Utvalgte løsninger. 138 Utvalgte løsninger + + = = + I = 400x. x =. 400 I a

Transkript

1 18 Utvalgte løsninger Utvalgte løsninger 117 a 1 1 Hvis Anders stalet halvparten av lomsterpottene, Lana og Miriam, ville det totalt li som er mer enn 1. Altså tar Miriam feil. Til sammen stalet Anders, Lana og Miriam alle lomsterpottene. Når 1 1 Anders staler og Lana, lir andelen til Miriam a d a( a+ ) a a a+ a a a + a a a aa ( ) + ( 4+ a) a a a + 4+ a a a+ 8+ a a + 8 aa ( ) ( a a ) a a a a ( a ) a a a+ a 4a 4a ( a + a ) a( a+ ) a + a a a a a + a a a a + a a 16 e 5( x ) 6( x) + 6 5x x+ 6 5x+ 6x x x a Vi løser likningen I 400x med hensyn på x, som gir I x. 400 Når det selges x 0 enheter per dag, lir I 400x Salgsinntekten er kr. I Når I 0 000, lir antall solgte enheter x

2 Utvalgte løsninger x x x 10 x ( 4x ) ( x 1) 0 8x 4 x x 0 x 5 15 a Når prisen settes ned 0 %, er vekstfaktoren 1 0, 0 0, 80, slik at den nye prisen lir 1000 kr 0, kr. Deretter settes prisen opp med 0 %. Vekstfaktoren er da 1+ 0, 0 1, 0, og prisen lir til slutt 800 kr 1, kr. Når prisoppgangen er 0 %, er vekstfaktoren 1+ 0, 0 1, 0. Den nye prisen er derfor 1000 kr 1, kr. Prisnedgangen under salget var 0 %, som gir vekstfaktoren 1 0, 0 0, 80. Prisen under salget var derfor 100 kr 0, kr. 158 a Når prisen settes opp fra 750 kr til 855 kr, er vekstfaktoren ny pris gammel pris 855 kr 750 kr 114, Vekstfaktoren er lik 1 + p. Det gir 100 p , 100 p ,, p 0, Prisen gikk opp med 14 %.

3 140 Utvalgte løsninger 165 a Prisen på skoene er satt ned fra 199 kr til 499 kr. Avslaget er 199 kr 499 kr 800 kr, eller i prosent: 800 kr 0, , 6 % 199 kr Prisen på skøytene er satt ned fra 49 kr til 199 kr. Avslaget er 49 kr 199 kr 50 kr, eller i prosent: 50 kr 49 kr 0, 01 0, 1 % Totalprisen på ett par sko og ett par skøyter var først 199 kr + 49 kr 1548 kr, og le satt ned til 499 kr kr 698 kr. Prisavslaget var 1548 kr 698 kr 850 kr, som i prosent lir 850 kr 0, , 9 % 1548 kr 177 a Vi finner proporsjonalitetsfaktoren av y k x 1, 50 10, 50 y k x: Proporsjonalitetsfaktoren k er prisen per kg med appelsiner.,5 kg appelsiner koster 10, 50, 5 kr 6, 5 kr. Med k 10, 50 lir y kx 10, 50x. 180 a Det trengs 80 rostein per m. Antall steiner som trengs, er derfor Når terrassen er x m, lir antall steiner y 80 x. Antall steiner er y 800. Av y 80x får vi y 800 x Med 800 steiner kan vi rolegge 5 m.

4 Utvalgte løsninger a Når det anefalte lufttrykket er oppgitt til ( 00 ± 10) kpa, etyr det at det største anefalte lufttrykket er ( ) kpa 10 kpa, og at det minste anefalte lufttrykket er ( 00 10) kpa 190 kpa. Når den relative feilen er %, lir den asolutte feilen 5, m 0, 0 0, 5 m Øvre grense for lengden er derfor ( 5, + 0, 5) m 5, 7 m. Nedre grense er ( 5, 0, 5) m 4, 7 m. Den asolutte feilen er 5 m. Den relative feilen er derfor 5 m 90 m 0, 005 0, 5 % d e Den største verdien arealet kan ha, er 8 m 61 m 17 0 m m. Den minste verdien er 78 m 59 m m m. Vi skriver derfor arealet som ( ± 400) m. For SuperAvstand er den asolutte feilen 1 m uansett hvilken avstand vi måler. For EasyBruk varierer den asolutte feilen. Dersom vi måler en avstand til 50 m, er den asolutte feilen 50 m 0, 015 0, 75 m, altså mer nøyaktig enn SuperAvstand. Måler vi 100 m, lir den asolutte feilen 100 m 0, 015 1, 5 m, altså mindre nøyaktig enn SuperAvstand. Hvilket instrument vi velger, vil dermed avhenge av hva vi skal ruke målingene til. Hvis vi hovedsakelig skal måle korte avstander, er sannsynligvis EasyBruk det este valget. SuperAvstand er est dersom avstandene varierer innenfor hele intervallet. 11 a Av figuren ser vi at AB og DE er tilsvarende sider. BC og EF er tilsvarende sider, og AC og DF er tilsvarende sider.

5 14 Utvalgte løsninger AB DE x 6 4 BC EF 6 x 4 8 m Videre får vi DF EF AC BC y 10 6 y 10 5 m 6 Arealet av den første trekanten (ABC) er AB BC m m m Arealet av den andre trekanten (DEF) er DE EF m m m d Forholdet mellom arealet av den største trekanten og arealet av den minste trekanten er 4 m 4 6 m (Kommentar: Når forholdet mellom tilsvarende sider i to formlike mangekanter for eksempel er 4, er forholdet mellom arealet av mangekantene Hvis forholdet mellom tilsvarende sider er 5, er forholdet mellom arealene 5 5. Osv.) Når forholdet mellom tilsvarende sider er, lir forholdet mellom arealene lik 9. Når den minste mangekanten har areal 5 m, lir derfor arealet av den største mangekanten 5 m 9 5 m

6 e Når den største mangekanten har areal 117 m, lir arealet av den minste 117 m 9 1 m Utvalgte løsninger 14 4 a Den rektangulære delen har arealet 140, m 110, m 154, m De to halvsirklene i hver ende utgjør til sammen en hel sirkel med radius 110, m r 055, m. Arealet av sirkelen er πr π (, 055m ) 095, m Arealet av hele ordet er derfor 154, m + 095, m 49, m Omkretsen estår av de to horisontale delene av rektanglet og de to halvsirklene: 1, 40 m + π 1, 10 m 6, 6 m Omkretsen av ordet er 6,6 m. Hver gjest trenger 0,60 m ordplass. Antall gjester det er plass til (inkludert vertskapet!), er derfor 66, m 10, ,60 m a Lengden av treet er x m. Av pytagorassetningen får vi x 6, + 15, x 6, + 15, 154, Treet var (15,4 +,6)m 18 m høyt.

7 144 Utvalgte løsninger Høyden x som stigen når opp på veggen, finner vi ved hjelp av pytagorassetningen: x + 5, 65, x 65, 5, x 65, 5, 60, Stigen når 6,0 m opp på veggen x x , 7 Den totale lengden av svømmeturen er 65 m m + 17, 7 m 97, 7 m 98 m d Høyden av døra er 10 m, 10 m. Vi lar x m være diagonalen i døra. Av pytagorassetningen får vi 105, + 10, x x 105, + 10, 5, e Diagonalen er,5 m lang, mens den lengste siden i plata er,0 m. Plata vil derfor så vidt gå gjennom. (Vi ser her ort fra tykkelsen av plata. Hvis tykkelsen er mer enn et par m, vil det li prolemer!) Av pytagorassetningen får vi x x Diagonalene er 0 m lange.

8 Utvalgte løsninger a og h måles i tommer. Widesreen-formatet etyr at h h 1, 778 h 9 Av pytagorassetningen får vi + h (, 1 778h) + h, 16h + h h 416, h , h 15, ,, 1, 54 m. Målt i m får vi derfor 7, 89, 54 m 71 m h 15, 69, 54 m 40 m Bredden i en 4:-sending er gitt ved h h ,, Bredden x på de svarte stripene er dermed 7, 89 0, 9 x 49, 49, 54, m 9 m

9 146 Utvalgte løsninger 56 a Grunnflaten i kartongen er G 9, 5 m 6, m 59, 85 m. 1 liter er det samme som 1000 m. Av V G h får vi h V G 1000 m 59, 85 m 16, 7 m Når høyden er h 10, 5 m, lir volumet V G h 59, 85 m 10, 5 m 68 m 0, 6 liter 6, dl 6 a Av pytagorassetningen får vi s + h a, der s 0, m og h 50, m. Det gir a s + h 0, + 50, 58, 58, m Arealet av grunnflaten er 60, m 60, m 60, m Arealet av de fire sideflatene er , m, m, m Den totale overflaten er derfor 6 m + 70 m 106 m Av pytagorassetningen får vi AC s + a som etyr at AC s + a 0, + 58, m 656, m 66, m 15 a Setningen etyr at i det lange løp er den relative frekvensen for rødgrønn fargelindhet lant menn 8 %. Sannsynligheten er altså 8 % for at en mann skal være fargelind. (Merk at det i setningen er underforstått at den relative frekvensen for fargelindhet er (nesten) den samme hvert år. For setningen ville vært meningsløs hvis andelen fargelinde menn hadde variert mye fra år til år.)

10 En gutt kan være fargelind (F) eller ha normalt fargesyn (N). Utfallsrommet er U F, N. { } PF ( ) 0,08 og PN ( ) 0,9 Utvalgte løsninger a Det første kortet kan trekkes på 5 måter, mens det andre kan trekkes på 51 måter. Forsøket har derfor mulige utfall. Vi kan trekke to spar på måter. Det er antall gunstige utfall for hendelsen «to spar». 156 P( to spar ), a Oversiktstaell som viser hvordan utøverne fordeler seg på løp og høydehopp: Løp Ikke løp Sum Høydehopp Ikke høydehopp Sum Venndiagram som viser det samme:

11 148 Utvalgte løsninger 1 1 P( høydehopp ), P( løpsøvelser ), P( høydehopp og løpsøvelser ), Det er elever som konkurrerer i høydehopp eller løpsøvelser eller egge deler. 40 P( høydehopp eller løpsøvelser eller egge deler ), a Siden personene ikke er i følge, regner vi med at de handler eller ikke handler uavhengig av hverandre. P( alle tre handler ) 0, 60 0, 60 0, 60 0, 60 0, 16 Sannsynligheten for at en person ikke handler, er P( ingen handler ) 0, 40 0, 40 0, 40 0, 40 0, , 60 0, 40. Hendelsene «ingen handler» og «minst én handler» er komplementære. P( minst én handler) 1 P( ingen handler) 1 0, 064 0, a P( alle fire er jenter ), Hendelsen «minst én gutt» er den komplementære hendelsen til «alle er jenter». P( minst én gutt) 1 P( alle er jenter) 1 0, 094 0, P( først to jenter, så to gutter ), a Blodtypen til de tre er uavhengig av hverandre. P( alle har lodtype 0 ) 0, 40 0, 40 0, 40 0, 40 0, 064 Hendelsene «minst én har ikke lodtype 0» og «alle har lodtype 0» er komplementære. P( minst én har ikke lodtype 0) 1 P( alle har lodtype 0) 1 0, 064 0, 96

12 Utvalgte løsninger 149 d Vi kan få én med lodtype A og to med lodtype 0 på tre måter: Den første, den andre eller den tredje som legen undersøker, kan ha lodtype A. P( én har lodtype A og to har lodtype 0) ,, 040, + 0, 40 0, 48 0, , 40 0, 40 0, ,, 0, 0 Hvis de tre er i slekt, vil ikke lodtypene være uavhengige. 404 a Vi ser at grafen har ett toppunkt: ( 11, 80). Det var altså flest esøkende 11. juni. Antall esøkende var da 80. Vi ser at grafen har to unnpunkter med samme y-verdi, nemlig ( 4, 10) og ( 17, 10). Det var derfor færrest esøkende 4. juni og 17. juni, med 10 esøkende hver av dagene. Grafen passerer y 60 for x 8, x 1 og x 6. Det var derfor flere enn 60 esøkende fra og med 9. juni til og med 1. juni, og 7. juni. d Vi ser at grafen ligger under y 0 for x-verdiene,, 4, 17, 18 og 19. Stedet gikk altså med underskudd. juni,. juni, 4. juni, 17. juni, 18. juni og 19. juni. 47 a Vi ser at linja går gjennom punktene ( 0, ) og (, 0). Stigningstallet er derfor y a endring i x 0 endring i 0 15, Grafen skjærer x-aksen for x. er altså nullpunktet for funksjonen. Stigningstallet for linja er a 15,. Vi ser at linja skjærer y-aksen for y. Det viser at konstantleddet er. Likningen for linja er altså y 15, x+ d Vi setter x-verdiene til de to punktene inn i likningen for å se hva y lir. For x 8 får vi y 15, 8+ 9 Punktet (8, 6) ligger ikke på linja. For x 6 får vi y 15, x+ 15, ( 6) + 1 Punktet ( 6, 1) ligger på linja.

13 150 Utvalgte løsninger 4 Vi setter de aktuelle x-verdiene inn i funksjonsuttrykkene. x gir y 15, ( ) + 75, Punktet (, 7,5) ligger på grafen. x 1 gir y 15, ( 1) + 45, Punktet ( 1, 1,5) ligger ikke på grafen. x 4 gir y 15, 4+ (4, ) ligger på grafen. 44 a Det er 1 km hver vei, og vi regner med at det er hele tur-retur-reiser de skal kjøre. Den totale veistrekningen de kjører, er 1 km 7 km. Av figuren ser vi at Nytteil har lavest totalpris når kjørelengden er 7 km. Av grafen til Nytteil ser vi at det koster 500 kr når man kjører 0 km, og 900 kr når man kjører 100 km. Stigningstallet til grafen er derfor endring i y endring i x Hver kjørte kilometer koster 4 kr hos Nytteil. For Superil ser vi at grafen skjærer y-aksen i ( 0, 700). Det faste eløpet hos Superil er altså 700 kr.

14 Utvalgte løsninger 151 Superil skal are redusere den faste delen av leieprisen. Det etyr at stigningstallet til den nye prisgrafen skal være det samme som for den gamle prisgrafen. Den nye grafen skal ligge under grafen til Nytteil for alle avstander mellom 50 og 100 km. Vi ser av figuren at da må grafen skjære y-aksen i ( 0, 600). Superil må altså redusere den faste delen av leieprisen med 100 kr. 458 Vi vil eskrive folketallet y som en lineær funksjon av x, der x er antall år etter 000. I 000 var folketallet Konstantleddet er derfor I 005 var folketallet Stigningstallet er da endring i y a endring i x Funksjonen lir altså y ax+ 150x a Av grafen ser vi at y 460 når x 1. Det var altså 460 overnattinger den første uka. 1 I uke 1 var det 460 overnattinger. I uke var det 47 overnattinger. Det var altså en økning på 1 overnattinger. I uke 5 var det 466 overnattinger, og i uke 6 var det 450 overnattinger. Det var en nedgang på 16 overnattinger. Vi ser at grafen stiger mot høyre fra uke 1 til uke og fra uke 9 til uke 1. Økningen var størst fra uke 11 til uke 1. d I gjennomsnitt var det en nedgang på overnattinger per uke. 4 e Fra uke 11 til uke 1 økte overnattingstallet fra 470 til 490, altså med 0. 0 Økningen fra uke 1 til uke 1 var altså 10. Fra uke 1 til uke 14 var økningen 60 % av % av , 60 6 I uke 14 var det overnattinger.

15 15 Utvalgte løsninger 470 a 1 Med 50 deltakere lir de totale utgiftene 000 kr kr 9500 kr. Med 80 deltakere lir de totale utgiftene 000 kr kr kr. Med x deltakere lir de totale utgiftene Tx ( ) x. De totale utgiftene skal fordeles på x deltakere. Prisen per deltaker er derfor Tx ( ) x Ex ( ) x x d Vi tegner grafen for x-verdier mellom 10 og 100. Vi er lommeregneren regne ut y-verdien for x 60 og får da 18,. Prisen per deltaker er altså 18 kr dersom det kommer 60 deltakere. e Vi setter Ex ( ) 180. Da får vi x 180 x ( x) x 180 x x x 180x 180x 150x 000 0x 000 x 66, 6 Det må være minst 67 deltakere. 476 a Vi regner ut stopplengden når farten er x 90. Vi får y 0, , , 4 Stopplengden er 140 meter, og elgen står are 10 meter foran ilen. Erik vil derfor kjøre på elgen. Med x 80 lir stopplengden y 0, , , 6 Stopplengden er 114 meter, og Erik ville derfor ha klart å stoppe i tide.

16 Fartsøkningen er 90 km/h 80 km/h 10 km/h. I prosent lir det 10 km/h 0, 15 1, 5 % 80 km/h Økningen i stopplengde er 140, 4 m 11, 6 m 6, 8 m, eller i prosent: 6, 8 m 0, 6 4 % 116, m Når farten øker med 1,5 % fra 80 km/h til 90 km/h, øker altså remselengden med 4 %. Utvalgte løsninger a Vi tegner grafene til Kx ( ) 0, 6x og Ix ( ) 5x på lommeregneren. Grafene skjærer hverandre for x 77, og x 44,. Vi ser at grafen til Ix ( ) ligger over grafen til Kx ( ) for x-verdier mellom 7,7 og 4,4. Produksjonen gir overskudd når det produseres mellom 8 og 4 enheter per dag. Overskuddet er Ox ( ) Ix ( ) Kx ( ) 5x ( 0, 6x + 150) 0, 6x + 5x 150 Vi tegner grafen til Ox ( ) på lommeregneren og finner at toppunktet er ( 0, 8, 110,4). Overskuddet er altså størst når det produseres 1 enheter per dag. Vi setter inn x 1 i formelen for Ox ( ) og får O( 1) 0, , 4 Det størst mulige overskuddet per dag er a. 110 kr. 50 a Vi regner 1998 som asisåret. Prisindeksen var da 100. Vi lar x være prisen i 005. Da får vi pris i 005 indeks i 005 pris i 1998 indeks i 1998 x 900 9, , 0 x Skoene kostet 88 kr i 005.

17 154 Utvalgte løsninger Prisen på skoene i 00 var 800 kr. Vi lar x være prisen i 005. Da får vi pris i 005 indeks i 005 pris i 00 indeks i 00 x 800 9, 0 94, 1 9, 0 x , 1 Skoene kostet 78 kr i a Kjøttet kostet 900 kr i 1998, og 810 kr i 005. Vi lar x være prisindeksen for kjøttet i 005 (med 1998 som asisår). Da får vi indeks i 005 pris i 005 indeks i 1998 pris i 1998 x 810 kr kr 810 x , Prisindeksen i 005 var 90,0. Prisen le redusert med 900 kr 810 kr 90 kr. Nedgangen i prosent var 90 kr 0, , 0 % 900 kr Prisen gikk opp med 10,0 % fra 1995 til Da gikk også prisindeksen opp 10,0 %. En økning på 10,0 % gir en vekstfaktor på 1,10. I 1998 var prisindeksen 100. ny indeks gammel indeks vekstfaktoren ny indeks 100 gammel indeks vekstfaktoren ,, 9 Prisindeksen i 1995 var 90,9.

18 Utvalgte løsninger a Reallønn nominell lønn 100 kpi I 00 var konsumprisindeksen 110, Reallønn i kr 14 6 kr kr 110, 1 Lønn i kr 1, kr kr I 004 var konsumprisindeksen 11,. 100 Reallønn i kr kr kr 11, Reallønna økte med kr 14 6 kr 487 kr. Økningen i prosent var da 487 kr 0, 015 1, 5 % 14 6 kr 54 a Karis lønn i 00 var kr. Reallønn i , 8 Vi lar x 004 være den nominelle lønna Kari måtte ha i 004 for at hun skulle få samme reallønn som i 00. Da får vi x , , x For at reallønna skulle ha litt den samme, måtte lønna i 004 ha vært 7 kr. Om Kari hadde fått 00 kr i 004, ville hun ha eholdt reallønna fra 00. Men hun fikk mer: ( ) kr 5000 kr Vi finner hvor mange prosent dette «ekstra pålegget» er av 00 kr , 015 1, 5 % Det viser at Kari fikk 1,5 % mer i lønn (i 004) enn det som var nødvendig for å eholde samme reallønn som før. Det etyr at reallønna gikk opp med 1,5 %.

19 156 Utvalgte løsninger 5 a Provisjonen er % av det han solgte for, altså kr % kr 0, 0 00 kr Brutto månedslønn er summen av den faste lønna og provisjonen: kr + 00 kr 1 00 kr 55 Vi regner med en vanlig areidstid på 16,5 timer per måned. Vanlig timelønn er derfor kr 1, 1 kr 16, 5 Med 50 % tillegg lir timelønna 1, 1 kr 1, , 47 kr. Med 100 % tillegg lir timelønna 1, 1 kr, 00 64, 6 kr. Den totale overtidslønna til Ida var derfor 198, 47 kr , 6 kr 778, 56 kr Samlet ruttolønn var kr + 778, 56 kr 4 78, 56 kr 57 a Fagforeningskontingenten er kr 0, 0145, 7 kr Trekkgrunnlaget for forskuddsskatten er derfor kr, 7 kr 15 17, 8 kr Vi regner med at Alie ruker taell 710, hvor trekkgrunnlaget rundes av nedover til nærmeste 100 kr. Fra taellen ser vi at et trekkgrunnlag på kr gir et skattetrekk på 69 kr. Den utetalte lønna lir 15 17, 8 kr 69 kr , 8 kr 544 Beregningsgrunnlaget for ferielønna er kr kr kr Ferielønna for 006 lir derfor kr 0, 1 007, 0 kr

20 Utvalgte løsninger a Inntektsskatten er 8 % av den alminnelige inntekten fratrukket personfradraget, som er 900 kr. Inntektsskatten til Vidar er derfor ( kr 900 kr) 0, kr Trygdeavgiften er 7,8 % av personinntekten, altså kr 0, , 68 kr Beløpet rundes nedover til nærmeste hele krone, så Vidar etaler 7 4 kr i trygdeavgift. Vidar har ingen toppskatt, så samlet skatt av inntekt lir kr kr kr 56 Formuesskatten er 0, % av den delen av formuen som overstiger kr, altså ( kr kr) 0, kr