Modul 1 15 studiepoeng, internt kurs Notodden/Porsgrunn

Transkript

1 Høgskole i Telemk Avdelig fo estetiske fg, folkekultu og læeutdig BOKMÅL 4. mi 007 EKSAMEN I MATEMATIKK 3 Tid: 6 time Modul 5 studiepoeg, itet kus Notodde/Posgu Oppgvesettet e på 7 side (ikludet fomelsmlig). Hjelpemidle: Klkulto, vedlgt fomelsmlig (bkest i oppgvesettet), L97 og LK06. Kotolle t du h fått lle kee. Les oppgvetekstee øye. Buk ege k på hve oppgve. Begu lle sv. Alle delspøsmål telle like mye. Oppgve ) Pimtllsfktoise 533. Redegjø fo femggsmåte du buke. Fi støste felles fkto og miste felles multiplum fo 533 og 00 = c) Gjø ede fo hvod du vil fokle begepee støste felles fkto og miste felles multiplum fo eleve i skole. T gjee utggspukt i e pktisk situsjo. Oppgve Tbelle edefo vise tllfølge : ) Fi e ekusiv fomel fo. Fi e eksplisitt fomel fo. Nedefo se du e epesetsjo v de te føste tllee i e følge v figutll vi k klle hitllee.

2 c) Hvis vi klle det -te hitllet fo H k vi vise t H = Fomele k utledes ved t m dele opp figutllet på e hesiktsmessig måte. Beskiv e oppdelig v H og utled fomele. Oppgve 3 ) E psiet skl t to type medisi ette følgede møste: Medisi A skl ts hve tedje dg, medisi B skl ts hve sjette dg. Medisi A ts føste gg på e tisdg, og medisi B føste gg fedg smme uke. De to typee medisi skl ikke ts smme dg fo ofte, i hvet fll ikke me e e gg i måede. Doktoe øske defo å fosike seg om t så ikke skje, og sette opp følgede kogues: + 3x x(mod 7). i) Løs koguese doktoe h stt opp. ii) Fokl smmehege mellom poblemet doktoe ville løse og koguese, og edegjø fo hv løsige v koguese fotelle om det pktiske poblemet. Beskiv hvilke tll som gi est ved divisjo med både 5 og 3? c) Fi este å deles på 3. d) Vis hvod du k buke Eules teoem til å fie de te siste sifee i Oppgve 4 ) Odet L J A G e e del v e kodet meldig. Meldige e kodet med fomele y 3x + 5(mod 9). Fi ut hv L J A G e i kltekst. I RSA-systemet gis det e såklt offetlig økkel fo kode, otet ( k, ). Sikkehete i systemet kyttes til t det e svæt vskelig å fktoisee tllet. Fokl hvofo det e ødvedig å fktoisee fo å kue dekyptee meldige lget med dette systemet. Oppgve 5 ) Fi lle positive heltllige løsige til ligige x + 9y = 700. Beskiv e pktisk situsjo hvo poblemstillige l seg fomulee som e dioftisk ligig. Situsjoe skl væe slik t de e begipelig fo eleve i guskole. Hvilke fedighete og begepe k skoleeleve utvikle gjeom dette beidet? c) Vi betkte ligige 9x + 5y = c. Hvilke kv må du sette til c fo t ligige skl h løsig?

3 Oppgve 6 ) Reg ut summe L Fokl hvofo det be k fies ett pytgoeisk tippel hvo det ee tllet e 7. c) E det iktig t ( + b ) ( +? d) Vis t 4 ( b ) desom og b e odde heltll. e) Vis t 5 e delelig med 5 fo lle vlg v positive. (Hit: Fktoise slik 5 = (( ) ) = ( )( + ) osv., elle buk mtemtisk iduksjo) Oppgve 7 I tikkele Pisippe fo utfomig v udevisig sette Al Bell opp oe hovedpukte m bø t hesy til ved plleggig v udevisig. H eve blt et situsjo, feedbck og efleksjo og tilbkeblikk. Redegjø i kote tekk hv Bell sie om dette. 3

4 Høgskole i Telemk Avdelig fo estetiske fg, folkekultu og læeutdig FORMELSAMLING FOR MATEMATIKK 3, MODUL DIVISJONSALGORITMEN: Hvis, b N, fies q, Z, slik t = q b +, hvo 0 < b INDUKSJONSPRINSIPPET L P( ) væe et mtemtisk utsg som vhege v N. D e P( ) s fo lle N desom:. P () e s.. P( ) P( + ) (hvis det stemme fo, så må det også stemme fo + ) STØRSTE FELLES FAKTOR OG MINSTE FELLES MULTIPLUM: mfm (, = b sff (, LØSNING FOR DIOFANTISK LIGNING De lieæe dioftiske ligige x + by = c h løsig hvis og be hvis sff (, c. Desom løsige eksistee, og ( x0, y 0) e e spesiell løsig, e de geeelle løsige: b x = x0 + t t Z sff (, y = y0 t t Z sff (, TALLTEORIENS FUNDAMENTALTEOREM Ethvet helt tll støe e, k skives som et podukt v pimtllspotese. Dette poduktet klles pimtllsfktoiseige til tllet. Pimtllsfktoiseige e etydig å m se bot f ekkefølge v fktoee. REGLER OG PRØVER FOR 9 OG L væe et helt positivt tll, og T ( ) tvesumme til. Nieegele: T ( )(mod 9) T ( + b + L ) T ( ) + T ( + L (mod9 Niepøve fo multipliksjo: T ( b L) [ T ( ) T( L] (mod9) Niepøve fo ddisjo: [ ] ) L væe et helt positivt tll, og A( ) de lteeede tvesumme til. Elleveegele: A( )(mod) A ( + b + L ) A( ) + A( + L (mod Ellevepøve fo ddisjo: [ ] ) 4

5 Ellevepøve fo multipliksjo: A ( b L) [ A( ) A( L] (mod) SUMMEFORMELEN FOR DE FØRSTE HELTALLENE: k = ( + ) k = GEOMETRISK REKKE: k 3 x = + x + x + x + L + x = k = 0 + x x ( + ) ARITMETISK REKKE: = ( + ) ( + ) (Altetiv fom: L + = ) + L, hvo = FIBONACCI-TALLENE Vi l F væe det -te Fibocci-tllet. Vi h F = og F =, og følge e videe beskevet ved t F + = F + F. DERIVERTE OG DOBBELTDERIVERTE FØLGER Gitt e følge, =,,3,... Deivet følge: = +. Dobbeltdeivet følge: = + KONGRUENSREGNEREGLENE. (mod ). b(mod ) b (mod ) 3. b(mod ) og b c(mod ) c(mod ) 4. b(mod ) og c d(mod ) + c b + d(mod ) og c bd(mod ) 5. b(mod ) + c b + c(mod ) og c bc(mod ) 6. b(mod ) k k b (mod ) EKSISTENS AV LØSNING FOR LINEÆRE KONGRUENSER x b(mod ) h løsig hvis og be hvis sff (, ) b. Hvis sff (, ) =, e løsige etydig. Hvis sff (, ) = d > fies det d ibydes ikoguete løsige modulo. Hvis x e e hvilke som helst løsig, e de esteede gitt ved x + d, x +, LL x + ( d ) d d FORKORTNINGSLOVENE FOR KONGRUENSREGNINGEN. Desom c cb(mod ) og sff ( c, ) =, så e b(mod ). Desom c cb(mod c), så e b(mod ) INVERS MODULO Desom et tll c e slik t c (mod ), sie vi t c e ivese til modulo. 5

6 POTENSREKKER ( + )( + ) L + = ( + ) L + = DET KINESISKE RESTTEOREMET L 3,,,..., væe tulige tll, og t t ( i, j ) = å i j. D h settet x (mod ) x (mod ) M x (mod ) e felles løsig modulo poduktet N = 3, og dee løsige k gis ved X = x N + xn x N, hvo Ni = N / i, og Nixi (mod i ) TALLTEORETISKE FUNKSJONER k k k Vi l = p p L p væe pimtllsfktoiseige til et tulig tll. D e: τ ( ) = tll fktoe i = ( + k )( + k ) L ( + k ) (vi telle både og tllet selv som fktoe) k + k + k + p p p σ ( ) = summe v fktoee i = L p p p ( og tllet selv skl væe med i summe) φ( ) = L p p p = tll tll f og med til og med som e ibydes pimiske med FERMATS LILLE TEOREM: Desom p e et pimtll og p /, så e p (mod p) WILSONS TEOREM: Desom p e et pimtll, så e ( p )! (mod p) EULERS TEOREM: Desom sff (, ) =, så e φ ( ) (mod ) RSA-KRYPTERING De offetlige økkele (, k ), hvo k e kodigsekspoete, og poduktet v i pisippet to stoe pimtll, må velges slik t sff ( k, φ ( )) =. 6

7 Dekodigsekspoete j bestemmes ved t de skl tilfedsstille kj (mod φ( )). RIKE, FATTIGE OG PERFEKTE TALL Desom summe v fktoee i, uttt selv, e lik, klles et pefekt tll. Desom dee summe e mide e, klles tllet fttig, og hvis de e støe klles ikt. Det k beskives slik: e ikt σ ( ) > e fttig σ ( ) < e pefekt σ ( ) = PYTAGOREISKE TRIPLER Alle pimitive pytgoeiske tiple, ( x, y, z ) k uttykkes ved fomlee x = st y = s t z = s + t de s og t e hele tll slik t s > t > 0, sff ( s, t ) = og s t + (mod ). Demed k lle pytgoeiske tiple uttykkes ved: x k st y k s t z = k s + t = = ( ) ( ) TILORDNINGEN AV TALL TIL BOKSTAVENE I ALFABETET 7