Forelesning Ordnings observatorer

Transkript

1 Forelesg Ordgs observatorer. Oppsummerg tl Forelesg 4 og 5.) Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V...) Smultafordelg tl to ye S.V. Ata at v har to S.V., med smultafordelg f ( x, x ) verdmegde S ( x, x ) : f ( x, x ) 0, og to ye S.V. Y, Y som er fuksjoer (trasformasjoer) av, : Y u Y u S.V. Y, Y: (, ) Geerell prosess: (, ), (, ). Vårt mål er fe smultafordelg tl de to ye g y y, med verdmegde T ( y, y ) : g( y, y ) 0 a. Uttrykk, som fuksjoer av Y, Y, basert på Y u (, ), Y u (, ) : b. F partelt derverte matrse: v ( Y, Y ), v ( Y, Y ) v ( y, y) v ( y, y) y y M v ( y, y) v ( y, y) y y * c. F determate (Jacoba) tl matrse M: d. F smultafordelg tl Y, Y: v v v v det( M ) y y y y g( y, y ) f [ v ( y, y ), v ( y, y )] det( M) ( y, y ) T..) Smultafordelg tl tre ye S.V. Ata at v har f.eks. tre S.V.,, med smultafordelg f ( x, x ) verdmegde S ( x, x, x ) : f ( x, x, x ) 0, og tre ye S.V. Y, Y, Y som er fuksjoer (trasformasjoer) av,, : Y u (,, ), Y u (,, ), Y u (,, ). Og v ka utrykke,, som fuksjoe av Y, Y, Y v ( Y, Y, Y ), v ( Y, Y, Y ), v ( Y, Y, Y ) De smultafordelge tl de tre ye S.V. Y, Y, Y : g( y, y, y ), med verdmegde T ( y, y, y ) : g( y, y, y ) 0, er:

2 g( y, y, y ) f [ v ( y, y, y ), v ( y, y, y ), v ( y, y, y )] det( M) ( y, y, y ) T, v v v y y y v v v M y y y v v v y y y *.) Webull-, Logormal-, Beta- fordelg..) Webull fordelg er oppkalt etter de sveske fyskere Walodd Webull på 99. pdf (fordelgstetthet) av Webull fordelg: er «shape parameter», som bestemmer forme på fordelge. Når, Webull fordelg blr ekspoetalfordelg, og ka brukes for levetdsforvetgsberegger for ett utstyr. er «scale parameter», forskjellge verder av strekker eller komprmerer pdf grafe x-akse. Tre-parametere Webull-fordelg kluderer a «locato parameter», og v erstatter x med x pdf (skfte de opprelge pdf eheter tl høyre på grafe). *Webull fordelg ka modellere styrke og levetd tl mage fysske feomeer på e god måte...) Log-ormal fordelg Hvs e varabel er produktet av et stort atall av uavhegge, lkt fordelte varabler, da er logormal fordelt. Def. E varabel er logormal fordelt hvs Log( ) ~ N(, ) pdf tl e logormal fordelt varabel med parameter :,

3 Logormal fordelg er e fordelg som er høyreskjev. pdf av logormal fordelgstarter på ull, øker s modus, og avtar deretter. Logormal fordelg ka også brukes økoomske modeller hvor varabler må multplseres eller ekspoetelt aslått. *Både log-ormal fordelg og Webull fordelg brukes ofte tl å modellere skjelvt fordelger overlevelsesaalyse og påltelghetsaalyser. (Se vedlagt dokumet på ettet som ka hjelpe tl å velge mellom Webull og Logormal fordelger)..) Beta fordelg Beta fordelg ka brukes tl å modellere stokastsk varabel som er begreset tl tervallet på edelg legde [A, B]. er Beta-fordelt med parametere 0, 0, A og B, hvs pdf tl er Når A=0, B=, har v stadard Beta fordelg, og de brukes valgvs tl å studere varasjoer prosete av oe et datautvalg, eller modellere sasylghet..) Fordelgee avledet fra ormalfordelg kjvadrat-, t-, F-fordelg er tre fordelger som er avledet fra ormalfordelge. Dsse fordelgee vl v seere bruke ofte kofdes tervall og statstsk hypotesetestg...) Kjvadrat fordelg med v frhetsgrader () v, pdf: f x x e x ( v / ) v/ x/ ( ) /, 0 a. La Z, Z,..., Z v være v uavhegge S.V. fra N(0,) fordelg. Da er Y Z Z,..., Zv kj-kvadratfordelt med v frhetsgrader: Y () v. b. La,,..., være uavhegge S.V. fra samme sasylghetsfordelg N(, ) og S ( ). Da er ( ) ( ) S ( ). Dette ka brukes tl for å bygge kofdes tervall og gjeomføre statstsk hypotesetestg for varas seere.

4 Studet t fordelg Def. La Z ~ N (0,), V ~ ( v) og ata at Z, V er uavhegge. Da har v: Z T t() v : T er (Studet) t-fordelt med frhetsgrader. V / v Få frhetsgrader v fordelge har stor spredg Når atall frhetsgrader v er stort, er t -fordelge tlærmet lk ormalfordelge,,, er uavhegge stokastske varabler fra N(, )...., S ( ) for å estmere. La t, da S / har v t er (Studet) t-fordelt med - frhetsgrader: t ~ ( ) t. Dette resultatet ka brukes for å bygge kofdes tervall og gjeomføre statstsk hypotesetestg for forvetg seere...) F fordelg Def. La U ( m), V ~ ( ) og ata at U, V er uavhegge. Da er varabele U / m F V / er Fsher-fordelt med m og frhetsgrader: F ~ F ( m, ).,,, er uavhegge stokastske varabler fra N(, )...., S. Y, Y, Y, Y m er uavhegge ( ) stokastske varabler fra N. ( Y, Y) Y Y Y Y m... m, S Y Y m Y ( ) m. Da har v S S / Y Y / ~ F( m, ). Dette resultatet ka brukes tl for å bygge kofdes tervall og gjeomføre statstsk hypotesetestg for varas rato av to S.V. seere.

5 Ordgs observatorer.) Noe eksempler og defsjo Lvsforskrg: Et ektepar får betalg fra forskrgsselskap år de første av paret dør. V øsker å få fordelge for de mste levetder av paret. Ifrastruktur: Hvs v bygger e beskyttelse mot bølger, treger v få vte oe om maksmalt bølgestyrke. Idustr: E mask kjøre på 0 batterer og steger år det femte batteret dør. Du vl øske å vte fordelg for levetd for det femte batteret. De samme mask blr mdre effektv år tredje batteret dør. Du øsker da å vte fordelge av tdslegde mellom det tredje og femte batteret dør. Def. Ata at La,,..., være uavhegge S.V. fra samme kotuerlg fordelg med cdf som Fx. ( ) Ordgs observatorer er stokastske varabler Y, Y,..., Y, som er plassert stgede rekkefølge basert på verder av,,..., : a. Ordgs observatorer er stokastske varabler selv, ford de er fuksjoer av,,...,. Eg.,,..., 4 N (0,) b. Selv om,,..., er uavhegge, Y, Y,..., Y er aldr uavhegge på gru av ordes restrksjo. c. Meda av,,..., («sample meda») er defert som Y / år er partall, og Y( )/ år er oddetall. *«sample meda» er kke samme som «populato meda», «sample meda» er stokastsk varabel, mes «populato meda» er e kostat m: F( m) P( m) 0.5

6 Fordelger tl Y og Y Eks. Ata 5 detske kompoeter som er koblet parallell. La betege levetde (tmer) av de -te kompoete ( =,,, 4, 5). Ata at er uavhegg med hveradre og exp( ), 0.0, (forvetet levetd på e kompoet er 00h). På gru av parallell kofgurasjo, vl systemet fortsette å fugere så lege mst ett kompoete fremdeles fugerer, og vl svkte så sart som de sste kompoete går stkke. Da er systemet levetd Y 5, f cdf og pdf tl Y 5. Eks. Ata at de fem kompoetee er koblet sere stedet for parallelt, da systemet vl krasje så sart e eeste av de ekeltkompoetee svkter. I dette tlfellet vl systems levetd værey, f cdf og pdf tl Y..) Oppsummerg: Y, Y,..., Y er tlvarede ordgs observatorer for kotuerlg S.V.,,..., med cdf Fx ( ) og pdf f( x ). F. cdf og pdf tl Y og Y..) Fordelgstetthete tl k te ordgs observator Y k : g ( y) f ( y), k, k Y k år Y, Y,..., Y er tlsvarede ordgs observatorer for,,..., med cdf Fx ( ) og pdf f( x ). Metode, asymptotsk metode La være et ummer som er svært ær 0. Tek på tre tervaller I (, y], I ( y, y ], I ( y, ) og for e ekel, sasylghetee at lgger på d tre tervallee er heholdsvs: P( I ) F( y), y P( I ) f ( x) dx f ( y), P( I) F( y ) y y For Y k, har v P( Yk I) gk ( y) dy gk ( y). y

7 Å hayk I, da mellom alle observasjoer av,,...,, ka v ha: a. E observasjo (fra observasjoeer) på I ( y, y ] b. k - observasjoer (fra de reste - observasjoer) edefor y (lgger på I (, y] ) c. De sste -k observasjoee ovefor y (lgger på I ( y, ) ) *Kombasjoer C r (atall kombasjoer av r fra ) = Totalt atall mulge måter å velge ut r elemeter, ute tlbakeleggg, fra e gruppe med elemeter. Rekkefølge av elemeter er her kke relevat: C r! r ( r)! r! Eks 4. Ata at e kompoetes levetd er ekspoetelt fordelt med parameter. Når v har fem uavhegge kompoeter, f forvetede verd av meda av de fem kompoeteeslevetder (f forvetede verd av «sample meda», som er EY, og sammelg de med meda av exp( ) («populato meda»), som er m.) Smultafordelgstetthete gr, s( u, v) fy, Y ( u, v), r s, år Y, Y,..., Y er tlsvarede ordgs observatorer for,,..., Å ha Yr u og Ys v, da mellom alle observasjoer av,,...,, mår v ha: a. e observasjo (fra alle observasjoer) på u b. r- observasjoer (fra de reste - observasjoee) edefor u c. e observasjo (fra de reste --(r-) = -r observasjoee) på v d. - s observasjoer (fra de reste -r- observasjoee) ovefor v e. de sste s - r- observasjoee mellom u og v r s

8 Smultafordelgstetthett tl Y, Y,..., Y : g( y, y,..., y ) f ( y, y,..., y ); y y... y Y, Y,..., Y Eks 5. Tek,, er tre uavhegge S.V. fra f (x); 5 <x <5, og Y, Y, Y er tlsvarede ordgs observatorer, f smultafordelgstetthete f,, (8.4, 9.0,0.5) g(8.4, 9.0,0.5). Y Y Y Løsg: Det er 6=! forskjellge måter for å få Y 8.4, Y 9.0, Y 0.5 : Da har v smultafordelgstetthete: Oppsummerg: Å ha Y y, Y y, Y y,..., Y y, da mellom alle observasjoer av,,...,, ka v ha: a. e observasjo (fra alle observasjoer) på y b. e observasjoer (fra de reste - observasjoee) på y c. e observasjo (fra de reste - observasjoee) på y. de sste observasjoe på y Eks 6. Ata,,, 4 er fre uavhegge S.V. fra U(0,). F sasylghete for at hvert par av s er atsklt med mer e 0. Geerelt, hvs,,..., er uavhegge S.V. fra U(0,), har v: P(alle verder er atsklt med mer e d)

9 Eks 7. Ata at babys fødsele td på samme år er jevt fordelt 65-dagers perode. For uavhegg valgte babyer født samme år, f sasylghete at alle babyers fødselsdag er adsklt med mer e dager. Eks 8. La,,..., 6 betege levetd for 6 uavhegge kompoeter heholdsvs, de kommer fra samme fordelg med pdf som f ( x); x, f fordelgstetthete av de tredje mste levetd Y ved bruk av smultafordelgstetthete. pdf tl Y :. Ford, da har v, og,

10 Etter hvert, ka v har:. *Det betyr at v ka fe fordelgstetthete fy k ( y), k, basert på smultafordelgstetthete tl Y, Y,..., Y også.