Notat: Dekker pensum i beskrivende statistikk

Transkript

1 Notat: Dekke pesum eskvede statstkk.3 Beskvede statstkk (sde 9 læeoka - 4. utgave) Beskvede (deskptv) statstkk omfatte samlg, eaedg og pesetasjo av data (tallmateale, osevasjoe, måleesultate). Nå følge føst te udeavstt ute dekte tlkytg tl læeoka. Deette følge oe kommetae tl oka og tl slutt et eksempel som ehadle vdee et tallmateale som e ehadlet læeoka..3. Lte tallmateale. Eksempel Tallee,,.., 6 edefo ag eksameskaakteee statstkk fo 6 studete som estod eksame. Råmatealet: =.8 =.7 3 =.8 Atall data: = 6 4 = 3. 5 =.5 6 =.5 Pkkdagam: Det e valg å kaaktesee et tallmateale ved å ag et mål fo elggehet (lokalseg, setum, tygdepukt) og spedg på tallje. Lokalsegsmål (mål fo elggehet): Det valgste lokalsegsmålet e gjeomstt (mddelved), som e defet ved: = ( ) = I eksemplet l gjeomsttskaaktee = = ( ) =.3. Mek at som egel ags med sffe me e vedee åmatealet.

2 Belggehete av på tallje e "alasepuktet" (tygdepuktet) fo fodelge. Spedgsmål (mål fo spedg omkg gjeomsttet): Det valgste spedgsmålet e empsk stadadavvk, som e defet ved: (( ) + ( ) + + ( ) ) = s = ( ) Det empske stadadavvket fo eksameskaakteee l s (.8 ) (.7 ) (.8 ) (3. ) (.5 ) (.5 ) Mek at s gjee ags med lke mage desmale som s + s Empsk stadadavvk e et mål fo hvo mye osevasjoee avvke fa gjeomstt. Valgvs lgge ca % av osevasjoee tevallet [ s, + s]. Dette ka v uke tl å vudee om de fue vede av s e melg (e ka oppdage gove egefel på dee måte). I eksemplet l [ s, + s] [.60,.86], så 4 av 6 vede, dvs. 67%, lgge høyst ett stadadavvk fa mddelvede. Kvadatet av det empske stadadavvket, dvs. s, kalles empsk vaas. Vaasegepet e speselt vktg teoe om sasylghetsfodelge og statstsk metodelæe. He l s Mage kalkulatoe ha eygde statstkkfuksjoe, som eege gjeomstt og empsk stadadavvk fo leste data. Skal ma utføe eeggee fo håd (dette ka l kevd på eksame), må ma vse femgagsmåte. Det aefales at uteggee asees på følgede taelloppstllg:

3 sum Dette g = =. 3 6 og 3.4 s = = ( ) , dvs. de samme esultatee som ovefo. Legg meke tl at he e s eeget ette e ae fomel e de som e gtt ved defsjoe ovefo. Summe ( ) e yttet ut med.. Heskte med dette e å solee et eget ledd slk at ma slppe å ege med. hvet ledd summe. Sammehege ( ) = evse v slk: ( ) = ( + ) = + = + = Ade mål fo lokalseg og spedg e heholdsvs meda og kvatledde. De eeges slk: Føst odes osevasjoee ette støelse: (), (),..., (), de () etege de laveste osevasjoe, () de est laveste, og så vdee opp tl () som e osevasjoe med høyest ved. I eksemplet e () () (3) (4) (5) (6) De te kvatlee, Q, Q og Q 3 e tall som dele det odede matealet fe omtet lke stoe dele. Q, Q og Q 3 e osevasjoee med plassumme (odgsumme) h.h.v. +, 4 ( + ) + = 4, 3 ( + ) 4. I eksemplet e = 6, så plassumee fo Q, Q og Q 3 l h.h.v..75, 3.5 og 5.5. Sde plassumee he kke e hele tall, vl kvatlee falle mellom osevasjoee. V la f.eks. 3

4 (.5) med plassumme.5 ety vede mdt mellom () og (), dvs. v sette (.5) = () + () = =.65. Med dee utvdede tolkge av plassume, få v: () + () + + () (.5) (). kvatl: Q = (.75) = = = =. 75 (3) (4. kvatl: Q = (3.5) = = =. 5 + ) (5) (5.5) 3. kvatl: Q 3 = (5.5) = = = =. 8 (5) (5) + (6) Medae M, som e et lokalsegsmål, e et aet av på. kvatl. He e M =.5. Medae dele det odede tallmatealet to lke stoe dele. Kvatledde Q B e et spedgsmål, defet ved Q B = Q 3 Q. He e Q B = Q B e edde av tevallet [Q, Q 3 ], som eholde omtet halvpate av osevasjoee. Dette stemme kke så a dette eksemplet, fod tallmatealet e lte ( = 6) Q M Q 3 Q B.3. Tallmateale med flee lke vede. Ofte e det flee lke osevasjoe tallmatealet. I eksempel foekom f.eks. tallet.8 to gage. V se da at.8 ha fekves (hyppghet) lk. Fo støe tallmateale med mage lke vede, e det hesktsmessg å ode osevasjoee ette støelse e fekvestaell. Dette e gjot eksemplet edefo. V komme ette hvet tl å uke foskjellge støelse avledet av fekvese: f Fekves: f, elatv fekves: =, elatv fekves %: 00 (%) Eksempel Kvadatmetevektee gam fo 50 pøve av e estemt paptype le målt. Resultate (åmatealet): Råmatealet eholde 9 foskjellge vede, emlg vedee 48, 49, 50,, 56 (laveste og høyeste ved udesteket taelle). V etege dsse vedee med y, y,, y 9 og la f, f,, f 9 etege de tlhøede fekvesee (hyppghetee). 4

5 Fekvestaell: Vekt (gam) y Fo opptellg Fekves f Kumulatv fekves F Relatv fekves % (f /) 00 (%) 48 / 49 // //// //// /// //// //// //// / //// //// // //// / / 50 sum =50 00 Koloe fo kumulatve fekvese (F ) e yttg å kvatle skal eeges (se edefo). Fekvestaelle ka avldes et stolpedagam. Stolpedagam: Stolpedagammet vse hvoda de 50 pøvee fodele seg på de foskjellge vedee tallmatealet. Desom v hadde avsatt de elatve fekvesee lags. akse stedefo de asolutte fekvesee vlle v fått e ae skaladelg på. akse. Stolpedagammet vlle da vst posetvs fodelg, me elles sett lkeda ut. Beegg av gjeomstt og empsk stadadavvk: De fleste kalkulatoe med eygde statstkkfuksjoe e stad tl å ege med fekvese. Istedefo å taste e og samme ved gjetatte gage, e det ok å taste to tall, vede og vedes fekves. Nå fekvese foekomme, e det atulg å skve fomlee fo gjeomstt og empsk stadadavvk på følgede fom: = f y s = f (y ) = f y 5

6 . Legg meke tl at øve gese summee e eteget med og kke. Mes stå fo det totale atall data (atall -e) tallmatealet, stå fo atall foskjellge vede (atall y-e) matealet. Det e kke vaskelg å fostå fekvesfomlee ovefo. Dsse utledes fa de "gamle" fomlee ved å føe f y, ) = = f (y ) (, f y. Fo mauell eegg av og s eyttes følgede taell: = y f f y f y sum V få: = f y = [gam] 599 s = f y = ( ) [gam] E svaee melge? Gjeomsttet,, epesetee tygdepuktet fodelge. Hvs v se på stolpee stolpedagammet som masse som elaste e masseløs vektstag (akse), skal vektstage kue alasee på e spss plasset. Øyemålet se oss at dette stemme a. Hadde v demot fått 50 og plasset spsse dette puktet, e det opplagt at vektstage vlle væt ualase og vppet edove på høye sde. Det vlle etydd at vede av va gal. s + s 6

7 Som kotoll av s meke v oss at tevallet [ s, + s] = [50.5, 53.5] eholde 36 osevasjoe, dvs. 7 % av tallmatealet lgge efo pluss/mus ett stadadavvk fa gjeomsttet. Dette e et melg esultat (se kommeta edest på sde ), så eegge av stadadavvket se ut tl å væe ktg. Et egekep. Ved å tasfomee tallmatealet ka eegge av gjeomstt og stadadavvk sto gad utføes som hodeegg. Metode e aset på følgede setg: La,,, væe gtte tall med gjeomstt og stadadavvk s. V dae ye tall ved a a a z =, z =,, z =, de a og > 0 e selvvalgte kostate. a s Da ha v z = og s z =, dvs. = z + a og s = s z. Setge avedes slk: Velg tallee a og > 0 slk at z-ee l små heltall. Beeg så z og s z (ekel egg!). Bestem deette og s av lkgee = z + a og s = s z. a s Fomlee z = og s z = e lette å utlede ved egg (pøv selv!). De e helle kke vaskelge å fostå. Nå v tekke tallet a fa hve -ved, foskyve v alle tallee lke mye og deved også gjeomsttet. Foskyvge spe kke tallee yttelgee, så s stadadavvket fol uedet. Dette foklae hvofo fomele s z = kke eholde a. Mes fatekket av a epesetee e taslasjo (foskyvg) av tallmatealet, vl de ettefølgede dvsjo med svae tl e skaleg av tallee. E f.eks. =, vl alle tallee halvees og deved også gjeomsttet. Sde avstadee mellom tallee også halvees, vl de skalete tallee lgge tettee e de uskalete. Dette medføe at stadadavvket halvees, s dvs. s z =. Av dette skjøe v at gjeomsttet påvkes åde av taslasjoe og skalege på samme måte som tallee selv, mes stadadavvket påvkes ae av a s skalege. Dette e ettopp hva fomlee z = og s z = uttykke. V gå tlake tl eksempel og vse hvoda egekepet ka ukes tl å eege gjeomsttet og stadadavvket på e ekel måte. Det e lut å velge a lk de mdteste y- vede, evetuelt lk de y-ved som ha støst fekves. He sette v a = 5 og =. V velge =, fod det kke e ehov fo oe skaleg dette eksemplet. 7

8 V stlle opp følgede taell fo eegg av z og s z : y z = y 5 f f z f z sum 50 5 V få z = f z s z = 50 = f z ( ) = z 0.0 som, med a = 5 og =, g = [gam] 49 ( 5 50 ( 0.0) ). 53 [gam], = z + a = = [gam] og s = s.53.5 [gam]. z Beegg av meda og kvatledde Plassumee fo de te kvatlee l heholdsvs ( = 50) (+ ) 53 = =.75, = = 5. 5 og = = Ved hjelp av koloe fo kumulatve fekvese fekvestaelle, fe v Q = (.75) = 5 [gam], Q = (5.5) = 5 [gam], Q 3 = (38.5) = 53 [gam], som g medae M = Q = 5 [gam] og kvatledde Q B = Q 3 Q = [gam]..3.3 Stot tallmateale. Klassedelg. Hvs tallmatealet e stot og eholde mage foskjellge vede, e det valg å guppee osevasjoee tevalle elle klasse fo å kompmee tallmatealet. V fe føst støste og mste ved matealet, og dele deette det aktuelle vedomådet et passede atall tevalle, valgvs mellom 6 og 0. Så telle v opp hvo mage av osevasjoee som lgge efo de espektve klassee, det v f.eks. la ede (me kke øve) tevallgese eges med tl hvet tevall. (E ae mulghet e å ag tevallgesee med e eksta desmal slk at det kke ka oppstå tvl om hvlke klasse e osevasjo høe hjemme). 8

9 Eksempel 3 Dametee fo 00 stålpe le målt. Resultate µm (0 6 m = e tusedels mllmete): Sde støste og mste ved dette tallmatealet e heholdsvs 005 og 934 (udesteket lste ovefo), ka det passe å dele matealet 8 klasse: [930, 940, [940, 950, [950, 960,, [000, 00. Opptellg g følgede fekvestaell: Klasse Fo opptellg Klassefekv. f Kum. klassefekv. F [930, 940 // [940, 950 //// // 7 9 [950, 960 //// //// // [960, 970 //// //// //// //// //// 5 46 [970, 980 //// //// //// //// //// // 7 73 [980, 990 //// //// //// /// 8 9 [990, 000 //// // 7 98 [000, 00 // 00 sum 00 Klassefekvesee ka avldes et hstogam (se edefo). I hstogammet e hve klasse epesetet ved et ektagel med edde og høyde lk heholdsvs klasseedde og klassefekvese. Noe gage ka det væe hesktsmessg å avsette ade støelse lags. akse, f.eks. "elatv klassefekves", "klassefekves p. klasseedde" elle "elatv klassefekves p. klasseedde". I det est sste tlfellet ø e meke seg at det samlede aealet av alle ektaglee som hstogammet estå av, e lk (= atall osevasjoe), mes det sste tlfellet l samlet aeal lk. Hstogammet g et utmeket lde av hvoda osevasjoee fodele seg. Me, motsetg tl et stolpedagam, g hstogammet kke øyaktge opplysge om de ekelte osevasjoe, ae om de klasse de tlhøe. V se at hstogammet e oelude symmetsk. Beegg av gjeomstt og empsk stadadavvk. Klassefekves Damete (mymete) 9

10 Desom tallee åmatealet e lest et statstkkpogam, som f.eks. Ecel elle Mta, ka e med et ekelt tastetykk få eeget gjeomstt, stadadavvk, kvatle m.m. Tlsvaede eegge utføt fo håd e svæt tdkevede desom e ta utgagspukt åmatealet. Aedet l ovekommelg desom e stedet ygge på det klassedelte matealet. Atall klasse eteges med, mes f og m etege heholdsvs klassefekves og klassemdtpukt fo klasse umme. Hvs e ata at vedee e jevt fodelt efo hve klasse, e det melg å uke klassemdtpuktet, m, som e tlæmet ved fo gjeomsttet av alle tallee klasse umme. V ege altså som om vede m e osevet f gage. Ved å estatte y med m fomlee avstt.3. få v fomlee fo tlæmede vede fo gjeomstt og stadadavvk fo et klassedelt mateale: f m s f (m ) = f m Buke v egekepet på sde 8 og velge a = 975 og = 0, l klassemdtpuktee m tasfomet tl små tall (z-e) som g ekle eegge. V stlle opp følgede taell fo eegg av z og s z.: Klasse Klassemdtpukt m z = m f f z f z [930, [940, [950, [960, [970, [980, [990, [000, sum V få z = f z = 00 ( 40) = 0.40 [µm] s z = f z z = 99 ( 3 00 ( 0.40) ). 477 [µm], som, med a = 975 og = 0, g z + a = 0( 0.40) og s s [µm]. z [µm] Mta, aset på åmatealet, g de "eksakte" vedee = og s = 4.7. Fele v egå ved å uke det klassedelte matealet stedefo åmatealet e altså uetydelg, støelsesode oe pomlle. La oss uke det klassedelte matealet tl å aslå hvo sto del av tallmatealet som lgge efo ± stadadavvk fa gjeomsttet. Sde [ s, + s ] [956., 985.8], må v telle opp hvo mage osevasjoe som lgge mellom 956. og Da må v 0

11 atulgvs ta med alle som lgge klassee [960, 970 og [970, 980, dvs = 5 osevasjoe, me også osevasjoee tevallee [956., 960 og [980, må telles med. Sde det klassedelte matealet kke g opplysge om hvoda osevasjoee fodele seg e klasse, teke v oss at de fodele seg jevt klasse. Ude dee foutsetge e det melg å aslå atall osevasjoe tevallet [956., 960 som = Tlsvaede aslå v atall osevasjoe tevallet [980, som = Tl samme g dette (tlæmet) = 67 osevasjoe tevallet [956., 985.8], som utgjø 67 00% = 67% av hele tallmatealet. Dette e et 00 melg esultat, samsva med det v kue fovete ut fa % egele på sde. Beegg av meda og kvatledde. Plassumee fo de te kvatlee l heholdsvs ( = 00) 3(+ ) + = 0 = 5.5, + = 0 = 50.5 og = 303 = Ved hjelp av koloe fo kumulatve fekvese fekvestaelle, fe v ved tlsvaede "foholdsegg" som ovefo: Q = (5.5) = 96.7 [µm], Q = (50.5) Q 3 = (75.75) [µm], [µm]. Heav fåes medae M = Q 97.7 [µm] og kvatledde Q B = Q 3 Q 9.8 [µm]. De te kvatlee, samt støste og mste ved, se oss e god del om tallmatealet. Dsse fem vedee ka avsettes et såkalt oksplott. Boksplottet e askt å tege og g oss vedfull fomasjo om vedomådet, lokalsege, spedge og evetuell skjevhet fodelge. Legg meke tl at 5%-halee på hve sde fodelge e teget som to steke, mes de 50% mdteste vedee e llustet ved e todelt oks, de hve del eholde 5% av osevasjoee. Mta tege et "ståede" oksplott, me det e kke oe vee fo å tege det "lggede". Da ta det mde plass på aket. Tallmatealets lokalseg (tygdepukt, setum) ags ved medae, og spedge ags ved kvatledde Q B = Q 3 Q. V se at medae lgge omtet mdt okse og at de to halee e omtet lke lage. Dette ekefte at tallmatealet e oelude symmetsk, slk det også femgkk av hstogammet. Damete [mymete] Q 3 M Q V vse tl slutt de utskfte som Mta g, desom v avede kommadoe "Dsplay Descptve Statstcs" på koloe C hvo dataee e lagt. Vaale N Mea Meda TMea StDev SE Mea

12 C ,4 97,00 970,6 4,7,47 Vaale Mmum Mamum Q Q3 C 934,00 005,00 96,00 980,00 V se at de eksakte vedee fo gjeomsttet (egelsk: mea), stadadavvket (egelsk: stadad devato, StDev) og kvatlee eeget av Mta ut fa ådataee, avvke lte fa de tlæmede vedee eeget på foge sde ut fa det klassedelte matealet. Sammelkg av flee oksplott. Taelle og oksplottee edefo teget av Mta oppsummee esultatee ( poeg) ved e felles matematkkeksame fo de foskjellge sttutt ved e høgskole. Isttutt A B C D E F Alle Atall, Laveste poegscoe kvatl, Q Meda, M = Q kvatl, Q Kvatledde, Q B Høyeste poegscoe Gjeomstt, Stadadavvk, s poeg BA DB EC KD LE MF sttutt Ved hjelp av oksplottee ka v askt sammelge esultatee de foskjellge klassee med hesy tl vedomåde, tygdepukt (medaee), spedg (kvatleddee) og skjevhet. * ove oksplottet fo sttutt A makee e "outle" = ekstem ved. * makee de este poegsumme (88). De øveste hale stoppe på 69, som e de est este poegsumme.

13 E "outle" Mta e e ved som lgge me e.5 Q B ove Q 3, evetuelt ude Q. Fo sttutt A e.5 Q B = og Q Q B = 83.6 < 88! Les å det som stå ude avstt.3 læeoka, samme med oe få kommetae som følge he. Hstogam (sde ) Hstogammet llustee aldesfodelge på sde. Læeoka sklle kke mellom hstogam og stolpedagam slk som v ha gjot tdlgee. Mek! Læeoka etege osevasjoee (vedee) et tallmateale med stoe okstave. I kapttel 3 skal v se på stokastske vaale. De eteges med stoe okstave, mes de osevete vedee av de stokastske vaale eteges med små okstave. I tåd med dette vl v etege osevasjoee et tallmateale med små okstave. Eksempel høyde (fots.) (sde 8) He ha v et tallmateale med = 0 vede. Kvatlees plassumme l.75, 5.5 og 8.5 (. 5) + (3) heholdsvs. Ette oppskfte gtt tdlgee l Q =. () + (3) Med (. 5) = = = og (3) = 67 l Q = Som læeoka se tlsvae dette å g () vekte 0.5 og (3) vekte 0.75 (støst vekt på vede med plassumme æmest.75) : Q = 0.5 () (3) = = Eksempel alde (fots.) (sde 8) Av oksplottet Fgu.5 se v at medae dele okse to lke stoe dele, me øve hale e mye lege e ede hale. De øveste 5% av vedee e altså spedd ove et mye støe omåde e de edeste 5% av vedee. Tallmatealet e altså skjevt mot høye. I læeoka gå oksplottet lags de vetkale akse. Fo å spae plass ka det ofte væe get å la plottet gå lags de hosotale akse. På egelsk e avet på plottet Bo plot. Bo e det egelske odet fo oks, me det e også avet på statstkee som føst ukte plottet! Eksempel 4 klassedelg av tallmatealet på sde læeoka Fo å kompmee matealet dele v f. eks. klassee (aldesguppee) [8, 0, [0,, 3

14 [, 5, [35, 40, [40, 43. V ha alt 8 klasse. De føste klasse eholde åskull, 8- og 9-ågee. De eldste dee klasse ka magle ae dag på å væe 0, mes de som ettopp ha fylt 0 komme este klasse. Dette makee v ved å uke teget fo åpet tevall tl høye,, de føste klasse og teget fo lukket tevall tl veste, [, de este klasse. De føste klasse ha ede klassegese lk 8 og øve klassegese lk 0. Neste klasse ha ede klassegese lk 0 og øve klassegese lk osv. De føste klasse ha klasseedde 0 8 =. Fo de øvge klassee fe v klasseeddee, 3, 5, 5, 5 og 3 heholdsvs. Klassemdtpuktet fo e klasse e ede klassegese + halve klasseedde fo klasse (elle mddelvede av de to klassegesee). Klassemdtpuktee våt eksempel l hhv. 9,, 3.5, 7.5,, 37.5, 4.5. Nå v skal lage et hstogam fo et klassedelt mateale hvo klasseedde vaee, ka v kke sette av klassefekvesee lags de vetkale akse. V ka f. eks. uke hstogamhøyde h slk at ektaglet som svae tl klasse umme få et aeal som e lk klassefekvese f. Nå klasseedde e, ha v defo f = h. (Samlet aeal av ektaglee hstogammet l da = atall osevasjoe.) Hstogamhøyde fo klasse umme l da: f h= V lage å e fekvestaell fo det klassedelte matealet ovefo med koloe fo å eege gjeomstt og vaas "fo håd". (Lommekalkulatoe g dsse støelsee dekte å osevasjoee e tastet.) V ta også med e koloe fo hstogamhøyde, og dessute e koloe fo kumulatv fekves som skal eyttes seee fodelse med et oksplott. V må selvfølgelg estemme fø v ka fylle ut de to sste koloee. Aldesklasse Klasseedde Fekves f Høyde f h = Kumulatv m f m m f ( m ) fekves F [8, [0, [, [5, [30, [35, [40, Koloesum Med fomlee avstt.3.3 fe v: f m = [å]. I oka sde 3 66 e eeget eksakt ut fa ådataee, tl 3.0 [å]. De elatvt stoe foskjelle skyldes de stoe klasse [, 5) som ha klassemdtpukt lk 3.5, me veste halvpat av klasse ha lagt flee osevasjoe e høye halvpat. Osevasjoee e altså kke jevt fodelt klasse. Vaase l: s = f (m ).73 [å ] 4

15 Stadadavvket l: s [å], som lgge æ okas eksakte ved, 4.56 [å] (sde 6). Mek! Hvs v velge kostat klasseedde, ka v uke atall osevasjoe klasse, f, som hstogamhøyde fo klasse. h Hstogam fo aldesfodelge alde Med fæe aldesguppe e på sde læeoka få hstogammet et glattee foløp. Meda og kvatle V huske at ede kvatl Q, medae Q og øve kvatl Q 3 dele et mateale fe omtet + ( ) 3( ) lke stoe dele. Q, Q og Q 3 e osevasjoee med plassume hhv , 4 og. I 4 våt mateale med = 66 g dette 4.75, 83.5 og 5.5. De kumulatve fekvesee F fekvestaelle fotelle oss at Q lgge [0,, mes Q og Q 3 lgge [, 5. Q e osevasjo umme Tl veste fo klasse [0, ha v 0 osevasjoe. Q l altså osevasjo umme =.75 klasse som omfatte totalt 56 osevasjoe. Hvs v teke oss at osevasjoee e jevt fodelt klasse, må v gå e avstad.75 klasse som e lk økdele 56 av hele klasseedde som he e lk. Avstade l.75. V få Q Fo å komme tl Q må v gå tl osevasjo umme = 7.5 [, 5 som omfatte 55 osevasjoe og ha klasseedde 3. V må altså gå e avstad klasse. V få Q Tlsvaede få v Q Q 3 lgge altså este helt tl høye [, Nå v å skal tege et oksplott fo dette klassedelte matealet, sette v mste osevasjo lk ede klassegese fo laveste klasse, dvs. 8. Tlsvaede sette v støste osevasjo lk øve klassegese fo høyeste klasse, dvs alde

16 Av oksplottet se v at de typske studet ("medastudete") e.4 å (setalmål), og de mdteste 50% av studetee ette alde, lgge mellom 0.8 og 4.7 å. Som spedgsmål uke v kvatledde, som l = 3.9 (å). De est eldste fjedepate av studetee lgge et lege aldestevall e de est ygste fjedepate. Tlsvaede e de eldste fjedepate av studetee spedt ove et mye lege aldestevall e de ygste fjedepate. Fodelge e altså skjev mot høye (stoe vede). De lage hale mot høye e eppe oveaskede. De fleste studete e uge meeske, me oe egye også å studee som godt vokse! Hva e este mål fo lokalseg og spedg eskvede statstkk? V ha ukt paet (, s) elle paet (M, Q B ) tl å ag lokalseg og spedg et tallmateale. Desom tallmatealet e oelude symmetsk udt, e M. Med take på lokalseg e det altså lkegyldg hvlket pa som velges. s og Q B ka vaskelg sammelges som mål fo spedg. Sde alle aalysemetodee seee våt pesum ygge på og s, e det fo et oelude symmetsk tallmateale atulg å velge paet (, s). E demot tallmatealet klat skjevt, ka oe f. eks. veldg stoe vede påvke så stekt at de stoe kke l epesetatv fo matealet. M og Q B = Q 3 Q e demot ouste ved slke eksteme vede fod de edeste og de øveste fjedepate av tallmatealet holdes utefo å kvatlee estemmes. I aldesfodelge ovefo e det atagelg atulg å velge paet (M, Q B ). 6