Sannsynlighet S1, Prøve 1 løsning

Transkript

1 Sannsynlighet S, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave a) Bruk figuren til høyre og fyll inn tall i rutene slik at figuren viser de fem første linjene i Pascals trekant. I et glass ligger det en rød, en svart, en gul og en hvit kule. b) På hvor mange måter kan du trekke ut 2 kuler fra glasset og på hvor mange måter kan du trekke 3 kuler fra glasset? Den nederste linja i figuren angir hvor mange måter vi kan trekke 0,,2,3 og 4 kuler fra et glass på. Jeg kan trekke 2 kuler på 6 måter og 3 kuler på 4 måter c) Bestem både ved å bruke Pascals trekant og ved å bruke formelen for 2 binomialkoeffesienten. 4 I Pascals trekant finner jeg svaret i tredje rute i nederste linje: 6. 2 Formelen gir Oppgave 2 Elevrådet på Lillevik videregående skole består av 0 representanter. Av disse representantene skal det velges tre representanter til et arbeidsutvalg. a) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få? De kan få ulike arbeidsutvalg. Når arbeidsutvalget er valgt, skal det bestemme hvem som skal være leder, nestleder og sekretær.

2 b) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få med de samme tre representantene? Vi kan få 3! 6 ulike arbeidsutvalg. c) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få i elevrådet når vi tar hensyn til hvem som har de ulike vervene? Da kan vi få ulike arbeidsutvalg. Oppgave 3 På Storhaug skole består også elevrådet av 0 representanter. Her foregår valg til arbeidsutvalget ved at det først velges leder, så nestleder og til slutt sekretær. a) Hvor mange ulike arbeidsutvalg kan de få? De kan få ulike arbeidsutvalg. b) Sammenlikne svaret i 3a med svaret i 2c og kommenter resultatet. Svaret blir det samme. Det spiller ingen rolle om en først velger representantene og så fordeler vervene, eller om en velger representantene til vervene med en gang. (Forutsatt at valgene er tilfeldige. Her har vi en demokratisk problemstilling!) Anta nå at valget av arbeidsutvalg ved Storhaug skole foregår ved loddtrekning. Ali sitter i elevrådet. c) Hva er sannsynligheten for at Ali blir sekretær i arbeidsutvalget? Her kan vi enten tenke at alle i elevrådet har samme mulighet til å bli kasserer. Sannsynligheten er altså 0. Eller vi kan tenke at da må han ikke velges til leder eller nestleder, men til sekretær. Da får vi at sannsynligheten er Oppgave 4 RA Nummerskilt på bil har endret seg etter hvert som antall biler har økt. I Norge kan vi litt forenklet si at: før andre verdenskrig besto et bilskilt av én bokstav og fire siffer. etter andre verdenskrig ble antall siffer økt til fem. etter 97 består et bilskilt av to bokstaver og fem siffer. Det er 20 ulike bokstaver som brukes i bilskilt. Det første sifferet kan ikke være 0. 2

3 a) Forklar at nummereringen som ble brukt før andre verdenskrig hadde plass til ikke tar hensyn til at systemet også anga fylket bilen hørte hjemme i. Antall kombinasjoner: ,8 0. 5,80 biler når vi b) Hvor mange biler hadde systemet som ble brukt fra andre verdenskrig og fram til 97 plass til? Antall kombinasjoner: ,8 0. c) Hvor mange biler har systemet som brukes etter 97 plass til? Antall kombinasjoner: ,6 0. Petter har nummeret øverst i oppgaven på bilen sin. Han skal bestille ferjebillett og må angi nummeret, men han husker det ikke helt. Han er sikker på at bokstavene er A og R, men er usikker på rekkefølgen. Han er også sikker på at sifrene følger etter hverandre i tallrekken, som for eksempel,2,3,4,5. Han velger et nummer som stemmer med det han husker. d) Hva er sannsynligheten for at Petter skriver riktig nummer? Når det gjelder bokstavene har han to muligheter, AR og RA. Når det gjelder sifrene, må det første være eller større og det siste 9 eller mindre. Det gir 5 ulike muligheter når sifrene skal følge etter hverandre. Han har altså 25 0 mulige valg og sannsynligheten for å velge riktig er 0. 3

4 Del 2 Tid: 60 min Hjelpemidler: Alle hjelpemidler. Ikke Internett eller andre former for kommunikasjon. Oppgave 5 I 200 ble det født barn i Norge. Av disse var 3 46 gutter. Vi antar at fordelingen mellom jenter og gutter blir tilsvarende i årene som kommer. a) Hva er sannsynligheten for at et barn som blir født i Norge, er en gutt? Gi svaret med tre desimaler. Sannsynligheten er 346 0, b) Hva er sannsynligheten for at et barn som blir født i Norge, er en jente? Sannsynligheten er0,52 0,488. I en kommune blir det født ca. 60 barn hvert år. c) Hva er sannsynligheten for at de to første barna som blir født, er gutter? Sannsynligheten er 2 0,52 0,262. Foreldrene til de ti første barna som blir født inviteres til foreldregruppe sammen med barna. d) Hva er sannsynligheten for at de fem eldste barna i denne gruppa er jenter, og de fem yngste er gutter? Sannsynligheten er 5 5 0,488 0,52 0,00. 4

5 e) Hva er sannsynligheten for at det er like mange gutter som jenter i gruppa? Her kan vi bruke binomisk fordeling. p 0,52, n = 0 og vi skal finne sannsynligheten for x 5. Sannsynligheten er 0,245. Oppgave 6 (Eksamen R våren 2008, omarbeidet) En kortstokk består av 52 kort: 3 spar, 3 hjerter, 3 ruter og 3 kløver. Spar og kløver er svarte kort. Hjerter og ruter er røde kort. I hver farge har vi et ess (), tallene fra 2 til 0, en knekt, en dame og en konge. Fra en kortstokk trekker vi tilfeldig ut 5 kort. I flere kortspill kalles disse 5 kortene en hånd. a) Hvor mange mulige korthender er det? 52 Antall mulige korthender blir: Vi definerer følgende hendelser: A: Korthånden består av 5 spar. B: Korthånden består av 5 svarte kort. C: Korthånden består av bare ess og konger. 5

6 b) Bestem PA og PB og PC PA 0, Viser utregningen i GeoGebra: PB 0, P C , Pia har delt ut 5 kort til alle deltakerne i et kortspill. Hun tar opp tre av sine kort. Hun har ikke fått noen konge. c) Hva er sannsynligheten for at Pia får minst en konge på de to siste kortene? Det er nå 4 konger og 45 kort som ikke er konge igjen. Hun kan enten få en eller to konger. 6

7 Sannsynligheten for at Pia får minst en konge er , Viser utregningen i GeoGebra: 7