Tallfølger med figurer.

Transkript

1 Tallfølger med figurer. Når du skal lese til eksamen i forhold til oppgaver gitt på delprøve 1 med temaet tallfølger er det første du kan lære deg er aritmetiske tallfølger. Aritmetiske tallfølger er alle tallfølger det det er en bestemt differanse i mellom hvert tall i tallfølgen. De fire viktigste tallfølgende du må kunne til eksamen på delprøve 1. Tallfølger Formel Navn på tallfølge 1 Aritmetisk tallfølge har vi når det er en bestemt differanse i mellom hvert ledd. Eksempel 3,5,7,9,... Her differansen = 2 a " = a $ +d(n- 1) Aritmetisk 2 1,4,9,16,... n & kvadrattall 3 1,3,6,10 n(n + 1) Trekant tall 2 4 Rektangel tall 2,6,12,20,... n n + 1 Rektangel tall To andre tallfølger du bør kjenne til. Tallfølger Formel Navn på tallfølge 5 1,8,27,64,... n, kubikktall 6 Eksempel på en Geometrisk tallfølge 2 2, 4 = 2, 8 = 2 2,4,8, " Geometrisk tallfølføge I en Geometrisk tallfølge ganger vi hvert tall med en konstant for å få neste tall. Her ser vi at denne konstanten er lik =4 4 2=8 8 2=16...osv. Det finnes flere tallfølger, men dette er noen av de mest sentrale tallfølgende.

2 Teori. Med tallfølger mener vi tall som følger etter hverandre i et bestemt mønster. Aritmetisk tallfølge. Når det er bestemt differanse i mellom hvert tall har vi en aritmetisk tallfølge. Eksempel 3,5,7,... Forklar hvorfor vi har en Aritmetisk tallfølge og skriv opp de 3 neste tallene. Løsning. Her er differansen i mellom hvert tall lik 2 og derfor er dette en Aritmetisk tallfølge. De neste tallene i tallfølgen blir da 3,5,7,9,11,13,... Eksempel 10,15,20,25,... Forklar hvorfor vi har en Aritmetisk tallfølge og skriv opp de 3 neste tallene. Her er differansen i mellom hvert tall lik 5 og derfor er dette en Aritmetisk tallfølge. De neste tallene i tallfølgen blir da 10,15,20,25,30,35,40,...

3 Eksempel 20,16,12,8,... Forklar hvorfor vi har en Aritmetisk tallfølge og skriv opp de 2 neste tallene. Her er differansen i mellom hvert tall lik - 4 og derfor er dette en Aritmetisk tallfølge. De neste tallene i tallfølgen blir da 20,16,12,8,4,0,...

4 Formel for tall nummer n for aritmetisk rekke. I en aritmetisk tallfølge er det n- te tallet i følgen gitt ved a " = a $ +d(n- 1) a1=det første tallet i tallfølgen d= differansen i mellom hvert tall n=plassen til tallet. Når n=2 betyr det det andre tallet i tallfølgen. Når n=3 betyr det at det er det tredje tallet i tallfølgen... også videre. Det betyr at a2= det andre tallet i tall følgen, a3= Det tredje tallet i tallfølgen. Eksempel 3,5,7,... Finn en formel for det n- te tallet i tallfølgen i den aritmetiske tallfølgen og regn ut det tredje tallet i tallfølgen. a1 er det første tallet, a2 er det andre tallet, a3 er det tredje tallet,... også videre. Her ser vi at differansen er lik 2 i mellom hvert tall og da har vi en aritmetisk tallfølge. a1= 3 og differansen i mellom hvert tall i tallfølgen lik 2. Det betyr at d=2. Når vi vet dette er det bare å dytte dette inn i formelen. a " = a $ +d(n- 1) a " = 3+2(n- 1) Vi kan regne ut dette. a " = 3+2(n- 1)=3+2n- 2=2n+1

5 Vi bruker formelen a " = 2n + 1 a, = = = 7 Det tredje tallet i tallfølgen er lik 7. Det ser vi stemmer.

6 Eksamensoppgave med en aritmetisk tallfølge. Oppgaven er gitt på delprøve 1 det vil si uten hjelpemidler.

7 Oppgave a) Her ser vi at vi har en aritmetisk rekke fordi det er den samme differansen i mellom hvert tall. Den differansen er lik 2. Da må neste figur (figur 4) ha 9 pinner. (7+2=9) Omkrets: Husk omkrets = Så langt det er å gå rundt hele figuren på utsiden. Da blir det antall pinner rundt hver figur. Her ser vi at vi har en aritmetisk rekke fordi det er den samme differansen i mellom hvert tall. Den differansen er lik 1.

8 Oppgave b) Bestem et uttrykk for antall pinner i figur n uttrykt ved n. a " = a $ + d(n 1) a " = n 1 Kontroll av svar. a " = n 1 a & = = = = 5 Det ser vi stemmer. Om du vil kan du godt regne ut a " = n 1 =3+2n- 2=2n+3-2=2n+1 a " =2n+1

9 Oppgave c) Bestem et uttrykk for omkretsen av figur n uttrykk ved n. a " = a $ + d(n 1) a " = n 1 a " = 3 + n 1 = n + 2 Formelen for antall pinner i omkretsen i figur n har vi nå funnet at er: a " = n + 2 Kontroll av svar. a " = n + 2 a, = = 5 Det ser vi stemmer. Det 3 tallet i tallfølgen er 5

10 Flere tallfølger. Kvadrat tallene. nummer n Antall rundinger 1 1=1 2 2=4 3 3=9 n n = n &

11 Trekanttallene. n(n + 1) 2 n=1 gir n(n + 1) 2 = 1(1 + 1) 2 = = 2 2 = 1 n=2 gir n(n + 1) 2 = 2(2 + 1) 2 = = 6 2 = 3 n=3 gir n(n + 1) 2 = 3(3 + 1) 2 = = 12 2 = 6

12 Rektangel tallene. Antall klosser = Bredde Høyde. Figur nummer Antall klosser 1 2=2 2 3=6 3 4=12 Vi ser bredde er lik nummeret på figuren. Vi ser at høyden på figuren hele tiden er 1 større enn nummeret på figuren. Vi får da. Bredde = n Høyde = n+1 Antall klosser = Bredde Høyde. Antall klosser = n (n+1) n n + 1 = n 2 + n

13 Eksamensoppgave som består av flere tallfølger i samme figur. Høsten 2017 Delprøve 1 Denne oppgaven likner ikke så mye på oppgaver du finner i læreboka. Men det er noen oppgaver av denne typen i læreboka, men det er ikke mange.

14 Slik tenker jeg når jeg løser en slik oppgave. Oppgave a) En måte å løse oppgaven på her er å finne et mønster i figurene å tegne figur nummer 4 og deretter telle antall små kvadrat (små firkanter). Husk at et flere måter å løse oppgaven på. Det som jeg ser er at figuren ser ut som en hund. Hodet (rødt), hale ( i blått), bein ( i grønt) og mage ( i lilla). Hodet: 4 4=16 Hale: 4 Bein: = =40 Mage: 4 Totalt blir det: =64

15 Oppgave b) Det første jeg alltid undersøker er om det er bestemt differanse i mellom hvert tall. For er det, så har vi en aritmetisk rekke. La oss undersøke det. Her ser vi at det ikke er en bestemt differanse i mellom hvert tall. Så her har vi ikke en aritmetisk rekke. Da må se etter om vi ser noe annet mønster.

16 Det jeg ser her, er at det ser ut som jeg kan dele opp hele figuren i flere figurer ( flere tallfølger). Det ser ut som figuren likner på en hund med: hodet, hale, mage og to bein. Se her. Figur tallfølge Navn på tallfølge Hodet 1,4,9,...n 2 kvadrattall hale 1,2,3,... n mage 1,2,3,...n Ett bein n(n + 1) Ett bein n(n + 1) Totalt= Hodet + hale + mage + bein + bein = n 2 + n + n + n n n(n + 1) n 2 + n + n + n n n n + 1 = n 2 + 2n + n 2 + n + n 2 + n = 3n 2 + 4n Kontroll av svar. Figur 2. Da er n=2 Det ser vi, det stemmer. totalt = 3n 2 + 4n totalt = 3n 2 + 4n totalt = = = = 20

17

18 1P- V15-4- del2 løsning. Oppgave b) Tallene 1,3,6 er trekanttallene "("C$) & Det betyr at trekant tallene hele tiden ganges med 3. Se figurer over. n(n + 1) 3 = n n + 1 = 3 2 n& n = 1,5n& + 1,5n

19 Kubikk tallene. nummer n Antall rundinger 1 1 1= = =27 n n n = n, Geometrisk tallfølføge

20 I en Geometrisk rekke ganger vi hele tiden tallet bak med en konstant for å få tallet som kommer foran. Eksempel: 1,2,4,8,16,32,... Her ganger vi med =2 2 2=4 4 2=8 8 2= =32