame, konge eller ess. c Hva er sannsynligheten for at kortet er et honnørkort? P(honnørkort) = = 4 13 = 30,8 % 6.14 UTEN HJELPEMIDLER Du kaster én terning to ganger. a Tegn utfallsrommet og merk av hendelsene. 1 sum øyne lik sju 2 minst én ener 3 terningene viser like mye (par) Første kast Første kast Første kast b Finn sannsynligheten for hver av hendelsene i oppgave a. P(sum øyne lik sju) = 6 36 = 1 6 = 16,6 % P(minst én ener) = = 30,5 % P(par) = 6 36 = 1 6 = 16,6 % 6.15 UTEN HJELPEMIDLER I en skål ligger det flere seigmenn. Fem av dem er gule. Du trekker tilfeldig en seigmann fra skåla. Sannsynligheten er 25 % for at den er gul. Hvor mange seigmenn er det i skåla? Fem seigmenn tilsvarer 25 %. Setter opp et forhold og finner hvor mange 100 % tilsvarer. 5 seigmenn 25% = x 100 % x = 5 seigmenn 100% 25% = 20 seigmenn. Det er 20 seigmenn i skåla UTEN HJELPEMIDLER 7

9 Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer lykkehjulet rundt og ser hvilken farge det stopper på. Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet a stopper på en blå eller gul P(blå eller gul) = P(blå) + P(gul) = = 2 4 = 1 2 = 50 % P(blå gul) a stopper på en rød eller grønn P(rød eller grønn) = P(rød) + P(grønn) = = 3 8 = 37,5 % P(rød grønn) a ikke stopper på en grå P(ikke grå) = P(hele lykkehjulet) P(grå) = = 7 8 = 87,5 % Komplementære hendelser 6.17 UTEN HJELPEMIDLER Et menneske kan ha blodtype A, B, AB eller 0. I Norge har 48 % blodtype A, 8 % blodtype B, 4 % blodtype AB og 40 % blodtype 0. En lege ved blodbanken undersøker blodtypen til en ny blodgiver. Hva er sannsynligheten for at blodgiveren a har blodtype A eller blodtype AB P(A eller AB) = = 52 = 13 = 52 % P(A AB) b ikke har blodtype 0 P(ikke 0) = Alle typer type 0 = = 60 = 3 = 60 % Komplementære hendelser Ved blodoverføring må blodgiveren og pasienten ha blodtyper som «passer» sammen. For eksempel kan en pasient med blodtype A bare få overført blod av typene A og 0. c Hva er sannsynligheten for at en pasient med blodtype A kan få overført blod fra den nye blodgiveren? P(A kan få blod) = type A + type 0 = = = = 88 % 8

10 6C Antall utfall i sammensatte forsøk 6.25 UTEN HJELPEMIDLER Du kaster et kronestykke, en femkrone og en tikrone, og ser for hvert pengestykke om du får mynt eller krone. Hva er sannsynligheten for at du får a tre kroner b tre mynter c to krone og én mynt Lager en skisse over utfallene: K M Kaster et kronestykke K M K M Kaster en femkrone K M K M K M K M Kaster en tikrone KKK KKM KMK KMM MKK MKM MMK MMM Mulige utfall a Det er som vi kan telle opp åtte (2 3 ) mulige utfall. Tre kroner (KKK) har bare vi bare én gang. P(tre kroner) = g m = 1 8 b Det er som vi kan telle opp åtte (2 3 ) mulige utfall. Tre mynter (MMM) har bare vi bare én gang. P(tre mynter) = g m = 1 8 c Det er som vi kan telle opp åtte mulige utfall. To kroner og en mynt har vi tre ganger, KKM, KMK, MKK. P(to kroner og en mynt) = g m = 3 8 9

11 6.26 UTEN HJELPEMIDLER I en skål ligger det tre biter smågodt: én sjokoladebit, én karamell og én lakrisbit. Du tar tilfeldig én bit fra skåla og spiser den. Så tar du en bit til. a Forklar at du kan velge de to bitene på seks måter. For hver av de tre smågodtbitene som kan velges har vi så to andre å velge i deretter. Det betyr at du nå velger blant to av smågodtbitene som da enten er ( KARAMELL LAKRIS ), LAKRIS KARAMELL (SJOKOLADE LAKRIS LAKRIS SJOKOLADE ) eller (KARAMELL SJOKOLADE) som er 6 ulike måter. SJOKOLADE KARAMELL Skrevet på en annen måte: Først har vi 1 av 3 å velge blant ( 1 3 ) og deretter 1 av 2 å velge blant (1 2 ). Vi kan da velge på seks ulike måter: ( 1 3 ) (1 2 ) = 1 6. Det gir oss en sannsynlighet: P(valg av bit) = 1 6 b Tegn et valgtre som viser de 6 måtene du kan velge bitene på. Sjokolade Karamell Lakris Karamell Lakris Sjokolade Lakris Karamell Sjokolade 6.27 En klasse med 15 jenter og 10 gutter skal ved loddtrekning velge ett medlem og ett varamedlem til elevrådet. De trekker først lodd om hvem som skal være medlem. Deretter trekker de lodd om hvem som skal være varamedlem. a På hvor mange måter kan vi velge medlem og varamedlem? Det er totalt 25 elever i klassen. Når vi trekker om hvem som skal være medlem har vi 25 å velge i. Når vi så skal trekke om hvem som skal være varamedlem har vi 24 å velge i. Regne stykket blir da slik: Mulige utfall (m) = = 600 måter b På hvor mange måter kan vi velge en jente både til medlem og varamedlem? Det er totalt 15 jenter i klassen. Når vi trekker om hvem som skal være medlem har vi 15 å velge i. Når vi så skal trekke om hvem som skal være varamedlem har vi 14 å velge i. Regne stykket blir da slik: Mulige utfall (m) = = 210 måter c Hva er sannsynligheten for at både medlem og varamedlem blir jente? Alle utfall er like sannsynlige da det er loddtrekkning. Vi vet fra oppgave b at mulige utfall er 210 for en jente og fra oppgave a at mulige utfall for hele klassen er 600. Regnestykket blir da slik: P(to jenter blir valgt) = 210 = 7 = 0,35 = 35 %

12 6D Komplementære hendelser 6.34 UTEN HJELPEMIDLER Du kaster et kronestykke og en femkrone og ser hva du får. a Hvilke utfall er med i hendelsen B = «Nøyaktig én krone»? Det er hendelsene MK og KM, fordi skal ha kun én krone, verken mer eller mindre. b Hvilke utfall er med i B? Vi går her utfra at B = «Nøyaktig én krone» altså det motsatte av B som utelater MK og KM. Vi har da to hendelsene MM og KK. c Hva er sannsynligheten for hendelsene B og B? For to komplementære hendelser har vi den generelle formelen P(B) + P(B) = 1. I dette tilfelle har vi at P(B) = = 1 2 og P(B) = = 1 2 P(B) + P(B) = = 1 som stemmer med den generelle formelen En klasse med 15 jenter og 10 gutter skal ved loddtrekning velge medlem og ett varamedlem i elevrådet. De trekker først lodd om hvem som skal være medlem. Deretter trekker de lodd om hvem som skal være varamedlem. Hva er sannsynligheten for at minst én gutt ble valgt? Hendelsene minst en gutt blir valgt og to jenter blir valgt er komplementære. Det betyr her at når minst én gutt blir valgt vil alle andre hendelser (valg) inneholde to jenter. Som vi skrives slik: P(minst en gutt) + P(to jenter) = 1 Det vil være enklest å finne ut sannsynligheten for å velge to jenter for så å finne minst en gutt. P(to jenter) = = = 210 = 7 = 0, Vi gjør om formelen: P(minst en gutt) = 1 P(to jenter)... og regner ut: P(minst en gutt) = 1 0,35 = 0,65 = 65 % 11

13 6E Krysstabell og venndiagram 6.42 I klasse 1B er det 27 elever. En uke har 10 elever sett Senkveld, mens 7 elever har sett Robinsonekspedisjonen. Tre elever har sett begge TV-programmene. a Lag en krysstabell som viser hvor mange elever som har sett begge programmene har sett Senkveld, men ikke Robinsonekspedisjonen har sett Robinsonekspedisjonen, men ikke Senkveld ikke har sett noen av programmene Robinsonekspedisjonen Robinsonekspedisjonen Totalt Senkveld Senkveld Totalt b Lag et venndiagram som viser informasjonen i spørsmål a. R R S S R S 13 Hele klassen 27 En elev blir trukket ut tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at eleven c har sett begge programmene P(har sett begge programmene) = 3 = 1 = 11, 1 % 27 9 d ikke har sett noen av programmene P(har ikke sett noen av programmene) = 13 = 48, 1 % 27 e har sett minst ett av programmene Vi har to komplementære størrelser og bruker: P(har sett minst ett av programmene) = 1 P(ikke sett noen program) = = 14 = 51, 9 %

14 6.43 I en klasse er det 25 elever. 15 elever har valgt matematikk og 8 har valgt samfunnsøkonomi. Sju av elevene har verken valgt matematikk eller samfunnsøkonomi. Vi velger tilfeldig én elev fra klassen. Velger å lage både venndiagram og eller krysstabell for å få se hva som er best for å løse oppgaven. Matematikk Matematikk Totalt M M S S 15 7? Samfunnsøkonomi Hele klassen M S Samfunnsøkonomi Totalt Vi ser at hvis vi bruker venndiagram vil vi ikke direkte få svar på oppgave a, men må fordele antallet i «de to boblene» 15? Vi kan bruke krysstabellen for å slippe denne omregningen. a Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt både matematikk og samfunnsøkonomi? P(både matematikk og samfunnsøkonomi) = 5 25 = 1 5 = 20 % b Hva er sannsynligheten for at eleven har valgt bare ett av fagene? Vi har to komplementære størrelser og bruker: P(bare ett av fagene) = 1 P(begge fag) P(ingen fag) = = = 52 % Eller vi kan bruke denne notasjonen: S M + M S = = 13 = 52 % = Snitt, leses som OG Vi velger tilfeldig én av elevene som har matematikk c Hva er sannsynligheten for at eleven også har samfunnsøkonomi? Oppgaveteksten sier at 15 har valgt matematikk. Av krysstabellen finner vi at 5 har valgt både matematikk og samfunnsøkonomi. P(både matematikk og samfunnsøkonomi) = 5 = 1 = 33, 3 %

15 Andre kast 6F Addisjonssetningen 6.48 Idrettslaget Friskus har 90 aktive medlemmer. Av dem spiller 20 fotball, 20 spiller håndball, 15 spiller volleyball, 20 løper orientering og 15 driver med friidrett. Ingen av medlemmene holder på med mer en én aktivitet. Et medlem velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at medlemmet a spiller fotball eller håndball Ettersom ingen av medlemmene driver med mer enn én aktivitet kan vi bruke ADDISJONSSETNINGEN. P(fotball eller håndball) = P(fotball) + P(håndball) = = 40 = 4 = 44, 4 % b løper orientering eller driver med friidrett Ettersom ingen av medlemmene driver med mer enn én aktivitet kan vi bruke ADDISJONSSETNINGEN. P(orientering eller friidrett) = P(orientering) + P(friidrett) = = 35 = 7 = 38, 9 % c spiller et ballspill Ettersom ingen av medlemmene driver med mer enn én aktivitet kan vi bruke ADDISJONSSETNINGEN. Men først må vi velge hva som er et ballspill. Velger at Fotball, Håndball og Volleyball er ballspill. P(fot, hånd eller volleyball) = P(fot) + P(hånd) + P(volley) = = 55 = 11 = 61, 1 % Du kaster to terninger. Se på hendelsene A = «sum øyne høyst ni» og B = «minst én femmer». NB! Høyst ni betyr ni eller mindre. Minst én femmer betyr her en eller to femmere. a Tegn en figur som viser alle utfallene og merk av hendelsene A og B B A Første kast b Hvilke utfall er med i hendelsene A B og A B? A B er A snitt B, men vi leser det som A og B. Da er spørsmålet lettere å forstå. Velger å skrive hendelsene dette gjelder på samme måte som når vi angir ett punkt. A B = (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3) og (5, 4) A B er A union B, men vi leser det som A eller B. Da er spørsmålet lettere å forstå. Det er her p.g.a. det store antallet utfall enklere å si alle unntatt : (4, 6), (6, 4) og (6, 6) 14

16 6.49 Fortsettelse c Bestem sannsynligheten for A B 1 ved å bruke den generelle addisjonssetningen Den generelle addisjonssetningen skrives slik: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = = ved å telle opp antall gunstige utfall Vet at vi har 36 punkter, ser at 3 av disse ikke er med i unionen. Får da til sammen 33 punkter av totalt 36. 6G Produktsetningen for uavhengige hendelser 6.56 I en eske er det to blå og tre røde kuler. Du trekker tilfeldig én kule fra esken og ser hvilken farge den har. Du legger kula tilbake og trekker tilfeldig én kule til. Hva er sannsynligheten for at a begge kulene er røde Vi bruker produktsetningen for uavhengige størresler: P(rød rød) = P(rød) P(rød) = = 9 25 = 36 % b begge kulene er blå Vi bruker produktsetningen for uavhengige størresler: P(blå blå) = P(blå) P(blå) = = 4 25 = 16 % c den første kula er rød og den andre er blå Vi bruker produktsetningen for uavhengige størresler: P(rød blå) = P(rød) P(blå) = = 6 25 = 24 % 15

17 6.57 Et ektepar har to barn som ikke er tvillinger. Hva er sannsynligheten for at a paret har to gutter For å løse oppgaven må vi kjenne til hvor stor sannsynlighet (P) det er for å få en gutt. Tidligere i boka er det oppgitt at sannsynligheten (P) for å en jente er 48,6%. Det betyr at det er 51,4% sannsynlighet (P) for å få en gutt. Det betyr at P(gutt) = 0,514. P(gutt gutt) = P(gutt) P(gutt) = 0,514 0,514 = 0,264 = 26, 4 % b det eldste barnet er en gutt og det yngste er en jente P(gutt jente) = P(gutt) P(jente) = 0,514 0,486 = 0,250 = 25, 0 % c det eldste barnet er en jente og det yngste er en gutt P(jente gutt) = P(jente) P(gutt) = 0,486 0,514 = 0,250 = 25, 0 % 6.58 Figuren viser et lykkehjul. Du snurrer hjulet rundt to ganger og ser hvilken farge det stopper på. Hva er sannsynligheten for at lykkehjulet stopper a på det røde feltet For å løse oppgavene må vi vite hvor stor del hver farge fyller i sirkelen. Det ser ut til at den røde og den blå delen dekker 2 hver. Det ser også ut som den gule og den grå delen dekker 1 hver. 6 6 P(rødt rødt) = P(rødt) P(rødt) = 2 2 = 4 = 1 = 11, 1 % b på det røde feltet første gang og det gule feltet andre gang P(rødt gult) = P(rødt) P(gult) = 2 1 = 2 = 1 = 5, 6 %

18 6.59 Du kaster fem terninger. Hva er sannsynligheten for at du a ikke får en eneste sekser Ikke får sekser i ett kast med én terning = 5 6. Ikke får sekser i ett kast med fem terninger = ( 5 6 )5 = 3125 = 0,402 = 40, 2 % 7776 b får minst én sekser Hendelsen «minst en sekser» er komplementær med «ingen seksere». Det betyr at vi finner sannsynligheten (P) for «ingen seksere» først. P(Ingen seksere) = ( 5 6 )5 = = 0,402 P(minst en sekser) = 1 P(ingen seksere) = 1 0,402 = 0,598 = 59, 8 % 6.60 En familie har tre barn som ikke er tvillinger eller trillinger. Hva er sannsynligheten for at a alle er jenter Vi vet fra før at sannsynligheten for å få jente er 0,486. P(jente jente jente) = P(jente) P(jente) P(jente) = (0,486) 3 = 0,115 = 11, 5 % b minst ett av barna er gutt Hendelsen «minst en gutt» er komplementær med «ingen gutter». Det betyr at vi finner sannsynligheten (P) for «ingen gutter» først. P(Ingen gutter) = (0,514) 3 = 0,136 Så bruker vi formelen for komplementære hendelser: P(minst en gutt) = 1 P(ingen gutter) = 1 0,136 = 0,864 = 86, 4 % 17

19 6H Produktsetningen for avhengige hendelser 6.68 UTEN HJELPEMIDLER I syskrinet til bestemor ligger det to blå og tre røde knapper. Mons trekker tilfeldig én knapp og ser hvilken farge den har. Uten å legge knappen tilbake trekker han tilfeldig én knapp til. Hva er sannsynligheten for at a begge knappene er røde Sannsynligheten (P) for at vi trekker en rød først: P(rød første gang) = 3 5 Når vi har trukket en rød er det to røde og to blå igjen, totalt 4 knapper. Sannsynligheten (P) for å trekke en rød andre gang: P(rød andre gang) = 2 4 P(to røde på rad) = P(A) P(B A) = = 6 20 = 3 10 = 30 % A = Første trekning B = Andre trekning b begge knappene er blå Sannsynligheten (P) for at vi trekker en blå først: P(blå første gang) = 2 5 Når vi har trukket en blå er det tre røde og en blå igjen, totalt fire knapper. Sannsynligheten (P) for å trekke en blå andre gang: P(blå andre gang) = 1 4 P(to blå på rad) = P(A) P(B A) = = 2 20 = 1 10 = 10 % c den første knappen er rød og den andre blå Sannsynligheten (P) for at vi trekker en rød først: P(rød første gang) = 3 5 Når vi har trukket en rød er det to røde og to blå igjen, totalt fire knapper. Sannsynligheten (P) for å trekke en blå andre gang: P(blå andre gang) = 2 4 P(først blå så rød) = P(A) P(B A) = = 6 20 = 3 10 = 30 % 18

20 6.69 I en eske er det 7 blå og 4 røde kuler. Vi trekker tilfeldig én kule fra esken og ser hvilken farge den har. Uten å legge kula tilbake trekker vi tilfeldig én kule til. Hva er sannsynligheten for at a begge kulene er blå Sannsynligheten (P) for at vi trekker en blå først: P(blå første gang) = 7 11 Når vi har trukket en blå er det seks blå igjen og totalt ti kuler. Sannsynligheten (P) for å trekke en blå andre gang: P(blå andre gang) = 6 10 P(to blå på rad) = P(A) P(B A) = 7 6 = 42 = 21 = 38, 1 % A = Første trekning B = Andre trekning b begge kulene er rød Sannsynligheten (P) for at vi trekker en rød først: P(rød første gang) = 4 11 Når vi har trukket en rød er det tre røde igjen og totalt ti kuler. Sannsynligheten (P) for å trekke en rød andre gang: P(rød andre gang) = 3 10 P(to blå på rad) = P(A) P(B A) = 4 3 = 12 = 6 = 10, 9 % c den første kula rød og den andre blå Sannsynligheten (P) for at vi trekker en rød først: P(rød første gang) = 4 11 Når vi har trukket en rød er det sju blå igjen og totalt ti kuler. Sannsynligheten (P) for å trekke en blå andre gang: P(blå andre gang) = 7 10 P(rød først og så blå) = P(A) P(B A) = 4 7 = 28 = 14 = 25, 4 %

21 6.70 En klasse med 15 jenter og 10 gutter skal ved loddtrekning velge et medlem og ett varamedlem til elevrådet. De trekker først lodd om hvem som skal være medlem. Deretter trekker de lodd om hvem som skal være varamedlem. Hva er sannsynligheten for at a både medlem og varamedlem blir gutter Sannsynligheten (P) for at vi trekker en gutt først: P(gutt første gang) = 10 Når vi har trukket en gutt er det ni gutter igjen av totalt 24 elever. Sannsynligheten (P) for å trekke en gutt andre gang: P(gutt andre gang) = 9 P(to gutter på rad) = P(A) P(B A) = 10 9 = 90 = 3 = 15 % A = Første trekning B = Andre trekning b minst én jente blir valgt Hendelsen «minst en jente» betyr at vi ikke får «to gutter på rad». I oppgave a fant vi svaret på «to gutter på rad». Som var 0,15. Vi bruker formelen for komplementære hendelser: P(minst en jente) = 1 P(to gutter på rad) = 1 0,15 = 0,85 = 85 % 6.71 I en skål ligger det 15 FOX-karameller og 10 NOX-karameller. Uten å se på skåla tar Signe tre karameller. Hva er sannsynligheten for at Signe a får tre NOX Sannsynligheten (P) for at vi trekker en NOX først: P(NOX første gang) = 10 Når vi har trukket en NOX er det ni NOX igjen av totalt 25 karameller. Sannsynligheten (P) for å trekke en NOX andre gang: P(NOX andre gang) = 9 Når vi har trukket en NOX til er det åtte NOX igjen av totalt 23 karameller. Sannsynligheten (P) for å trekke en NOX andre gang: P(NOX andre gang) = 8 23 P(tre NOX på rad) = P(A) P(B A) P(B A) = = 720 = 6 = 0,052 = 5, 2 % b får minst én FOX Hendelsen «minst en FOX» betyr at vi ikke får «tre NOX på rad». I oppgave a fant vi svaret på «tre NOX på rad». Som var 0,052. Vi bruker formelen for komplementære hendelser: P(minst en FOX) = 1 P(tre NOX på rad) = 1 0,052 = 0,948 = 94, 8 %

22 6I Sammensatte forsøk 6.81 Et ektepar har to barn som ikke er tvillinger. J P(JJ) = 0,486 0,486 J G P(JG) = 0,486 0,514 G J P(GJ) = 0,514 0,486 G P(GG) = 0,514 0,514 Hva er sannsynligheten for at paret har a én gutt og én jente Vi vet fra før at sannsynligheten for å få jente er 0,486 og for å få en gutt er 0,514 som vist i figuren. P(en jente og en gutt) = P(JG) + P(GJ) = (0,486 0,514) + (0,514 0,486) = 0,499 = 49,9 % b minst én gutt Vi vet fra før at sannsynligheten for å få jente er 0,486 og for å få en gutt er 0,514 som vist i figuren. P(minst en gutt) = P(JG) + P(GJ) + P(GG) = (0,486 0,514) + (0,514 0,486) + (0,514 0,514) = 0,764 = 76, 4 % c minst én jente Vi vet fra før at sannsynligheten for å få jente er 0,486 og for å få en gutt er 0,514 som vist i figuren. P(minst en jente) = P(JG) + P(GJ) + P(JJ) = (0,486 0,514) + (0,514 0,486) + (0,486 0,486) = 0,736 = 73, 6 % 21

23 6.82 UTEN HJELPEMIDLER I en skål ligger det 15 FOX-karameller og 10 NOX-karameller. Uten å se i skåla tar Signe to karameller. Dette er et sammensatt forsøk med ett delforsøk for hver karamell Signe tar. a tegn ett valgtre for det sammensatte forsøket F O X F O X N O X P(FF) = 15/25 14/24 P(FN) = 15/25 10/24 N O X F O X N O X P(NF) = 10/25 15/24 P(NN) = 10/25 9/24 Hva er sannsynligheten for at Signe får a to FOX P(to FOX) = P(FF) = ( ) = 7 = 0,35 = 35 % b to NOX P(to FOX) = P(NN) = ( 10 9 ) = 3 = 0,15 = 15 % c nøyaktig én FOX P(nøyaktig en FOX) = P(NF) + P(FN) = ( ) (15 10 ) = 1 = 0,50 = 50 % d minst én FOX P(nøyaktig en FOX) = P(NF) + P(FN) + P(FF) = ( ) (15 10 ) (15 14 ) = 17 = 0,85 = 85 %

24 6.84 I en skål ligger det 8 seigmenn og 12 seigdamer. Du trekker tilfeldig to «seigpersoner» fra skåla. Dette er et sammensatt forsøk med ett delforsøk for hver «seigperson» du trekker. a tegn et valgtre for det sammensatte forsøket 8 20 SM 12 SD SM SD 8 19 SM SD Hva er sannsynligheten for at du får b to seigdamer P(to Seigdamer) = P(SD SD) = ( ) = 33 = 0,347 = 34, 7 % c to seigmenn P(to Seigmenn) = P(SM SM) = ( 8 7 ) = 14 = 0,147 = 14, 7 % d én seigdame og én seigmann P(en Seigdame og en Seigmann) = P(SD SM) (SM SD) = ( 12 8 ) + ( 8 12 ) = 48 = 0,505 = 50, 5 % e minst én seigmann I oppgave b fant vi svaret på P(to Seigdamer). Som var 0,347. Vi bruker formelen for komplementære hendelser: P(minst en Seigmann) = 1 P(to Seigdamer) = 1 0,347 = 0,653 = 65, 3 % 23

25 Kapitteltest Oppgave 1 UTEN HJELPEMIDLER I klesskapet til Hanna er det 12 bluser. Tre av dem er røde, mens de andre har en annen farge. Hanna velger tilfeldig én bluse fra skapet. a Hva er sannsynligheten for at blusen er rød? Sannsynligheten for at blusen er rød = 3 = 0,25 = 25 % 12 Sannsynligheten for at blusen er grønn er 25% b Hvor mange grønne bluser har Hanna? Tre bluser tilsvarer 25 %. Da vil også 25 % grønne bluser tilsvare tre bluser. Oppgave 3 UTEN HJELPEMIDLER I klasse 1A er det 20 elever. Av dem har 10 elever spansk og 6 elever tysk. To elever har begge de to språkfagene. a Systematiser opplysningene ovenfor i en krysstabell eller i et venndiagram. Tysk Tysk Totalt S S T T Spansk Hele klassen S T Spansk Totalt Klassen skal på tur til Barcelona og velger tilfeldig én elev som reiseleder. b Hva er sannsynligheten for at reiselederen verken har spansk eller tysk? P(verken spansk eller tysk) = 6 20 = 3 10 = 30 % c Hva er sannsynligheten for at reiselederen har spansk, men ikke tysk? P(har spansk, men ikke tysk) = 8 20 = 2 5 = 40 % 24

26 Symboler, formler og eksempler i sannsynlighet P Sannsynlighet (eng: probability) P( ) Union «Den eller den» + (A B) Snitt «Den og den» (A B) Gitt En forutsetning (A B) Ikke Det omvendte P(A) = 1 P(A) Den tomme mengde! Fakultet Eksempel: 5! = = 120 Sannsynlighet (P) kan presenteres som: Brøk ( 1 ) Desimalbrøk (0,143) Prosent (14,3%) 7 Utfall / Utfallsrom: På en terning med seks sider har vi seks utfall og utfallsrommet er = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } Relativ frekvens (Relativ hyppighet): Vi kaster 50 terninger (N) og får 12 enere (n). Relativ frekvens = n N = = 0,240. Sannsynligheten (P) for å få ener når vi kaster en terning, er det samme som den relative frekvensen for enere når vi kaster terningen veldig mange ganger. 25

27 Formler Uniform sannsynlighet : ALLE UTFALL ER LIKE SANNSYNLIGE P(A) = Antall gunstige hendelser Alle mulige hendelser Addisjonssetningen : NÅR HENDELSENE IKKE HAR FELLES UTFALL (Hendelsene er disjunkte) P(A B) = P(A) + P(B) = Union (eller) Addisjonssetningen : NÅR HENDELSENE HAR FELLES UTFALL (Den generelle addisjonssetningen) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = Union (eller) = Snitt (og) Produktsetningen : FOR UAVHENGIGE STØRRELSER P(A B) = P(A) P(B) = Snitt (og) Produktsetningen : FOR AVHENGIGE STØRRELSER P(A B) = P(A) P(B A) = Snitt (og) = Gitt Betinget sannsynlighet : P(B A) = P(A B) P(A) = Gitt = Snitt (og) Hendingen A : KOMPLEMENTÆRE HENDELSER P(A) = 1 P(A) P(mynt) = 1 P(mynt) P(A) + P(A) = 1 P(mynt) + P(mynt) = 1 26

28 Binomialkoeffisienten: ( n ) Uttales «n over k». k Brukes når rekkefølgen vi velger i ikke har betydning, ett uordnet utvalg. n er antall gjenstander og k er det antall som skal velges. Eksempel: Finn hvor mange måter det er å velge epler på når vi har 7 epler og skal velge 3 av dem. ( 7 3 ) = = = 35 ( n k ) = n! k!(n k)! ( 7 3 ) = 7! = 5040 = 35! uttales «fakultet» 3!(7 3)! 6 24 Bionomisk modell: ( n k ) pk (1 p) n k 1 p = P(A) Eksempel: Vi kaster en mynt der den ene siden er MYNT og den andre siden er KRON. Vi kaster mynten fem ganger på rad og skal finne sannsynligheten for KRON nøyaktig to ganger. De fem kastene er da uavhengige. ( n k ) = (5 2 ) = 5 4 = 20 = 10 Det er 10 muligheter for å få KRON nøyaktig to ganger ( n k ) pk (1 p) n k = ( 5 2 ) p2 (1 p) 5 2 = 10 p 2 (1 p) 5 2 La oss si at vi gjennom uendelig mange forsøk har funnet ut at sannsynligheten for å få KRON når vi kaster mynten er er 0,50. Da blir: p = 0,50 ( n k ) pk (1 p) n k = ( 5 2 ) 0,502 (1 0,50) 5 2 = 10 0,50 2 (1 0,50) 5 2 = 0, 3125 Sannsynligheten for å få KRON nøyaktig to ganger når vi kaster mynten fem ganger er 0,

29 Krysstabell / Venndiagram / Valgtre Eksempel: På en skole med 450 elever er det 80 som spiller fotball og 50 som går på ski. 30 av elevene går både på ski og spiller fotball. Krysstabell: Ski (S) IKKE ski Sum Fotball (F) IKKE fotball Sum Enkelt Venndiagram av krysstabellen: S S F F Ski 30 Fotball Utvidet Venndiagram av krysstabellen: S S F F S F 350 Alle (Sum / Sum) 450 Valgtre med verdier av krysstabellen på to ulike måter: 450 Alle (Sum / Sum) 450 Alle (Sum / Sum) NEI JA NEI JA Går på ski (S) Spiller fotball (F) NEI JA NEI JA NEI JA NEI JA Spiller fotball (F) Går på ski (S) S F S F S F S F F S F S F S F S 28

30 Valgtre Dette valgtreet viser muligheten for å få krone eller mynt. BLÅ er krone og RØD er mynt For å få krone to ganger etter hverandre følger vi den BLÅ ubrutte linjen og multipliserer sannsynlighetene: = for å få krone to ganger på rad. 1 2 K M 1 2 K M K M Valgtre med verdier I en klasse på 30 elever er det 10 som spiser fisk. 5 spiser kjøtt hvorav 2 spiser både fisk og kjøtt. NEI 0,67 30 JA 0, Antall elever i klassen Spiser fisk (F) NEI 0,85 JA 0,15 NEI 0,80 JA 0, Spiser kjøtt (K) K F K F K F K F Vi kan da sette opp ett valgtre som vist i figuren over. Legg merke til at tallene horisontalt bli 30 når de summeres og at summen av sannsynlighetene på hver av grenene er 1. F K Leses som "ikke F og ikke K" F K Leses som "ikke F og K" F K Leses som "F og ikke K" F K Leses som "F og K" Sannsynligheten (P) for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk (F): P(F) = = 0,66 Sannsynligheten (P) for at en tilfeldig elev spiser fisk (F): P(F) = = 0,33 eller slik P(F) = 1 P(F) = 1 = 0,

31 30 Antall elever i klassen NEI 0,67 JA 0, Spiser fisk (F) NEI 0,85 JA 0,15 NEI 0,80 JA 0, Spiser kjøtt (K) K F K F K F K F Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk og ikke spiser kjøtt: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,67 0,85 = 0,57 K F betyr at K er gitt av at F gjelder. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev ikke spiser fisk men spiser kjøtt: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,67 0,15 = 0,10 K F betyr at K er gitt av at F gjelder. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser fisk men ikke spiser kjøtt: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,33 0,80 = 0,27 K F betyr at K er gitt av at F gjelder. Sannsynligheten for at en tilfeldig elev spiser kjøtt og spiser fisk: P(F K) = P(F) P(K F) = 0,33 0,20 = 0,07 K F betyr at K er gitt av at F gjelder. 30