Veileder for prosjektet har vært førsteamanuensis Stein-Erik Fleten. Jeg vil gjerne takke ham for all hjelp og faglig støtte.

Transkript

1 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig FORORD Dee appote e utabeidet høste 2002 og e e posjektoppgave utabeidet i tilkytig til fodypigsemet føste semeste det 5. ået ved siviligeiøstudiet fo idustiell økoomi og tekologiledelse. Temaet fo oppgave ligge ude fagseksjo fo ivesteig, fiasieig og økoomistyig(ifø). Oppgavefomuleige ble utviklet ove tid, og ha gitt utfodige ie teoi fo pisig av deivate samt implemeteig av pisigsmodelle ved buk av pogammeig. Abeidet med oppgave ha væt e sto utfodig og svæt læeikt. Veilede fo posjektet ha væt føsteamauesis Stei-Eik Flete. Jeg vil gjee takke ham fo all hjelp og faglig støtte. Todheim, 20. ovembe 2002 Båd Bigedal I Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

2 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig SAMMENDRAG Ivesteige elatet til gassposjekte keve lagsiktige kotakte fo salg av gass. Dette e ødvedig fo å sike de stoe og ievesible ivesteigee i poduksjo og tasmisjo. E typisk osk gasskotakt ka væe på 20 å. Kotaktee som igås e gjee såkalte Take-o-Pay kotakte. Kotakte gi kjøpe mulighete til å fastå fa å kjøpe gass desom betigelsee skulle væe ugustige ved et gitt tidspukt. Hvo mye kjøpe ka fastå fa å kjøpe, og staffe fo ikke å klae miimumskavet fo total megde mottatt gass, e spesifiset i kotakte. Vedie av e Take-o-Pay kotakt e sti-avhegig, det vil si at de optimale kjøpestategie ved hve kjøpedato e avhegig av tidligee beslutige. Samtidig e de optimale kjøpestategie avhegig av hvilke kosekvese beslutige som tas å vil få fo femtidige beslutige. Dette gjø at kotakte e kompliset å vedsette. Adew Thompso pesetete e modell fo å vedsette ettopp slike Take-o-Pay kotakte. Til toss fo si sti-avhegighet beyttes e testuktu, tilsvaede fo e Euopeisk opsjo. Femtidige beslutige bli appoksimet umeisk og ved å abeide seg bakove i teet oppås e løsig. Thompsos metode bli pesetet i dee oppgave, og modelle bli modellet i Excel ved hjelp av Visual Basic. Resultate gitt av det dyamiske pogammet bli aalyset. Aalyse bestå av sammeligig av buk av et biomisk te kota et tiomisk te. E atulig atagelse e at buk av det tiomisk teet, som e e bede appoksimasjo til e kotiuelig pisposess, vil gi e bede tilæmig til de koekte løsige askee e ved buk av det biomiske teet. Dette vise seg imidletid ikke å væe tilfellet. Ade aalyse vudee hvoda foadige i iputpaametee påvike vedie av kotakte. Aalysee e geeelle, og ta ikke utgagspukt i eelle kotaktbetigelse. II Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

3 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Iholdsfotegelse FORORD... I SAMMENDRAG...II 1 INNLEDNING GASS MARKEDET DET EUROPEISKE GASSMARKEDET MOT ET LIBERALT MARKED TEORI,GRUNNLAG FOR MODELL GEOMETRIC BROWNIAN MOTION OPSJONER OG FORWARDKONTRAKTER Euopeisk og ameikaske opsjoe Sti-avhegige opsjoe Opsjoe som både e stiavhegige og ha flee utøvelsestidspukt Fowadkotakt TRÆR Biomisk te Tiomisk te MEAN REVERSION METODE FORUTSETNINGER PROSEDYRE OG IMPLEMENTERING ANALYSE AV RESULTATER GENERELLE BETRAKTNINGER KONTRAKTBETINGELSER ANALYSE Atall tidssteg mellom kjøpedatoee Take-o-Pay ivået og staffkoeffisiete,z Iput paametee fo spotposesse MEAN REVERSION KONKLUSJON LITTERATURLISTE VEDLEGG A Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

4 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig FIGURE 3-1 UTBETALINGER FOR EUROPEISKE OPSJONER: (A) LONG CALL, (B) SHORT CALL, (C) LONG PUT, (D) SHORT PUT...5 FIGURE 3-2 BINOMISK TRE STRUKTUR...9 FIGURE 3-3 TRINOMISK TRE STRUKTUR...10 FIGURE 4-1 STRAFFUNKSJON...13 FIGURE 4-2 KVASIKONKAV FUNKSJON...14 FIGURE 4-3 TAKE-FUNKSJON...14 FIGURE 4-4 FØRSTEORDENSBETINGELSER VED TIDSPUNKT N...16 FIGURE 4-5 FØRSTEORDENSBETINGELSER VED TIDSPUNKT N FIGURE 5-1 FORWARD PRISER...20 FIGURE 5-2 VERDIEN AV TOP KONTRAKTENS FLEKSIBILITET...21 FIGURE 5-3 VERDIEN AV KONTRAKTEB SOM FUNKSJON AV ANTALL TIDSSTEG...22 FIGURE 5-4 VERDIEN AV KONTRAKTEN SOM FUNKSJON AV TOP-NIVÅ...23 FIGURE 5-5 VERDIEN AV KONTRAKTEN SOM FUNKSJON AV TOP-NIVÅ ( Z=1) Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

5 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 1 INNLEDNING Gassposjekte iebæe ivesteige som keve flee tiås pespektiv. Ivesteige må gjøes i både poduksjosfasilitete, tasmisjo, lagigskapasitet og distibusjo. Slike ivesteige keve at lagsiktige kotakte, gjee på udt 20 å, igås fo salg av de podusete gasse fo å sike ivesteigee. Kotaktee som fohadles e såkalte take-o-pay kotakte. Slike kotakte ka veke pises ved tadisjoelle metode som Mote Calo simuleig elle valige temodelle. Kotaktee e både stiavhegige og flee beslutigstidspukt, oe som gjø at ade metode må tas i buk. Dee oppgave basee seg på femgagsmåte Adew C. Thompso pesetete i sitt pape; Valuatio of Path-Depedet Cotiget Claims with Multiple Execise Decisios ove Time: The Case of Take-o-Pay. Thompso pesetee e metode fo hvoda ma vedsette kjøps-kotakte fo åvae som gi kjøpe e fom fo fleksibilitet i timige av kjøpet. Dette e e egeskap som e kaakteistisk fo takeo-pay kotakte som e beyttet i hadel av atugass. 1 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

6 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 2 GASS MARKEDET Noge e i fed med å bli e stoekspotø av gass. Ettespøsele ette gass vokse askee e ettespøsele ette oe ae eegibæe både globalt og asjoalt [Austvik,2000]. Noge e ved side av å væe vedes est støste oljeekspotø, også vedes tedje støste og Euopas est støste gassekspotø. I åee som komme vil osk gassekspot bli e stadig viktigee fakto fo osk økoomi, ettesom oljepoduksjoe vetes å flate ut og ette hvet syke. 2.1 Det euopeiske gassmakedet Et gassmaked skille seg fa oljemakedet ved de stoe ievesible ivesteigee som gjøes i poduksjo, lagigskapasitet, øtaspot og blat de som buke gass. De kostbae ifastuktue gjø at gasse e mide mobil ove lage avstade e olje, oe som igje føe til daelse av egioale gassmakede med selvstedige pisigsmekaisme. Taspotkostade gjø at essusee som det i dag e mulig å selge til det euopeiske makedet begese seg til avstade opp til 5000 km fa buksomådet. Ettespøsele ette gass ha vokst stekt ove hele vede i de siste 10 åee, og i Euopa fovetes de ålige vekste å væe omlag 3-4 poset ålig fam til 2020 [Austvik, 2000]. De støste buksomådee fo gass i Euopa e idustiell buk, husholdige, gasskaftvek og i ulike bedifte. Slik dages kotietale euopeiske gassmaked fugee, selges og videeselges osk gass flee gage på si vei fa boehullet til beee hos fobukee. Fo å sike de stoe og ievesible ivesteigee i poduksjo og tasmisjo ha det utviklet seg tette båd mellom podusete og øselskapee og mellom poduset- og kosumetlad. Dette ha føt til stoe og lagsiktige kotakte mellom fo eksempel Noge og tasmisjosselskapee. E typisk osk gasskotakt ka væe på 20 å. Dee lagsiktighete i kotaktee ha bidatt til at det med imelig gad av økoomisk sikkehet ha væt mulig å bygge ut kostbae poduksjos- og taspotistallasjoe på osk sokkel. Dette skyldes blat aet take-o-pay (TOP) klausulee i kotaktee; desom kjøpee av osk gass(tasmisjosselskapee) ikke klae å videeselge de, må de likevel betale fo (e del av) de kotaktete volumee. 2 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

7 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 2.2 Mot et libealt maked Ette mage ås fohadlige ble EUs diektiv om tedjepatsadgag (TPA) til buk av tasmisjosettee vedtatt og ble opeativt i august Hesikte med dette diektivet e å etablee felles egle fo tilgag til makedet, samt egle fo lisesieig av tasmisjo, lagig og distibusjo av atu gass. Diektivet iebæe at EU-lad ove e 10-ås peiode vil måtte åpe fo me diekte avtale mellom podusete og kjøpee. Ideelt skal odige føe til at øselskape ku opeee som taspotøe. I dag e dee ette til taspot fobeholdt eiee av øsystemee. Fomålet ved diektivet e at podusete og kjøpee skal kue gjøe diekte avtale seg i mellom, og ha ett til å fohadle seg fem til e taspotavtale med tasmisjosettee. Fa 1986 fam til 2001 ble gassalgsavtale femfohadlet av Gassfohadligsutvalget (GFU), beståede av Statoil, Nosk Hydo og Saga(fem til Nosk Hydo ovetok Saga) [Olje og Eegidepatemetet, 2002]. I og med at Noge e e del av EUs ide maked gjeom EØS-avtale, vil EUs diektiv om TPA også ha gyldighet på osk sokkel. Med dette som bakgu bestemte egjeige å avvikle avsetig av osk gass gjeom GFU pemaet fa 2002, oe som medføte at hvet selskap fa og med 2002 selv avsette si ege gass. Det e flee faktoe som vil spille i fo hvo libealt gassmakedet vil bli. EUs ulike politiske gep, vekst i ettespøsel og tilbud, utviklige av et støe taspotett og lagekapasitet e oe av faktoee som vil væe med å fome gassmakedet. Et spotmaked, et maked fo kotsiktige kotakte, vil lettee utvikles jo me libealt makedet bli. Hvo sto adel av gasse som fohadles med kotsiktige- elle lagsiktige kotakte e avhegig av makedsfoholdee. 3 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

8 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 3 TEORI,GRUNNLAG FOR MODELL I dette kapittelet pesetees e del av teoie som ligge til gu fo Thompsos [Thompso, 1995] modell som pesetees i kapittel 4, samt teoi som skal beyttes til å tilpasse modelle. 3.1 Geometic Bowia Motio Geometic Bowia Motio e e matematisk beskivelse av hvoda e vaiabel, f.eks. spotpis på gass, utvikle seg ove tid. Modelle, ligig 2.1, gi e stokastisk posess de pise følge e adom walk [Schwatz & Smith, 2000], og e e av de viktigste foutsetigee fo Black-Scholes-Meto (BSM) modelle fo å pise opsjoe. GBM ha te viktige foutsetige: Modelle følge e Makov posess Edige i et gitt tidsitevall e omalfodelt Edigee e uavhegige At modelle følge e Makov posess vil si at de ikke ha hukommelse. Histoiske pise ha ikke oe å si fo hvoda pise utvikle seg videe, ku de åvæede pise. ds = µ Sdt + σ Sdz (3.1) Vaiabele ds e edige i spotpise i et lite tidsitevall dt, µ e fovetet avkastig pe tidsehet og σ e volatilitete til spotpise. dz e e Wiee posess med fovetigsvedi 0 og stadad avvik 1. Ettesom edigee fo ds/s e omalfodelte, vil de absolutte edige av pise, ds, væe log-omalfodelt. Dette gi at fovetigsvedie fo S ved tid t e t E{ S(t) } = S(0) i e µ (3.2) Desom gasspise følge GBM, og diftleddet µ e støe e ull, vil pise ha e tedes til å bevege seg stadig lege vekk fa si oppielige vedi, S(0). E 4 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

9 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig allme oppfatig e at åvae pise, som gass og olje, skal væe elatet til kostade ved å podusee dem [Mote Wattegåd Lud,1997]. Dette vil si at ove lag tid vil pise æme seg de magiale poduksjoskostade. Dette stemme dålig ovees med GBM, me ved hjelp av e mea evetig posess ka dette oppås. Mea evetig vil diskutees æmee i kap Opsjoe og fowadkotakte E opsjo e e ettighet, me ikke e plikt til å kjøp elle selge e vae til e fastsatt pis ie elle på et bestemt tidspukt i femtide. Opsjoe ka væe skevet på f.eks. aksje, idekse elle åvae. Kotakte som skal evaluees seee e e type kotakt som ha egeskape av både ameikaske opsjoe og stiavhegige opsjoe (path-depedet optios). I dette avsittet foklaes egeskapee til opsjoe litt æmee Euopeisk og ameikaske opsjoe E Euopeisk opsjo e e opsjo som ku ka utøves ved opsjostides slutt, mes e Ameikask opsjo ka utøves å som helst i løpet av opsjoes levetid. Opsjoee ka ete væe e kjøpsopsjo (call optio) elle e salgsopsjo (put optio), og begge typee ka selges elle kjøpes (shot elle log). Utbetalige fo Euopeiske opsjoe vil væe som følge [Hull, 2002] Payoff Payoff K S t K S t (a) (b) Payoff Payoff K S t K S t (c) (d) Figue 3-1 Utbetalige fo Euopeiske opsjoe: (a) log call, (b) shot call, (c) log put, (d) shot put 5 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

10 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Utbetaligee ka også uttykkes i fom av ligig Log call: max(s T K, 0) (3.3) Shot call: mi(k S T, 0) (3.4) Log put: max(k S T, 0) (3.5) Shot put mi(s T K, 0) (3.6) Hvo K e opsjoes stike pice elle pålydede og S T e vedie av udeliggede ved opsjostides slutt (T). Euopeiske opsjoe vil ha utbetalige gitt av ligigee 3.3-6, mes ameikaske opsjoe e litt me komplisete. Geeelt ka det sies at ameikaske opsjoe e mist like vedifulle som tilsvaede Euopeiske opsjoe. Fo å vedsette Euopeiske og Ameikaske opsjoe bukes biomiske elle tiomiske tæ Stiavhegige opsjoe Stiavhegige opsjoe e opsjoe hvo iløsigsvedie avhege av histoiske pise fo de udeliggede vaiabele, ikke ku de edelige vedie. Eksemple ka væe asiatiske opsjoe hvo iløsigsvedie avhege av de gjeomsittlige pise av de udeliggede vaiabele, elle look-back opsjoe hvo iløsigsvedie avhege av maksimum- elle miimumsvedie de udeliggede vaiabele ha hatt i opsjoes levetid. Fo å aalysee slike opsjoe bukes e metode som hete Mote Calo simuleig. Mote Calo simuleig iebæe at ma simulee mulige stie de udeliggede vaiabele ka ta i løpet av opsjostide. Hve simuleig bukes så til å beege iløsigsvedie opsjoe ville hatt desom de simulete pisutviklige ville ituffet. Ved mage simuleige vil ma få e sasylighetfodelig fo opsjosvedie. 6 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

11 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Opsjoe som både e stiavhegige og ha flee utøvelsestidspukt Kotakte som skal evaluees i dee oppgave e både avhegig av stie spotpise ta, i tillegg til at de gi kjøpe flee utøvelsestidspukt. Som tidligee evt ege tæ seg best til å pise Euopeiske og Ameikaske opsjoe, me dee femgagsmåte ege seg lite til å pise stiavhegige opsjoe. Til stiavhegige opsjoe ege som tidligee evt Mote Calo simuleig seg best. Deimot vil ikke Mote Calo simuleig ta hesy til de vedie å videeføe ettighete opsjoe gi. Dette gjø dee metode lite avedba å vedsettige av et kav e e avveiig mellom oppettholdelse av kavet og utøvelse av opsjoe. Gitt disse metodees egeskape, hvoda skal ma vedsette kav som både ieha stiavhegige egeskape samt beslutige om utøvelse av opsjoe ved et gitt tidspukt elle videeføig av opsjoe? Metode som pesetees i kapittel 4 e e umeisk metode fo å pise ettopp slike kav Fowadkotakt E fowadkotakt e e avtale om å kjøpe elle selge e vae på et bestemt tidspukt i femtide fo e bestemt pis. De ka sammeliges med e spotkotakt som e e avtale om å kjøpe elle selge e vae i dag. Utbetalige ved fofallsdato ka uttykkes ved ligig Log fowad: S T - K (3.7) Shot fowad: K - S T (3.8) S T e spotpise ved fofall og K e de pise som ble avtalt ved tid 0. Fowadpise fo e vae med kotiuelig coveiece yield, δ, og med e ålig ete,, gi F 0 = S 0 e (-δ) T (3.9) He e F 0 pise ved tid 0 fo leveige av vae ved tidspukt T. 7 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

12 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 3.3 Tæ E opsjo elle et aet deivat ka vedsettes ved å kostuee et te som epesetee utviklige av e makedsvaiabel. I femgagsmåte som ble pesetet av Cox, Ross og Rubistei [Cox. Ross & Rubistei, 1979], løse ma poblemet baklegs gjeom teet. Dee femgagsmåte gjø pisig ved hjelp av tæ svæt effektiv å beslutige ude veis omhadle avveiig mellom e kotatstøm å, elle oppettholdelse av opsjoe(eks.: ameikask opsjo). Testuktue skal væe e tilæmig til e kotiuelig pisposess. De kotiuelige pisposesse tilæmes med atakelse at pise i løpet av e kot tidspeiode ku ka få et begeset atall utfall. Flee utfall pe tidsehet gi e bede tilæmig til de kotiuelige pisposesse, me abeidet med å evaluee teet bli fot kompliset jo flee utfall som tas med [Høylad, Wallace 2001]. I dette avsittet pesetes tekikke med to og te utfall, heholdsvis et biomisk te og et tiomisk te Biomisk te Et biomiske te ha to mulige utfall fo hve tidsehet. Stegstøelse og sasylighete fo hve av de to utfallee ka bestemmes ut i fa følgede ligig: (-q) δ t Se =psu + (1-p)Sd (3.10) He e S de åvæede spotpise, mes S*u og S*d e de ye spotpise desom spotpise i løpet av tidspeiode δt skulle heholdsvis stige elle syke. Gasskotaktee som skal evaluees i dee oppgave ha e kostat kotiuelig coveiece yield, δ, og de stokastiske diffeesial ligige fo de isiko øytale GBM posesse ka utykkes [Clewlow og Sticklad,2000] ds = ( - δ) S dt + σ S dz (3.11) Ved å la dt gå mot ull vil tilæmige æme seg e GBM. Dette gi at fovetigsvedie til spotpise e gitt av ligig 3.2. Det ka så utledes at kostatee p, u og d få følgede vedie: 8 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

13 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig t u = e δ ; 1 d = u ; p = (- δ) δt e - u - d d ( ) Testuktue vil få følgede fom: p Suu S p 1-p Su Sd 1-p p S 1-p Sdd δt δt Figue 3-2 Biomisk te stuktu Ved å beytte mage tidssteg vil dette gi e god tilæmig til de kotiuelige pisposesse Tiomisk te Et alteativ til de biomisk pesetasjoe av hvoda spotpise følge GBM, e de tiomiske modelle. Fodi det tiomiske teet ha te mulige utfall fo hve tidsehet, vil det tiomiske teet gi e bede tilæmig til de kotiuelige pisposesse e det biomiske teet ved buk av like mage tidsehete. I tillegg e det tiomiske teet eklee å abeide med på gu av sitt egulæe stuktu og fleksibilitet [Clewlow og Sticklad,2000]. De geeelle stuktue til et tiomisk te vil se ut som på figu 3.3. Ved hve ode i teet vil de videe utviklige gå ete opp (u) med sasylighet p u, ed (d) med sasylighet p d elle fobli ufoadet med sasylighet p m. Hull(2002) foeslå følgede vedie fo evte paametee fo e posess med stadad avvik σ, ålig ete og tidssteg δt. 9 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

14 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 3* t u = e σ δ (3.15) 1 d = u (3.16) δ t σ p u = ( - σ ) + 2 (3.17) p = m 2 3 (3.18) δ t σ p d = - ( - σ ) + 2 (3.19) Fo e posess med coveiece yield, δ, ka estattes med - δ. Testuktue vil få følgede fom: p u S 0 u S 0 p m S 0 p d δt S 0 d Figue 3-3 Tiomisk te stuktu 3.4 Mea Revesio Som tidligee beskevet vil e GBM modell ha e tedes til å bevege seg vekk fa si oppielige vedi, oe det ka stilles spøsmål til om e koekt å det gjelde åvaepise. E allme oppfatig e at pise fo åvae skal elatees til kostade av å podusee dem, og defo, i det lage løp, skal tilæme seg magial poduksjoskostad [Schwatz, 1997]. Fo å oppå dee egeskape ved e posess ka ma beytte e mea evetig posess. Mea evetig e e egeskap som e godt dokumetet at e e viktig egeskap ved eegi spotpise. E ekel mea evetig spot posess ka se ut som Schwatz(1997) modell 10 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

15 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig ds = α ( µ - l S) S dt + σ S dz (3.20) I dee modelle vil spotpise tekkes mot det lagsiktige ivået S = e µ med e hastighet gitt av ate α, som ku ka væe positiv. Dee egeskape iebæe at desom spotpise e ove det lagsiktige ivået, S, vil difte til spotpise bli egativ og vil tekkes mot S. Likeledes vil difte bli positiv og tekkes mot S desom spotpise e lavee e det lagsiktige ivået. Dette vil ikke si at spotpise uasett vil bli tukket mot S. Det stokastiske leddet ka ha det motsatte teget og ha støe vedi e diftleddet og demed ka spotpise fotsette vekk fa S [Clewlow og Sticklad, 2000]. Ligig 3.20 ka uttykkes i fom av de atulige logaitme av spot pise, x = l S dx = [ α ( µ - x) - σ ] dt + σ dz (3.21) I motsetig til GBM vil diftsleddet fo dee modelle væe avhegig av x. Dette gjø at disketiseige ku e gjeldede fo et lite tidssteg som gå mot ull. E viktig egeskap ved e mea evetig posess e des halveigstid. Halveigstide sie hvo lag tid det ta fo pise å vede halvveis tilbake til lagsiktige ivået desom spotpise ikke bli påviket me av det stokastiske leddet. Sammehege mellom mea evesio ate, α, og halveigstide e gitt av [Clewlow og Sticklad, 2000] t 12 = l(2) α (2.17) Fo at modelle skal væe koekt må tidsteget velges lite i fohold til halveigstide. 11 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

16 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 4 METODE I dette kapittelet vil Thompsos metode fo å vedsette Take-o-Pay kotakte bli itoduset [Thompso, 1995]. Thompso ha beyttet et biomisk te, som ble gjeomgått i kapittel 3, me ha hevdet i sitt pape fa 1995 at også ade testuktue vil kue fugee. Dee oppgave fosøke å gjøe ettopp dette, ved hjelp av et tiomisk te (kap ). Modelle e implemetet i Excel ved hjelp av Visual Basic, og vedlegg A vise dele av pogammet som ble laget. 4.1 Foutsetige Take-o-Pay kotakte som evaluees i dee oppgave e e ettåig kotakt med jevt fodelte kjøpedatoe. Fo hve dato e det i kotakte spesifiset hvo mye gass som ka kjøpes og til hvilke pis. Fo å foekle settes de tilgjegelige gasse pe kjøpedato til e ehet. Det vil si at kotakte gi kjøpee ett til å kjøpe totalt ehete gass i løpet av kotaktspeiode. Det spesielle med e TOP kotakt e de fleksibilitet kotakte gi kjøpee. Kotakte gi kjøpe mulighete til å fastå fa å kjøpe gass desom betigelsee skulle væe ugustige. Hvo mye kjøpe ka fastå fa å kjøpe, ute å bli påføt e staff, e defiet i kotakte i fom av et take-o-pay ivå, φ [0,1]. Dette bety at kjøpe totalt i løpet av kotaktspeiode ka selv velge å kjøpe mellom φ ehete gass og ehete gass, ute å måtte kompesee motpate. Settes φ = 0 vil kotakte væe ekvivalet med e potefølje beståede av Euopeiske kjøpsopsjoe med fofall tilsvaede kjøpedatoee spesifiset i kotakte. Fo f.eks. = 3 gi dette V 0 = max (S 1 -K 1, 0)e -0,33 + max (S 2 -K 2, 0)e -0,67 + max (S 3 -K 3, 0)e - (4.1) Hvo V 0 e kotaktsvedie ved tid 0, K og S e heholdsvis stike pice og spotpis og e ete. De kotaktsfestede staffe (P) fo ikke å møte de ålige kjøpfopliktelse (φ) e et bestemt fohold, staffkoeffisiete z [0,1], av kjøpepise ved kotakt peiodes slutt (C ) multipliset med de gjeståede kjøpefopliktelse. La φ t væe de 12 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

17 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig gjeståede kjøpefopliktelse fø hadledato t ( φ 1 = ϕ), og φ t væe kjøpt volum ved tidspukt t. Staffe (P) ved kotaktsslutt fo ikke å ha møtt kjøpefopliktelse bli da P = 0,fo φ φ φ C * ( ),fo z φ φ φ φ < φ (4.1) P C z ϕ φ - φ Figue 4-1 Staffuksjo Fo å kue beege vedie av kotakte må følgede atagelse gjøes: 1) Retesatse () e kostat. 2) Spotposse følge e geometic Bowia Motio med mometat stadad avvik σ. 3) Vedie av å holde e åvae (δ) e kostat i fohold til spot pise. 4) Kjøpspis pe ehet ved kjøpedato t (C ) e kjet og sikke. t Følgede to egeskape ved dee modelle foekle oppgave med å fie e løsig. Egeskap 1: Vedie av kotakte ved tidspukt t ( ) e kvasikokav fo de V t gjeståede kjøpefopliktelse ved tidspukt t ( φ t ). Figu 4.1 vise e kvasikokav 13 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

18 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig fuksjo. Dette bety fo eksempel at to 50 poset take-o-pay kotakte e mist like vedifulle som e 30 poset og e 70 poset take-o-pay kotakt. Figue 4-2 Kvasikokav fuksjo Egeskap 2: Vedie av e kotakt ved hve kjøpedato t volumet kjøpt ved tidspukt t ( V t ) e kvasikokav fo ( φ t ). Dee egeskape medføe at kjøpebeslutige ved hve ekelt kjøpedato ikke ka væe optimal fo de gitte kjøpedatoe, ute samtidig å væe optimal fo de samlede utyttelse av kotakte. Notasjo Fo å foekle uttykkee i det dyamiske pogammet beyttes følgede otasjo: 1,fo 1<X TAKE[ X ] = X,fo 0 X 1 (4.2) 0,fo X<0 TAKE[X] 1 1 X Figue 4-3 TAKE-fuksjo 14 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

19 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Take-fuksjoe muliggjø ekel og pesis implemeteig av kavet om at maksimum kjøp pe peiode e e ehet. 4.2 Posedye og implemeteig Posedye fo å pise e TOP-kotakt state med å modellee spotposesse i fom av et biomisk elle tiomisk te. Atall tidssteg mellom hve kjøpedato ka velges fitt, me geeelt vil flee steg bede kvalitete på beegigee. Ved å abeide seg bakove i teet fa t = til t = 0 komme ma fem til følgede løsig: Tidspukt : Ved tidspukt e det tilstekkelig å vite spotpise (S ), og de gjeståede kjøpefopliktelse ( φ fo å bestemme det optimale kjøpevolumet ( φ ). ) V = (S - C ) φ - zc MAX( 0, φ - φ ) (4.3) Føste ledd i ligig 4.3 e kotatstømme fa det kjøpte volumet, mes ledd umme to epesetee staffe desom miimumskavet ikke oppås. Deivasjo av ligig 4.3 gi føsteodesbetigelsee δv (S - C ),fo φ φ = δφ S - (1 - z) C,fo φ < φ (4.4) 15 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

20 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Føsteodesbetigelsee ka uttykkes gafisk S C (1 - z)c + + _ + φ Figue 4-4 Føsteodesbetigelse ved tidspukt φ Dette gi at desom spotpise (S ) e høyee e de kotaktfestede pise (C ) e det alltid optimalt å kjøpe det maksimale atall ehete gass kotakte gi ett til. Desom de kotaktfestede pise ligge mellom S og (1-z)C, og desom miimumskavet eda ikke e møtt ( φ > 0 ), vil det væe optimalt å kjøpe så mye som mulig itil φ = 0. Dette vil bida til å edusee staffe fo ikke å møte miimumskavet. Fo spotpise lavee e (1-z)C vil det optimale kjøpevolumet alltid væe 0. Ved å kombiee Take-fuksjoe, som sike at maksimums kavet fo kjøpt volum oveholdes, med ligig 4.3 få vi ligige fo kotaktsvedie ved tid (S - C ) - zc MAX[0, φ - 1],fo S C V = (S - C )TAKE[ φ] - zc MAX[0, φ - 1],fo C > S (1 - z)c - zctake[ φ ] - zc MAX[0, φ - 1],fo (1 - z)c> S 0 (4.5) Ligig 4.5 må løses fo samtlige ode i teet ved tidspukt, og ettesom C og z e kjet vil de geeelle fome bli 16 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

21 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig V = k - k TAKE[ φ ] - k MAX[0, φ - 1] * (4.6) elle hvo k k 0, og k k 1 - k 3MAX[0, φ - 1],fo S C * V = k2take[ φ ] - k 3MAX[0, φ - 1],fo C > S (1 - z)c (4.7) k2take[ φ ] - k 3MAX[0, φ - 1],fo (1 - z)c > S 0 k-vediee e eelle tall som ka beeges fotløpede ettesom ma bevege seg bakove i teet. Vediee vaiee fo hve ode i teet og e spesifikke fo poblemet ma behadle. Vediee bestemmes fa kotaktuelle og spot-pis paametee. Desom det e valgt flee tidssteg mellom hve kjøpedato, e det tilstekkelig å beytte de biomiske metode på k-vediee fo å ege seg bakove i teet. Dette må gjøes idividuelt fo k 1, k 2 og k 3. Tidspukt - 1 De gjeståede kjøpefopliktelse e bestemt av tidligee kjøp, og e kostat mellom tidspukt - 1 og. Dette gjø det mulig å uttykke vedie av kotatstømme ved tidspukt ved hve ode ved tidspukt - 1 V = k - k TAKE[ φ ] - k MAX[0, φ - 1] * 1, (4.8) hvo k k 0, og k k vediee e å eddiskotet. Vedie av kotakte ka å uttykkes som fuksjo av kjøpevolumet ved tidspukt 1, ved å buke ligig 4.7 φ = φ - φ (4.9) Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

22 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig V = k - k TAKE[ φ - φ ] - k MAX[0, φ - φ - 1], (4.10) Vedie av kotakte ka å uttykkes som fuksjo av kjøpebeslutige φ - 1 ved tidspukt 1 V = (S - C ) φ + V (4.11) , =(S - C ) φ + k - k TAKE[ φ - ] φ - 1 k MAX[ 0, φ - φ - 1] Ved hjelp av deivasjo og føsteodesbetigelse ka foteget til etto itekte fo kjøp ved tidspukt -1 bestemmes S C C C - 1 k k _ + _ φ φ φ Figue 4-5 Føsteodesbetigelse ved tidspukt -1 Figu 4.5 vise at det e lagt til e eksta volumgese. Dette skyldes at det å e to kjøpedatoe, og kjøpe e fohidet fa å kjøpe alt de beste peiode. Fo eksempel, desom de gjeståede kjøpefopliktelse e 1,5, så må miimum 0,5 kjøpes dee peiode fo å hide staff, også desom det e optimalt å utsette kjøp til siste peiode. Gese fo dee ye volumgese e φ - 1 mius maksimum kjøp pe peiode (1). 18 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

23 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig E eksta kjøpedato føe også til at det iføes e eksta pisgese. Figu 4.5 vise at de ye gesee bli beeget ved hjelp av k-vediee som oppielig ble beeget ved tidspukt og som e eddiskotet til tid - 1. Kombiees kjøpbegesigee og kjøpicetivee ovefo ka følgede optimale kjøpestategi utledes φ 1,fo S C -1-1 * TAKE[ φ 1],fo C -1 > S -1 C -1 - k2 1 = TAKE[ φ 1-1],fo C -1 - k 2 > S -1 C -1 - k3 0,fo C -1 - k 3 > S -1 0 (4.12) Sette vi de optimale kjøpestategie i i objektfuksjoe gi det dee løsige * V 1 = k 1 - k 2TAKE[ φ 1] - k3take[ φ 1-1] - k 4MAX[ 0, φ 1-1] (4.13) hvo Egeskap 2 og at det gjeståede kjøpekavet e ikke-økede gi k 4 k 3 k 2 0. Det e viktig å pesisee at k-vediee vil edes fo hve ode i teet ettesom de optimale kjøpestategie bestemmes. Ved å fotsette det dyamiske pogammet vil det legges til et ledd fo hve eksta kjøpedato, og k-vediee vil edes udeveis. Hvet eksta ledd eflektee fleksibilitete som øke ved å øke atall kjøpedatoe. Å legge til det -q te leddet medføe at leddet TAKE[ φ q - q ] tas med. I tillegg vil Max-leddet bli justet slik at det uttykke de adele av det gjeståede kjøpkavet som det ikke e mulig å imøtekomme, om oe. Geeelt ka dette uttykkes V = k - k TAKE[ φ ] - k TAKE[ φ - 1] -... q 1 2 q 3 q k TAKE[ φ - q] -k MAX[ 0, φ - (q+1)] q+2 q q+3 q Ved tidspukt 0, vil det dyamiske pogammet uttykke ligige som gi vedie av kotakte fo alle take-o-pay ivåe. 19 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

24 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 5 ANALYSE AV RESULTATER I dette kapitelet pesetees esultate og aalyse av esultate gitt av Thompsos modell fo pisig av TOP-kotakte. Aalyse fokusees på hvoda foadige på iput paametee påvike esultatee modelle gi, og sammelige hvoda buk av heholdsvis et biomisk te og et tiomisk påvike kvalitete på esultatee. 5.1 Geeelle betaktige E TOP-kotakt med et take-o-pay (top) ivå på 0%, som vil si at kjøpe ikke e fopliktet til å ta i mot oe av kotaktes totale volum, e ekvivalet med e potefølje beståede av Euopeiske kjøpsopsjoe med løpetid tilsvaede kotaktes kjøpedatoe. E TOP-kotakt med et top-ivå på 100%, som vil si at kjøpe e fopliktet til å ta i mot kotaktes totale volum, e ekvivalet med e potefølje av fowadkotakte med løpetid tilsvaede kotaktes kjøpedatoe 1. Geeelt vil e TOP-kotakt med et top-ivå lik x% væe mist like vedifull som e potefølje beståede av x% fowadkotakte og (100-x)% Euopeiske kjøpsopsjoe fo hve kjøpedato. Dette skyldes at vedie av TOP-kotakte ved tidspukt t e kvasikokav fo de gjeståede kjøpefopliktelse ved tidspukt t (kap. 4.1). La så de kotaktfestede pisee fo gass tilsvae fowad-pisee fo gass (ligig 3.9). Med 12 kjøpedatoe med e måeds mellomom og iitiell spotpis 1,50$, gi dette følgede fowadpise (=8%, δ= 2% og σ=10%) Kjøpedato Pis 1 1, , , , , , , , , , , ,5928 Figue 5-1 Fowad pise 1 I avsitt vises at dette ku stemme desom staffkoeffisiete, z, e lik Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

25 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Dette gi å at e potefølje med fowadkotakte ha e vedi lik ull, og vi ka gafisk pesetee vedie av TOP-kotaktes fleksibilitet. V top-ivå (%) Figue 5-2 Vedie av TOP kotaktes fleksibilitet De stiplede lije epesetee vedie av TOP-kotakte ved foskjellige topivåe, mes de helttuke lije epesetee vedie av e potefølje beståede av x% fowadkotakte og (100-x)% poset Euopeiske kjøpsopsjoe fo hve kjøpedato. 5.2 Kotaktbetigelse Betigelsee som settes fo kotaktee e ikke met å gjespeile kotaktbetigelse beyttet i eelle gasskotakte. Paametee e ku valgt fo å demostee hvoda edige i paametee påvike vedie av kotakte. Utgagspuktet fo aalyse e e kotakt beståede av 12 kjøpedatoe med e måeds mellomom. De føste datoe fo hadel vil væe e måed ette kotakte e igått. Betigelse og paametee fo hovedkotakte (K H ) vil væe som følge Spotposesse: Rete: 8% Coveiece Yield: 2% Stadad avvik:10% Iitiell spotpis:1,50$ Kotakte 12 kjøpedatoe med e måeds mellomom Pise tilsvae fowadpisee Take-o-Pay ivå: 50% Staff koeffisiet(z): 0,1 21 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

26 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Med utgagspukt i dee kotakte vil edige i ulike paametee evaluees. 5.3 Aalyse Atall tidssteg mellom kjøpedatoee Atall tidssteg mellom hve kjøpedato atas å ville ha e sto påvikig på øyaktighete av kotaktsvedie. Flee tidssteg vil gi e bede appoksimasjo av de kotiuelige pisposesse, og vil demed gi e me øyaktig vedi på kotakte. Figu vise hvoda vedie fo K H utvikle seg ette hvet som flee og flee tidssteg beyttes. 0, ,33800 V e d i 0, , , , , Atall Tidssteg Figue 5-3 Vedie av kotakteb som fuksjo av atall tidssteg De helttuke kuve epesetee de biomiske modelle, mes de stiplede kuve epesetee de tiomiske modelle. Som gafee vise e det sasylig at både de tiomiske modelle og de biomiske modelle kovegee mot samme vedi. Det ville væt atulig å ata at de tiomiske modelle, som skal væe e bede appoksimasjo til de kotiuelige spotposesse, kovegete hutigee e de biomiske modelle. Dette atyde imidletid gafe i figu at ikke e tilfellet. Gafe vise også at vedie de tiomiske modelle gi jevt ove ligge lavee e vedie de biomiske modelle gi. Begge modellee ata GBM, og skal i pisippet gi samme vedi. Det e også mulig at de gi, me da keves det flee tidssteg e det som e gjeomføt i dette eksempelet. Vediee ved buk av 15 tidssteg e 22 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

27 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Biomisk: 0,33882$ Tiomisk: 0,33848$ Fomålet fo dee oppgave e å evaluee hvoda edig i paametee påvike vedie på e TOP-kotakt, og defo ases 15 tidssteg mellom hve kjøpedato som tilstekkelig øyaktighet. I og med at figu 5.3 atyde at de biomisk modelle e vel så øyaktig som de tiomiske modelle, vil de biomiske modelle bli beyttet i de kommede aalysee Take-o-Pay ivået og staffkoeffisiete,z I kapittel 4.1 ble TOP-kotaktes kvasikokave egeskap itoduset. Det ble hevdet at e kotakt med 50% top-ivå mist like vedifull som gjeomsittet av f.eks. e kotakt med 30% top-ivå og e kotakt med 70% top-ivå. 0,6 V e d i $ 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Take-o-Pay ivå (%) Figue 5-4 Vedie av kotakte som fuksjo av top-ivå Gafe i figu vise TOP-kotaktes kvasikokave egeskape. Som fovetet vise gafe at jo støe adel av kotakte kjøpee e fopliktet til å kjøpe, jo lavee bli vedie av kotakte. De kotaktfestede pisee e som tidligee evt defiet som fowadpise. Dette skulle bety at ved et take-o-pay ivå på 100%, skulle kotakte hatt e vedi lik ull. Dette vise gafe i figu at ikke e tilfellet, vedie e støe e ull. Det 23 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

28 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig komme av at kotakte ha e staffkoeffisiet, z. Staffkoeffisiete gjø at staffe fo ikke å imøtekomme mistekavet fo kjøpt volum (he 100%) e z(c -S ), istedefo tapet e fowad kotakt ville gitt desom kotaktpise va støe e spotpise,(c -S ). Desom staffkoeffisiete settes lik 1, vil vedie av e kotakt med 100% top-ivå væe lik e potefølje med fowadkotakte med tilsvaede løpetide, 0. Figu vise vedie av e kotakt tilsvaede K H, me med staffkoeffisiete lik 1. 0,6 V e d i $ 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Take-o-Pay ivå (%) 100 Figue 5-5 Vedie av kotakte som fuksjo av top-ivå ( z=1) Vedie av e kotakt stige altså med sykede staff koeffisiet, oe som va fovetet Iput paametee fo spotposesse Euopeiske og Ameikaske opsjoe stige i vedi med stigede stadad avvik fo de udeliggede posesse, og det e demed æliggede å ata at også TOPkotakte vil stige i vedi desom stadad avviket stige. Stige stadad avviket fa 10% som fo kotakt K H til 20% gi det følgede esultat K H : 0,33882$ K σ = 0,20 : 0,76900$ E doblig av stadad avviket gi altså me e de doble kotaktsvedie. 24 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

29 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Reteivået elle coveiece yield e vil ikke påvike vedie av e TOP-kotakt så lege de fobli kostate kotaktpeiode. Dette skyldes at fowadpise vil også edes i takt med ete og coveiece yield e og demed utlige evetuelle foadige. Deimot hvis kotaktpisee bli fastsatt ved tid 0, og ete i løpet av kotaktpeiode foades, ka dette ha stoe ivikige fo kotaktes vedi. Sett at ete stige med 2 posetpoeg umiddelbat ette kotaktigåelse. Da vil kotakte ede vedi K H : 0,33882$ K =10% : 0,46649$ I e eell situasjo ka dette ugås ved at kotaktpisee ikke fastsettes ved tid 0, me deimot avhege av ulike paametee, f.eks. eteivået, ved tidspuktee fo hadel. 5.4 Mea evesio Oppgave med å implemetee mea evetig egeskape fo spotposesse i pogammet som skulle ege vedie av e TOP-kotakt, viste seg å bli me tidkevede e føst atatt. Defo ble dee dele sløyfet fa datapogammet. Det e likevel mulig å kommetee hvilke påvikige e mea evetig spotposess atagelig ville hatt fo esultatet. Som tidligee evt ha GBM e tedes til å bevege seg lagt vekk fa si oppielige vedi (S 0 ), oe som ikke stemme godt ovees med eegipise. E mea evetig spotposess sike at spotpise ikke bevege seg fo lagt bot fa e atatt likevektsvedi. E mea evetig posess vil altså elimiee ekstemt høye spotpise, og ekstemt lave spotpise. De ekstemt høye vediee e med på å da vedie av kotakte opp, og desom disse bli modeet ved hjelp av e mea evetig spotposess vil vedie av kotakte syke. Et tilsvaede agumet e ikke gyldig fo ekstemt lave vedie. Syke spotpise ude(1- z)c ved tidspukt vil kjøpe fastå fa å kjøpe gass via kotakte. Det spille ige olle hvo lavt spotpise syke, gese fobli de samme og det samme gjø staffe fo ikke å imøtekomme miimumskavet fo 25 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

30 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig kjøpt gass. Desom dee agumetasjoe stemme vil vedie av e TOP-kotakt med e mea evetig spotposess væe lavee e desom spotposesse fulgte GBM 26 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

31 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 6 KONKLUSJON Dee posjektoppgave ha gitt utføee isikt i ulike type deivate som beyttes ie eegihadel som helhet, og hadel med gass spesielt. Oppgave ha også gitt e iteessat itoduksjo til gassmakedet slik det e i dag, og hvilke utfodige og evetuelle edige makedet stå ovefo de kommede åee. Ved side av det faglige utbyttet, ha oppgave også gitt viktig efaig i det å jobbe med posjektoppgave av dee støelse. Oppgave va ikke fedig fomulet fa state av, og mye tid gikk med til å sette seg i i og vudee ulike poblemstillige. Oppgave utviklet seg ette hvet til å væe e sto utfodig i fom av pogammeig. Muliges gikk dette litt på bekostig av et teoetiske poblemstillige. Likevel, efaigee utøvee sitte igje med, på godt og vodt, vil væe viktig fo hvoda hovedoppgave som følge kommede semeste vil bli gjeomføt. 27 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

32 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 7 LITTERATURLISTE Austvik, Ole Gua (2000), Noge som stoekspotø av gass, Euopapogammet, Oslo Clewlow, L. & Sticklad C. (2002), Eegy Deivatives: Picig ad Risk Maagemet, Lacima Publicatios, Lodo Cox, J.C. ; Ross S.A. & Rubistei M. (1979) Optio Picig: A Simplified Appoach Joual of Fiacial Ecoomics, 7 Gali, N. & Søum, O. (2001), Iføig i Pogammeig, Visual Basic 5.0/6.0, Søga ANS Hull, Joh C.(2002), Optios, Futues ad Othe Deivatives, 5. utg, Petice Hall, Eglewood Cliffs, USA Høylad, Kjetil & Wallace, Stei W (2001), Geeatig Sceaio Tees fo Multistage Decisio Poblems, Maagemet Sciece, Vol. 47, No.2 Lud, Mote W. (1997), The Value of Flexibility i Offshoe Oil Field Developmet Pojects, D. avhadlig, NTNU, Todheim McFedies, P. (1999), VBA fo MicoSoft Office 2000 Uleashed, The Compehesive Solutio, Sams, Idiaapolis, USA Olje- og eegidepatemetet (2002), Fakta 2002-Nosk Petoleumsviksomhet, Olje- og eegidepatemetet, Oslo Schwatz E. S. (1997), The Stochastic Behaviou of Commodity Pices: Implicatios fo Picig ad Hedgig, The Joual of Fiace, Vol. 52, No. 3, pp Schwatz E. S. & Smith J. E. (2000), Shot-Tem Vaiatios ad Log-Tem Dyamics, Maagemet Sciece, Vol. 46, No Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

33 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Thompso, A.C. (1995), Valuatio of Path-Depedet Cotiget Claims with Multiple Execise Decisios ove Time: The Case of Take-o-Pay, Joual of Fiacial ad Quatitative Aalysis, Vol. 30, No 2 29 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

34 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig 8 VEDLEGG A Datapogammet Thompsos modell ble implemetet i Excel ved hjelp av Visual Basic. Visual Basic e et pogammeigsspåk som gjø det mulig å automatisee kommade som Excel skal utføe. Visual Basic eges fo å væe vedes mest utbedte pogammeigsspåk, mye på gu av si buke velighet. Dee oppgave ble gjot med miimal efaig i pogammeig, oe som ha væt e sto utfodig. I dette vedlegget pesetees pogammet som e gulaget fo oppgave. Bukegesesitt: Figu V.1 vise bukegesesittet fo pogammet 30 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet

35 SIS1101 Fodypigsemet i ivesteig, fiasieig og økoomistyig Buke gesesittet gi buke mulighet til å ede alle paametee som igå i Thompsos modell. Beegige Pogammet state med å bygge et te ut fa iput paametee. Spot-teet geeees i et eget egeak. Et lite te ka se ut som dette: Femgagsmåte fo beegigee av k-vediee som e idividuelle fo hve ode i hele teet vil ikke bli pesetet, da dette vil væe både tidkevede og vaskelig å fomidle. Det ka deimot eves at e petium III, 1000MHz, 256Mb RAM datamaski buke omlag 4 miutte fo å beege vedie av e 50% TOP kotakt med 12 kjøpedatoe fodelt jevt ove ett å, ved buk av et tiomisk te. 31 Take-o-Pay kotakte i gassmakedet