Mangekanter og figurtall

Transkript

1 Mangekanter og figurtall ra papirbretting til algebra og funksjoner eskrivelse Opplegget starter med bretting av noen regulære mangekanter og en analyse av dem Her er vinkelberegning, kongruente og formlike trekanter de sentrale områdene levene må vite, eller raskt kunne beregne de innvendige vinklene i regulære mangekanter I del 2 går vi over til figurtall Her skal elevene finne systematikken i hvordan figurtallene framkommer, finne mønster og sammenhenger, for så å bruke egenskaper til figurtall som utgangspunkt for å lage funksjonsuttrykk orarbeid levene bør repetere hvordan de kan finne vinklene i regulære mangekanter Matematikk i fokus el 1 Vinkelberegning, kongruente og enforma trekanter el 2 unksjonsbegrepet Tre likninger med tre ukjente (Hvis man vil: aritmetiske rekker) Utstyr Origamipapir (eller andre tynne kvadratiske papir, helst i ulike farger) Runde plastbrikker (eventuelt knapper eller liknende) ktivitet/opplegg ktivitet 1 a) Læreren holder opp et kvadratisk ark Spør hva slags form det har R kvadrat skal godkjennes, og elevene skal forklare hva som kjennetegner et kvadrat Lærere gir elevene utfordringen: rett et kvadrat med areal som er halvparten av arealet til det opprinnelige kvadratet tter hvert som elevene bretter ber læreren elevene om å forklare hvordan de har tenkt, og hvordan de kan være sikker på at det virkelig er et kvadrat, og at det har halve arealet av det opprinnelige kvadratet b) Ny utfordring: rett en likesidet trekant med side lik siden i det opprinnelige kvadratet tter hvert som elevene bretter ber læreren elevene om å forklare hvordan de har tenkt, og hvordan de kan være sikker på at det virkelig er en likesidet trekant c) Ny utfordring rett en sekskant med utgangspunkt i den likesidete trekanten i b) tter hvert som elevene bretter ber læreren elevene om å forklare hvordan de har tenkt, og hvordan de kan være sikker på at det virkelig er et en regulær sekskant Side 1 av 8

2 a) Å halvere arealet av det opprinnelige kvadratet: b) Å brette en likesidet trekant: 1 rett langs midten 2 rett langs den stipla linja slik at prikkene møtes 3 rett over og brett tilbake 4 Åpne 5 rett langs den stipla linja slik at prikkene møtes 6 rett frem og tilbake 7 Åpne 8 Nå har du en likesidet trekant! c) Å brette en sekskant med likesidet trekant som utgangspunkt: 1 rett eller klipp langs de stiplede linjene slik at det blir en trekant 2 rett alle hjørnene inn mot midten av trekanten 3 Sekskanten viser seg Side 2 av 8

3 ktivitet 2 levene får utdelt instruksjoner til å brette regulære fem-, seks- og åttekanter Utfordring: rett mangekantene og bevis at det virkelig er regulære mangekanter (dvs alle sider og vinkler like lange) retting av femkant: 1 rett langs diagonalen 2 Halver trekanten og brett ut igjen 3 Marker midtpunktet på med en liten brett Kall punktet for G 4 Marker midtpunktet på med en liten brett Kall punktet for 5 rett inn og tilbake langs den stiplede linjen 6 Halver vinkel G 7 Halver vinkel G 8 rett den øverste fliken tilbake langs 9 rett alle papirlag på høyre side bakover om G 10 rett alle papirlagene om linja som er vinkelrett på venstre side av figuren, og går igjennom G 11 rett ut alt u har brettet en regulær femkant! Side 3 av 8

4 retting av sekskant: M 1 rett langs diagonalen 2 Marker midtpunktet på med en liten brett Kall punktet M M 3 rett halveringslinja til linjestykket M 4 Lag en brett langs halveringslinja til linjestykket M 5 rett slik at punktet M ligger mot La bretten gå i gjennom 6 rett den venstre fliken om linja langs siden av den oppbretta trekanten, slik at den havner bak 7 Lag en kraftig brett langs linja som skaper en likesidet trekant 8 iks ferdig sekskant! Side 4 av 8

5 retting av åttekant: 1 rett langs midten 2 Rotèr 90 grader og brett langs midten 3 rett de øverste hjørnene inn mot midten 4 rett de hvite sidene mot hverandre langs diagonalene rett kun inn til midten 5 Rotèr 90 grader og brett langs midten 6 Legg bretten på innsiden slik at et parallellogram framkommer 7 en første enheten er klar Lag syv til 8 Sett enhetene sammen Legg kortsiden til den ene i mellom de to langsidene på den andre,slik at kortsiden blir liggende i linje med langsidene 9 rett inn hjørnene slik at hvert hjørne holder fast hver sin langside på den tilføyde enheten ortsett med å sette sammen enheter på samme måte til åttekanten er ferdig PS: Ved å skyve motsatte sider mot hverandre rundt hele åttekanten vil det oppstå en ny figur Prøv selv! Side 5 av 8

6 ktivitet 3 Læreren demonstrerer oppbyggingen av trekanttall, kvadrattall, femkanttall og sekskanttall på overheaden med transparente plastbrikker Trekanttall: irkanttall: emkanttall: Sekskanttall: levene får utdelt plastbrikker og oppgavearket på neste side: Side 6 av 8

7 igurtall I tabellen nedenfor finner du de første trekanttall, kvadrattall, femkanttall og sekskanttall yll ut resten av tabellen Lag prikk-modeller av noen femkanttall og sekskanttall Tall Trekant T n Kvadrat K n emkant n Sekskant S n Tikant Ti n 1 10 isse figurtallene kan vi kalle stjernetall: Tegn det femte stjernetallet Vi kan skrive tallene slik: 1 = = = = Todimensjonale figurtall kan uttrykkes som en kvadratisk funksjon definert for de naturlige tall or å finne det generelle uttrykket, må vi finne a, b og c i likningen: = an 2 + bn + c n inn formelen for det n-te trekanttallet ved å sette inn for n=1, n=2 og n=3, og løse likningssettet som framkommer (finn a, b og c) inn formelen for det n-te femkanttallet på samme måten Sjekk om det stemmer med tallene i tabellen Side 7 av 8

8 Tips til læreren/variasjonsmuligheter La elevene se etter mønster i tabellen, både vannrett og loddrett e dem gjette på større figurtall og sjekke om det stemmer ette kan også knyttes opp mot rekker La elevene finne formlene ut fra rekketeori, eventuelt gjette formler og bevise det med induksjon Se om formlene stemmer med funksjonsuttrykkene Litteratur/leseforslag Side 8 av 8