Forelesning Punktestimering

Transkript

1 STAT Statst Metoder Forelesg Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg, possoprosesse og espoetal fordelg. ) I mage pratse stuasjoer, er parametere ujete. V har bare observasjoer av stoastse varabler tl å få frem formasjo av parametere ved at: a. Estmere (aslå) parametere med rmelg grad av serhet (estmerg), f.es. Levetde tl e bestemt type retsort atas espoetal fordelt. V har observert at levetde for ses sle ort ble hhv 6, 009, 95, 303, 599, og 780. Hva forteller dette oss om verde på parametere espoetal fordelge? Dvs om forvetet levetd? Atall ulyer per år på e oljeplattform atas Possofordelt. De sste fem åree har det bltt regstrert 5,8,, 7 og 3 ulyer per år. Hva forteller dette oss om parametere λ Posso-fordelge? Dvs om - forvetet atall ulyer per år/testete? b. Ta stllg tl e påstad (hypotese) om verde av e parameter (hypotesetestg) 3) Et jet esempel av estmerg Brtse statstere har e gag estmert størrelse av de tyse våpeprodusjoe uder.verdesrg gjeom å spoere sereummer på våpe. f.es. sereummer på strdsvog. V a se et sammelgede esempel: Es. V befer oss e storby og vl forsøe å estmere hvor mage drosjer m det fes bye ved å otere drosjeumree. I de første ue, har v observasjoer som: UNr : Modelle er U (0, m) (sasylghete for å observere e drosje er /m). V har flere måter å aslår parametere m

2 STAT Statst Metoder Estmator m 5 ford v har sett 5 drosjer Estmator m 440 ford 440 er høyeste observerte r Estmator 3 m ford 80 er atatt meda Estmator 4 (mellomromsestmator): m Estmator 5 (mellomromsestmator): m V atar at v a få flere reer observasjoer ue, 3, 4 som UNr, UNr3, UNr4 og gtt at m=550, a v sammelge estmator m 3, m 4, m 5 sl: Felsum Det ser ut tl at m 3 gr større fel e de to adre og m 5 gr mst fel. m 5 a bl estmator for m. Brtse statstere brute sammelgede metode og estmatee var u oe få proset fel, mes spoasjeberegger bommet med e fator opp mot 4.. Putestmerg ) Estmator og stprøve: a. Estmator: La,..., være uavhegge stoastse varabler fra samme fordelg med parametere. E estmator ˆ er e fusjo av,..., : ˆ ˆ(,,..., ), som brues for å estmere de ujete parametere. ˆ er fortsatt e S.V. som har ege fordelg.

3 STAT Statst Metoder *Verde tl estmatore alles putestmat for, og dee verde a bereges år v har stprøve. b. Stprøve: V tar e stprøve (uavhegge observerte tallverder () () () x, x,..., x ) fra e fordelgs med parameter, der fordelgsfusjo er jet me e (parameter). Ved at brue estmator ˆ ˆ(,,..., ), a v får e estmatorsverd ˆ() () () () ˆ( x, x,..., x ) som er fusjo av stprøve () () () x, x,..., x. V aller estmatorsverd som et estmat. Når v har e ae stprøve () () () x, x,..., x, a v har et aet estmat ˆ(). c. Det a fes flere estmatorer for e parameter Es : er e S.V. som deferes sl: hvs e perso er e borgerlge velgere orge, 0 hvs e perso e er e borgerlge velgere Norge. p, x Da har v P( x). V bygger e estmator ˆp for å estmere p p, x 0 og fe fordelge tl ˆp. Eg. 3, V har de medfølgede 0 observasjoee på vete (g) av 8 årgs orse jeter De gtte observasjoee blr så e stprøve fra dee ormalfordelge. V atar at vete av 8 årgs orse jeter er ormal fordelt med forvetg m. Ford ormalfordelger er symmetrse, er m også medae av fordelge. V a ha flere estmatorer og tlsvarede estmatorsverder for m: ) V har forsjellge metoder for å bygge estmator for e parameter: a. Mometmetode b. Maxmum lelhood metode c. Bayesase metode d. «Computer tesve» metoder som beytter deer fra a-c

4 STAT Statst Metoder 3) Mometmetode. Ata at,..., være uavhegge stoastse varabler fra samme fordelgsfusjo med parameter, der fusjoell form er jet me e (parameter). ( a være e vetor (,,... ), f.es., for W ( r, ), har v r, ) a. V deferer teoretse (populasjo) mometer som De første momet: E ( ) (,,... ) De adra momet: E (,,... ) De te momet: E (,,... ) f.es. W,, er fusjoer av,,... * ( r, ), E( W ) r, E( W ) r ( r ) V deferer samplgs (utvalg) mometer som * m, m m ( ) ( ) m,, m er fusjoer av,,... b. Store talls lov:,, 3, er uavhegge stoastse varabler med... samme forvetg og varas. Lar, Da har v: P år. Det betyr at for hver eeste postv, har v: lm P( ) Elest esempel: v aste e myt flere gager. La stoastse varabler som = år v får ro på ' te ast og =0 år v får myt på ' te ast. Da har v E ( ) 0.5. Nå v ast myt gager, har v adel ro er:....

5 Adel ro Adel ro STAT Statst Metoder 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 00 mytast ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, mytast Fgure : smulerte mytast c. Fra store talls lov b., har v: Sett lgger som: p m... m p ˆ ( ˆ, ˆ,... ˆ ) m... ˆ ( ˆ, ˆ,... ˆ ) m V a løse ut ˆ ˆ ˆ,,... fra de lggee, og ˆ ˆ ˆ,,... er emlg mometestmator for (,,... ). ˆ ˆ ˆ,,... er fusjoee av,,..., Es 4.,..., er uavhegge stoastse varabler fra samme fordelg med forvetg og varas, f mometestmatorer ˆ og ˆ Es 5. W, W..., W er uavhegge stoastse varabler fra samme fordelg ( r, ), f mometestmatorer ˆr, ˆ. *Hvs v har e stprøve (uavhegge observasjoer x, x,..., x ), da a v få verder tl mometestmatorer gjeom at erstatte,,..., som x, x,..., x.

6 STAT Statst Metoder Es 6. E fseoppdretter har et stort atall las et basseg. Vete tl las atas å være uavhegge og dets ormal fordelte stoastse varabler med forvetg og varas estmere og. Ole vl brue mometestmator metode for å for vete av lasee, og ha tar opp 3 las og veer dsse. x ( g ) : Fra Es 4, a v få: ˆ x x Egesaper hos estmatorer ˆ ( x x ) ( x 4.38) E parameter a har flere estmatorer. f.es.,,..., er uavhegge stoastse varabler fra exp( ), da har v E( ), Var( ). Brue mometestmatorer, a v har ˆ (basert på ˆ m ) eller ˆ ( ) (basert på ˆ m). Me hvle er best? Es 7. Se estmerg som e pltavla. ) Tre vtever for å evaluere ˆ : a. Bas( ˆ ) E( ˆ ) : hvs Bas( ˆ ) 0 estmator: *Hvs E( ˆ )., er ˆ e forvetgsrett (ubased) ˆ er forvetgsrett, vl oe stprøver g estmatorsverder som overstger og adre stprøvee gr estmatorsverder som er mdre e. Me fordelg av ˆ vl være alltd "setrert" på :

7 STAT Statst Metoder Fgure. ˆ er forvetgsrett estmator for og ˆ er e forvetgsrett *Mellom ule estmatorer med samme varas, foretreer v e forvetgsrett estmator eller estmatore som har mst bas. Eg. 8, Ata at, reasjostde tl e stmulus, er uform fordelt på tervallet fra 0 tl e ujet øvre grese. E etterforser øser å berege fra et tlfeldg utvalg,..., av reasjostder. Ha bruer ˆ max(,,..., ) b som estmator for. Bevs at ˆb forvetgsrett estmator for. er e Itutv metode: Sde er de største mulge tde hele populasjo reasjostder, vl ˆb (det største mellom utvalg fra populasjo) aldr overstge. Derfor vl ˆb uderestmere og e være forvetgsrett. Matemats metode: b. Var( ˆ ): Mellom ule estmatorer med samme bas, foretreer v estmator med mst varas Es 9. Bevs mometestmator ˆ ( ) er e forvetgsrett estmator for varas forvetgsrett estmator for varas mes estmator. Me S er ( ) Var( ˆ ) Var( S ).

8 STAT Statst Metoder ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) Var( ) E( ) E( ), E( ) Var( ) E( ) E( ) E( ˆ ) ( E ) E ( ) ( ) ( ) S ˆ E( S ) E( ˆ ) * Var( S ) ( ) Var( ˆ ) Var( ) c. Trade-off mellom bas og varas: MSE( ˆ ) E( ˆ ) (MSE: Mea squred error) Es 0. Bevs at MSE( ˆ ) Var( ˆ ) (Bas( ˆ )) c.) Mellom ule estmatorer, foretreer v estmator med mst MSE. c.) Blat alle estmatorer av som er forvetgsrette, velger v estmatore som har mmum varas. De resulterede ˆ alles mmum varas forvetgsrett estmator (mmum varace ubased estmator (MVUE)) av. ) Stadardfel av estmator Def. Stadardfel (stadard error) av e estmator ˆ er defert som s stadardavv (stadard devato) av ˆ : Var( ˆ ). Hvs eholder ˆ ujete parametere der verder a bl estmert, substtusjo av dsse aslagee tl gr estmert stadardfel (estmert stadardavv) som a beteges som. ˆ ˆ er e måte for å måle pressjoe tl estmatore ˆ : jo mdre, jo bedre. ˆ ˆ ˆ

9 STAT Statst Metoder Es. Ata at,..., N(, ), og ˆ er e forvetgsrett estmator for ( E ˆ E ). F stadardfel av ˆ : Hvs er ujet og v bruer momet estmator ˆ ( ) for å ˆ estmere, da estmert stadardfel tl ˆ er: ˆ ˆ ( ). Når v har e stprøve x ( x,..., x ), a v få e verd av ˆ. ˆ I Es, a v ha e matemats form av stadardfel tl estmator ˆ : ˆ /, me mage tlfeller, har v e matemats form av. F.es. ˆ hvs er Es, da e forvetgsrett estmator for er ˆ S ( ), me det er e lett å fe matemat form av Var( S ) eller stadardfel S. V a brue bootstrap metode (este ue) *Abefalt hjem lesg (homereadg): sdee «more complcatos»