Løsningsskisser og kommentarer til oppgaver i kapittel 1 - Rekker

Transkript

1 .3 Løsningsskisser og kommentarer til oppgaver i kapittel - Rekker Se også fagdag!.3,.7,.0,.30,.3,.47,.5,.7,.83,.93,.94 Trekanttallene:, 3, 6, 0, 5,... a)viseratdifferanseneer,3,4,5,...osv. Fortsetter vi får vi T 6 T 5 6 b) Se notat for fagdag, kan lage trekanter med,, 3, osv. c) T n T n n n n n n n n n n (Differanseneerdenaturligetallene!) T n T n n n n n n n n n n (Summene er kvadrattallene!) d) Legger vi sammen formlene i c) får vi: T n n n T n n n n n Se notat for fagdag ; trekanttallene er summer av en annen tallfølge, nemlig de naturlige tallene,, 3, 4,... Altså:.7 Vi har: T n n n a 3 a d og a 4 a 3 d a d d a d Altså er 4 3 d d 4 3 a a d 3 5 a i a d i 5 i i.0 a) 3,6,,4,48,... (Formelenblir: a i a k n 3 n 3 n 3 n ) b) k a a 4,, 8, 3, 64,... Ulven av 5 k.tex

2 c) a 4 a k 3 k 3 a 4 a 7 7 k 3 7 3, 3, 9, 7, 8,... d) a 4 a k k a 4 a a k 3 3 a k 9 4 3, 3, 9 4, , 8 6,... Vi setter inn og får: a 4 a 4 9 a a a a a) S Legg merke til at to og to ledd kansellerer hverandre! b) Generelt har vi derfor: S n n n Også her kanselleres to og to ledd, og vi står igjen med det første og siste leddet, altså har vi: S n n c) S Se oppgave.30; også her kan ledd kanselleres, men det er litt større avstand mellom dem: Eksempelvis er S Vi ser at etter å ha fjernet ledd som kansellerer hverandre står vi igjen med de fire første tallene i hver parentes og de fire siste tallene i hver parentes. Generelt har vi derfor: S n 3 4 n n n 3 n 4 Den oppgitte summen er S Ulven av 5 k.tex

3 a) ) n n Summen av ulike tall er kvadrattallene! Aritmetisk rekke: S n a a n n n n n n n ) n n n Aritmetisk rekke: S n a a n n n n n n n n n n b) Bruk en figur og ring inn, 3, 5,... så ser vi at de ulike tallene tilsammen utgjør kvadratet 5 Tilsvarende ser vi at, 4, 6,... utgjør et rektangel med 5 kuler bortover og 4 oppover, altså tilsammen kuler. c) O L (Liketallene er alle større enn oddetallene, så summen av liketallene må være større enn summen av oddetallene!).5 a) Løpetid: l L n [år] 3000 b) Kan lage en tabell: Termin: Restlån: Rente: Avdrag: Terminbeløp: n c) Vi ser at kolonnene blir aritmetiske følger: Restlån: R i r d i i i 7.5 Rente: r i R i i i 00 Terminbeløp: T i r i i i d) S 5 T T Månedsrente: r 6 % 0.5% Bruk tabell til å vise at nåverdiene av alle terminbeløpene blir: Dette er en geometrisk rekke med a 600, k altså får vi nåverdien: N [kr] og n, Ulven av 5 k.tex

4 Altså bør man velge kontant betaling som er mindre enn nåverdien av avbetalingsordningen..83 Bruk tabell til å vise at nåverdiene av terminbeløpene (T) blir: N T T T... T Dette er en geometrisk rekke med a altså får vi nåverdien: N T T.08 T, k og n 0, Denne nåverdien skal være lik lånebeløpet, så vi får ligningen: T T [kr].93 Tegn figur! Siden i ytterste kvadrat er 4, da 4 6. Pytagoras på trekant i nedre venstre hjørne gir siden i neste kvadrat som: 8 Arealet av kvadrat to blir derfor altså halvparten av arealet til kvadrat en. Summen av arealene blir derfor en geometrisk rekke: Geometrisk rekke med a 6 og k. Rekken konvergerer derfor mot S a k [cm ] Etter en dag er det igjen 00%-40% 60% 0.6 av stoffet. Denne type oppgaver er nokså like de økonomiske oppgavene, og vi lager en tabell: Dag : Dag : Dag 3:... Dag n: a a 0.6 a 0.6 a 0.6 n a a a... a 0.6 a 0.6 a Første dag rett etter inntak av tablett: a virksomt stoff Andre dag er det igjen a 0.6, men så tar han en ny tablett og får a a 0.6 virksomt stoff. Ulven av 5 k.tex

5 Tredje dag er det igjen a a , men så tar han en ny tablett og får: a a a a a 0.6 a 0.6 Så dette oppfører seg akkurat som faste sparebeløp på en konto. På en senere dag vil altså virksomt stoff være en rekke med a a, k 0. 6 og n ganske stor. Som grenseverdi: S a k a a For å holde oss under 8 mg, må:.5a 8 a 8.5 a 3. [mg] Ulven av 5 k.tex