Øving 13, løsningsskisse.

Transkript

1 TFY455/FY3 Elektr & mgnetisme Øving 3, løsningsskisse nduksjon Forskyvningsstrøm Vekselstrømskretser nst for fysikk 5 Oppgve nduktns for koksilkbel ) Med strømmen jmt fordelt over tverrsnittet på lederne blir B(r) kvlittivt som H(r) i tidligere øving (B = μ H) Vist i figuren til venstre Med bre overfltestrømmer blir skiss forenklet ved t B bre mellom lederne (r [, b]), vist i figuren til høyre B = μ for r [, b], B = ellers r b B n er l e d B er dr b l b) Ønsker å finne simutl fluks i området mellom lederne Ser på et kbelstykke v (vlgt) lengde l Figuren helt til venstre viser et tverrsnitt normlt på strømretningen relet som er ktuelt for å beregne simutl fluks blir et rektngel med sideknter lngs henholdsvis rdius (kortstiplet linje) og i kbelretningen (lngstiplet linje) Dette rektngelet med bredde b og høyde l er vist i høyre figur Rektngelet deles i tynne skiver med bredde dr og rel d = ldr Fltenormlend vil være prllell med B, d kn den simutle B-fluks mellom gjennom det gitte rektngelet uttrykkes Φ B = B d = b B(r) ldr = μ l b dr r = μ l ln b Selvinduktnsen L er definert ved likningen Φ B = L (bruker prikk for tidsderivert) uttrykket for Φ B er kun strømmen vhengig v tid slik t vi får L = Φ Ḃ = μ l ln b Selvinduktnsen per lengdeenhet er mer interessnt for en kbel: som skulle vises L = L l = μ ln b, c) Numerisk for den gitte kbelen: L = 4π 7 H/m ln 3, 5 =, 36 μh/m L = L m = 3, 6 μh d) Energittettheten (per volumenhet) er gitt ved u = H B = μ H = μ ( ) r TFY455/FY3, Løsning-Øv3 s

2 Energiinnhold på enlengdel v kbelen blir d b U = u dv = u l rdr = μ ( ) b l Energi per lengdeenhet blir U = U/l, og fr oppgitt formel U = L ser vi d t r rdr = μ l ln b som ltså er det smme som over L = μ l ln b, e) Numerisk verdi for oppgitte : u = ( ) μ = r 4π 7 H/m ( ), 3 H =7, 3, mm m 3 =7, mj/m3 =7, mp Enhetsregning: H m = (Vs/) 3 m = VC 3 m = J 3 m = N 3 m = pscl Energitettheten i ethvert punkt er ltså et (mgnetisk) trykk på det punktet (Til smmenlikning: tm = kp) Trykket skyldes den mgnetiske krft per flteenhet Oppgve nduksjon ved rotsjon B d φ = ωt c + / der mgnetisk fluks er gitt ved Φ B = Figuren viser ledersløyf sett ovenfr Mgnetfeltet er B = B φ ˆφ og dnner vinkel φ = ωtmed normlen til ledersløyf under rotsjonen Beste estimt for mgnetfelt i sløyf er B φ (c+ )= μ c+ =9, 5 6 T ndusert ems er gitt ved Frdys lov: E = dφ B B d = B φ ( c+ ) cos φ, Dette gir oss der frekvensen er og mplituden E = μ ( ) E = B φ c+ d (cos ωt) = μ c+ c+ ω =f = s =6, 8 3 s, ω = 7 H/m 5 ω sin ωt = E sin ωt, (, m), 5 m 6, 8 3 s =, 6 mv Oppgve 3 Forskyvningsstrøm ) (i) Kondenstorens kpsitns og ldning ved V er C = ɛ r ɛ d =4, 7 8, 85 F/m 3, 4 m, 5 3 =4, 99 pf, Q = CV =4, 99 pf V = 599 pc m (ii) dq/ = c =6, m (iii) Forskyvningsstrømmen er d = dφ der Φ er elektrisk fluks mellom kondenstorpltene Fr Guss lov (eller velkjent fr før) får vi Φ = D = Q = ldning på kondenstoren og dermed d = dφ = dq = c =6, m TFY455/FY3, Løsning-Øv3 s

3 b) Vi bruker i det følgende ɛ = ɛ r ɛ Ohmslovpå punktform gir J c (t) =σe(t) = ρ E(t) = D(t) = Q(t) ρ ɛ der σ er konduktivitet (ikke relldningstetthet!) og vi hr brukt D = ɛe og D = Q/ Positiv J c ltså smme retning som E, dvs fr positiv til negtiv plte Men strømtettheten er også lik der vi må hminustegnforåfå rett fortegn, idet dq dq = Q(t) og endelig J c (t) = dq J c (t) = dq < Dette gir difflikningen dq Q = Q(t) =Q exp = Q ρ ɛ exp t } t } (ii) Bruker definisjon v forskyvningsstrøm smt end en gng D = ɛe og E(t) =ρj c og får J d (t) = dd = ɛde = dj c(t) = Q ρ ɛ exp t } = Q ρ ɛ exp t (iii) Vi ser direkte fr uttrykkene t J d (t) = J c (t) Hvis vi sender en (frildnings)strøm inn på en kondenstoren fortsetter den mellom pltene som en forskyvningsstrøm, dvs strømmen er kontinuerlig dette tilfellet vi ntr kondenstoren ikke er under opp- eller utldning er det ingen strøm i tilførselsledning For å bevre kontinuitet skl det d heller ikke være strøm mellom pltene, og slik blir det fordi forskyvningsstrøm og frildningsstrøm er motstt like store: J d (t) = J c (t) og d (t) = c (t) } Oppgve 4 Kompleks impedns ) Spenningen over en motstnd er (t) R, over en induktns L d(t) og over en kpsitns Q Dette brukt i C Kirchhoffs spenningsregel gir for hver v de tre kretsene: V (t) =R(t) Z R = V/ = R, V e iωt = L d = iωl e iωt Z L = V (t) (t) = V e iωt = iωl, eiωt V e iωt = Q C e iωt = dq = iωcv e iωt Z C = iωc =/iωc (siste vnlig skrivemåte) b) Fr (t) =V (t)/z(iω), kn vi finne følgende skisser v V (t) og de tre ulike strømmer R, L og C Vintr Z =/ under plotting og ser t fsevinkelen for de tre strømmer blir henholdsvis α =, π/ og+π/: 4 3 v(x) ir(x) il(x) ic(x) wt TFY455/FY3, Løsning-Øv3 s3

4 c) det følgende leses + serie og // prllell, og vi bruker følgende regler: Seriekopling v impednser: Z tot = Z + Z Prllelkopling v impednser: Z tot = Z //Z = ZZ Z +Z mpednser for de ulike kretselementer fr oppgven over Første krets: R + L//C + R, som gir Z =R + iωl/(iωc) iωl +/(iωc) =R + i ωl ω LC ndre krets: L//(L + R + C): iωl(r + iωl +/iωc) Z = iωl + iωl + R +/iωc = iωrl ω L + L/C R + i(ωl /ωc) (Kn nok skrives om, men ikke lett åfå skrevet enklere) Tredje krets består v R +(R+L)//C + L Dette gir Z = R + (R + iωl)/iωc R + iωl + iωl = R + iωl + R + iωl +/iωc iωrc ω LC + Fjerde krets er en prllellkobling v tre stk C Kpsitnsen blir 3C og induktnsen blir Z = iω3c Oppgve 5 Resonnskrets ) Seriekoblingens impedns: med bsoluttverdi og fsevinkel: b) Strømmplituden: Z = Z = R + iωl +/iωc = R + i (ωl /ωc) R +(ωl /ωc) α =rctn (ω) = V Z = V R +(ωl /ωc) ωl /ωc R er mksiml når ωl /ωc =,ltså er resonnsfrekvensen ω = /LC = π F π H = πs, ltså f =5Hz c) Med oppgitte tllverdier, og med R i enheten Ω, hr vi, i enheten : (ω) = 33 R +(ω/π π/ω) Med R =/ Ω: 3 R= ohm Med R =/ Ω: 35 R= ohm Med R =Ω: 35 R= ohm () 5 () 5 () w (/s) w (/s) w (/s) d) Nettfrekvensen 5 Hz er nettopp lik kretsens resonnsfrekvens Vi ser t for lle vlgte motstndsverdier blir strømmplituden for stor for en norml sikring i et hus Med -mperes sikring kn vi tillte =4, som betyr t vi må bruke en motstnd som er minst 33 V/4 = 3, 57 Ω = 4 Ω TFY455/FY3, Løsning-Øv3 s4

5 Oppgve 6 Frivillige flervlgsoppgver ) E B-feltet fr venstre spole hr retning x, mens feltet fr høyre spole er like sterkt (symmetri) men hr retning x, feltene nulles ut b) Når mgneten nærmer seg strømsløyf øker mgnetfluksen nedover inni sløyf følge Lenz lov settes opp en strøm som motvirker økningen, og ifølge høyrehåndsregelen må strømmen gå i positiv retning gitt i figuren Når mgneten er mi i øker ikke fluksen lenger, for deretter å vt D blir strømretningen motstt ltså figur rett c) D Mgnetfeltet B hr inni strømsløyf retning ned i ppirplnet (høyrehåndsregel) Under bevegelsen reduseres sløyfs mgnetiske fluks Φ B nedover, og ifølge Lenz lov induseres en sløyfestrøm som opprettholder fluks nedover, ergo må strømretningen være med klokk vstnd r fr rett leder er B = μ /(r) og Frdys lov gir (integrl over sløyf) E = Φ B t = t B d = μ t bdr r,ltsåpropmed d) C Med strtstrøm i vil strømmen i kretsen vt med tidskonstnt τ = L/R slik: i(t) =i exp t/τ} Tidsrten di(t)/ =( /τ) i exp t/τ} vtr med tid e) B Strømmpl = V / Z der impednsen Z = R +iωl+/(iωc) Pg leddet iωl (og ltså induktnsen) får Z svært stor verdi og strømmplituden veldig liten verdi når ω f) C f = c/λ = 3 6 m/s/(3 m) =, 6 Hz g) B Bølgeretningen er i retning v E BSiden v ˆk og E î,må B = ĵ,d î ĵ = ˆk h) C Pg leddet cos(ky + ωt) propgerer bølgen i negtiv y-retning D skl E B mågib i-z-retning ĵ,sommede i x-retning Mi 3 mrs 5 TFY455/FY3, Løsning-Øv3 s5