FORELESNINGSNOTATER I SPILLTEORI Geir B. Asheim, våren 2001 (oppdatert ).

Transkript

1 OREESNINGSNOTATER I SPITEORI Ger B. Ashem, våre 00 (odatert STATISKE SPI MED UUSTENDIG INORMASJON (Statske Bayesaske sll Statsk sll: Sllere trekker samtdg. Ufullstedg formasjo: Mst é sllere vet kke hvem ha sller med. Statsk Dyamsk ullkomme formasjo ullstedg formasjo Neste fullk. fo. Delsll-erfekt lkevekt Ufullkomme formasjo KAP KAP 3 Nash- Bayesask lkevekt lkevekt KAP KAP 4 Ufullstedg formasjo Perfekt Bayesask lkevekt 3. STATISKE SPI MED USTENDIG INORMASJON 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Courot-modelle P(Q = a Q Q = + C ( = C ( = med ssh. θ og C ( = med ssh. θ ( arg ma [( a ] ( arg ma [( a ] arg ma { θ[( a ( ] + ( θ[( a ( ] } 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Courot-modelle ørsteordesbetgelser: ( = ( a ( = ( a = [ θ( a ( + ( θ( a ( ] Bayesask Nash-lkevekt: θ ( = ( a + + ( 3 6 θ ( = ( a + ( 3 6 = 3 ( a + θ + ( θ 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT ( ( Courot-modelle roduserer mer e det vlle ha gjort uder fullst. fo. vorfor? kke vet at har høy kostad. roduserer derfor mdre e uder fullst. fo. vet at kke vet at har høy kostad. roduserer derfor mer e uder fullst. fo. Tlsvarede: roduserer mdre e det vlle ha gjort uder fullst. fo.

2 3. STATSISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Normalforme av Courot-modelle med ufullstedg formasjo adlgsrom: A = [0, Tyerom for bedrft : T = {}, Tyerom for bedrft : T = {, }. Ofatger for bedrft : ( = θ, ( = θ, Ofatger for bedrft : ( =, ( =. Profttfuksjoer (yttefuksjoer: π (, ; = [(a ], π (, ; = [(a ], π (, ; = [(a ]. 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Ekstesvforme av Courot-modelle med ufullstedg formasjo "Nature" trekker om bedrft har høy eller lav kostad. Bare bedrft får formasjo om dette. Bedrftee velger kvata smultat. (θ N (θ 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Normalforme DEINISJON: Normalforme G = {A,..., A ; T,..., T ;,..., ; u,..., u } av et -sller statsk Bayesask sll sesfserer slleres hadlgsrom A,..., A slleres tyerom T,..., T slleres ofatger,..., slleres yttefuksjoer u,..., u Sller 's tye t T er rvat formasjo og bestemmer 's yttefuksjo u (a,..., a ; t 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Sller 's ofatger ( t t uttrykker 's uskkerhet om de adres tyer t = (t,..., t, t +,..., t gtt t. Slleres ofatger daes v.h.a. Bayes' regel fra "atures" trekg av slleres tyer. (t,..., t : Sasylghet for at ature trekker (t,..., t. Sllere kjeer tl ( og blr fortalt om s ege tye. Sller 's ofatg daes v.h.a. Bayes' regel: ( t t = t t (, t. t (, t T

3 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Strateg DEINISJON: I det statske Bayesaske sllet G = {A,..., A ; T,..., T ;,..., ; u,..., u } er e strateg for sller e fuksjo s ( som for ehver tye t T sesfserer e mulg hadlg s (t A. Eks: Strateg Courot-modelle. = s ( ( = s (; t {, } vorfor sesfsere hadlger for tyer ma kke er? s ( ka ses å som la vlle ha lagt før ha vsste s ege tye. s ( som fuksjo av alle tyer må sesfseres for å defere lkevekt. 3. STATISKE BAYESIANSKE SPI OG BAYESIANSK NAS-IKEVEKT Bayesask Nash-lkevekt DEINISJON: Strategkombasjoe s = ( s,..., s er e Bayesask Nash-lkevekt ( ree strateger for det statske Bayesaske sllet G = {A,..., A ; T,..., T ;,..., ; u,..., u } hvs det for hver sller og for hver tye t T gjelder at Eu [ ( s ( t, s( t; t] Eu [ ( a, s( t; t] for alle a A. Notasjo: Eu [ ( a, s ( t ; t] = + + t T [ ( t t u ( s ( t,..., s ( t, a, s ( t,..., s ( t ; t ] 3. STATISKE SPI MED USTENDIG INORMASJON 3. ANVENDESER 'Regjørg' av bladede strateger Pat Chrs O O, 0, 0 0, 0, Kjøskamsllet r (O /3 ( /3 ( (O Kjøskamsllet har e Nash-lkevekt bladede strateger, hvor Chrs velger O med ssh. /3 og Pat velger med ssh. /3. Ka dee lkevekte ses å som e lkevekt ree strateger hvor sllere har ufullstedg formasjo? 3. ANVENDESER 'Regjørg' av bladede strateger Kjøskamsllet med ufullstedg formasjo Pat Chrs O O +t, 0, 0 0, 0, +t adlgsrom: A = A = {O, } Tyerom: T = T = [0, ] Ofatger: (t = (t = / for alle t og t. Nyttefuksjoer: u (O,, t er gtt ved yttematrse. Betrakt ree strateger av følgede form: C trekker O hvs t ; dvs C trekker O med sasylghet ( /. P trekker hvs t ; dvs P trekker med sasylghet ( /.

4 3. ANVENDESER 'Regjørg' av bladede strateger Utbetalg for C hvs t + t O: ( + + ( 0 = ( : 0 + ( = ( O er et beste svar hvs og bare hvs t Utbetalg for P hvs : ( 0 + ( + = ( O: ( + 0 = ( t + t 3 =. er et beste svar hvs og bare hvs t 3 =. øsg av 3 = og 3 = gr = og + 3 = 0, d.v.s., = = ANVENDESER 'Regjørg' av bladede strateger Bayesask Nash-lkevekt: s( t = O hvs og bare hvs t = s( t = hvs og bare hvs t = = = 3 år 0. I grese, år de ufullstedge formasjoe forsver, går adferde de Bayesaske Nash-lkevekte ree strateger sllet med ufullstedg formasjo mot adferde Nash-lkevekte bladede strateger sllet med fullstedg formasjo. Klassfkasjo av auksjoer 3. ANVENDESER Auksjoer É selger Kokurrase mellom kjøere bestemmer hvem som kjøer og hvlke rs som betales Prvate verder elles verder Åe ukket ollask Egelsk. rs. rs Avtakede Økede øyeste ver Betaler eget øyeste ver Betaler est høyeste Prvate verder: Kjøer kjeer ege verd. Kjeer kke adres verd. Eks: Eget bruk. elles verder: Verd de samme for alle, me kke kjet. Eks: Kjøer for vderesalg. 3. ANVENDESER ukket. rs-auksjo med rvate verder b A = [0, ], =,...,, v T = [0, ], =,...,, verdsettg er fordelt uavhegg og uformt: (v j = for alle v j T j u (b, b, v = v b hvs b er større e adre u (b, b, v = 0 ellers. Ma må by mdre e sa verd for å kue tjee å å delta auksjoe. Dette må avvees mot at e lavere reduserer ssh. for å ve gjestade. Betrakt strateger av følgede form: b( v = v V skal vse at det er e Bayesask lkevekt at alle byr av sa verd.

5 3. ANVENDESER ukket. rs-auksjo med rvate verder V må vse at b( v= v maksmerer (v b Prob(Adre byr mdre e b tetthet /(- (-/ Ssh. for at é byr mdre e b : b b Ssh. for at alle adre byr mdre e b : ( ma ( v b b ( b =. ordesbetgelse gr: b v 3. ANVENDESER Avslørgsrset MOTIVASJON: Er det mulg å edre å. rs-auksjoe slk at gvere vl og sa verd? Betrakt følgede auksjo: G meldg om v ~ (ogtt verd. De som ogr høyeste verd, ver gjestade. Vere må betale Budgver vl da og sa verd hvs v ~ = v maksmerer (v v~ Prob(Adre byr mdre e v ~ Ata at de adre ogr sa verd. Ssh. for at é byr mdre e v ~ : v ~ ~ Ssh. for at alle adre byr mdre e v ~ : ( v ma ~ ( ~ ( ~ v v v v. ordesbetgelse gr: v ~ = v v ~. 3. ANVENDESER Avslørgsrset 3. ANVENDESER Avslørgsrset DEINISJON: Et statsk Bayesask sll er e drekte mekasme hvs, for hver sller, hadlgsrommet er lk tyerommet. Meldg A Mekasme DEINISJON: E drekte mekasme et statsk Bayesask sll er setvforelg hvs saferdghet er e Bayesask Nash-lkevekt. TEOREM: (Avslørgsrset Ehver Bayesask Nash-lkevekt et statsk Bayesask sll ka rereseteres ved e setvforelg drekte mekasme. T u Drekte mekasme Meldg: s ( Mekasme: u( s(, s; Drekte mekasme: v ( τ (, τ ; a s = ( s,..., s være e Bayesask Nash-lkevekt de drekte mekasme. Defer e drekte mekasme ved: or alle, v( τ, τ ; t = u( s ( τ, s( τ ; t. Da er τ = ( τ,..., τ, med τ ( t = t for alle, e Bayesask Nash-lkevekt de drekte mekasme.