Påbygging kapittel 7 Eksamenstrening

Transkript

1 Påygging kapittel 7 Eksamenstrening Løsninger til oppgavene i oka Uten hjelpemidler E1 a a a a a a = = = a = a a a a ( ) ( ) c d x x = 3 x x = 3 x x = 3 x = 3 x = 7x 1, 10 5,0 10 = 1, 5, = 6,0 10 = 6, ( ) ( 6) ( 1) = = = 3 = 3 = 3 = = e ( ) a a a a a a a a a ( ) a a = = = = f g h i E a ( 3) ( 3) = 1= 3 = = 3 = = ( ) + ( 4) = = = = ( ) = = = = = ( ) + 1 ( 5) a a 3 3 a a a a 4 6 = = = a = a a a a Vi finner vekstfaktoren for hver av prisendringene. Først lir prisen satt ned med 30 %. 30 Vekstfaktoren er 1 = 1 0,30 = 0, Så lir prisen satt ned med 0 %. 0 Vekstfaktoren er 1 = 1 0, 0 = 0, Nå koster skiene: 5000 kr 0,70 0, 80 = 800 kr ( ) 3 8 Aschehoug Side 1 av 64

2 Samlet prisnedgang: 5000 kr 800 kr = 00 kr Det utgjør: 00 kr 100 % = 44 % 5000 kr 1400 kr 0,90 0,80 1, = 110 kr Løsninger til oppgavene i oka Vekstfaktorene på 0,90 og 0,80 viser at prisen har gått ned to ganger, først med 10 % og så med 0 %. Vekstfaktoren på 1, viser at prisen har gått opp én gang med 0 %. E3 Ny verdi = gammel verdi. vekstfaktor n I dag er ilen verdt kr. En reduksjon på 18 % svarer til en vekstfaktor på 0,8. a Vi skal finne verdien om fire år, altså n = 4. 4 Verdien om fire år: kr 0,8 Vi skal finne verdien for fire år siden, altså n = kr Verdien om fire år: kr 0,8 = 4 0,8 E4 a c Endring Vekstfaktor +5 % 1, 5 15 % 0,85 7,5 % 0, % 1,5 + % 1,0 75 % 0, % 40 Raatten er 40 %. Da er vekstfaktoren 1 = 1 0, 40 = 0, N= GV N = , 60 = 4800 Da lir prisen på høstsalget 4800 kr. Ny verdi = gammel verdi. vekstfaktor n I 010 var det deltakere. En vekstfaktor på 0 % svarer til en vekstfaktor på 1,0. Vi skal finne antall deltakere i 009, altså er n = Antall deltakere i 009 var: ,0 = = , 0 Vi skal finne antall deltakere i 011, altså er n = 1. 1 Antall deltakere i 011 var ,0 = Økningen i antall deltakere fra 009 til 011 var: = Aschehoug Side av 64

3 E5 a = 4, ,5 10 = = = = 0, = = 0,00 10 = = 1, = 1, ( 3) Løsninger til oppgavene i oka E6 a = 3,5 10 0, = 5, = 5,3 10 0, = 3, = 3,4 10 = 3, ( ) ( 4) = = = ,000 5,5 10,5 3,5 10 8,0 10 = 3,5 8,0 10 = 8 10 =, =, E7 a A: B = = = = : = = = = = Vi ser at røken B har størst verdi. 15 Vekstfaktoren er 1 = 0, Verdien avtar med 15 % per år, altså er dette et eksempel på eksponentiell vekst. Ny verdi = gammel verdi. vekstfaktor n 10 Verdien etter 10 år er gitt ved regnestykket ,85. Regnestykke nr. 3 er det riktige. E8 De to 10 % prisøkningene i utikk B regnes av forskjellige priser og derfor lir det feil å si at dette er en prisøkning på 0 %. Eksempel: La oss si at varen koster 100 kr i de to utikkene. I utikk A kostet varen etter prisøkningen: 100 kr 1, 0 = 10 kr. I utikk B kostet varen etter de to prisøkningene: 100 kr 1,10 1,10 = 100 kr 1,10 = 11 kr. E9 a Vi ser av grafen at det koster kr å produsere 50 stoler. Da lir kostnadene per stol kr : 50 = 800 kr. 4, =, 46 0,0001 = 0, Aschehoug Side 3 av 64

4 E10 a og c F C 17, ,8 Stig skal steke kaka på 177 C. E11 a Summen av plasseringene hans er = , 4 9 = Gjennomsnittet av Aksel Lund Svindals plasseringer er 3,4. Vi skriver plasseringene i stigende rekkefølge: Det er 9 plasseringer.medianen er plassering nummer 5.Medianplassering er nummer 4. Aschehoug Side 4 av 64

5 Plassering Frekvens Kumulativ frekvens c Den kumulative frekvensen for tredjeplass er 4. Det etyr at Aksel Lund Svindal le nummer tre eller edre i fire av rennene. Løsninger til oppgavene i oka E1 a c Timer Antall (frekvens) Kumulativ frekvens Kumulativ relativ frekvens (%) % % % % % Vi skriver treningstidene i stigende rekkefølge: Det er til sammen 10 tider. Medianen ligger mellom tid nummer fem og tid nummer seks. Medianen er så gjennomsnittet av de to tidene på hver sin side av midtpunktet: + = Medianen av treningstidene er timer. Summen av jentenes treningstider er = = 3,5 Gjennomsnittet av treningstidene jentene rukte er 3,5 time. Seks treningstider er fra null til timer. Fire treningstider trekker gjennomsnittet opp. De typiske treningstiden er medianen. Første halvdel av dataene er de som kommer før medianen, dvs Første kvartil er medianen for disse fem treningstidene, så første kvartil er 1 time. Andre halvdel av dataene er de som kommer etter medianen, dvs Andre kvartil er medianen for disse fem treningstidene, så andre kvartil er 6 timer. Variasjonsredden er 9 timer 0 timer = 9 timer. Kvartilredden er 6 timer 1 timer = 5 timer. Aschehoug Side 5 av 64

6 E13 a Vi skriver antall familiemedlemmer i hver familie i stigende rekkefølge: Løsninger til oppgavene i oka Det er 19 familier.medianen er plassering nummer 10.Medianen er 3 familiemedlemmer. Summen av antall familiemedlemmer er = = 3 Gjennomsnittet av antall medlemmer i en familie er 3. Variasjonsredden er 7 familiemedlemmer 1 familiemedlem = 6 familiemedlemmer. Første halvdel av dataene er de som kommer før medianen, dvs Første kvartil er medianen for disse ni familiene, så første kvartil er familiemedlemmer. Andre halvdel av dataene er de som kommer etter medianen, dvs Andre kvartil er medianen for disse ni familiene, så andre kvartil er 4 familiemedlemmer. Kvartilredden er 4 familiemedlemmer familiemedlemmer = familiemedlemmer. E14 Karakter Antall elever Variasjonsreddden er 6 1= 5 Fem elever fikk karakteren 4.Typetallet er 4. Vi skriver karakterene i stigende rekkefølge: Det er til sammen 0 elever. Medianen ligger mellom karakter nummer ti og karakter nummer 11. Medianen er så gjennomsnittet av de to tidene på hver sin side av midtpunktet: 3+ 4 = 3,5 Medianen er karakteren 3,5. Summen av antall karakterene er = = 3, 4 Gjennomsnittskarakteren er 3,4. Aschehoug Side 6 av 64

7 E15 Årslønn ( i kr Midtpunkt x m Frekvens f 300, , , Sum = Gjennomsnittslønna er kr. E16 a Lommepenger (kroner) Midtpunkt x m Frekvens f Løsninger til oppgavene i oka 0, , , , Sum = I gjennomsnitt får elevene 60 kr i lommepenger i uka. Medianen er midtpunktet i datamaterialet. Det er 100 elever i ved skolen. Medianen må da være gjennomsnittet av verdi nummer 50 og verdi nummer 51. Begge disse verdiene må ligge i klassen 300, 600. Medianen må derfor være mindre enn gjennomsnittet. E a Klassemidtpunktet i 6,10 = = 8, dvs. A = 8. Summen av frekvensene er 400. Da er B = 400 ( ) = 80 Summen av de relative frekvensene er 1,00. Da er C = 1,00 (0, , 0 + 0,15 + 0,15) = 0,10 Summen av produktene x r = 4,0. Da er D = 4,0 (0,40 + 0,60 + 0,75 + 1,5) = 1,0 m xm r = 4, 0. Det vil si at elevene i gjennomsnitt trener 4,0 timer per uke. c Medianen er midtpunktet i datamaterialet. Frekvensen er 400. Medianen må da være gjennomsnittet av verdi nummer 00 og verdi nummer 01. Siden B = 80, må egge disse verdiene må ligge i klassen,4. Medianen må derfor være mindre enn gjennomsnittet. xm f xm f Aschehoug Side 7 av 64

8 E18 a Antall elever Frekvens Gradtallet Går 30 0,30 0, = 108 Sykler 40 0,40 0, = 144 Kjører uss 0 0,0 0, = 7 Kjører moped 10 0,10 0, = 36 Sum 100 1, E19 a Gjennomsnittet er summen av alle fraværsdagene delt på antall elever: Gjennomsnitt = = = Gjennomsnittet er 5 dager per elev. Vi ordner dataene i stigende rekkefølge, og siden det er 0 oservasjoner, eregner vi medianen som gjennomsnittet av de to midterste Medianen = = Medianen er dager. Typetallet = 0, det vil si 0 dager. Medianen gir det este sentralmålet for klassens fravær. De fleste elevene har lite fravær. Noen få elever har svært høyt fravær og idrar derfor til å heve gjennomsnittet. Aschehoug Side 8 av 64

9 E0 a Antall meldinger Antall elever f Klassemidtpunkt x m f x m Løsninger til oppgavene i oka ,5 8, , ,5 148, , ,5 358 Sum Det er 0 elever i klassen, altså et partall. Medianen lir da gjennomsnittet av antall meldinger som elev nr. 10 og 11 sendte. Begge disse elevene ligger i klassen Medianen ligger i klassen Gjennomsnitt: 990 meldinger = 49,5 meldinger. 0 E1 Tur Antall elever Gradtall for sektor Tur 1 (Roåt) = Tur (Sykkel) = Tur 3 (Høgfjell, kort løype) = Tur 4 (Høgfjell, lang løype) = Sum Aschehoug Side 9 av 64

10 E 1 Av grafen ser vi at høyden til vannoverflaten etter minutter er,5 dm. Det tar 5,8 minutter før høyden til vannoverflaten er 6,0 dm. 5,8 minutter = 5 minutter, og 0,8 60 sekunder = 5 minutter og 48 sekunder. E3 I tallfølgen 16, 1, 8, 4,..avtar hvert ledd med 4. Av grafen ser vi at stigningstallet er 4 og konstantleddet er 0. Dermed kan vi ruke formelen y = 4x+ 0 til å finne tall nummer x i tallfølgen. E4 a Ved å estille og etale turen 30 dager før avreise, får vi kr i avslag Vi eregner avslaget per dag slik: = 50. Vi får 50 kr i avslag per dag. 30 Ved å estille og etale turen 1 dager før avreise, får vi kr i avslag Vi eregner avslaget per dag slik: = 50. Vi får 50 kr i avslag per dag. 1 Stigningstallet for den rette linja er 50 kr/dag. Vi ruker p(x) som symol for prisen x dager før avreise. px ( ) = 50x+ p(30) = = = = = En matematisk modell for prisen på reisene er gitt ved px ( ) = 50x Gyldighetsområdet er derfor x [ 14, 30]. Aschehoug Side 10 av 64

11 1 En firedel av ensinen på tanken er 56 L 14 L 4 =. 14 L Da har Larsen kjørt 0 mil 0,7L/mil =. Full tank er 56 L og Larsen ruker 0,7 L/mil. En matematisk modell for hvor mye ensin Larsen har igjen på tanken er da x ( ) = 56 0,7x der x er antall mil Larsen har kjørt etter at han fylte tanken , 7x = 0 0,7x = x = = 80 0,7 Larsen kan kjøre 80 mil før tanken er tom. x 0, 80. Gyldighetsområdet er derfor [ ] E5 1 Hvis innyggertallet i Fossefjell i dag er 9000 og synker med 150 per år, vil en matematisk modell som viser folketallet om x år, li F( x) = x Grafen C viser folketallet om x år etter denne modellen. For en il som kjøpes for kr og synker i verdi med 15 % per år, vil ilens verdi følge modellen Bx ( ) = ,85 x. Dette er en eksponentialfunksjon. Grafen F viser verdien av ilen x år etter at den le kjøpt. 3 Dersom siden i kvadratet er x, kan arealet uttrykkes ved funksjonen 4 Ax ( ) = x. Grafen er en parael. Grafen A viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden x i kvadratet. I denne oppgaven må x > 0. H( x) = 4, 9x + 1x+ 1, 8. Grafen er en parael med toppunkt siden a < 0. H( x ) uttrykker allens høyde over akken etter x sekunder. H (0) = 1,8. Grafen E viser allens høyde over akken som funksjon av x. Aschehoug Side 11 av 64

12 E6 a Figur m 1 m m 3 m 4 m 5 m 6 Antall klosser m m1 = 10 5 = 5 m3 m = = 7 Da må m m = og m 4 = = m m5 13 m m = og m 5 = = 37 = og m 6 = = 50 Vi ser at m 1 = 11 + = 5 Da må m = + 3 = 10, m 3 = = 17, m 4 = = 6, m 5 = = 37, m 6 = = 50 En modell som viser hvor mange klosser Sondre trenger for å lage m n er da gitt ved m= nn + ( n+ 1) = n+ n+ n m 0 = = 44 Aschehoug Side 1 av 64

13 E7 a Løsninger til oppgavene i oka Siden ilens verdi synker med 10 % hvert år, ruker vi en eksponentiell modell. Lar vi x være antall år etter at Stian kjøpte ilen, får vi x f( x ) = ,90 Siden ilens verdi hvert år synker med 10 %, vil det årlige verditapet li mindre og mindre etter hvert som ilens verdi lir mindre. Grafen for f vil derfor synke saktere og saktere når x øker. Dette stemmer are med graf C. E8 a Stian: Du tjener 50 kr 5 = 50 kr Sondre: Når du har spist opp halvparten av dropsene, har du spist 75 drops. Du spiser fem drops om dagen. Altså tar det 75 dager = 15 dager før du har spist opp halvparten av 5 dropsene. Seastian: Lengden skal være,0 cm større enn redden. Hvis redden er 3,0 cm, skal lengden være 5,0 cm. Arealet av tøystykket er 3,0 cm 5,0 cm = 15 cm. Stian: La x være antall armånd. Inntekten I( x ) kr gitt ved I( x) = 50x. Sondre: Antall drops i krukka avtar med 5 per dag. Etter x dager har du igjen nx ( ) drops der nx ( ) = 150 5x. Seastian: Lengden og redden skal være i cm. Kaller vi redden for, vil lengden være +. Arealet A ( ) i cm er da gitt ved A ( ) = +. c Stian: x må være et helt tall større enn eller lik null, x 0,. Sondre: Løser vi likningen 150 5x = 0, får vi x = 30. Krukka er altså tom etter 30 dager. x 0,30. x må være et helt tall større eller lik null, og mindre enn eller lik 30, [ ] Seastian: Bredden kan ikke være negativ, og den kan heller ikke være null. må være større enn null, 0,. Men det er egrenset hvor store tøystykker Seastian kan lage. Aschehoug Side 13 av 64

14 E9 a Løsninger til oppgavene i oka Nedenfor er koordinatsystemet med punktene tegnet av og en rett linje som passer med punktene er tegnet inn etter este evne. Vi ønsker å finne a og i funksjonsuttrykket y = ax + for den rette linja. Til hjelp har vi merket av to punkter på linja. Punktet A = (0, 00) er skjæringspunktet med y-aksen, som forteller oss at konstantleddet = 00. Sammen med det andre punktet, B = (10, 970), ser vi at økningen i y er 770 når økningen i x er 10. Stigningstallet for linja lir økning i y 770 a = = = 77 økning i x 10 Funksjonsuttrykket for linja lir da y = 77x+ 00. Når det er 0 dl etanol i egeret, ser vi at vekten er 00 g, så derfor må vekten av egeret være 00 g. Stigningstallet forteller oss at når det fylles i én desiliter mer med etanol i egeret, øker vekten med 77 g, altså at én desiliter etanol veier omtrent 77 g, og siden 1 liter inneholder 10 desiliter, veier én liter omtrent 770 g eller 0,77 kg. Aschehoug Side 14 av 64

15 E30 a Av grafen ser vi at et 35 måneder gammelt arn i gjennomsnitt kan ca. 100 ord. c Linja går gjennom punktene (0, 300) og (50, 100). Stigningstallet for linja er a = = Linja vi tegnet inn, skjærer Likningen for den rette linja lir da y = 60x x x 900 x 15 y aksen i 900. Altså er = 900. Av grafen ser vi også at modellen gjelder fra arnet er 15 måneder. Modellen antar at arn i gjennomsnitt lærer 60 nye ord per måned fra de er 0 måneder til de er 50 måneder. Etter den alderen er det tvilsomt om arn da lærer 60 nye ord per måned. Grafen vil nok flate ut etter som arn lir eldre. Aschehoug Side 15 av 64

16 E31 a Nedenfor har vi tegnet figuren f 4. c f1 inneholder 6 perler, f inneholder 11 perler, f3 inneholder 16 perler. Antall perler øker med 5 for hver figur. Derfor vil f 4 inneholde 1 perler. Figuren f 5 vil inneholde 6 perler, og figuren f 6 vil inneholde 31 perler. n f n Vi kan da sette opp følgende modell for antall perler i figuren f n : f = 6+ 5 ( n 1) = 6+ 5n 5= 5n+ 1 n f Det gir 36 = = 181. Det trengs 181 perler for å lage f 36. Vi kan sette opp 5n + 1 = n = = n = = 199,8 5 Med 1000 perler kan Siri lage f 199. E3 a Posen inneholder 16 seigmenn og 6 av dem er gule. g 6 3 P(trekker en gul seigmann) = = = m 16 8 g x P(trekker en grønn seigmann) = = = 0, 5 m 16 Det gir x 16 = 0, x = 4 Det er fire grønne seigmenn i posen. Aschehoug Side 16 av 64

17 E33 a Konsert Ikke konsert Totalt Fest Ikke fest Totalt g 8 1 P(en tilfeldig valgt elev fra 1B skal på konsert) = = = m 4 3 Løsninger til oppgavene i oka E34 a Vi lager en krysstaell. Sosialkunnskap Ikke sosialkunnskap Totalt Engelsk Ikke engelsk Totalt Av venndiagrammet ser vi at 5 av klassens 5 elever har åde sosialkunnskap og internasjonal engelsk. Sannsynligheten for at tilfeldig valgt elev har egge deler, er derfor 1 5. c Det er 14 elever som har sosialkunnskap. Sannsynligheten for at en elev som vi vet har sosialkunnskap, også har internasjonal engelsk, er derfor E35 a Bunken med fem kort inneholder to konger. g P(får en konge) = =. m P (første kort er en konge og det andre kort er et ess) = = = c P (en konge og et ess) = + = = Aschehoug Side 17 av 64

18 E a P (Julie får to gule Non Stop) = = = P (de to Non Stopene hun trekker har samme farge) = + = = Med hjelpemidler E37 a 5 3,5 x = 47 x x 5 47 = = 13,43 3,5 5 = = Med CAS: 13, 43 1,68 3, 7 Vekstfaktoren er 1+ = 1, Ny verdi = gammel verdi. vekstfaktor n Reidun setter inn kr. Vi skal finne verdien om fire år, altså n = 4. 4 På kontoen etter fire år har hun: ,037 = 57 80,9 c Hun har da fått 57 80,9 kr , 00 kr = 7 80,9 kr d Vi kan sette opp x x = = = = x = 1, 039 p 1+ = 1, p = 1, = 0, p = 0, = 3,9 Den andre anken tilyr 3,9 % rente. Aschehoug Side 18 av 64

19 E38 a Vi setter inn i formelen og får E= mc = 0,010 (3,0 10 ) = 9, Løsninger til oppgavene i oka Når en masse på 0,010 kg forsvinner fra en atomkjerne, lir det frigitt en energi på Vi omformer formelen og får 10 E 9, m = = = 1, 0 10 c 8 (3, 0 10 ) For å gi nok energi til en norsk husholdning i et år må det forsvinne eller 1, kg = 0,001 g = 1,0 mg. 1, kg masse E39 Vi legger de 0 plasseringene inn i kolonne A i regnearket i GeoGera. Så markerer vi de 0 plasseringene og klikker på Analyse av en variael. 14 9,0 10 J. a Av taellen ser vi at: Gjennomsnittsplasseringen hennes er 8,1 og medianplaseringen er 3. Typetalllet er siden hun har fått flest andreplasser. Av taellen ser vi at første kvartil er og andre kvartil er 14. Omtrent en firedel av plasseringene er. plass eller edre, og omtrent en firedel av plasseringene er 14. plass eller dårligere. Aschehoug Side 19 av 64

20 E40 a Løsninger til oppgavene i oka Vi legger alle karakterene inn i regnearket i GeoGera og markerer cellene. Deretter klikker vi på Analyse av en variael og får et diagram som viser fordelingen av karakterene. Videre klikker vi på statistikk-verktøyet og får opp denne taellen: Av taellen ser vi at: Medianen av karakterene er 3. c Gjennomsnittskarakteren er 3,3. d Variasjonsredden er 6 1= 5. Første kvartil er og tredje kvartil er 4. Da er kvartilredden 4 =. Datamaterialet er ikke symmetrisk fordelt.det er forholdsvis mange toere og treere i forhold til firere og femere.da er det est å ruke kvartilredden som spredningsmål. Aschehoug Side 0 av 64

21 E41 Vi legger inn tallene i regnearket i GeoGera, klikker på Analyse av en variael og på statistikkknappen. Da får vi denne taellen: a c d Av taellen ser vi at variasjonsredden er 64 timer 10 timer = 54 timer Og mediantiden er 30,5 timer Vi leser av taellen at gjennomsnittlig antall timer foran TV-en er 31, 4 timer. Videre leser vi av taellen at standardavviket er 16,9 timer. For å finne gjennomsnittet utvider vi taellen ved å gange midtpunktet med frekvensen. Timer per måned Midtpunkt Frekvens xm f x f m [10, [0, [30, [40, [50, [60, Sum ,5 Gjennomsnittet lir dermed: 60 = Dermed har vi at disse 60 elevene så i gjennomsnitt 34,5 timer på TV i løpet av en måned. Aschehoug Side 1 av 64

22 e f Av taellen ser vi at 9 elever så minst 50 timer på TV. Det utgjør % = 15 %. 60 E4 a Kategorier Relativ frekvens Gradtall Meget ra = Litt ra = Verken ra eller dårlig = Litt dårlig = Veldig dårlig = Sum Aschehoug Side av 64

23 E43 Vi legger de høydene inn i kolonne A i regnearket i GeoGera. Så markerer vi de plasseringene og klikker på verktøyknappen Analyse av en variael. a Av taellen ser vi at gjennomsnittshøyden er 170,8 cm. Medianhøyden er 168 cm. Standardavviket er 7,8 cm Variasjonsredden er 189 cm 160 cm = 9 cm. Første kvartil er 166 cm og tredje kvartil er 177 cm. Kvartilredden er da 177 cm 166cm = 11 cm. Aschehoug Side 3 av 64

24 c Høyde Frekvens 160, , , , , ,190 1 Sum Aschehoug Side 4 av 64

25 E44 a Parti Totalt Gradtall Ap = H = FrP = KrF = Sp = V = SV = MDG = Sum Aschehoug Side 5 av 64

26 E45 a Lager en grafisk framstilling av karakterene i de to klassene i Excel. Aschehoug Side 6 av 64

27 Vi legger de 0 karakterene i klasse A inn i kolonne A i regnearket i GeoGera. Så markerer vi de 0 plasseringene og klikker på «Analyse av en variael». Vi legger de 0 karakterene i klasse B inn i kolonne A i regnearket i GeoGera. Så markerer vi de 0 plasseringene og klikker på «Analyse av en variael». I taellen finner vi at gjennomsnittskarakteren i A er 4,0, mediankarakteren er 4 og standardavviket er 1,6. Videre ser vi at gjennomsnittskarakteren i B er 4,0, mediankarakteren er 4 og standardavviket er 0,79. Det er mindre spredning i karakterene i klasse B enn i klasse A. Gjennomsnittskarakteren er den samme, men standardavviket i B er mindre enn i A. Aschehoug Side 7 av 64

28 E46 a Fartsgrense 50 km/h: Fartsgrense 80 km/h: Ved å legge sammen antall iler i de to taellene finner vi at politiet kontrollerer 80 iler i egge fartssonene. Fartsgrense 50 km/h. 10 % eller mer over fartsgrensen vil si 55 km/h, eller fortere. Av taellen ser vi at det er 9 iler som kjører så fort % 36,3 % 80 = Ca. 36 % av ilene kjører 10 % eller mer over fartsgrensen der fartsgrensen er 50 km/h. Fartsgrense 80 km/h. 10 % eller mer over fartsgrensen vil her si 88 km/h, eller fortere. Av taellen ser vi at 8 iler har en fart i intervallet 85, 90 km/h. Hvis vi antar at farten til disse ilene fordelte seg jevnt utover dette intervallet, kan vi gå ut fra at ca. 3 av disse ilene kjører i 88 km/h eller i 89 km/h. Til sammen er det da 8 iler som kjører 10 % eller mer over fartsgrensen % 10 % 80 = Ca. 10 % av ilene kjører 10 % eller mer over fartsgrensen der fartsgrensen er 80 km/h. Aschehoug Side 8 av 64

29 c d e Fart i km/h Midtpunkt x m Frekvens f [45,50 47, ,5 [50,55 5, [55,60 57,5 3 13,5 [60,65 6, ,5 [65,70 67,5 135 [70,75 7,5 1 7,5 Sum , = Gjennomsnittsfarten er ca. 53 km/h i 50-sonen. Fart i km/h Midtpunkt x m Frekvens f [70,75 7, ,5 [75,80 77, ,5 [80,85 8, ,5 [85,90 87, [90,95 9,5 0 0 [95, Sum ,5 649,5 = 81, Gjennomsnittsfarten er ca. 81 km/h i 80-sonen. 3, % 6,8 % 50 = I 50-sonen er gjennomsnittsfarten ca. 6,8 % over fartsgrensen. 1, % 1,4 % 80 = I 80-sonen er gjennomsnittsfarten ca. 1, 4 % over fartsgrensen. Av stolpediagrammene ser vi at i 50-sonen svarer den høyeste stolpen til iler som har en fart i intervallet [50,55 km/h, altså over fartsgrensen. Slik er det ikke i 80-sonen, selv om det der er en liten gruppe som kjører mye for fort. I 50-sonen kjører ca. 36 % av ilene, dvs. mer enn hver tredje il, 10 % eller mer over fartsgrensen. I 80-sonen kjører ca. 10 % av ilene, dvs. hver tiende il, 10 % eller mer over fartsgrensen. Gjennomsnittsfarten i 50-sonen er ca. 53 km/h, eller ca. 6 % over fartsgrensen. I 80-sonen er gjennomsnittsfarten ca. 81 km/h, eller ca. 1,3 % over fartsgrensen. Konklusjonen lir da at ilførerne der fartsgrensen er 50 km/h, er de mest lovlydige. xm xm f f Aschehoug Side 9 av 64

30 E47 a c d Gjennomsnittstemperaturen i C for de to stedene: Måned Phuket Antalya Januar 7,9 10 Feruar 8,7 10 Mars 9,3 1,5 April 9,5 16 Mai 8,4 0 Juni 8,3 5 Juli 7,8 8 August 7,9 7,5 Septemer 7,3 5 Oktoer 7,4 0 Novemer 7,5 15 Desemer 7,6 1 Løsninger til oppgavene i oka Vi ruker GeoGera. I regnearket legger vi inn tallene for Phuket i kolonne A og tallene for Antalya i kolonne B. Vi merker kolonne A og velger kommandoen Lag Liste. Verdiene for Phuket ligger nå i Liste1. Vi gjør det samme for kolonne B slik at verdiene for Antalya ligger i Liste. 1 Kommandoen Gjennomsnitt[Liste1] gir gjennomsnittsverdien for Phuket. Vi finner gjennomsnittsverdien for Antalya på tilsvarende måte. Resultatene lir: Gjennomsnittstemperatur Phuket: 8,1 C Gjennomsnittstemperatur Antalya: 18, 4 C Kommandoen Standardavvik[Liste1] gir standardavviket for Phuket. Tilsvarende for Antalya. Resultatene lir: Standardavvik Phuket: 0,69 C Standardavvik Antalya: 6,5 C Vi ser at det er rukt veldig forskjellig skala på andreaksen. Ser man på diagrammene uten å se på skalaen på andreaksen, kan det virke som om temperaturen varierer like mye på de to stedene. I taellen i oppgave a og i eregningene i oppgave valgte vi å tolke diagrammene slik at gjennomsnittstemperaturen for én måned er den temperaturen vi leser av rett ovenfor navnet på måneden. Samtidig viser diagrammene at temperaturen endrer seg gjennom en måned. Dette kan skape tvil om hvordan vi skal lese av/estemme gjennomsnittstemperaturen. For å unngå feiltolkning måtte diagrammene i hvert fall hatt samme skala langs andreaksen. En annen diagramtype hadde nok egnet seg edre, for eksempel et stolpediagram. Vi velger å ruke Excel til å lage et stolpediagram. Vi starter med å skrive inn taellen: Aschehoug Side 30 av 64

31 Deretter merker vi hele taellen og klikker på Sett inn og velger Stolpe. Vi kan nå velge mellom ulike typer stolpediagrammer. Vi velger diagrammet merket med rødt nedenfor. Vi får dette diagrammet: Aschehoug Side 31 av 64

32 E48 a 1 Fra konstantleddet i funksjonsuttrykket ser vi at mormor satte inn kr på kontoen. Fra vekstfaktoren i funksjonsuttrykket ser vi at den årlige renten er 4,5 %. 18 f (18) = ,045 = Etter 18 år er det kr på kontoen. Grafisk: Med CAS: Det tar 1,3 år før eløpet på kontoen passerer kr. c x = 1159,70 x x ,70 = = 1, , ,03 = 5 = Den årlige renten på denne kontoen er 3,0 %. Aschehoug Side 3 av 64

33 x x d Vi tegner grafen til funksjonen gx= ( ) , ,03. Med CAS: Vi ser at eløpene på de to kontoene vil til sammen passere kr etter 15,4 år. E49 Når antall milligram antiiotika som er igjen i kroppen reduseres med 11 % per time, er vekstfaktoren 0,89. Mengden antiiotika som er igjen i kroppen, reduseres med 11 % hver time, altså er dette et eksempel på eksponentiell vekst. a 1 Etter én time: 0 0,89 = 195,8 Etter en time er det igjen ca. 196 mg antiiotika i kroppen. 8 Etter åtte timer: 0 0,89 = 86, 6 Etter åtte timer er det igjen ca. 87 mg antiiotika i kroppen. 1 Hun tar den andre taletten åtte timer etter den første taletten, dvs. hun har igjen 86,6 mg antiiotika i kroppen fra den første taletten , 6 = 306, 6 Rett etter at hun har tatt sin andre talett, har hun ca. 307 mg antiiotika i kroppen. Den tredje taletten tar hun seksten timer etter den første taletten. 16 Av den første taletten hun tok, har hun igjen: 0 mg 0,89 = 34,1 mg. Av den andre taletten hun tok, har hun igjen 86,6 mg (se utregning ovenfor). 34,1+ 86, = 340, 7 Rett etter at hun har tatt sin tredje talett, har hun ca. 341 mg antiiotika i kroppen. Aschehoug Side 33 av 64

34 c (I utregningene ovenfor har vi forutsatt at antiiotikaen i taletten lir tatt opp i kroppen med én gang. I virkeligheten vil jo dette ta noe tid.) Mengden antiiotika som er igjen i kroppen, avtar eksponentielt. E50 a Vi regner ut kostnadene slik: K( x) = x der x er antall elever som deltar. Det gir K (60) = = Kostnadene lir kr. K( x) x x 4000 Ex ( ) = = = + = 10 + x x x x x c d e Av grafen ser vi at enhetsprisen er 170 kr når det lir solgt 80 illetter. Av grafen ser vi at minst 134 elever må kjøpe illett for at arrangementet skal gå med overskudd når illettene selges for 150 kr per stk. Aschehoug Side 34 av 64

35 E51 a Vi tegner opp grafen til I(x) og K(x) i det samme vinduet i GeoGera og markerer punktene (100, I(100)), (00, I(00)), (100, K(100)) og (00, K(00)). Vi ruker verktøyet Linje mellom punktene på grafen I og punktene på grafen til K. Vi får da opp likningene for linjene. Fra disse ser vi at stigningstallene er henholdvis 180 og , 00 er Dette fører til at den gjennomsnittlige vekstfarten for K(x) i intervallet [ ] 130 kr/enhet og den gjennomsnittlige vekstfarten for I(x) i intervallet [ 100, 00 ] er 180 kr/enhet. Med andre ord kan vi si at kostnaden øker med 130 kr per enhet og inntekten med 180 kr per enhet når antall enheter øker fra 100 til 00. På samme graf som vi tegnet i oppgave a markerer vi punktene (150,I(150)) og (300,I(300)). Vi ruker verktøknappen Tangenter og finner tangenten til I(x) i de markerte punktene. Likningen for tangentene gir oss stigningstallet som tilsvarer den momentane vekstfarten i de markerte punktene. Den momentane vekstfarten i x = 150 er 60 kr/enhet og i x = 300 er 180 kr/enhet. Når det produseres 150 enheter, vil inntekten øke med ca.180 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Når det produseres 300 enheter, vil inntekten øke med ca.60 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Aschehoug Side 35 av 64

36 c Vi tegner grafene til I(x) og K(x) i det samme vinduet i GeoGera og ruker verktøyet Skjæring mellom to ojekt til å markere skjæringspunktene mellom grafene. Bedriften går med overskudd når inntektene er større enn kostnadene. Dette leser vi ut fra grafen er når x 80, 30, det vil si når det produseres mellom 80 og 30 enheter. d Ox Ix Kx x x x x x x ( ) = ( ) ( ) = 0, (0, ) = 0, Aschehoug Side 36 av 64

37 e Vi tegner grafen til overskuddsfunksjonen fra oppgave d i GeoGera. Overskuddet er størst i toppunktet. I GeoGera skriver vi Ekstremalpunkt[O]. For at overskuddet skal li størst mulig må edriften produsere og selge 00 enheter. Da er overskuddet 7 00 kr. E5 a Tegner grafen til T(x) i GeoGera. Av grafen ser vi at det tar ca. 6,5 minutter før temperaturen er 160 C. 0,1 8 c T (8) = = 171,5 0,1 T () = = 86, 4 T(8) T() 171,5 86, 4 = = 14, 8 6 Den gjennomsnittlige vekstfarten for T(x) i intervallet [,8 ] er 14, C/min. d Vi legger inn punktet (8, T (8)). Vi tegner tangenten i punktet ved å skrive Tangent [150, T]. Stigningstallet til tangenten er 6,6. Momentan vekstfart er 6,6 C/min når x = 8. Aschehoug Side 37 av 64

38 E53 a Hver dag produserer algene 5 kg av giftstoffet. 16 Produksjonen øker med 16 %. Det gir vekstfaktoren 1+ = 1, Mikroorganismer ryter ned kg hver dag og denne mengden øker med 1,8 kg hver dag. Da kan vi sette opp: Forandring = Produksjon Nedryting. Det gir x M( x) = 5 1,16 1, 8x der x er antall dager etter dag 0. Tegner grafen til M(x) i GeoGera. c Av grafen ser vi at mengden øker før det har gått 3,7 dager og etter at det har gått 8 dager. d Giftmengden minker mest i unnpunktet. I GeoGera skriver vi Ekstremalpunkt[ f ]. Vi ser at giftmengden minker mest etter 6 dager. E54 a Tegner grafen til f(x) i GeoGera. Vi må finne topp og unnpunktet på grafen til f. I GeoGera skriver vi Ekstremalpunkt[ f ]. Aschehoug Side 38 av 64

39 Av grafen ser vi at giftmengden er lik 0 til å egynne med. Mengden øker de første 3,7 dagene. Så minker den fram til 8 dager, og deretter øker den igjen. Det er samme svaret som i oppgave E39c. Det er mindre enn 4 kg gift i innsjøen før det har gått dager og mellom 6 og 9,4 dager. E55 a h (0) = 0,15 Da treet le plantet, var det 0,15 meter høyt. Tegner grafen til h(t) i GeoGera. c d e h() h(1) 1, 61 1, 07 = = 0,54 = 54 % 1 1 Treet har vokst 54 % fra år 1 til år. Vi ser på grafen. Treet vokser i hele perioden, men veksten er avtagende omtrent fram til år fire. Treet vokser minst etter fire år. Deretter øker veksten igjen. Vi ruker digitalt verktøy eller leser av på grafen når treet er,5 meter høyt. Vi finner at treet er,5 meter høyt etter ca. 6,4 år. Aschehoug Side 39 av 64

40 E56 a Grunnflaten i esken er et kvadrat med side (50 x ) cm V x x x x x x x x Høyden er x cm. Siden x cm er høyden,må x > 0. Av uttrykket for lengden av siden ser vi at x < 5. Vi kan sette x 0, 5 Løsninger til oppgavene i oka. Høyden er x cm. 3 ( ) = (50 ) = (50 ) (50 ) = c Vi tegner grafen til V(x) i grafikkfeltet i GeoGera. E57 a Volumet er størst i toppunktet på grafen. I GeoGera skriver vi Ekstremalpunkt[ V ]. Vi ser at det største volumet esken kan ha er 9 59 cm 3 = 9,3 dm 3. Aschehoug Side 40 av 64

41 Punktene ligger ikke på en rett linje, så vi må ha en funksjonstype med krum graf. Grafen ser ikke ut til å topp- eller unnpunkter.andre- og tredjegradsfunksjoner er derfor lite aktuelle. Funksjonsverdien stiger mer og mer etter hvert som x-verdien øker. Grafen går ikke gjennom origo. Da faller valget på en eksponentialfunksjon. Start GeoGera og vis regneark. Legg x-verdiene inn i kolonne A og h(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Analyser og velg Eksponentiell i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: E58 a Den este sammenhengen mellom høyden på planten, h(x), og alderen på planten x x er gitt ved: hx ( ) = 6,35 1,. Vi ruker regneark i GeoGera. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Analyser og velg Lineær i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Markus kommer fram til modellen T( x) = 0,79x+ 67,15. Vi ruker regneark i GeoGera. Legg x-verdiene inn i kolonne A og T(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Analyser og velg Eksponentiell i rullegardinmenyen under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Aschehoug Side 41 av 64

42 c d 1 Anita kommer fram til modellen T( x ) = 70,5 0,981 x. Funsjonsverdiene synker mer og mer etter hvert som x-verdiene øker. Eksponentialmodellen passer est med punktene i koordinatsystemet og eskriver est temperaturutviklingen I vannet. 0 T (0) = 70,5 0,981 = 48 Temperaturen i vannet etter 0 minutter var ca. 48 C. Med CAS får vi E59 a c Det tok ca. 4 minutter (4 min. og 13 sek.) før temperaturen var 65 C. Funsjonsverdiene synker etter hvert som x-verdiene øker.grafen har ikke topp-eller unnpunkt.andregradsfunksjon er derfor ikke aktuell. Funksjonen må være h. Funsjonsverdiene stiger mer og mer etter hvert som x-verdiene øker. Etter som grafen ser ut til å gå gjennom origo, faller valget på potensfunksjonen f. Grafen har ett unnpunkt og ingen toppunkter. Da er det en andregradsfunksjon som passer est. Funksjonen må være g. Aschehoug Side 4 av 64

43 E60 a Løsninger til oppgavene i oka Start GeoGera og vis regneark. Legg x-verdiene inn i kolonne A og K(x) verdiene i kolonne B. Klikk på Analyser og velg polynomfunksjon av grad i rullegardinmenyene under Regresjonsmodell. Da ser det slik ut: Det gir: K x x x ( ) = 0, , Ox x x O ( ) = 0, (50) = 0, = 3750 O O(350) O(50) = = = (350) = 0, = 6750 Den gjennomsnittlige vekstfarten for O(x) i intervallet [ ] 50, 350 er 30 kr/enhet. I gjennomsnitt øker overskuddet med 30 kr per enhet når antall enheter øker fra 50 til 350. O (350) = 6750 (450) 0, O = + = O(450) O(450) = = = Den gjennomsnittlige vekstfarten for O(x) i intervallet [ ] 350, 450 er 30 kr/enhet. I gjennomsnitt minker overskuddet med 30 kr per enhet når antall enheter øker fra 350 til 450. Aschehoug Side 43 av 64

44 c Vi legger inn punktene (300, O(300)) og (400, O (400)). Vi tegner tangenten i punktene ved å skrive Tangent[300, O] og Tangent[400, O] i inntastingsfeltet. Vi ser at momentan vekstfart for O(x) når x =300 er 30 kr/enhet. Når det produseres 300 enheter, vil overskuddet øke med 30 kr hvis produksjonen øker med en enhet. Vi ser at momentan vekstfart for O(x) når x = 400 er 30 kr/enhet. Når det produseres 400 enheter, vil overskuddet minke med 30 kr hvis produksjonen øker med en enhet. d Overskuddet er størst i toppunktet på grafen. I GeoGera skriver vi Ekstremalpunkt[ O ]. Vi ser at den produksjonen som gir størst overskudd er 350 enheter. Da er overskuddet 6750 kr. E61 a Av grafen leser vi av at Henrik har kjørt 0 mil når han har 40 L ensin på tanken. Grafen går gjennom punktene (0, 56) og (10, 48). Vi regner ut stigningstallet for den rette linja: y y = = 0,80 x x Det viser at ensinforruket er 0,80 L/mil. Aschehoug Side 44 av 64

45 c d Tanken på Henriks il rommer 56 L. Henrik kjører x mil og ilen forruker 0,80 L/mil. Antall liter ensin som er igjen på tanken når han har kjørt x mil er da gitt ved: V( x) = 56 0,80 x. V( x) ,80x 0 0,80x x 0,80 x 70 Gyldighetsområdet for V er da: x [0, 70]. E6 a Hvis x = 5 lir FG = 5 og EF = 10. Arealet av det lå området lir da: = Vi må ha x < 80 x < 40 Det gir at x 0, 40. c Alått område = AABCD AEFGH T( x) = x x= x d e T Vi løser likningen med CAS slik: (5) = = = 6350 E63 Det lå området er 3700 når x = 36,7. n a Vi ruker sammenhengen: N= GV. Det gir = x x x = = 0, = = 0, 65 0,855 3 Aschehoug Side 45 av 64

46 p 1+ = 0, p = 1 0,855 = 0, p = 0, = 14,5 Den årlige prosentvise nedgangen er 14,5 %. Vi kan sette opp V( x ) = ,855 x, der x er antall år etter at ilen var ny. Løsninger til oppgavene i oka c d e Av grafen ser vi at verdien av Magnes il er redusert til det halve etter 4,4 år. Ved å anta at Magnes il avtar med kr etter en lineær modell, kan vi sette opp Bx ( ) = x der x er anttall år etter at ilen var ny. Vi setter opp Vx ( ) = Bx ( ) ,855 x = x Vi løser likningen med CAS slik f Etter 16,1 år er verdien av ilen lik etter de to modellene. (Da ilen var ny, var verdien lik etter de to modellene.så er verdien lik igjen etter 16, år.) Verdien av ilen avtar mest de første årene slik at den eksponentielle modellen med en fast prosentvis nedgang gitt ved V(x) gir nok est uttrykk for verdiutviklingen. Etter noen år synker ikke ilens verdi like mye fordi prosenten regnes av en stadig lavere verdi. Aschehoug Side 46 av 64

47 E64 a Funksjonen K( x) ax Løsninger til oppgavene i oka = + er en linær funksjon. Vi ruker Geogera og viser regneark. Vi legger distansene inn i kolonne A kondisjonstallene i kolonne B. Vi markerer cellene, velger regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Lineær. Da ser det slik ut: Av grafen ser vi at a= 0,01 og = 10,9. Vi får da funksjonen K( x) = 0,01x 10,9 der K(x) er kondisjonstallet og x er løpt distanse I meter. K( x ) = 0, ,9 = 44,5 Et løp på 500 m svarer til kondisjonstallet 44,5. c For at en mann i denne aldersgruppen skal være i middels god form, må kondisjonstallet minst være 3. Vi kan sette opp K( x) = 0, 01x 10,9 = 3 0, 01x = 10,9 + 3 = 4,9 4,9 x = = , 01 Innsatt i CAS En mann i aldersgruppen år må minst løpe 1941 m for å være i middels god form. For at en mann i denne aldersgruppen skal være i svært ra form, må kondisjonstallet minst være 46. Vi ruker CAS verktøy og får Han må da løpe ca. 574 m. Det er en økning på ( )m = 633 m. Aschehoug Side 47 av 64

48 E65 a 1 Vi ruker Geogera og viser regneark. Vi legger antall år etter 000 i kolonne A og antall lag i kolonne B. Vi markerer cellene og ruker verktøyet Regresjonsanalyse. Vi ser ort fra punktene ( 5, 660 ) og ( 8, 963 ). og c Vi velger Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Polynom,(grad ). Da ser det slik ut: d Den modellen som passer est med antall lag som i denne perioden er gitt ved f( x) = 30, 4x 60,9x+ 1 37,9 der f(x) er antall lag og x er antall år etter 000. Av grafen ser vi at modellen passer ra med punktene i koordinatsystemet. f (13) = 30, , ,9 = 3073,8 Etter modellen fullførte ca lag stafetten i 013 som er en dårlig progose. Aschehoug Side 48 av 64

49 E66 a Av taellen ser vi at prisen for en diamant på 0,60 karat er 19 0 kr. Vi ruker Geogera og viser regneark. Vi legger x karat i kolonne A og prisen (i tusen kroner) i kolonne B. Vi velger regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Eksponentiell. Da ser det slik ut: Løsninger til oppgavene i oka c d Den eksponentialfunsjonen som passer est med verdiene i taellen, er gitt ved x Px ( ) = 0, ,50 P (0,50) = 0, = 11,30 Prisen for en diamant på 0,50 karat lir ca kr. 0,60 P (0, 60) = 0, = 19, Prisen for en diamant på 0,60 karat lir ca kr Prisøkningen lir: kr kr kr = kr % = 69,9 % Prisen øker med ca. 70 % hvis diamanten øker i størrelse med 0,10 karat. Aschehoug Side 49 av 64

50 E67 a Løsninger til oppgavene i oka Vi leser av noen utvalgte punkter fra figuren i oppgaven og legger disse verdiene inn i regnearket i GeoGera. Vi velger regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Eksponentiell. Da ser det slik ut: x Den funksjonen som passer est med grafen som er gitt i oppgaven, er f( x ) = ,050. Vi skriver 0 inn i feltet for x = i regresjonsvinduet og får at Guri vil ha kr i anken etter 0 år. Aschehoug Side 50 av 64

51 Vi kopierer grafen over i grafikkfeltet, tegner opp linjen y = og ruker verktøyet Skjæring mellom to ojekt. E68 a Etter modellen vil eløpet i anken passere kr etter 33 år. Tiden er lik avstanden dividert med farten ,50 10 m h 1 dag 1 år 6,0 10 = 6,0 10 s = 6,0 10 s = år = 19 år 50 m / s 3600 s 4 h 365 dag Forholdene mellom avstandene må være like i modellen og i virkeligheten. Avstandene i modellen til sola fra Saturn. Pluto og sentrum av Melkeveien kaller vi x, y og z. 1 x 1,43 10 m = cm 1,50 10 m 1 1,43 10 x = 40 cm = 381cm = 3,81 m 11 1,50 10 Avstanden til sola fra Saturn er 3,81 m i modellen. 1 y 5,96 10 m = cm 1,50 10 m 1 5,96 10 y = 40 cm = 1589 cm = 15,9 m 11 1,50 10 Avstanden til sola fra Pluto er 15,9 m i modellen. 0 z 1, 0 10 m = cm 1,50 10 m 0 1, 0 10 z = 11 1,50 10 = = = cm 3, 0 10 cm 3,0 10 m 3,0 10 km Avstanden til sola fra sentrum av Melkeveien er 5 3,0 10 km i modellen. Aschehoug Side 51 av 64

52 c Tankegangen er som i oppgave. Avstanden fra sola til jorda i den nye modellen er s. s 11 1,50 10 m = 0 5,0 m 1,0 10 m 11 1,50 10 s = = 0 1, ,0 m 6,5 10 m Avstanden fra sola til jorda i den nye modellen er 9 6,5 10 m. E69 a og Vi legger inn tallene i taellen i regnearket i GeoGera, markerer cellene, ruker verktøyknappen Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Vi får dette vinduet: Den lineære funksjonen som passer est med tallene i taellen lir y =,94x Vi kopierer grafen over til grafikkfeltet i GeoGera. c Vi regner ut ved hjelp av modellen fra oppgave hvor mye dopapir som er rukt når diameteren er 38 mm. Aschehoug Side 5 av 64

53 38 =,94x + 101, 65,94x = 63, 65 Løsninger til oppgavene i oka x = 1,65 Dorullen inneholder ifølge modellen omtrent meter dopapir. d På pakka står det at den inneholder 160 ark av lengde 0,14 m ,14 =, 4 Det svarer altså til at dorullen inneholder omtrent meter dopapir. Det er god overensstemmelse mellom modellen vår og det som er oppgitt på pakka. Vi kan ikke forlange større presisjon i modellen når tallmaterialet som rukes til å lage modellen, er oppgitt såpass lite nøyaktig som tilfellet er for dopapirlengdene, som utgjør x-verdiene våre. E70 a 1 Vi legger inn tallene i taellen i regnearket i GeoGera, markerer cellene, ruker verktøyknappen Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Lineær i rullegardinmenyen. Den lineære modellen som passer est med tallene i taellen er f( x) = 0,88x+ 4. Vi velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Aschehoug Side 53 av 64

54 Den eksponentielle modellen som passer est med tallene i taellen er gitt ved f( x ) = 44 0,97 x. Vi ruker CAS og setter inn x = 35 Etter den lineære modellen vil ca. 11 % være røykere i 00, mens etter den eksponentielle vil ca. 16 % være røykere i 00. c Vi ruker CAS med x = 5 Av grafen ser vi at andelen mannlige røykere lir lavere enn 5 % når x = 4, dvs. i 07 i følge den lineære modellen og når x = 7, dvs. i 057 i følge den eksponentielle modellen. d Det er lite sannsynlig at den lineære modellen vil fortsette etter ca. 030 ( x = 30). Da lir prosenten negativ. Den eksponentielle modellen viser at andelen røykere minker. Grafen flater ut, men lir aldri null. Noen menn vil nok alltid røyke. Denne modellen er nok derfor mest sannsynlig. E71 a og Vi starter GeoGera og viser Regneark. Vi legger nummer på månedene i kolonne A og antall kilogram pølser i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Polynom (grad 3). Da ser det slik ut: Aschehoug Side 54 av 64

55 3 Tredjegradsmodellen er derfor f( x) = x + 10, 4x + 0,9x+ 14, 6 Vi kopierer grafen over i grafikkfeltet og setter riktig enhet på aksene. c Pølsesalget i 01 vil være 0 % høyere enn i 011. Vi regner da ut pølsesalget i 01 ved å multiplisere salget i 011 med vekstfaktoren 1,0. Eksempel for januar: 45 1, = 54 Tilsvarende eregning er utført for de neste månedene. Se taellen nedenfor. Måned Januar Mars Juni Juli August Desemer Antall kg pølser Vi ruker regneark og legger nummer på månedene i kolonne A og det nye antall kilogram pølser i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Polynom (grad 3). Da ser det slik ut: Aschehoug Side 55 av 64

56 Vi finner at den funksjonen som passer est med punktene i koordinatsystemet, er gitt ved gx x x x 3 ( ) = 1, + 1, 4 + 5,5 + 17, Vi kopierer grafen over i grafikkfeltet og setter riktig enhet på aksene. Vi tegner inn linjen y = 300. Av grafen ser vi at utikken selger mer enn 300 kg pølser per måned fra slutten av april til egynnelsen av oktoer. Aschehoug Side 56 av 64

57 E7 a 1 Årstall Innyggertall Endring fra året før Prosentvis endring fra året før 15,4 % 15,1 % 15, % 15, % 15,5 % I en lineær modell vil innyggertallet minke med like mange mennesker hvert år. Her ser vi tydelig at nedgangen i innyggertallet avtar med årene, og at den prosentvise endringen fra året før er tilnærmet konstant. Hans og Grete ør derfor velge en eksponentiell modell. Vi legger inn tallene i taellen i regnearket i GeoGera, markerer cellene, ruker verktøyknappen Regresjonsanalyse, klikker på Analyser og velger Eksponentiell i rullegardinmenyen. Den eksponentielle modellen som passer est med tallene i taellen er f( x ) = 649,7 0,848 x. c 1 Vi ruker muligheten for å regne ut funksjonsverdien i regresjonsanalysevinduet: Innyggertallet vil ifølge modellen være omtrent 55 i 00. x Vi løser likningen 649, 7 0,848 = 100 med CAS slik Det gir x = 11,35. Det etyr at innyggertallet kryper under 100 i løpet av 016. d Vi regner ut folketallet i 00 etter den lineære modell til Hans: y (15) = = 466. Innyggertallet i kommunen kan aldri li mindre enn 0. Denne modellen kan derfor ikke rukes i de siste årene fram til 00. Aschehoug Side 57 av 64

58 E73 a 1 Vi lager en liste med punkter i regnearket i GeoGera. Vi legger diameterne i kolonne A og volumene i kolonne B. Vi markerer cellene og velger Regresjonsanalyse. Vi klikker på Analyser og velger Potens i rullegardinmenyen. Da ser det slik ut: Aschehoug Side 58 av 64

59 Vi kopierer grafen til grafikkfeltet og legger inn linja y = Vi ruker GeoGera kommandoen Skjæring mellom to ojekter og finner skjæringspunktet mellom linja og grafen til f. c En kule med volum på 1000 ml har en diameter på 1,4 cm. d Radien er halvparten av diameteren, r =. Vi setter inn i formelen for volumet av kula og får 4 3 V = π r 3 4 d V = π d V = π π 3 V = d V = 0,5 d I oppgave a fant vi at volumet f( x ) til kuler med diameteren x er gitt ved Resultatet i oppgave a stemmer med formelen. f( x) 0,5 3,0 = x. E74 a 1 Vi lager en taell der antall plasser øker med to for hver rad. Radnummer Antall plasser per rad Vi ser at det er 0 plasser på rad 6 og 8 plasser på rad 10. Vi lar oss inspirere av figuren og tenker at det er røde og grønne seter i salen slik at de midterste 8 setene alltid er røde. Vi ser da at det er grønne seter på rad 1 (ett på hver side), 4 grønne seter på rad (to på hver side) og 6 grønne seter på rad 3 (tre på hver side). Antall grønne seter må være to ganger radnummeret, mens de røde alltid er 8. Dette gir oss f( n) = 8+ n, der f( n ) er antall plasser på raden som funksjon av radnummeret n. Vi ser at denne funksjonen gir oss taellen ovenfor. Aschehoug Side 59 av 64

60 Vi lar gn ( ) = n være prisen per sete på rad n som funksjon av radnummeret n. Vi ser at dette stemmer med opplysningene om 350 kr på rad 1, 340 kr på rad, og videre reduksjon på 10 kr per rad akover. Den samlede prisen til illettene på en rad må være produktet av antall plasser og prisen per plass. Om vi kaller den samlede prisen som funksjon av radnummeret hn ( ), får vi c hn ( ) = f( n) gn ( ) = (8 + n) ( n) Videre eareiding av funksjonsuttrykket gir oss hn ( ) = (8 + n)( n) = n+ n 360 n 10n= n+ 70n 0n hn ( ) = 0n + 640n+ 880 Vi ser at hn ( ) er en andregradsfunksjon, og siden det står et negativt tall foran andregradsleddet, vet vi at funksjonen har et toppunkt. Vi tegner grafen for å finne dette. I GeoGera fins kommandoen Ekstremalpunkt for å finne topp- og unnpunkter for polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremalpunkt[h] og punktet A lir tegnet. Vi leser av koordinatene og finner at illettene koster mest til sammen på rad 16. Den samlede prisen på rad 16 er 8000 kr. E75 Av figuren ser vi at siden redden er x og lengden er y,kan vi sette opp 4x+ y = 500 y = x+ 50 Arealet av rektanglet lir Ax ( ) = x y= x( x+ 50) = x + 50x Vi tegner til A(x) i GeoGera. I GeoGera fins kommandoen Ekstremalpunkt for å finne topp- og unnpunkter for polynomfunksjoner. Vi skriver inn Ekstremalpunkt[A] og punktet A lir tegnet. Da ser det slik ut: Aschehoug Side 60 av 64