Heldagsprøve. Matematikk - S2. 6 Mai 2010

Transkript

1 S2 -Heldagsprøve V0 Heldagsprøve Matematikk - S2 6 Mai 200 Løsningsskisser Del Oppgave a) En rekke er gitt ved ) Finn ledd nummer 25 i rekken. a 25 a d n ) Finn summen av de første 50 leddene. a S n a a n n ) Finn en formel for summen av de n første leddene i rekken, som ikke inneholder andre bokstaver enn n. S n a a n n 2 6 n n 2 3n 2 n 3n2 2n Merk dere denne, nokså standard på eksamenssett... b) Vi ser på rekken Undersøk om rekken konvergerer og finn eventuelt summen av den uendelige rekken. k 2 3 : k : Konvergent! S a k Ikke bland endelige og uendelige rekker! Oppgave 2 Ulven av 6 s2_hd_v0_ls.tex

2 S2 -Heldagsprøve V0 Deriver funksjonene: a) f x e x x2 b) g x x 3 lnx a) f x e u, u x x 2 f x e u 2x 2x e x x2 b) g x 3x 2 lnx x 3 x 3x 2 lnx x 2 x 2 3lnx Viktige standardsoppgaver! Oppgave 3 Gitt funksjonen f x x 3 5x 2 2x 8 a) Regn ut f 2. b) Finn nullpunktene til f x. c) Finn ekstremalpunktene til f x. d) Finn vendepunktet til f x. a) f ): x 2 er faktor i f x! b) Polynomdivisjon: f x x 3 5x 2 2x 8 x 2 x 2 3x 4 abc-formel på andregrad gir: f x x 2 x x 4 Nullpunkter:,0, 2,0 og 4,0 c) f x 3x 2 0x 2 f x 0 x (Litt dumt, jeg burde gitt enklere tall...) TP BP ,f ,f 3 3 d) f x 6x 0 f x 0 6x 0 0 x 5 3 f VP 5 3, ,2.07 Oppgave 4 Totalkostnaden i kroner for en vare er gitt ved K x 8x 000, x 500 der x er antall produserte enheter per dag. Ulven av 6 s2_hd_v0_ls.tex

3 S2 -Heldagsprøve V0 Inntekten av produksjonen i kroner er gitt ved I x 50x 0.x 2, x 500 a) Finn overskuddet som funksjon av x. b) Finn den produksjonsmengden som gir størst overskudd. a) O x I x K x 0.x 2 42x 000, 0 x 500 b) I x 8, K x x I x K x x x Eventuelt: O x 0.2x 42 0 x Oppgave 5 Vi kaster en mynt og en terning. Mynten fungerer som en "tosidig terning" ved at vi har tegnet et øye på den ene siden og to øyne på den andre siden av mynten. Vi definerer den stokastiske variabelen X som summen av øyne på mynten og terningen. a) Forklar hvorfor denne tabellen er en sannsynlighetsmodell for X: X : P X x : 2 6 b) Finn verdien a i tabellen. 6 a c) Hva er sannsynligheten for å få fler enn 3 øyne? d) Finn forventningen E X. a) Mulige kombinasjoner: 2: 3: 2,2 4: 3, : 6,2 5 8: 2 6 Ser at alle X kan lages på to måter, bortsett fra X 2 og X 8, som bare kan lages på en måte. Dessuten; 2 muligheter totalt. b) Summen må være, så P X 5 p 5 p p 2 p 3 p 4 p 6 p 7 p c) P X 3 P X 2 P 2 P d) 8 E X x 2 xp x Ulven av 6 s2_hd_v0_ls.tex

4 S2 -Heldagsprøve V0 Oppgave 6 I en tabell finner vi opplysninger som viser at kg jordbær, kg avokado og kg gulrøtter til sammen inneholder 98 g fett..5 kg jordbær, 2 kg avokado og 3 kg gulrøtter inneholder til sammen 396 g fett. 0 kg jordbær, 3 kg vokado og 5 kg gulrøtter inneholder til sammen 60 g fett. Sett opp et ligningssystem som kan hjelpe oss med å finne ut hvor mye fett det er per kg i jordbær, avokado og gulrøtter. Du skal ikke løse ligningssystemet. x y z 98.5x 2y 3z 396 0x 3y 5z 60 Oppgave 7 Del 2 Antall bakterier som funksjon av tiden t målt i timer kan beskrives av funksjonen f t e 0.09t, t 0 a) Finn antall bakterier i utgangspunktet. b) Finn antall bakterier etter 24 timer. c) Hvor mange bakterier vil antallet stabilisere seg på i det lange løp? d) Når er antall bakterier 0000 ifølge modellen? e) Hva er den maksimale vekstfarten til f t? Husk eller ha i notater: Vendepunktet er symmetripunkt og er VP lna, B k 2 f x akbe kt ae kt 2 f max/ min f lna kb k 4 hvis f x B ae kt a) f e [bakterier] b) f e [bakterier] Ulven av 6 s2_hd_v0_ls.tex

5 S2 -Heldagsprøve V0 c) f t når t, da e 0.09t e 0.09t 0 d) Aldri, f t er alltid mindre enn bæreevnen e) Derivasjon som brøk: f t e 0.09t e 0.09t 5e 0.09t 2 5e 0.09t 2 I vendepunktet er t lna ln k 0.09 f e e [bakterier/time] (Kontroll: kb Oppgave 8 Anne vil kjøpe nytt fjernsynsapparat og har valget mellom tre ulike betalingsmåter: Hun betaler kr kontant 2 Hun betaler 2500 kr per måned i 2 måneder. Det første beløpet betales straks. 3 Hun betaler kontant og deretter 800 kr per måned i 24 måneder. Det første beløpet betales om en måned. Hvilken av disse betalingsmåtene vil bli dyrest for Anne hvis renten er 2% per måned? Nåverdi : kroner Nåverdi 2: [kr] Geometrisk rekke med k, a og n 2. Nåverdi 3: Alternativ 2 er dyrest. Denne oppgaven er nokså standard og man må kunne dette! Sett opp tabell slik at du får oversikt! Oppgave [kr] En bilfabrikant påstår at bensinforbruket til modellen Scotsman ligger på 0.54 liter bensin per mil. Motorbladet DriveFast testkjørte 5 eksemplarer av Scotsman og fant at det gjennomsnittlige bensinforbruket på disse 5 eksemplarene var X 0.58 l/mil. Vi antar at bensinforbruket til en tilfeldig Scotsman er normalfordelt med forventning 0.54 l/mil og standardavvik 0.03 l/mil. Har DriveFast grunnlag for å påstå at bensinforbruket til modellen er høyere enn fabrikanten påstår? Nullhypotese: H 0 : 0.54 Forventet forbruk ifølge fabrikant Ulven av 6 s2_hd_v0_ls.tex

6 S2 -Heldagsprøve V0 Velger signifikansnivå: 0.05 Trekker vi ut en bil, er forbruket normalfordelt med og Men, vi trekker ut n 5 biler og regner ut gjennomsnittet, X, som ifølge sentralgrenseteoremet er normalfordelt med x 0.54 og x n Sannsynlighet for "ekstremt" utfall: P X 0.58 normalcdf(0.58,0,0.54,0.034) (Øvre grense 0 bare valgt "stort", kunne brukt ) Sannsynligheten er mindre enn signifikansnivå (Faktisk mindre enn signifikansnivå 0.005! Ganske sterkt resultat!) DriveFast har med signifikansnivå 0.05 grunnlag for å si at bensinforbruket er høyere enn fabrikanten oppgir. Oppgave 0 En person som mente han kunne kjenne forskjell på Pepsi Cola og Coca Cola. Det ble gjort en hypotesetest for å avgjøre om han kunne dette ved å la personen smake på glass som inneholdt enten Pepsi Cola eller Coca Cola og etterpå si hva glasset inneholdt. Nullhypotesen var H 0 : p 0.5 hvor p 0.5 angir at personen ikke er bedre til å bestemme innholdet i glasset enn tilfeldig gjetning. (Med feks. myntkast.) Signifikansnivået ble satt til Det ble gjort n 20 smaksforsøk, og personen tippet riktig i 3 av smaksforsøkene. Ga denne testen grunnlag for å si at personen virkelig kunne kjenne forskjell på Pepsi Cola og Coca Cola? Sannsynlighet for "ekstremt" utfall: 2 20 P X 3 P X 2 x x -binomcdf(20,0.5,2) x x Sannsynligheten er større enn signifikansnivået, så vi kan ikke forkaste nullhypotesen, vi har altså ikke grunnlag for å si at personen kjenner forskjell på cola-typene. (I hvert fall ikke med bedre resultat enn å kaste mynt og kron, og det kan jo alle gjøre...) Ulven av 6 s2_hd_v0_ls.tex