HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Avdeling for teknologi

Transkript

1 HØGSKOLEN I SØR-TRØNDELAG Målform: Eksmesdto: 5. jui 03 Vrighet/eksmestid: Emekode: 3 timer ALM304V Emev: Mtemtikk 4 Klsse(r): Studiepoeg: Fglærer(e): (v og telefor på eksmesdge) Bygg, Elektro, Mski, Kjemi, Logistikk, Mteriltekologi 5 stp Ror Berge (tel ) Kotktperso(dm.) (fylles ut ved behov ku ved kursemer) Hjelpemidler: Oppgvesettet består v: (tll oppgver og tll sider ikl. forside) Vedlegg består v: (tll sider) Klkultor, type 8 oppgver, 3 sider, ikludert dee forside Formelsmlig, 5 sider Merkd: Oppgvetekste k beholdes v studeter som sitter eksmestide ut. NB! Les gjeom hele oppgvesettet før du begyer rbeidet, og dispoer tide. Dersom oe virker uklrt i oppgvsettet, skl du gjøre die ege tgelser og forklre dette i besvrelse. Alle svr skl begrues. Det må ts med så mye mellomregig t frmggsmåte går tydelig frm v besvrelse. Oppgvesettet består v 0 delpukter, som lle teller likt. Lykke til!

2 Oppgve Bestem uttrykket for de rette lije som går gjeom puktee P(,,3)og Q(4,5, 4). Bestem deretter puktet der dee lije skjærer gjeom plet + y + z. Oppgve Gitt e msseløs streg r( t) cos t,si t, t, t 0,8 π. Teg figur.fi så legde v strege. Oppgve 3 E ellipse k beskrives ved prmeterfrmstillige ( t) cos t, y( t) 3si t, t 0, π. Beytt Grees setig til å bestemme relet v ellipse. Oppgve 4 i z y ) Gjør om uttrykket + til kulekoorditer. ii) Hvilke flte beskriver uttrykket som gitt i kulekoorditer er ρ 3. Oppgve 5 Gitt vektorfeltet F F(, y, z), y, z. ) Bereg rbeidet feltet utfører på e prtikkel som flyttes fr origo til puktet P(,,3) t y t z t lgs kurve gitt med prmeterfrmstillige,, 3. b) Avgjør om feltet er koservtivt eller ikke. Hv er rbeidet med å flytte prtikkele mellom de smme puktee lgs kurve med t y t z t 4 6 prmeterfrmstillige,, 3? Oppgve 6 Et volum er vgreset v plee + y + z, 0, y 0 og z 0. Flte S er de dele v + y + z som ligger i. oktt. ) Bestem volumet ved å berege et trippelitegrl. Teg figurer i rommet og y-plet. b) Gitt vektorfeltet F F(, y, z) + z,, y. Bereg flukse opp gjeom flte S.

3 Oppgve 7 z + y z z Et legeme er vgreset v flte, og plee 0 og 3. Skisser legemet i rommet og zr-plet,og fi volumet ved bruk v syliderkoorditer. Oppgve 8 Løs de prtielle differesillikige u 3u u 0, u u(, y) ved metode med seprsjo v vrible. y 3

4 Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 0-3 Poteser og rotstørrelser m m m+ m m m,, ( b) b, ( ),, b b, m, b b ( ) Trigoometri m m 0 si( ± y) si cos y ± cos si y, cos( ± y) cos cos y si si y, cos + si si ( cos( )), cos ( + cos( )), cos cos si, si si cos Logritmer og regeregler for logritmer y l Nturlig logritme: y l e der e, 7888 er Eulers tll. Altså er e. t Regeregler: l( b) l + l b, l ( ) l l b, l t l b Derivsjo dy f ( + ) f ( ) Defiisjo: y ' f '( ) lim d 0 Geerelle derivsjosregler der u u( ), v v( ): ( u ± v) ' u ' + v ', ( k u)' k u ' der k kostt, ( u v) ' u ' v + u v ', u ' u ' v u v ' dy du, ( f ( g( ))) ' f '( u) u ' der u g( ) v v du d De deriverte v oe elemetære fuksjoer k ' 0 der k kostt r ( )' r (l )' ( e ) ' e r ( )' l (si ) ' cos (cos )' si (t )' + t cos (rcsi )' (rct ) ' + Det ubestemte itegrl f d F + F f [ ± ] ± Defiisjo: ( ) ( ) der '( ) ( ) og er e vilkårlig kostt. Egeskper: k f ( ) d k f ( ) d der k kostt, f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d

5 Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 0-3 Det ubestemte itegrl til oe fuksjoer k d k + r + +, d l + r r+ d r e d e + si d si + 4 cos d + si + 4 d rcsi + d rct + + d + l si d cos + cos d si + cos ( t ) t d + d + Itegrsjosmetoder Substitusjosmetode: f ( g( )) g '( ) d f ( u) du der u g( ) og du g '( ) d b g ( b) f ( g( )) g '( ) d f ( u) du g ( ) Delvis itegrsjo: u v ' d u v u ' v d der u u ( ), v v ( ) Vektorer Notsjo: [,, 3 ] i + j + 3k e + ey + 3ez Legde: Sklrprodukt: b b + b + 3b3 b cosθ e ey ez Kryssprodukt: b 3 ( b3 3b ) e ( b3 3 b ) ey + ( b b ) e z b b b3 Legde v b : b bsiθ Vektor fr P(, y, z ) til Q(, y, z ) : PQ, y y, z z Prmeterfrmstillig v kurver Rett lije: r( t) r0 + t v Rett lije fr r til r : r( t) t r + t r, t 0, 0 0 ( ) [ Ehetssirkele med setrum i origo: r( t) cos t,si t, t 0, π >

6 Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 0-3 Pl Et pl gjeom P(, y, z ) med ormlvektor, b, c : ( ) + b( y y ) + c( z z ) Vektorfuksjoer d r Romkurve: r( t) [ f ( t), g( t), h( t) ] Derivsjo: r '( t) [ f '( t), g '( t), h '( t) ] dt r '( t) Itegrsjo: r( t) dt f ( t) dt, g( t) dt, h( t) dt Ehetstgetvektor: T ( t) r '( t) t t T '( t) Ehetsormlvektor: ( t) Legde v kurve : ds v( t) dt r '( t) dt T '( t) t t0 t t0 Fuksjoer v to eller flere vrible: Kjereregele: At z f (, y), g( t) og y h( t). dz df d df dy D er + f r '( t) dt d dt dy dt Trippelitegrl: Volum dv Msse til E : dm ρ(, y, z) dv E E E Tygdepuktets koordit (, y, z ): dm ρ(, y, z) dv, m m y y dm y (, y, z) dv, z z dm z (, y, z) dv m ρ ρ m m m E E E E E E Koorditsystemer: Polrkoorditer ( r, θ ) : r cos θ, y r si θ, da rdrdθ Syliderkoorditer ( r, θ, z) : r cos θ, y r si θ, z z, dv rdrdθdz Kulekoorditer ( ρ, ϕ, θ ) : ρ cosθ si ϕ, ρ siθ si ϕ, ρ cos ϕ, ρ siϕ ρ θ ϕ y z dv d d d 3

7 Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 0-3 Vektorlyse: Sklrfelt: f f (, y, z) Vektorfelt: F F(, y, z) P(, y, z), Q(, y, z), R(, y, z) f f f P Q R,,, grd f f,,, div F F y z y z + + y z e ey ez R Q R P Q P curl F F, ( ), y z y z z y P Q R Koservtivt vektorfelt F: F f, f er feltets potesilfuksjo Fudmetlteoremet: F dr f dr f ( r( t )) f ( r( t )) 0 Sirkulsjoe til F rudt e kurve : F dr, dr d, dy, dz v dt Flteitegrl til g over e flte S : g ds Fluks til F over e flte S : Φ F ds S S Q P Grees setig: F dr ( Pd + Qdy) ( ) da ( F) ez da y R R Arel med Grees setig: A dy y d ( dy y d) Stokes setig: F dr ( F) ds, er rdkurve til S. S Divergessetige: F ds div F dv, S er rdflte til E. S Fluks til F over kurvestykket : F ds ( Qd + Pdy) E P Q Fluks til F over lukket kurve : F ds ( Qd + Pdy) + da F da y R R Prmeterfrmstillig v flte: Defiisjo: r( u, v) [ ( u, v), y( u, v), z( u, v) ] r r Tgetvektorer til flte: ru ( u, v), rv ( u, v) u v Normlvektor til flte: N ru rv Arelelemet: ds ds NdA, der daer projeksjoe i i uv-plet. 4

8 Høgskole i Sør-Trødelg FORMELARK 0-3 Uttrykk for ds og ds ved beregig v flteitegrl: Projeksjo i i y - pl: f f f f + + ± y y Projeksjo i i z - pl: z f (, y), da ddy, ds ( ) ( ) da, ds,, da f f f f y f (, z), da ddz, ds + ( ) + ( ) da, ds ±,, da z z Projeksjo i i yz - pl: f f f f y z y z f ( y, z), da dydz, ds + ( ) + ( ) da, ds ±,, da. ordes homogee, lieære differesillikiger y y, y y( ), kostt Løsig: y e y f ( ) y, f ( ) er e vilkårlig fuksjo Løsig: y e f ( ) d. ordes homogee, lieære differesillikiger med kostte koeffisieter y + by + cy 0 hr geerell løsig y c y + c y, Krkteristisk likig: r + br + c 0 der y og y er to lieært uvhegige løsiger. ) b 4 c > 0 gir to forskjellige reelle løsiger v krkteristisk lik Løsig v differesillikige : y c e + c e ) 4 0 gir to like reelle løsiger v krkteristisk likig : 3) b r r r ig, r og r. b b c r r r α r Løsig v differesillikige : y c e + c e 4 c < 0 gir to forskjellige komplekse (kojugerte) b 4c b løsiger v krkteristisk likig: r α ± iβ ± i α Løsig v differesillikige : y c e cos β + c e si β α 5